Đang tải... (xem toàn văn)
[r]
(1)Sở gd & ĐT hoá
Trêng thpt triƯu s¬n ======***=====
đáp án – thang điểm
đề thi tuyển sinh vào 10 - thpt chun lam sơn mơn: tốn chun
(2)Bài 1 2 điểm
Ta có
1+32 ¿ ¿
2+√3=4+2√3
2 =¿
Do
1+√3¿2/2
¿ ¿
2+√3
√2+√2+√3=¿ (1)
T¬ng tù 2−√3
√2−√2−√3=
√3−1
√6 (2) Tõ (1) vµ (2) suy 2+√3
√2+√2+√3+
2−√3
√2−√2−√3=√2 Vì
5<2< 29
20 suy đpcm
Câu 2( 1điểm)
ĐK : x
Ta cã
2+√3¿2 ¿
− x
¿
2+√5¿2 ¿
+√x
¿ ¿
9−4√5 √4¿ ¿
3
√2−√3.√6¿ ¿
A=√x+
3
√2−√3 √67+4√3− x
4
√9−4√5 2+5+x=x+
0,5 0,5 0,5 0,5 Bài 2 2 điểm
Dễ dàng chứng minh đợc :
NÕu a + b + c = th× a3 + b3 + c3 = 3abc.
áp dụng : Đặt a=(y − z)√31− x3, b=(z − x)√31− y3, c=(x − y)√3 1− z3 Khi a + b + c = nên a3 + b3 + c3 = 3abc hay:
x − y¿3(1− z3)
¿
z − x¿3(1− y3)+¿
y − z¿3(1− x3)+¿ ¿
¿
Biến đổi VT đẳng thức , ta đợc VT=3(1−xyz)(x − y)(y − z)(z − x)
Vì x,y,z đơi khác nên suy 1−xyz=√3(1− x3)(1− y3)(1− z3)
0,5
(3)Do 1−xyz¿
(1− x3)(1− y3)(1− z3)=¿
(4)Bµi 3 2 ®iĨm
Điều kiện để phơng trình có nghiệm = -3m2 + 4m + −2
3 ≤ m≤2 Theo định lý Viét, ta có
¿
x1+x2=4−m
x1x2=m2−3m+3
¿{
¿
Do x12+ x22 = (x1+ x2)2- 2x1x2 = - m2- 2m + = m = -1 √5
Đối chiếu điều kiện ta đuợc m = -1 + 5
Câu 2( 1điểm)
Với điều kiện 2
3 ≤ m<2 vµ m ta cã: mx12
1− x1+
mx22 1− x2=
m[x12(1− x2)+x12(1− x1)]
(1− x1)(1− x2)
=m[x1
2
+x22− x1x2(x1+x2)] 1+x1x2−(x1+x2)
m2−6m+1
Do , đặt
F=mx1
1− x1+
mx2
1− x2+8 th× F = ( m – )
2
Suy
−2
3−3¿
2 =121
9 2−3¿2<F ≤¿
1=¿
Đpcm 0,5 0,5 0,5 0,5 Bài 4 2 ®iĨm
§K : - x y x, x
HÖ PT
√x+y+√x − y=4 x − y¿2=128
¿
⇔
¿
¿√x+y+√x − y=4
¿
x − y¿2=256
¿ ¿
x+y¿2+1
2¿ 2¿
Đặt
u=x+y v=x y
{
¿
( u, v 0) Ta đợc
¿
u+v=4
u4+v4=256 ⇔
¿u+v=4
uv(uv−32)=0
(5)
⇔
¿u+v=4
uv=32 (VN)
¿ ¿
u+v=4
¿
uv=0
¿
⇔
¿ ¿ ¿
u=4
¿
v=0
¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿
VËy hƯ cã hai nghiƯm ( 8; 8) vµ ( 8; -8)
(6)Bài 5 2 điểm
§K : x 0, x Ta cã
x+1¿2+x2
¿
x+1¿2 ¿
−15=0
¿
x+1¿2 ¿
x+1¿2 ¿
x2
¿
x2¿ ¿
1
x+1¿
2
=15⇔¿
1 x¿ +¿ ¿ ¿
Đặt y=
x(x+1) Ta c y2
+2y −15=0⇔ y=3
¿
y=−5
¿ ¿
Vậy phơng trình có nghiệm −3±√21
6 ∨
−5±3√5 10
C©u 2( 1điểm)
ĐK: x
x 11=0
¿
√x −2−√x+3=0
¿
⇔x=2
¿ ¿
¿ √
x2−3x+2+√x+3=√x −2+√x2+2x −3 ⇔√x −1√x −2+√x+3=√x −2+√x −1√x+3
⇔(√x −1−1)(√x −2−√x −3)=0⇔
¿
Vậy phơng trình có nghiệm x =
0,5 0,5 0,5 0,5 Bài 6 2 điểm Câu1(1điểm)
Vẽ (P) ( học sinh tự vẽ)
Phơng trình đờng thẳng (d): y = mx –
Phơng trình hồnh độ giao điểm (P) (d): −x
2
4 =mx−2⇔x
(7)Vì '=4m2+8>0,mR nên phơng trình có hai nghiƯm ph©n biƯt
Do (d) ln cắt (P) hai điểm phân biệt A B
Câu 2( 1điểm)
Giả sử A(xA;yA) , B( xB;yB) xA xB là hai nghiệm phơng trình x2 + 4mx – = vµ
¿
yA=mxA−2
yB=mxB−2
¿{
¿
Khi
yB− yA¿
2
¿
xA+xB¿
2
−4xAxB
¿(1+m2)
¿ ¿
xB− xA¿
2
+¿ ¿ ¿
AB=√¿
VËy AB = 4√2⇔m=0
0,5
0,5 0,5
(8)2 điểm nên (x + y) (y + z)(z + x) = Đặt c = x + y, a = y + z , b = z + x abc = a,b,c { 1, 2, 4, 8 }
Giả sử x y z c b a Ta cã a + b + c = ( x + y + z ) = nªn a
a) Víi a = ta cã
¿
b+c=4 bc=4
⇒b=c=2⇒x=y=z=1
¿{
¿
b) Víi a = ta cã
¿
b+c=2 bc=2
¿{
Không có nghiệm nguyên
c) Víi a = ta cã
¿
b+c=−2 bc=1
⇒b=c=−1⇒x=−5, y=z=4
¿{
¿
VËy hÖ cã nghiÖm (1 ;1 ;1) ,(4 ;4 ;-5) (4 ;-5 ;4) (-5 ;4 ;4)
0,5 0,5 0,5
0,5
Bài 8 2 điểm
Gọi I trực tâm tam giác ABC Do AFHC ABMC tứ giác nội tiếp nên BCM =BAM=ICH
Suy ICM cân Ta có IH =HM Tơng tự EI = EN , IF = KF Do đó:
(9)
AM AH +
BN BE +
CK CF =3+
HM AH +
NE BE+
KF CF
¿3+IH
AH+ IE BE+
IF CF=3+
SΔBIC SΔABC+
SΔCIA SΔABC+
SΔAIB SΔABC=4
(10)2 điểm
Đặt MA1 = x, MB1 = y , MC1 = z , ta cã ax + by + cz = 2SABC V×
(a x+
b y+
c
z)(ax+by+cz)=a
2+b2
+c2+ab(x y+
y x)+bc(
y z+
z y)+ca(
z x+
x z) a+b+c¿2
¿ ¿ ¿
a+b+c¿2⇒P ≥¿
a2+b2+c2+2 ab+2 bc+2ca=¿
Dấu đạt đợc x = y = z Khi M trùng với tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC
0,5 0,5 0,5 0,5
Bài 10
2 điểm
Phần thuận
Xét hai trờng hợp
Trờng hỵp 1
P giao điểm BC AD Gọi I trung điểm OA , ODM đồng dạng OID ( DOM chung ; OD
OM= OI OD=
1 ) ODM = OID = OCD (1)
Mặt khác OCD =BPD (2)
( cïng b»ng mét nửa tổng số đo hai cung BA AC)
Từ (1) (2) suy BPD = BID Tứ giác BDPI nội tiếp Vậy BIP = 1v Từ P nằm đoạn thẳng I1I2 ( phần đờng trung trực đoạn OA)
0,5
(11)Bài Nội dung điểm
Trờng hợp 2
P giao điểm AC BD , lúc P chạy hai tia I1x I2y ( thuc
đ-ờng trung trực đoạn OA)
Tóm lại : Khi cát tuyến MCD thay đổi P chạy đờng trung trực xy đoạn OA ( trừ điểm I)
Phần đảo
Lấy điểm P đờng xy ( trừ điểm I) PA, PB cắt đờng tròn (O) lần lợt điểm C, D tơng ứng Cần chứng minh M ,C ,D thẳng hàng
ThËt vËy tõ tam gi¸c PBM cân P PMO =PBO =OCP OPCM tứ gi¸c néi tiÕp POM + PCM = 1800 (3)
Lại tam giác POA cân ABCD tứ giác nội tiếp (O) nên POM = PAO =BCD (4) Tõ (3) vµ (4) PCM + BCD = 1800 hay M, C, D thẳng hàng.
Kết luận
Quỹ tích điểm P đờng thẳng xy (từ điểm I)
0,5