véc tơ trong không gian gv lª thþ thanh tr­êng thpt §«ng s¬n 1 mét sè bµi to¸n vò vðc t¬ trong kh«ng gian bµi 1 cho tam gi¸c abc vµ mét ®ióm m bêt kú trong kh«ng gian a chøng minh ma2mb2mc2 3mg2g

- Phân tích một vectơ thành tổ hợp vectơ, thường thì nên tiến hành theo cách chọn 3 vec tơ không đồng phẳng rồi phân tích các véctơ cần sử dụng theo 3 vectơ này.. Bài 1: Cho hình chóp S[r]

Một số toán véc tơ không gian Bài 1: Cho tam giác ABC điểm M không gian

a) Chøng minh MA2+MB2+MC2= 3MG2+GA2+GB2+GC2

b) T×m quỹ tích điểm M cho : MA2+MB2+MC2= k2

Bµi : Cho tø diƯn ABCD Gäi G trọng tâm tam giác BCD O trung điểm đoạn AG a)Chứng minh OA+OB+OC+OD=O

b)Chøng minh r»ng víi mét ®iĨm M bÊt kú ta lu«n cã :3MA2+MB2+MC2+MD2 =6MO2+3OA2+OB2+OC2+OD2

c)Tìm quỹ tích điểm M cho 3MA2+MB2+MC2+MD2 = k2 k2 số không đổi

Bài : Cho hai véc tơ ⃗AB=⃗u ⃗CD=⃗v gọi C’ , D’ hai điểm thuộc đờng thẳng AB cho CC’AB DD’ AB .Véc tơ ⃗C ' D '=⃗v ' gọi hình chiếu véc tơ ⃗v đờng thẳng AB Chứng minh :

⃗

u ⃗v=⃗u ⃗v '

Bµi : Chøng minh r»ng hai tø diƯn ABCD ABCDcó trọng tâm AA '+BB'+CC'+DD '=O

Bài : Cho hình hộp ABCDABCD Hai điểm M, N lần lợt trung điểm CD DD ; G G lần lợt là trọng tâm tứ diện ADMN BCCD Chøng minh r»ng GG”// (ABB’A’)

Bµi 6: Cho hình hộp lập phơng ABCDABCD Hai điểm M, N lần lợt trung điểm BC CD cho B’M = CN Chøng minh AM BN

Bài 7: Cho tứ diện ABCD , P, Q lần lợt trung điểm AB CD Điểm M, N, lần lợt chia hai đoạn thẳng BC AD theo tỉ số k Chứng minh bốn điểm P, Q, M, N nằm mặt phẳng HD: Chứng minh véc tơ đồng phẳng

Bµi 8: Chøng minh r»ng G lµ trọng tâm hình tứ diện ABCD thoả mÃn hai điều kiện sau :

a/ ⃗GA+⃗GB+⃗GC+⃗GD=⃗O

b/ Víi mäi ®iĨm O ta lu«n cã : ⃗OG=⃗OA +⃗OB+⃗OC+⃗OD

Bài 9 : Chứng minh hình tứ diện có hai cặp cạnh đối vng góc cặp cạnh thứ ba vng góc

Bµi 10 : Cho hình lập phơng ABCDABCD Gọi M, N, lần lợt trung điểm cạnh AD, BB a) Chøng minh r»ng MN A’C

b) Tìm góc hợp hai đờng thẳng MN AC’

Bài 11: Cho tứ diện OABC M, N, P thỏa mãn: OM OA tOB  2OC;

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

( 1)

ON  t  OA   OB OC

   

   

   

   

   

   

   

   

; OP  (t 2)OB2OC

⃗ ⃗ ⃗

; t  R

a) Tìm t để O, M, N, P đồng phẳng

b) Cho t = 0, biểu diễn v 5OA10OB 15OC

⃗

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

     

theo OM,ON OP,

⃗ ⃗ ⃗

Bài 12: CMR ba vectơ x y z, ,

⃗                           

xác định x a b y c a z  ;   ; 2a b c 

⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗

⃗ ⃗ ⃗ ⃗

đồng phẳng Bài 13: Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’ Các điểm M, N thuộc AD, BB’ cho

AM = BN Chứng minh MN AB B D, , '

                                         

đồng phẳng

Bài 14: Cho hình hộp ABCDA1B1C1D1, điểm M, N, P trung điểm AD, BB1 C1D1 Chứng minh

rằng C1D // (MNP)

Bài 15: Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’ Mp () qua A trọng tâm P, Q mặt A’B’C’D’ BB’C’C chia cạnh B’C’ theo tỉ số ?

Bài 16: Cho hình hộp ABCDA1B1C1D1

a) CMR: A, C1, trọng tâm G BDA1 thẳng hàng b) Tính tỉ số GA/GC1

Bài 17: CMR DABC góc tam diện vng đỉnh D D, trọng tâm G ABC tâm O mặt cầu ngoại tiếp tam diện thẳng hàng Tìm tỉ số GO/GD

Bài 18: Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’ cạnh a Gọi P, Q điểm xác định bởi

' ; ' '

AP D A C Q C D

⃗ ⃗ ⃗ ⃗

, M trung điểm BB’ CMR: P, Q, M thẳng hàng

Dạng toán 1: Biểu diễn véctơ

- Phân tích vectơ thành tổ hợp vectơ, thường nên tiến hành theo cách chọn vec tơ không đồng phẳng phân tích véctơ cần sử dụng theo vectơ

Bài 1: Cho hình chóp SABC, đáy ABC có trọng tâm G a) Hãy phân tích SA



theo SB SG BC, , ⃗ ⃗ ⃗

b) Đặt DA i DB , j DC, k

⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗

, biểu diễn GA GB GC, ,   

                                      

theo i j k, , ⃗ ⃗ ⃗

Bài 2: Cho tam diện vuông OABC đỉnh O, OA = OB = OC Điểm M thỏa mãn OM OA ⃗

, nửa đường thẳng OM tạo với OC góc 450 tạo với hai tia OA, OB hai góc nhọn

Phân tích OM ⃗

theo OA,OB OC, ⃗ ⃗ ⃗

Dạng toán 2: Chứng minh ba điểm thẳng hàng

Phương pháp: Để chứng minh A, B, C thẳng hàng ta chứng minh theo hai cách

- Chứng minh AB AC,                            

phương tức AB k AC

⃗ ⃗

- Chọn điểm O thích hợp chứng minh OC kOA mOB

⃗ ⃗ ⃗

với k + m = Bài 3: Cho hình hộp ABCDA1B1C1D1

c) CMR: A, C1, trọng tâm G BDA1 thẳng hàng

d) Tính tỉ số GA/GC1

Bài 4: CMR DABC góc tam diện vng đỉnh D D, trọng tâm G ABC tâm O mặt cầu ngoại tiếp tam diện thẳng hàng Tìm tỉ số GO/GD

Bài 5: Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’ cạnh a Gọi P, Q điểm xác định bởi

' ; ' '

AP D A C Q C D

⃗ ⃗ ⃗ ⃗

, M trung điểm BB’ CMR: P, Q, M thẳng hàng

Dạng toán 3: Chứng minh vng góc, tìm điều kiện vng góc

Phương pháp :

 Sử dụng tính chất AB  CD  AB CD  ⃗ ⃗

 Đường thẳng  vng góc với (P)  a u a v  0

⃗ ⃗ ⃗ ⃗

; a ⃗

véctơ phương , ,

u v⃗ ⃗ cặp véctơ phương (P)

Bài 6: Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’ Gọi M, N điểm thuộc AD, BB’ cho AM = BN I, J trung điểm AB, C’D’ Chứng minh IJ  MN

Bài 7: Cho hình chóp SABC, đáy ABC cân đỉnh A, D trungđiểm BC, vẽ DE  AB (E  AB), biết SE  (ABC) Gọi M trung điểm DE Chứng minh AM  (SEC)

Bài 8: Cho hình chóp SABC, SA  (ABC), SA = a 3, AC = 2a, AB = a, ABC 900 M I hai điểm cho: 3MB MS 0;4IS 3 IC 0

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

Chứng minh: SC  (AMI)

Bài 9: Cho hình chóp SABC có SA = SB = SC, AB = AC SO  (ABC), D trung điểm AB, E trọng tâm ACD Chứng minh CD  (SOE)

Dạng toán 4: Sự đồng phẳng ba véctơ

Đ/n: Ba véctơ gọi đồng phẳng đường thẳng chứa chúng song song với

mặt phẳng. Nhận xét:

 Dựng OA a OB b OC c ;  ; 

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

, véctơ , ,

a b c⃗ ⃗ ⃗ đồng phẳng  O, A, B, C đồng phẳng.

a⃗ b⃗

c⃗

 Để chứng minh  // (P) ta chứng minh véctơ , ,

a b c

⃗ ⃗ ⃗

đồng phẳng với a ⃗

  b c, ⃗ ⃗

 (P) Định lí 1 : Cho ba véctơ a b c, ,

⃗ ⃗ ⃗

, a b; ⃗ ⃗

không phương Khi a b c, ,

⃗ ⃗ ⃗

đồng phẳng   k, m  R cho

c ka mb⃗ ⃗ ⃗.

Định lí 2: Nếu ba véctơ a b c, , ⃗ ⃗ ⃗

khơng đồng phẳng, với véctơ x ⃗

ln  ! số k, m, n cho ⃗x ka mb nc ⃗ ⃗ ⃗.

Bài 10: Cho tứ diện OABC M, N, P thỏa mãn: OM OA tOB  2OC;

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

( 1)

ON  t  OA   OB OC

   

   

   

   

   

   

   

   

; OP  (t 2)OB2OC

⃗ ⃗ ⃗

; t  R

c) Tìm t để O, M, N, P đồng phẳng

d) Cho t = 0, biểu diễn v⃗ 5OA  10  OB 15OC theo OM,ON OP, ⃗ ⃗ ⃗

Bài 11: CMR ba vectơ x y z, , ⃗ ⃗ ⃗

xác định x a b y c a z  ;   ;  2a b c 

⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗

⃗ ⃗ ⃗ ⃗

đồng phẳng Bài 12: Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’ Các điểm M, N thuộc AD, BB’ cho AM = BN Chứng minh MN AB B D, , '

⃗ ⃗ ⃗

đồng phẳng

Bài 13: Cho hình hộp ABCDA1B1C1D1, điểm M, N, P trung điểm AD, BB1

C1D1 Chứng minh C1D // (MNP)

Bài 14: Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’ Mp () qua A trọng tâm P, Q mặt A’B’C’D’ BB’C’C chia cạnh B’C’ theo tỉ số ?

Dạng tốn 5: Khoảng cách – Góc

Bài 15: Đáy hình chóp S ABC  ABC cạnh 1, SA  (ABC), SA = Mp () song2 với SB, AC Mp() song2 với SC, AB Tính cosin góc  .

Bài 16: Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’, cạnh đáy dài a Các đỉnh M, N tứ diện MNPQ nằm BC1, đỉnh P, Q nằm A1C Tìm

a) Đường cao lăng trụ

b) Khoảng cách trung điểm MN PQ

Bài 17: H.chóp DABC, ACD cạnh 3 2, ABC vuông cân C, BD = Tính thể tích Bài 18: Tứ diện SABC cạnh 1, BD đường cao ABC, BDE nằm mp tạo với cạnh AC góc , biết S, E nằm phía mp(ABC) Tính SE

Bài tËp:

Bµi 1:Tứ diện ABCD M,N trung điểm AC ,BD CMR:AB CD AD CB   2MN

    

    

    

    

    

    

    

    

    

    

    

    

    

    

Bµi 2: Gọi P,Q trung điểm AC ,BD CMR :AB AD CB CD   4PQ

    

    

    

    

    

    

    

    

    

    

    

    

    

    

Bµi : Hình hộp ABCD A’B’C’D’ K giao điểm AC’ (BDA’).CMR:

) '

) ' '

)

a KA KB KD

b AC A C AC

c CM tinh chat tam

  

 

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

⃗ ⃗ ⃗

d)Hình hộp hình hộp chữ nhật  ABAD AA ' AB AD AA  '

⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗

Bµi :Cho hình chóp S.ABCD đáy hình bình hành Tìm O :OS OA OB OC OD    0

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

a⃗

b⃗ c⃗

 A O

Bài 5: Cho tứ diện ABCD mặt phẳng (P),tìm M mặt phẳng (P) để: MA MB MC MD  

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

nhá

Bài : Cho hình lập phơng ABCD.ABCD Gọi M,N trung điểm AD BB.CMR:

MN AC                            

Bµi 7: Cho u v: ;

⃗ ⃗

khơng phơng có độ dài 1,cmr:a ⃗

có độ dài đồng phẳng với u v;

⃗ ⃗

th× :b   u a v  v a u

⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗

có độ dài khơng đổi.(đề 65)

Bµi 8: Cho:A’,B’,C’ lµ trung điểm cạnh BC, CA ,AB cua tam giác ABC TÝnh:

' ' '

BC AA CA BB AB CC ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗

(đề 104)

Bµi 9: Tø diện ABCD Gọi A,B,C,D điểm chia đoạn th¼ng : AB,BC,CD,DA theo

tØ sè k, tøc lµ:

' ' ' '

' ' ' '

A A B B C C D D

k A B B C C D D A 

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

⃗ ⃗ ⃗ ⃗

a)CMR OA OB OC OD OA:     'OB'OD'OC' ; O

⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗

b)Tìm k để A’,B’,C’,D’ đồng phẳng (đề 111)

Bài 10: Cho hình lập phơng ABCD.A’B’C’D’ cạnh a.Gọi P,Q điểm xác định bởi:

' ; ' '

AP AD C QC D

⃗ ⃗ ⃗ ⃗

a)Chứng minh đờng thẳng PQ qua trung điểm M BB’ b)Tính độ dài PQ.( 114)

Bài 11: Trên cạnh AB,BC,CD,DA tứ diện ABCD ,lấy điểm theo thứ tự:A,B,C,D

Biết không gian tồn điểm O: OA OB OC OD OA OB    ' 'OD'OC'

⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗

CMR:

' ' ' '

' ' ' '

AA BB CC DD

A B B C C D D A

⃗ ⃗ ⃗ ⃗

⃗ ⃗ ⃗ ⃗

(§Ị 115)

Bài 12: Cho hình hộp xiên ABCD.ABCD.Gọi G trọng tâm tam giác ABC.

a)CMR BD: ' BG

⃗ ⃗

(§Ị 120)

b)Gọi P,Q,R đối xứng D’ qua A, B’, C CMR: B trọng tâm tứ diện PQRD’

Bài 13: Cho hình hộp ABCD.ABCD ,gọi P,R trung ®iĨm AB, A’D’, gäi P’ , Q, Q’, R’ lµ

giao điểm đờng chéo mặt ABCD, CDD’C’, A’B’C’D’, ADD’A’ a)CMR :PP'QQ'RR' 0.

⃗

b)CMR tam giác PQR PQR có trọng tâm.(Đề 121)

Bài 14: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.ABCD Đặt:B A' 'a B B b B C; '  ; ' 'c

⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗

.Gäi M lµ điểm chia đoạn thẳng AC theo tỉ số m, N điểm chia đoạn thẳng CD theo tỉ số n, tøc lµ:

,

' '

MA NC

m n

MC  ND 

a)Biểu thị véc t¬ B M B N theo a b c' , ' , ,

⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗

m,n b)Tìm m,n để đ/t MN //B’D

c)Tính độ dài MN (Đề 123)

C¸c toán không gian chuyển véc tơ

Bi : Chóp SABC đáy ABC vng C , CA=a , CB=b,h=SA(ABC) D trung điểm AB

Tính góc khoảng cách

AC SD ( chän c¬ së : SA,CA, CB)

Bài 2: Chóp ABCD vuông B: AB=1 , CD=2 2,BD=BC M,N trung điểm BC, CD Tính

góc khoảng cách AM,BN

Bi : Chúp SABCD đáy ABCD nửa lục giác đều; AB=BC= CD =a.a 3SA(BCD)

a) Xác định MB SB để góc AMD vng.

d) Tính k/c từ A,D đến (SBC) Từ AB đến (SCD)

Bài 4: Tứ diện ABCD có góc BAC góc BDC vng cịn góc ABC DCB 60 độ

AB=DC=a

a)Tính độ dài AD theo a (ABC)vng góc (BDC)

b)Tính AD (ABC) tạo với (BDC) góc 60 độ.(cơ sở:AE,BC,DF ; E,F hình chiếu A,D BC)

Bài 5: Tam giác ABC cân đỉnh A đờng cao AH ,D hình chiếu H AC,M trung điểm

HD.CMR: AM vu«ng gãc víi HD

(chän H(0;0) ,A(0;a) ,B(-b;0),C(b;0), D(x;y) xét tích vô hớng véc tơ AM vµ BD )

Bài 6: CM đờng thẳng ơle:Gọi K,M hình chiếu H O BC

( chän : K(0;0) , B(b;0) , C(c;0) ,A(0;a) , H(0;-bc/a)ta cã vÐc t¬ GH=-2GO)

Bài 7: (GTVT-A-2001)Tam giác ABC vuông cân đỉnh A.AB=AC=a, M trung im BC Trờn

các nửa đt AA MM vuông góc (ABC) phía lấy N,I :2MI=AN=a.Gọi H hình chiếu A NB.CMR: AH vuông góc NI

-Chọn sở :AB,AC,AN xét TVH véc tơ AH NI -Chọn A0;0;0) ,B(a;0;0) C(0;a;0) ,N(0;0;a)

Bài 8: (ĐH-CĐ-B-2002) Hình lập phơng ABCD.ABCD cạnh a.

a)Tính khoảng cách AB BD

b)Gọi M,N,P trung điểm BB, CD , AD Tính góc khoảng cách MP vµC’N c)TÝnh thĨ tÝch tø diƯn APBD’ víi P trung điểm BC

d)Tỡm im E BB’ để mf(AEC’) cắt hình lập phơng theo thiết diện có diện tích nhỏ

- Chọn sở:gốc A biểu diển véc t¬ BA’,B’D,IG qua c¬ së

Bài 9: Chóp S.ABCD đáy nửa lục giác AB=BC=CD=a, cạnh bên SA=a vng góc với

đáy.Dựng đờng vng góc chung BD SC, xác định vị trí chân đờng vng góc SC BD.Tính độ dài đờng vuụng gúc chung

Bài 10: (BCVT-A_1998) Cho hình lập phơng ABCD.ABCD cạnh a.

a)Tính góc ,khoảng cách AA BD b) CMR BD vuông góc mf(DA’C’)

Bài 11:(ĐHVinh-D-2001)Cho hình lập phơng ABCD.A’B’C’D’ cạnh a M,N chuyn ng trờn

2 đoạn thẳng BD vµ B’A cho BM=B’N=t Gäi α vµ β lµ góc tạo MN với BD BA

a) Tính độ dài MN theo a t Tìm t để MN nhỏ nhất.

b) Khi MN nhá nhÊt tÝnh : ,

c) Trong trêng hỵp tỉng qu¸t :CMR:

2

2

coscos

Bài 12: Hình hộp chữ nhËt ABCD.A’B’C’D’ AB=a , AD=b , AA’=c.

a) Tính góc, khoảng cách DA BD

b)Tính góc BD mf(MNP) với M,N,P trung điểm BB, CD DA

Bài 13: Hình lập phơng ABCD,ABCD.

a) G trọng tâm tam giác ABD CMR G nằm AC, AG vu«ng gãc mf(A’BD) TÝnh AG

b) I , K trung điểm AD vàBC , mf(P) qua IK cắt AA E cắt CD F , CMR:AE=DF è vuông góc với IK trung ®iĨm O cđa EF

c)M , N di động trênAD’ DB cho AM=DN=x + Tìm x để MN ngắn , lớn

+CMR : MN song song (A’D’CB)

+ CMR MN ngắn MN song song AC +Tìm tập hợp trung điểm cđa MN

Bài 14: Chóp S.ABCD đáy ABCD hình vng cạnh a.E,F hình chiếu S AB CD.

I trung điểm AB.Mặt bên (SAB) Là tam giác vng góc với đáy

a)CMR : (SEF) vu«ng gãc víi ( ABCD)

Bài 15: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có a=AA’ vng góc (ABC), đáy ABC tam giác vuông

A cã BC=2a AB=a

a)Tính khoảng cách từ AA’ đến (BCC’B’) b)Tính khoảng cách từ A đến (A’BC)

c)CMR AB vng góc với (ACC’A’) tính khoảng cách từ A’ đến (ABC’)

Bài 16: Chóp tứ giác S.ABCD cạnh bên tạo với đáy góc 60 độ , cạnh đáy a.

a) TÝnh thĨ tÝch h×nh chãp

b) Qua A dùng mf(P) vu«ng gãc víi SC , tÝnh diƯn tÝch thiÕt diƯn t¹o bëi (P) víi h×nh chãp

Bài 17: Cho tứ diện SABC cạnh a Dựng đờng cao SH.

a)CMR : SA vu«ng gãc BC

b)Tính thể tích diện tích toàn phần h×nh chãp

c)Gọi O trung điểm SH , CMR : OA,OB;OC đơi vng góc

Bài 18: Chóp S.ABCD đáy hình thang vng A D, với AD=DC=a vàAB=2a.Đờng cao

SAa

a) TÝnh sè ®o gãc nhị diện (S;BC;A) (A,SB,C) b) Tính góc cđa mf(SBC) vµ (SCD)

Bài 19: Chóp S.ABCD đáy hình vng cạng a.SA vng với đáy Tính độ dài SA biết nhị

diƯn (B,SC,D) lµ 1200.

Bài 20 : Chóp SABCD đáy hình vng cạnh a.SA =a vng góc đáy

a)Tính k/c từ A đến (SBC) b)Tính k/c từ tâm O đến (SBC)

c)Tính k/c từ trọng tâm G tam giác SAB đến (SAC)

Bài 21: Hình thoi tâm O cạnh a AC=a.Từ trung điểm H AB dựng SH vng góc đáy

SH=a

a)Tính k/c từ O đến (SCD) từ A đến (SBC)

b) M ,N trung điểm CD SA tính k/c MN vµ SO; gãc MN vµ (SBD)

Bài 22: Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có cạnh a

a)TÝnh gãc cña (ABC’) vµ(BCA’)

b)Lấy E,F thuộc BC’ CA’ cho EE//(ABB’A’), tìm GTNN độ dài EF

Bài 23: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.ABCD có AB=a, AD=2a ,AA’=a ,

a) TÝnh k/c AD’ vµ CB’

b)Gọi M chia đoạn AD theo tỉ số AM/MD=3.Tính k/c từ M đến (ACB’) c) Tính thể tích AB’D’C

Bµi 24: Cho tø diƯn ABCD cã AD vu«ng víi (ABC), AC=AD=4, AB=3 , BC=5 TÝnh k/c tõ a

đến (BCD)

Bài 25: Chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a.SA vuông với đáy Gọi M, N thuộc

BC, DC cho BM=a/2; DN=3a/4 Cmr (SAM) vu«ng góc (SMN)

Bài 26: Cho hình lập phơng ABCD.ABCD cạnh a M,N trung điểm BC , DD Cmr MN//

(A’BD) vµ tÝnh k/c BD vµ MN

Bài 27: Tam giác ABC cạnh a Trên đ/t vng góc (ABC) phía B C

lÊy D vµ E :

3

;

2

a

BD CE a

a) Tính độ dài AD,AE ,DE.Xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp ABCE

b) M lµ giao ED BC ;cmr AM vuông góc (ACE) tÝnh gãc (ADE) vµ (ABC)

Bài 28: Cho góc tam diện vuông OABC; OA=a; OB=a ;OC=c (a,c>0), gọi D đỉnh đối

diƯn víi O cđa h×nh ch÷ nhËt AOBD

Và M trung điểm BC , (P) mf qua A,M cắt (OCD) theo đ/t vng góc với AM a)Gọi E giao (P) với OC , tính độ dài OE