[r]
(1)Chuyên đề 1
( tiÕt)
PhÐp chia hÕt- phÐp chia cã d (B1)
I Mơc tiªu:
- Cung cÊp cho HS hƯ thèng kiÕn thøc vỊ lÝ thut phÐp chia hÕt , phÐp chia cã d; cung cÊp mét sè kiÕn thức bổ trợ nâng cao
- Vn dng cỏc kiến thức lí thuyết vào giải tốn: Phân dạng tốn để giúp HS dễ dàng tiếp cận làm
- Rèn luyện khả t cho HS II.Chn bÞ:
* KiÕn thøc:
- Lí thuyết phép chia hết phép chia có d - đẳng thức đáng nhớ mở rộng
* Tài liệu tham khảo
- 250 bi toỏn số học tác giả Võ Đại Mau; Tuyển tập toán chọn lọc THCS tác giả Vũ Dơng Thuỵ; Chuyên đề bồi dởng HSG số học nhà xuất GD; 23 chuyên đề toán sơ cấp
III.Néi dung kiến thức: A. Kiến thc bản: I.Phép chia hết:
1 Định nghĩa: Với a,b N, b Nếu ∃ q Z cho a=b.q ta nói a chia hết cho b
Kí hiệu a ⋮ b( a chia hết cho b) (hoặc d/a đọc b chia hết a) Khi ta nói a bội b, b ớc a
2 TÝnh chÊt cđa quan hƯ chia hÕt Z
- Tính chất phản xạ:
a Z vµ a ⇒ a ⋮ a - Tính chất phản xứng:
Nếu a b b ⋮ a ⇒ a=b hc a=-b - TÝnh chÊt bắc cầu
Nếu a b b c ⇒ a ⋮ c
* Mét sè tÝnh chÊt kh¸c
+ ∀ a Z ⇒ a ⋮ ( ± 1) + ∀ a Z, a ⇒ ⋮ a
+ ∀ a Z, a ⋮ m ⇒ ka ⋮ m (k Z)
+ a ⋮ m vµ b ⋮ m ⇒ (a ± b) ⋮ m; (an + bk) ⋮ m(víi a,b,m,n Z ,m 0)
+ Nếu ( a+b+c+d) ⋮ m mà a,b,c chia hết cho m d ⋮ m + a ⋮ m b ⋮ n ⇒ ab mn
Đặc biệt a b an bn với n nguyên dơng
+ a ⋮ m ⇒ an ⋮ m (n Z+)
+ a ⋮ b ⇒ ( ± a) ⋮ ( ± b)
+ a ⋮ b , a b, a, b nguyên dơng b không chia hết cho a + an ⋮ m, m nguyªn tè ⇒ a ⋮ m
+ ab ⋮ m vµ (a,m)=1 ⇒ b ⋮ m
+ a ⋮ m vµ a ⋮ n vµ (m,n) =1 ⇒ a ⋮ mn
+ a ⋮ m a ⋮ m a ⋮ p với m,n,p nguyên tố sánh đôi( đôi nguyên tố nhau) ⇒ a ⋮ mnp
3 Dấu hiệu chia hết:
Đặt A= anan-1an-2…a1a0
(2)A ⋮ ⇔ a0 ⋮ (a0 = 0,2,4,6,8)
b Chia hÕt cho
A ⋮ ⇔ a0 ⋮ (a0 = 0,5)
c Chia hÕt cho (hc 9)
A ⋮ (hc 9) ⇔ (an + an-1+…+a1 + a0) ⋮ 3(hc 9)
d Chia hÕt cho =22 hc 25 = 52
A ⋮ (hc 25) ⇔ a1a0 ⋮ 4(hc 25)
e Chia hÕt cho (= 23 )hc 125( =53 )
A ⋮ (hc 125) ⇔ a2a1a0 ⋮ 8(hc 125)
f Chia hÕt cho 11
+Nếu n chẵn số hạng an sè h¹ng thø (n+1) lÏ
A ⋮ 11 ⇔ [(a0 + a2 +a4 +….+an) –(a1+ a3 + a5 ++an-1)] 11
+Nếu n lẽ số hạng an số hạng thứ (n+1) chẳn
A ⋮ 11 ⇔ [ (a1+ a3 + a5 +…+an-1)- (a0 + a2 +a4 +….+an)] ⋮ 11
( Tỉng c¸c chữ số hàng lẽ trừ tổng chữ số hàng chẳn chia hết cho 11) II Phép chia có d
1 Định nghĩa:
Vi a,b Z, b 0, a không chia hết cho b khơng ∃ q Z cho: a=b.q Khi ta có a= b.q + r
(0<r<b)
Khi ta nói a khơng chia hết cho b, r số d chia a cho b *Cách phát biểu khác:
Nếu a, b hai số nguyên, b nguyên dơng tìm đợc cặp số nguyên (q,r) cho a= b.q + r
(0 r<b)
+ NÕu r = th× ta nãi a chia hÕt cho b
+ Nếu r ta nói a không chia hÕt cho b
2 Xác định số d phép chia a cho b
Gäi r lµ sè d phÐp chia a cho b Ta cã r = 0;1;2;3;…, b-1 ( nÕu a,b N) Trong tËp hỵp Z
NÕu b ch¼n: r = 0; ± 1; ± 2; ± 3;… ± b NÕu b lÏ : r = 0; ± 1; ± 2; ± 3;… ± b−1
2 III.Một số đẳng thức đáng nhớ
a Các đẳng thức bản
1 (a+b)2 = a2 + 2ab + b2
2 (a-b)2 = a2 - 2ab + b2
3 (a+b)(a-b) = a2 – b2
4.(a+b)3 =a3+3a2b + 3ab2 +b3
5.(a-b)3 =a3-3a2b + 3ab2 - b3
6 a3 + b3 = (a+b)(a2- ab+b2)
7 a3 - b3 = (a-b)(a2+ ab + b2)
b.Các đẳng thức mở rộng
+ (A+B+C)3 = A3+ B3+ C3 + 3(A+B)(A+C)(B+C)
+ An - Bn =(A-B)(An-1 + An-2B +…+ABn-2+Bn-1); ∀ n N,n 2
+ A2k-B2k =(A+B)(A2k-1- A2k-1B +A2k-2B + …+AB2k-2 - B2k-1); ∀ k N,k 0
+ A2k+1+B2k+1 = (A+B)(A2k – A2k-1B+…+A2B2k-2-AB2k-1+B2k)
+ (A1+A2+…+An)2= A12+ A22+….+ An2 +2( A1A2+A1A3+…An-1An)
+ (A+B)n = An+ nAn-1B + n(n −1)
1 A
n-2B2+ n(n −1)(n −2)
1 A
n-3B3+…+ n(n −1)
1 A
(3)IV.PhÐp chia ®a thøc f(x) cho nhÞ thøc x-m
*Giả sử đa thức f(x) = anxn+an-1xn-1+….+a1x+a0 chia cho nhị thức x- m đợc thơng g(x)
= bn-1xn-1 + bn-2xn-2+…+ b1x+ b0 vµ d lµ r (r R)
Trong đó: bn-1=an
bn-2 = an-1 + m bn-1
bn-3 = an-2 + mbn-2
⋮
b0 =a1+mb1
r = a0+ mb0
Ta có sơ đồ tính hệ số đa thức g(x) nh sau:(gọi sơ đồ Hoocne)
an an-1 an-2 … a1 a0
m bn-1= an bn-2 = an-1 +m bn-1 bn-3 = an-2 + mbn-2 b0 =a1+mb1 b0 =a1+mb1
- Định lí Bơdu: Số d đa thức f(x) cho nhị thức x- m f(m) Nếu f(m) = đa thức f(x) chia hết cho x- m
- Định lí Fécma: p nguyên tố, a N ta cã ap - a ⋮ p
NÕu (a,p) =1 ap-1-1 p
B Bài tập
1.Dạng 1: Chứng minh chia hết
Để chøng minh A(n) ⋮ B ta cã thĨ lµm nh sau:
C1: Phân tích B = B1.B2…Bn với (B1,B2,…,Bn)=1 từ ta c/m A(n) lần lợt chia hết
cho c¸c Bi
C2:Tách A(n) thành nhân tử c/m nhân tử chia hết cho B C3: Xét dạng n chia cho B (kB,kB+1,kB+2,…kB+B-1) C4: Sữ dụng phơng pháp quy nạp toán học
VÝ dô1: Chøng minh r»ng n4-n2 ⋮ 12 ∀ n N
Gi¶i Ta cã n4-n2 =n2(n2-1)
=n(n-1)n(n+1) NhËn xÐt: 12 =3.4 vµ (3,4)=1(*)
NhËn thấy số nguyên liên tiếp có mét sè chia hÕt cho
⇒ n(n-1)(n+1) ⋮ (1)
Mặt khác tích hai số tự nhiªn liªn tiÕp chia hÕt cho ⇒ n(n-1) ⋮ vµ n(n+1) ⋮ ⇒ n(n-1)n(n+1) ⋮ (2) Tõ (*), (1) vµ (2) ⇒ n4 - n2 ⋮ 12
VÝ dô2: Chøng minh r»ng n(n+2)(25n2-1) ⋮ 24 ∀ n Z
Gi¶i
Ta cã n(n+2)(25n2-1) =n(n+2)(24n2+n2-1)
=n(n+2)(n2-1) +24n2(n+2)n
V× 24n2(n+2)n ⋮ 24 nªn ta chØ c/m n(n+2)(n2-1) ⋮ 24
ThËt vËy ta cã n(n+2)(n2-1) = n(n+2)(n+1)(n-1) lµ tÝch cđa sè nguyªn liªn tiÕp nªn
chia hết cho Mặt khác (3,8)=1 nên n(n+2)(n2-1) ⋮ 24
VËy n(n+2)(25n2-1) ⋮ 24 ∀ n Z
(4)Gi¶i
NhËn xÐt: Hai sè cã ch÷ sè tËn cïng nh hiệu chúng có chữ số tận b»ng nªn chia hÕt cho 10
XÐt sè A=n5 - n
= n(n2-1)(n2+1)
=n(n-1)(n+1)(n2+1)
Ta cã n(n+1) ⋮ ∀ n N ⇒ A ⋮ ∀ n N (1) Ta c/m A ⋮ ∀ n N
ThËt vËy nÕu n = k ⇒ A ⋮
n = 5k+1 ⇒ n-1 ⋮ ⇒ A ⋮ n = 5k+2 ⇒ n2+1 ⋮ 5 ⇒ A ⋮ 5
n = 5k+3 ⇒ n2+1 ⋮ 5 ⇒ A ⋮ 5
n = 5k+4 ⇒ n+1 ⋮ ⇒ A ⋮ Do A ⋮ ∀ n N (2)
Tõ (1) vµ (2) vµ (2,5)=1 ⇒ A ⋮ 10 ∀ n N VÝ dô4: Chøng minh với m số nguyên lẽ thì:
(m3+3m2- m-3) ⋮ 48
Gi¶i
Ta cã m3+3m2-m-3 = m2(m+3) –(m+3)
= (m+3)(m2-1)
= (m+3)(m-1)(m+1)
m nguyên lẽ, đặt m=2k+1 m3+3m2- m-3 =(2k+1+3)(2k+1-1)(2k+1+1)
=(2k+4)2k(2k+2) =8k(k+2)(k+1) Ta thÊy 8k(k+2)(k+1) ⋮ ∀ n Z v× ⋮
Mặt khác k(k+1)(k+2) 6(tích số nguyên liên tiÕp) ⇒ 8k(k+2)(k+1) ⋮ 8.6(=48)
VËy víi mäi m số nguyên lẽ (m3+3m2- m- 3) A 48
VÝ dơ5: Chøng minh r»ng víi m nguyªn dơng thì (62n+19n- 2n+1) 17
Giải
C1: Ta cã (62n+19n-2n+1) = 36n+19n-2n+1
= 36n-19n+ 2.19n-2.2n
=(36-19).M +2(19n-2n)
=17M+2.17N ⋮ 17
(áp dụng đẳng thức an- bn = (a-b)(an-1+an-2b +…+abn-2+bn-1)
VËy (62n+19n-2n+1) ⋮ 17 ∀ n Z+.
C2: Sử dụng phơng pháp quy nạp toán häc
+ Víi n=1 ta cã 62n+19n- 2n+1 = 62+191- 22 = 36+19- =51 ⋮ 17
+ Giả sử toán với n =k, tức ta có (62k+19k- 2k+1) ⋮ 17 Với k Z+.
+ Ta phải c/m toán với n=k+1, tức ta phải c/m (62(k+1)+19k+1-2(k+1)+1) ⋮ 17
ThËt vËy, ta cã 62(k+1)+19k+1-2(k+1)+1 =36k+1+19k+1 –2.2k+1
=(36k+1-19k+1 )+(2 19k+1-2.2k+1 )
(áp dụng đẳng thức dạng an-bn)
Bµi tËp vËn dơng:
Bµi1:Chøng minh r»ng: n4- 4n3- 4n2+16n ⋮ 384 Víi n chẳn n>4
HD: 384 =3.128 (3,128) = 1; 128 =16.8, A ⋮ 16, A ⋮ 8,n =2k(k>2) Bµi2: Chøng minh r»ng: n4+6n3+11n2+6n chia hÕt cho 24 với số tự nhiên n
HD: 24=8.3 (3,8)=1
Bµi3: Chøng minh r»ng n8- n6- n4+n2 chia hÕt cho 1152 víi mäi sè nguyªn lÏ
(5)a.(7.52n+12.6n) ⋮ 19
b (5n+2+26.5n+82n+1) ⋮ 59
HD: a 7.52n+12.6n =7.52n+19.6n-7.6n = 7(25n- 6n)+19.6n
b 5n+2+26.5n+82n+1=5n+2+34.5n- 8.5n+82n+1
(hoặc quy nạp toán học)
Bài5: Chứng minh với số tự nhiên n ta cã: a an+4- an ⋮ 10
b 10n+18n-28 ⋮ 27
c 9n+1- 8n-9 ⋮ 64
HD: a an+4- an= an(a4-1) =an-1(a5- a)
b 10n+18n-28 =(10n-1)+(18n-27) = 9(10n-1+10n-2+ +10+1) +18n-27
= 9[(9+1)n-1+(9+1)n-2+ +(9+1)+1)]+18n –27
= 9(9k+n) +18n-27 = 81k +27n-27
(6)2 Dạng 2: Chứng minh không chia hết
Ví dụ1: Với số nguyên dơng n, hÃy c/m n2+11n+39 không chia hết cho 49
Giải
C1: Ta cã n2+11n+39 =(n2+11n+18)+21
=(n2+2n+9n+18)+21
=n(n+2)+9(n+2)+21 =(n+9)(n+2)+21 V× (n+9)- (n+2) chia hÕt cho
Do n+9 n+2 chia hết cho có số d chia cho + Nếu n+9, n+2 chia hết cho (n+9)(n+2) ⋮ 49
Mặt khác 21 49 (n+9)(n+2)+21 49
+ Nếu n+9 n+2 không chia hết cho th× (n+9)(n+2)+21 ⋮
⇒ (n+9)(n+2)+21 ⋮ 49 VËy (n+9)(n+2)+21 ⋮ 49
C2: n2+11n+39 = n2+4n+4+7n+35=(n+2)2 +7(n+5)
Ta thÊy r»ng (n+2)2 ⋮ (xÐt c¸c d¹ng cđa n chia cho 7), (n+5) ⋮ 7
⇒ (n+2)2 +7(n+5) ⋮ nªn n2+11n+39 ⋮ 49
VÝ dô2: Chøng minh r»ng A=52n+5n+1 ⋮ 31 víi ∀ n ⋮ 3
Gi¶i
Vì n khơng chia hết cho đặt n = 3k+r (r=1,2) Do A = 52n+5n+1 =25n +5n +1 = 253k+r+53k+r +1
= 25r.253k+5r.53k+1
=25r.1252k+5r.125k+1(v× 253k=(253)k=15625k=1252k)
=25r(31q+1)2k+5r(31q+1)k+1 (v× 125=31q+1)
⇒ A=31q+25r +5r+1
+ Víi r=1
⇒ A=31q+25+5+1=31q+31 ⋮ 31 + Víi r=2
⇒ A=31q+252+52+1=31q+651 ⋮ 31
VËy 52n+5n+1 ⋮ 31 víi mäi n kh«ng chia hÕt cho 3
3 Dạng 3: Tìm điều kiện để có phép chia hết
VÝ dơ1: Tìm số tự nhiên a nhỏ cho số 47n+a.15n chia hÕt cho 1984 víi mäi sè
nguyên dơng lẽ
Gii Vi n l t n=2k+1(k N)
Ta cã 47n+a.15n = 47.2209k+15a.152k
=47(1984+225)k+15a.152k
=1984.A+47.152k+15a.152k
=1984.A+152k(47+15a) ⋮ 1984
⇒ 152k(47+15a) ⋮ 1984 v× 152k ⋮ 1984 ⇒ 47+15a ⋮ 1984
Đặt 47+15a = 1984b(b N) a=132b-3 + 4b −2
15 v× a N ⇒
4b −2
15 =t (t N) ⇒ 4b=15t+2 ⇒ b=4t + 2t
4
Vì b N nên 2- t =4t1(t1 N)
⇒ t=2-4t1 vµ b=-15t1+8
Do a=-1984t1+1055
Do a nªn t1 1055
(7)Vì a Z a nhỏ t1 lín nhÊt ⇒ t1=0 ⇒ a=1055
Ví dụ2:Tìm số cho cộng số với (n2-1)p(n-1)p+1 đợc số chia hết
cho n
Gi¶i
Ta cã (n2-1)p(n-1)p+1 =(n+1)p(n-1)2p+1
áp dụng đẳng thức tổng quát ta có: (n+1)p= kn+1
(n+1)2p+1=ln-1
Do (kn+1)(ln-1) = kln2+ln-kn-1
Gäi số cần tìm a ta có : kln2+ln-kn-1+a ⋮ n
⇔ a-1 ⋮ n ⇒ a=nt+1(t N)
Vậy phải cộng (n2-1)p(n-1)p+1 với số a có dạng nt+1(t N) đợc số chia hết
cho n
Ví dụ3: Hãy tìm số tự nhiên n để tổng 1+2+32+ +n2 không chia hết cho 5
Khi tìm số d phép chia tổng 1+2+3+ +n cho Giải
Ta cã S = 1+2+32+ +n2 = n(n+1)(2n+1)
6 Z
+Nếu n có dạng 5k,5k+2,5k+4 n, n+1, 2n+1 sÏ cã mét sè chia hÕt cho vËy n(n+1)(2n+1) = 5k
Mặt khác S nguyên nên n(n+1)(2n+1) = 6q ⇒ S ⋮
VËy S ⋮ ⇔ cã d¹ng 5k+1, 5k+3 + NÕu n =5k+1, n=5k+3 tổng S có dạng
S = 1+2+3+ +n = n(n+1)
Khi n = 5k+1 ta cã S = (5k+1)(5k+2)
2 =
5k(5k+3)
2 +1
VËy tæng 1+2+ +n chia cho d
Ví dụ4: Với giá trị nguyên dơng n P=(n+5)(n+6) chia hết cho 6n Gi¶i
Ta cã (n+5)(n+6) = n2+11n+30 =12n+(n2- n+30)
P ⋮ 6n ⇔ n2- n+30 ⋮ 6n n2- n n nên 30 n
Mặt khác ta có 30 nên n2- n ⋮ 6 tøc lµ n(n-1) ⋮ 3
Tích n(n-1) số chẵn nên chia hết cho n=3k n=3k+1
Tóm lại n phải thoả mÃn điều kiện vừa ớc của 30 vừa bội vừa ớc 30 vừa bội cộng thêm
⇒ n=1,3,10,30
Ví dụ5: Tìm số ngun dơng n để a N= 2n+1 chia hết cho 3
b N = 2n-1 chia hÕt cho 7
Gi¶i
a Ta cã N=(3-1)n+1 = 3n-n.3n-1+(n-1)3n-2+ +(-1)n+1
Nếu n lẽ (-1)n=-1 Vậy điều kiện cần đủ để 2n+1 chia hết cho n lẽ
b.N=2n-1 chia hÕt cho n=3k
ThËt vËy, n=3k+1 2n-1 =2(8k-1) +1 không chai hết cho 7
NÕu n =3k+2 th× 2n-1 =4(8k-1)+2 kh«ng chia hÕt cho 7
VÝ dơ6: Chøng minh r»ng: 1n+2n+3n+4n chia hÕt cho vµ chØ n không chia hết
cho n số nguyên dơng Giải:
C1: Nhận xét sè: 14=1=5.0+1; 24=16=5.3+1;34=81=5.16+1;44=256=5.51+1;
đều có dạng 5k+1, a số 1,2,3,4 a4m có dạng 5k+1
(8)Vì số nguyên dơng biểu diển đợc dới dạng 4m+r Trong m số tự nhiên, r số 0,1,2,3
Khi
S = 1n+2n+3n+4n =1+24m+r+34m+r+44m+r =1+24m.2r+34m.3r+44m.4r
= + (5k1+1).2r+(5k2+1).3r+(5k3+1).4r
= 5q+R VËy S ⋮ ⇔ R ⋮
C2: áp dụng đẳng thức an+bn với n=2k+1
n không chia hết cho n lẽ n =2k+1
n không chia hết cho n ch¼n 4=4k+2 = 2(2k+1)
C3: Sử dụng định lớ Fecma
Bài tập
Câu1: Chứng minh m2+4m-5 chia hÕt cho víi m lµ sè tù nhiên lẽ.
Câu2: Với số nguyên dơng n , h·y c/m n2+n+2 kh«ng chia hÕt cho 15
Câu3: a,b,c ba số ngun có tính chẵn lẽ Chứng minh số hiệu lập ph-ơng tổng ba số với tổng lập phph-ơng chỳng thỡ chia ht cho 24
Câu4: Tìm số nguyªn k cho 36n-1- k.33n-2+1 chia hÕt cho với n nguyên dơng.
Câu5: Chứng minh (a+4 - 3b)4(3a-5b-1)4 16 với số nguyên dơng a,b
Hớng dẫn: Câu1: (2 điểm)
Ta cã m2+4m-5 = (m2-1)+(4m-4)
=(m-1)(m+1)+4(m-1) =(m-1)(m+5)
Vì m lẽ nên đặt m=2k+1(k N)
⇒ m2+4m-5 = (2k+1-1)(2k+1+5) =2k(2k+6)=4k(k+3)=4k(k+1+2)
=4k(k+1)+8k
NhËn thÊy 4k(k+1) ⋮ vµ 8k nên m2+4m-5 8(đpcm)
Câu2:(2 ®iĨm)
Ta cã n2+n+2 kh«ng chia hÕt cho v×:
NÕu n =3k (k N*) ⇒ n2+n+2=9k2+3k+2 ⋮ 3
NÕu n = 3k+1 ⇒ n2+n+2=9k2+9k+4 ⋮ 3
NÕu n = 3k+2 ⇒ n2+n+2=9k2+15k+8 ⋮ 3
Nh với ∀ n Z+ ta có n2+n+2 ⋮ 3 n2+n+2 15 (pcm)
Câu3(2 điểm)
Ta ph¶i c/m (a+b+c)3- (a3+b3+c3) ⋮ 24
Ta cã (a+b+c)3- (a3+b3+c3)=3(a+b)(a+c)(b+c) a,b,c có tính chẵn lẽ nên
a+b,a+c,b+c số chẳn
⇒ (a+b)(a+c)(b+c) Vậy 3(a+b)(a+c)(b+c)
Câu4(2 điểm)
Ta cã 36n-1-k.33n-2+1 ⋮ 7 ⇔ 9(36n-1-k.33n-2+1) ⋮ 7 (v× (9,7)=1) ⇔ 36n+1-k.33n+9 ⋮ 7
V× 3n 3(mod7) ⇒ 36n+1+9 5(mod7)
Từ n chẳn k 5(mod7) Nếu n lẽ k -5(mod7)
Tøc lµ k ± 5(mod7) Hay k=7k 5(k Z+)
Câu5:(2điểm)
A=(4+a-3b)4(3a-5b-1)4 ⋮ 16 ∀ a,b Z+
Xét trờng hợp sau:(bằng cách đặt số dang 2k,2k+1) (1) a,b, chẵn
(9)(3) a lÏ,b ch½n (4) a ,b lÏ
Cả trờng hợp ta có A ⋮ 16
VËy A=(4+a-3b)4(3a-5b-1)4 ⋮ 16 ∀ a,b Z+
Bµi tËp vËn dơng: Bµi1: Chøng minh r»ng:
A=(23n+1+2n)(n5-n) ⋮ 30 ∀ n N