BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Trường Đại học Sư phạm Hà Nội CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập – Tự – Hạnh phúc ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN NĂM 2015 Môn thi :TOÁN (Dùng cho thí sinh vào trường chuyên) Thời gian làm 120 phút a b 1 1 b a a b Câu (2.5 điểm) Cho biểu thức P với a > 0, b > a b a b2 a b b2 a b a 1 Chứng minh p ab Giả sử a, b thay đổi cho 4a b ab Tìm P Câu (2 điểm) cho hệ phương trình x my 4m mx y 3m Với m tham số Giải phương trình m = 2 Chứng minh hệ có nghiệm với giá trị m Giả sử (x0, y0) nghiệm của hệ phương trình Chứng minh đẳng thức x02 y02 x0 y0 10 Câu (1.5 điểm) 2 Cho a, b số thực khác Biết phương trình a x a b x b Có nghiệm Chứng minh a b Câu (3 điểm) Cho tam giác ABC có góc ABC góc ACB nhọn góc BAC = 600 Các đường phân giác BB1, CC1 tam giác ABC cắt I Chứng minh tứ giác AB1IC1 nội tiếp Gọi K giao điểm thứ hai khác B đường thẳng BC với đường tròn ngoại tiếp tam giác BC1I Chứng minh tứ giác CKIB1 nội tiếp Chứng minh AK B1C1 Câu (1 điểm) Tìm số thực không âm a b thỏa mãn: 3 1 a b b a 2a 2b 4 2 Hướng dẫn giải Câu (2.5 điểm) a b 1 1 b a a b Cho biểu thức P với a>0 , b>0 a b a b2 a b b2 a b a 2 a b ab a 2ab b a b a 3b ab3 a b 1 1 ab a 2b b a a b a 3b P 4 3 4 3 a b a b a b a b ab a b a b ab ab 2 2 b a b a ab ab Giả sử a, b thay đổi cho 4a b ab Tìm P Áp dụng bât đẳng thức cosi ta có 4a b ab ab 25 ab Dấu xảy b = 4a = 25ab suy = 100b2 suy b a 10 Câu (2 điểm) cho hệ phương trình x my 4m mx y 3m Với m tham số Giải phương trình m = 2 Chứng minh hệ có nghiệm với giá trị m Giả sử (x0,y0) nghiệm của hệ phương trình chứn minh đẳng thức x02 y02 x0 y0 10 1 Thay m = ta có 19 y x y 6 x y 12 5 y 19 2 x y 2 x y 2 x y 2 x 19 19 y x x my 4m x my 4m mx y 3m m(my 4m) y 3m x my 4m 2 m y 2m 4m y 3m 3m 3m x my 4m x x my 4m m2 m m 2 (m 1) y m 4m y y m 4m m 1 m2 Vì m2 +1 khác phương trình có nghiệm với m Chứng minh hệ có nghiệm với giá trị m Giả sử (x0,y0) nghiệm của hệ phương trình chứn minh đẳng thức x02 y02 x0 y0 10 3m 3m x m2 Thay y m 4m m2 2 x02 y02 x0 y0 10 x0 3 y0 x0 y0 15 2 3m 3m 3m 4m m 4m 15 m2 m2 Ta có 3m 3m 3m 12m2 3m m m2 m2 m 1 m 1 3m 3m 3m 12m2 15 m2 m2 x02 y02 x0 y0 10 Cách x02 x0 y02 y0 x0 3 x0 y0 1 y0 3m 3m x m2 Thay ta đươc x02 y02 x0 y0 10 y m 4m m2 Câu (1.5 điểm) 2 Cho a, b số thực khác o Biết phương trình a x a b x b Có nghiệm Chứng minh a b 2 a x a b x b ax 2ax a bx 2bx b3 x a b x a b a b3 Nếu a + b = thi phương trình có nghiệm x = Nếu a + b ta có 2 a b a b a b 2a 2b ab3 a 3b ab a b Nếu a b khác dấu phương trình có nghiệm với m Nếu a b dấu phương trình vô nghiệm Phương trình có nghiêm a b khác dấu suy a b Câu A B1 C1 I B K C Ta có B1 IC1 BIC 120o B1 IC1 BAC 120o 60o 1800 Mà hai góc đối Nên tứ giác AB1IC1 nội tiếp (đpcm) Vì tứ giác BC1IK nội tiếp nên BIC1 BKC1 60o (góc nội tiếp chắn BC1 ) Và BIK BC1 K ( góc nội tiếp chắn BK ) Xét tam giác ABC: KCB1 180o BAC ABC 180o 60o ABC 1200 ABC Xét tam giác BC1K: BIK BC1 K 180o BKC1 ABC 180o 60o ABC 1200 ABC Suy KCB1 BIK Tứ giác CKIB1 nội tiếp (đpcm) Vì BIC1 BAC 60o Tứ giác ACKC1 nội tiếp KAC1 KCC1 (cùng chắn cung KC1) Và AKC1 ACC1 (cùng chắn cung AC1) Mà ACC1 KCC1 (GT) Suy KAC1 AKC1 Tam giác C1AK cân C1 C1A = C1K (1) CMTT: B1A = B1K (2) Từ (1), (2) suy B1C1 đường trung trực AK nên AK B1C1 (đpcm Câu (1 điểm) Tìm số thực không âm a b thỏa mãn 3 1 a b b a 2a 2b 4 2 Áp dụng bất đẳng thức cosi 3 1 1 1 a b b a a b b a a b 4 2 2 1 1 a b 2a 2b 2 2 Dấu xảy a= b = ½ ... 1800 Mà hai góc đối Nên tứ giác AB1IC1 nội tiếp (đpcm) Vì tứ giác BC1IK nội tiếp nên BIC1 BKC1 60o (góc nội tiếp chắn BC1 ) Và BIK BC1 K ( góc nội tiếp chắn BK ) Xét tam giác ABC: KCB1... trình chứn minh đẳng thức x02 y02 x0 y0 10 3m 3m x m2 Thay y m 4m m2 2 x02 y02 x0 y0 10 x0 3 y0 x0 y0 15 2 3m 3m... y02 x0 y0 10 Cách x02 x0 y02 y0 x0 3 x0 y0 1 y0 3m 3m x m2 Thay ta đươc x02 y02 x0 y0 10 y m 4m