Coâng thöùc nghieäm vaø coâng thöùc nghieäm thu goïn.. Tính nghieäm keùp naøy. b) Ñònh m ñeå phöông trình coù hai nghieäm phaân bieät ñeàu aâm... Vaäy a thoûa maõn ñieàu kieän naøy laø ñ[r]
(1)Chuyên đề :
PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI –
HỆ THỨC VI – ÉT
(MÔN ĐẠI SỐ – LỚP 9)
A LÝ THUYẾT :1 Công thức nghiệm cơng thức nghiệm thu gọn Phương trình bậc hai ax2 + bx + c = ( a0 )
* Nếu b lẽ: b2 4ac
- Nếu < phương trình vô nghiệm
- Nếu = phương trình có nghiệm kép x1 = x2 =
b a
- Nếu > phương trình có hai nghiệm phân biệt :
1
2
2
b x
a b x
a
* Nếu b chẵn :
’ = b’2 – ac
- Nếu ’< phương trình vô nghiệm
- Nếu ’= phương trình có nghiệm keùp x1 = x2 =
'
b a
- Nếu ’> phương trình có hai nghiệm phân biệt :
' '
1
' '
2
b x
a b x
a
( Chú ý : Nếu hệ thức a c trái dấu phương trình bậc hai ln có hai nghiệm phân biệt)
Chú ý quan trọng :
- Nếu phương trình ax2 + bx + c = có hai nghiệm x
1 x2 ta có : ax2 + bx + c = a(x – x
1)(x – x2)
- Nếu phương trình ax2 + bx + c = khơng có nghiệm thực tam thức f(x) = ax2 + bx + c luôn dấu với hệ số a.
< f(x) = ax2 + bx + c dấu a x R B MỘT SỐ DẠNG TỐN THƯỜNG GẶP :
Bài tốn :
Điều kiện để phương trình ax2 + bx + c = có hai nghiệm dấu :
0
a P
Bài toán :
(2)
0 0
a P S
Bài toán :
Điều kiện để phương trình ax2 + bx + c = có hai nghiệm âm :
0 0
a P S
Bài toán :
Điều kiện để phương trình có hai nghiệm trái dấu :
0
a P
a) Mà nghiệm dương có giá trị tuyệt đối lớn : a0,P0,S 0
b) Nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn : a0;P0;S 0
2 Hệ thức Vi-ét thuận :
Nếu x1 x2 hai nghiệm phương trình bậc hai ax2 + bx + c = ( a0 ) :
1
1
b x x
a c x x
a
Hệ thức Vi-ét đảo :
Nếu hai số có tổng S tích P hai số hai nghiệm phương trình : X2 – SX + P =
Điều kiện để có hai số : S2 – 4P 0
* ÁP DỤNG TÍNH NHẨM NGHIỆM :
- Nếu phương trình bậc hai ax2 + bx + c = có hệ số a,b,c thỏa mãn hệ thức :
a + b + c =
phương trình có hai nghiệm
c a
- Nếu phương trình bậc hai ax2 + bx + c = có hệ số a,b,c thỏa mãn hệ thức :
a – b + c =
phương trình có hai nghiệm -1
c a
( Chú ý : Khi a c trái dấu tích hai nghiệm c P = < 0
a Do phương trình có hai nghiệm trái dấu )
C MỘT SỐ BÀI TỐN THAM KHẢO :
(3)b) x2 – (m – 1)x + m + =
Hướng dẫn : a) Phương trình khơng có nghiệm thực < Từ tìm m > 9/4
c) Tương tự câu a) Lưu ý biến đổi (m – 7)(m + 1) < phải chia thành hai trường hợp “cùng dấu , khác dấu” chọn giá trị thích hợp
Bài 2: Với giá trị m phương trình sau có nghiệm kép : a) x2 – 5x + m – = 0
b) x2 – mx + = 0
HS tự giải Đáp số a) m = 37/4 b) m = m = -4) Bài : Với giá trị m phương trình có hai nghiệm phân biệt :
a) 3x2 – 7x – m + = 0
b) 3x2 – mx + 12 = 0
c) x2 + (m – 1)x – = 0
d) mx2 – (2m – 1)x + m – = 0
e) mx2 – (3m + 2)x – m = 0
Hướng dẫn: Câu a, b tự giải Lưu ý câu b, ta có Ghi nhớ sau : m2 > a2 , a > 0
: m > a m < -a m > a
Câu c) Đáp số : PT ln ln có hai nghiệm phân biệt với m
(Có thể nhận xét hệ số a = 1, c = -1 trái dấu nên = b2 – 4ac ln ln dương , PT ln ln có hai nghiệm với m )
Câu d, e) trước biến đổi nhớ tìm ĐK để PT bậc hai có nghĩa ( Đáp số d) m > -1/4 , m 0 Câu e) Với m 0) Bài 4: Giải biện luận theo m phương trình sau :
a) x2 – 5x + m + = 0
b) 3x2 – mx + 12 = 0
c) (m – 1)x2 + (2m + 1)x + m + = , m 0
Hướng dẫn : Lập biện luận theo ba trường hợp .
Lưu ý : câu c, có đk c 0 , không ta phải chia hai trường hợp theo a để biện luận ( T/h : a = PT có nghiệm vô nghiệm vô số nghiệm T/h 2: a 0 lập biện luận giống câu a,b )
Bài 5: Cho phương trình : x2 – 2(m -1)x – – m = ( m tham số )
a) CMR: phương trình ln có nghiệm với giá trị m
b) Tìm m cho hai nghiệm x1,x2 phương trình thỏa mãn điều kiện : x12 + x22 10
Hướng dẫn : b) Biến đổi BĐT đưa dạng tổng tích hai nghiệm dùng hệ thức Vi-ét thay giá trị vào để giải bất phương trình
Bài 6: Cho phương trình : x2 – 2mx + 2m – = ( m tham số )
1) Chứng tỏ phương trình có nghiệm với m 2) Đặt A = 2(x12 + x22) – 5x1x2
a) Chứng minh A = 8m2 – 18m + 9
b) Tìm m cho A = 27
3) Tìm m cho phương trình có nghiệm hai lần nghiệm Hướng dẫn : sử dụng hệ thức Vi-ét
Bài 7: Cho phương trình : (m – 1)x2 + 2(m – 1)x – m = ( m tham số )
(4)Hướng dẫn: b) Phương trình có hai nghiệm âm khi:
'
0 0
0
a S P
thay giá trị vào tìm m.
Bài 8: Cho phương trình : x2 – (2m – 3)x + m2 – 3m = ( m tham số )
a) Chứng minh : phương trình ln ln có hai nghiệm m thay đổi b) Định m để phương trình có hai nghiệm x1,x2 thỏa : < x1 < x2 <
Hướng dẫn : b) Từ câu a) ta có = 9, nên tìm hai nghiệm x1 = m – 3, x2 = m Vậy tốn trở thành : tìm m để : 1< m – < m < 4 < m < 6. Bài 9: Cho hai phương trình : x2 + x + a = (1) x2 + ax + = (2)
Tìm giá trị m để hai phương trình : a) Tương đương
b) Có nghiệm chung Hướng dẫn: a) Gọi: N1 tập hợp nghiệm phương trình (1)
N2 tập hợp nghiệm phương trình (2)
Cần xác định a N1 = N2
Xét hai trường hợp:
TH1: N1 = N2 =
1 2
1 4
a a
1
2 a
TH2: N1 = N2 Gọi x0 N1 = N2
Vì x0 nghiệm phương trình (1) ,do : x02 + x0 + a =
Vì x0 nghiệm phương trình (2) ,do : x02 + ax0 + =
(1 – a)x0 = – a
Neáu a = phương trình (1) (2) có dạng : x2 + x + = 0; phương trình vô nghiệm
mâu thuẫn với N1 = N2 ; a x0 =
Khi x0 = 12 + + a = a = -2
Thử lại a = -2 , (1) : x2 + x – = có N
1 =
1; 2
(2) : x2 – 2x + = coù N =
1Maø N1 N2
Vậy khơng có a thỏa mãn trường hợp : N1 = N2
Tóm lại :
2
4 a : hai phương trình tương đương. b) Khi a = -2 ; phương trình có nghiệm chung x0 =
Bài 10: a) Chứng minh đẳng thức :
(m2 + m – 1)2 + 4m2 + 4m = (m2 + m + 1)2
b) Cho phương trình : mx2 – (m2 + m + 1)x + m + = (1)
Tìm điều kiện m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác -1 Hướng dẫn: a) c/m : (m2 + m + 1)2 – (m2 + m – 1) =………= 4m2 + 4m
b) Điều kiện : 0
0
a a b c
(5)Baøi 11: Gọi a, b hai nghiệm phương trình : x2 + px + = 0
Gọi c, d hai nghiệm phương trình : y2 + qy +1 = 0
Chứng minh hệ thức : (a – c)(a – d)(b – c)(b – d) = (p – q)2
Hướng dẫn: Từ giả thuyết ; suy : a + b = -p , ab = c + d = -q , cd =
Khai triển vế trái (a –c)(a – d)(b – c)(b – d) = [(a – c)(b – c)][(a – d)(b – d)]
= [ab – c(a + b) + c2][ab – d(a + b) + d2]
= (1 + pc + c2)(1 + pd + d2)
= (c + d)2 + p(c + d)(1 + cd) + p2cd
= q2 – 2pq + p2 = (p – q)2.
Bài 12: Gọi a, b hai nghiệm phương trình : x2 + px + = 0
Gọi c, d hai nghiệm phương trình : y2 + qy +1 = 0
Chứng minh hệ thức : (a – c)(b – c)(a + d)(b + d) = q2 – p2
Hướng dẫn: Tiến hành 11, tới bước :
(1 – pd + c2)(1 – pd + d2) = – pd + d2 + pc – p2cd + pcd2 + c2 – c2pd + c2d2
= (1 + c2 + d2 + c2d2) + p(c – d + cd2 – c2d) – p2cd
= (c2 + d2 + 2) + p[(c – d)(1 – cd)] – p2 = (c + d)2 – p2 = q2 – p2.
Baøi 13: Cho phương trình : (m + 2)x2 – (2m – 1)x - + m = 0
a) CMR: phương trình có hai nghiệm với m
b) Tìm tất giá trị m cho phương trình có hai nghiệm x1, x2 tìm
giá trị m để nghiệm gấp hai lần nghiệm Hướng dẫn: a) HS tự giải
b) Với m -2 ta có:
1
1
1
2 (1)
(2)
2 (3)
m x x
m m x x
m x x
thay (3) vào (1) giải tìm x1, x2
thay vào (2) tìm m hai giá trị m = -7 , m = Bài 14: Cho phương trình : x2 – 4x + m + = 0
a) Định m để phương trình có nghiệm
b) Tìm m cho phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn : x12 + x22 = 10
Bài 15: Cho phương trình : x2 – 2mx + m + = 0.
a) Xác định m để phương trình có hai nghiệm khơng âm b) Khi tính giá trị biểu thức: E = x1 x2 theo m
Hướng dẫn: a) Phương trình khơng âm khi:
' 0
0
P S
b)Vì E , nên bình phương hai vế để biến đổi biểu thức thành tổng tích Bài 16: Cho phương trình : 3x2 – mx + = xác định m để phương trình có hai nghiệm thỏa
(6)Hướng dẫn:
2
1 2
1
1
24
3 2
2
3
m x x x x x
m x x
Đáp số : m = 7. Bài 17: Cho phương trình : x2 – 2(m – 1)x – m = 0
a) CMR: phương trình ln có hai nghiệm x1, x2 với m
b) Với m ,lập phương trình ẩn y thỏa mãn: 1 2
1
,
y x y x x x
Hướng dẫn: b) Biến đổi biểu thức y1 y2 thành tổng tích x Từ tìm y1 + y2 y1y2
áp dụng hệ thức Vi – ét để lập phương trình theo dạng ay2 + by + c = ta phương trình cần
tìm
Bài 18: Cho phương trình : 3x2 – 5x + m = Xác định m để phương trình có hai nghiệm thỏa
maõn : x12 – x22 =
5 9.
HD: biến đổi thành tổng tích sử dụng hệ thức Vi-ét thay giá trị vào tính m = Bài 19: Cho phương trình : x2 – 2(m + 4)x + m2 – = Xác định m để phương trình có hai
nghiệm x1, x2 thỏa mãn:
a) A = x1 + x2 – 3x1x2 đạt giá trị lớn
b) B = x12 + x22 – x1x2 đạt giá trị nhỏ
c) Tìm hệ thức x1 x2 không phụ thuộc vào m
Hướng dẫn: Trước tiên đ/k cần có ' m3 a) Biến đổi A thành tổng tích hai nghiệm b) Tương tự câu a)
c) Rút m từ tổng hai nghiệm để thay vào tích hai nghiệm ta phương trình khơng phụ thuộc vào m
Bài 20: Cho phương trình : x2 – 4x – (m2 + 3m) = 0
a) Chứng minh phương trình ln ln có hai nghiệm x1, x2 với m
b) Xác định m để : x12 + x22 = 4(x1 + x2)
c) Lập phương trình bậc hai ẩn y có hai nghiệm y1, y2 thỏa mãn: y1 + y2 = x1 + x2 ,
1
2
3
1
y y y y
Hướng dẫn :c) y1 + y2 = x1 + x2 = , biến đổi
1
2
3
1
y y y y
để tìm tổng tích hai nghiệm y Từ lập phương trình : y2 – 4y – = 0.
Bài 21: Cho phương trình : x2 + ax + = Xác định a để phương trình có hai nghiệm x 1, x2
thỏa maõn :
2
1
2
7
x x x x
(7)Hướng dẫn: Biến đổi
2
1
2
7
x x x x
thành tổng tích thay vào ta có bất phương trình
2 2 3
a
2
2
2
2 1( )
a a
a a loai
2 5 5
5
a a a
a
Vaäy a thỏa mãn điều kiện đ/k cần tìm tóan. Bài 22: Cho phương trình : ax2 + bx + c = (a 0)
Chứng minh : điều kiện cần đủ để phương trình có hai nghiệm mà nghiệm gấp đơi nghiệm : 9ac = 2b2
Điều kiện cần: Giả sử phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn x1 = 2x2 , x2
= 2x1 (x1 )(x2 x2 ) 0x1
2
1 2
2
1 2
2
1 2
2 2
2( ) 2[( ) ] 2( )
9
x x x x x x x x x x x x x x x x
c b a a ac b
Điều kiện đủ: Giả sử có 9ac = 2b2
Xét :
2
2
1 2
8
9
4
;
6
b b b ac b
b b
x x x x a a
Bài 23: Chứng minh phương trình ln ln có nghiệm với a, b, c (x – a)(x – b) + (x – b)(x – c) + (x – c)(x – a) =
Hướng dẫn: Đưa dạng : 3x2 – 2(a + b + c)x + (ab + bc + ca) = có ' 0
Bài 24: Cho hai phương trình : x2 + mx + = (1)
x2 + 2x + m = (2)
a) Định m để phương trình có nghiệm chung b) Định m để hai phương trình tương tương
c) Xác định m để phương trình : (x2 + mx + 2)(x2 + 2x + m) = có nghiệm phân biệt
Hướng dẫn: a) Giả sử phương trình có nghiệm chung x = x0 , từ suy ra:
x02mx 2 0;x022x0m0
Trừ hai vế phương trình cho ta được:(m – 2)x0 = m –
Nếu m = suy (1) (2) trở thành : x2 + 2x + =
Phương trình vô nghiệm m2
Nếu m2 x0 = vào x02 + mx + = m = -3
Khi m = -3 hai phương trình là:
2
3 0(1) 0(2)
x x x x
Hai phương trình có nghiệm chung x0 =
(8)Gọi N2 tập hợp nghiệm phương trình (2)
Cần định m để N1 = N2 Xét hai trường hợp :
N1 = N2 = 1m2
N1 = N2 Không có m thỏa mãn ( câu a)
c) Ta có phương trình : (x2 + mx + 2)(x2 + 2x + m) = 0
2
2 0(1) 0(2)
x mx x x m
Ta cần định m để phương trình (1) (2) có hai nghiệm phân biệt khác Bài 25: Với giá trị a b ,các phương trình bậc hai :
(2a + 1)x2 – (3a – 1)x + = (1)
(b + 2) x2 – (2b + 1)x – = (2)
có hai nghiệm chung
Hướng dẫn: Điều kiện để hai phương trình có hai nghiệm chung là:
Điều kiện cần: hệ số hai phương trình khác tương ứng tỉ lệ.
2
3 2 1
13 9;
2
a b a a
a b b b
a b
Điều kiện đủ: a = -9 b =
13
2 ta phương trình : (1) : -17x2 + 28x + = 0
(2) : 17
2 x2 – 14x – = 0
Hai phương trình (1) (2) có hai nghieäm chung
Bài 26: Với giá trị k hai phương trình sau có nghiệm chung: 2x2 + (3k +1)x – = 0
6x2 + (7k – 1)x – 19 = 0
Hướng dẫn:
Điều kiện cần: Giả sử hai phương trình có nghiệm chung x0
2
0
2
0
2 (3 1) 0(1) (7 1) 19 0(2)
x k x x k x
Rút k từ phương trình (1) (2) để suy x0
Từ x0 tính k
Điều kiện đủ: Thay k vừa tìm vào phương trình cho để biết xem
phương trình có nghiệm chung hay không
Bài 27: Với giá trị số nguyên p , phương trình sau có nghiệm chung: 3x2 – 4x + p – = 0
x2 – 2px + = 0
Hướng dẫn: làm 26, lưu ý : p số nguyên.
Bài 28: Cho phương trình bậc hai : ax2 + bx + c = với a, b, c số hữu tỉ, a 0 Cho biết
phương trình có nghiệm + 2 Hãy tìm nghiệm lại.
(9)
2
(1 2) (1 2) (3 ) 2(2 )
3
2 ;
2
a b c
a a b c a b a b c
b a c a a b
Thay vào phương trình rút gọn lại , ta coù: ax2 – 2ax – a = 0
suy ra: x2 – 2x – = a 0
x1 1 2;x2 1
Bài 29: Tìm tất số nguyên k để phương trình: kx2 – (1 – 2k)x + k – = ln ln có
nghiệm số hữu tỉ Hướng dẫn:
Neáu k = x = -2 Nếu k 0 , xét 4k1
Phương trình có nghiệm hữu tỉ 4k + = p2 , với p = 2n + k = n(n + 1) , nN*
Bài 30: Cho phương trình bậc hai: 3x2 + 4(a – 1)x + a2 – 4a + = , xác định a để phương
trình có hai nghiệm phân biệt x1 x2 thỏa mãn hệ thức :
1
1
1
x x
x x
Hướng dẫn: biến đổi biểu thức (x1x2 – 2)(x1 + x2) =
Hoặc : x1 + x2 =
4( 1)
0
3
a
a
Hoặc : x1x2 – =
2
4
2 1;
3
a a
a a a a
Thử lại ta thấy có a = a = thỏa mãn, a = -1 (khơng thỏa) làm cho phương trình vơ nghiệm
(Chú ý: sử dụng cách khác là:
' 2
1
1
4( 1) 3( 1) 1
2
a a a x x
x x
để giải )
Bài 31: Cho biết phương trình : x2 + px + = có hai nghiệm a b
Phương trình: x2 + qx + = có hai nghiệm b vaø c.
Chứng minh hệ thức : (b – a)(b – c) = pq – Hướng dẫn: theo định lí Vi-ét ta có :
a b p ab
vaø
b c q bc
2
( )( )
2 ( )( )
a b b c pq ab ac b bc pq b bc ab ac pq ab bc
b c b a pq
Baøi 32: Cho phương trình: x2 – 5x + k = (1)
x2- 7x + 2k = (2)
Xác định k để nghiệm phương trình (2) lớn gấp hai nghiệm phương trình (1)
(10) Điều kiện cần: Đặt x2 = y 0 ta có hệ phương trình :
2
2
5
7
3 ,
2
3
6 0
2
x y k x y k
k k x y
k k
k k k k
Điều kiện đủ:
+ Nếu k = 0; phương trình trở thành: x2 – 5x =
1
0
x x
x2 – 7x =
0
x x
Ta có : x3 = 2x1 Vậy k = thỏa mãn
+ Nếu k = 6, phương trình trở thành : x2 – 5x + =
1
2
x x
x2 – 7x + 12 =
4
x x
Ta có : x3 = 2x1 Vậy k = thỏa mãn
Bài 33: Giả sử x1 x2 hai nghiệm phương trình : 3x2 – cx + 2c – = Tính theo c
giá trị biểu thức : S = 13 23
1
x x
Hướng dẫn : Quy đồng biến đổi thành tổng tích hai nghiệm dùng hệ thức Vi-ét Đáp số: S =
2
( 18 9) (2 1)
c c c c
Bài 34: Xác định a để hai phương trình :
2
8 0
x ax x x a
; có nghiệm chung. Hướng dẫn: a = -6 , hai phương trình có nghiệm chung x =
Bài 35: Tìm tất số nguyên k để hai phương trình bậc hai :
2
2 (3 1) (2 3)
x k x x k x
a) Có nghiệm chung b) Tương đương với Đáp số : a) k =
b) Không có k
Bài 36: Cho phương trình bậc hai : 2x2 + 6x + m = Với giá trị tham số m, phương
trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn :
1
2
2
(11)Hướng dẫn: Cần tìm m thỏa mãn :
'
1
2
9 (1) 2(2)
m x x x x
Đáp số : < m <
9 2.
Baøi 37: Cho biết x1, x2 hai nghiệm phân biệt khác phương trình bậc hai :
ax2 + bx + c = (a , a, b, c R) Hãy lập phương trình bậc hai có hai
nghiệm 12 22
1 ,
x x .
Hướng dẫn : Tìm :
2
1
2
1
1 1
x x x x
dùng hệ thức Vi-ét đảo để tìm phương trình cần tìm. Bài 38: Biết x1, x2 hai nghiệm phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = Hãy viết
phương trình bậc hai nhận x13 x23 làm hai nghiệm
Hướng dẫn : 37
Baøi 39: Cho phương trình : x2 – (2m + 1)x + m2 + m + = 0.
a) Định m để phương trình có hai nghiệm âm b) Định m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa:
3
1 50
x x
Hướng dẫn: b) Giải phương trình : dựa vào 25, tính x1 = m – , x2 = m + 3
(m 2)3 (m3)3 50
2
1
5(3 7) 50
1 5
,
2
m m m m
m m
Bài 40: CMR: phương trình : (x + 1)(x + 3) m(x + 2)(x + 4) = , ln ln có nghiệm số thực với giá trị m
Hướng dẫn: Khai triển rút gọn đưa dạng : (m + 1)x2 +2(3m + 2)x + 8m + = 0
Rồi xét hai trường hợp m m khác
Bài 41: Cho phương trình : x2 + 6x – m = Với giá trị tham số m ,phương trình có
hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn : x13 + x23 = 72
Hướng dẫn : HS tự làm học
Baøi 42: Cho phương trình : x2 – (m – 1)x - m2 + m – = 0.
a) CMR: phương trình ln ln có nghiệm trái dấu với
b) Với giá trị tham số m biểu thức E = x12 + x22 đạt giá trị nhỏ
Hướng dẫn:
a) Xeùt a.c = -m2 + m – = -(m2 – m +
1 4)
2
7
( )
4 m
Vậy phương trình có hai nghiệm trái dấu với m b) Đáp số: E =
11
3 m = 3.
Baøi 43: Cho hai phương trình : x2 + a1x + b
1 = (1)
(12)Cho biết a a1 22(b1b2) Chứng minh hai phương trình cho có nghiệm
Hướng dẫn:
Phương trình (1) có : 1 a12 4b1
Phương trình (2) có : 2 a22 4b2
Xeùt 1 a12a22 4(b b1 2)a12a22 2a a1 (a1 a2)2 ( theo giaû thuyeát)
1 hai biệt thức 1 2 khơng âm
Vậy hai phương trình có nghiệm Bài 44: Cho ba phương trình : ax2 + 2bx + c = (1)
bx2 + 2cx + a = (2)
cx2 + 2ax + b = (3)
với a, b, c 0 CMR: ba phương trình phải có nghiệm Hướng dẫn: Như 43 , chứng minh tổng ba biệt thức '1 '2 '3