Các bài toán về giao điểm của đường thẳng và parabol cấp trung học cơ sở

Các toán giao điểm đường thẳng parabol cấp trung học sở SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI MÃ SKKN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM CÁC BÀI TOÁN VỀ GIAO ĐIỂM CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ PARABOL CẤP TRUNG HỌC CƠ SỞ Lĩnh vực/ Môn : TOÁN Cấp học : TRUNG HỌC CƠ SỞ Người thực : Chức vụ Đơn vị : : Giáo viên NĂM HỌC 2016 - 2017 Các toán giao điểm đường thẳng parabol cấp trung học sở MỤC LỤC Trang ĐẶT VẤN ĐỀ 1.1 Lý chọn đề tài 1.2 Nhiệm vụ mục đích đề tài 1.3 Phạm vi đề tài 2 GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 2.1 Một số kiến thức phương trình bậc hai vấn đề liên quan 2.2.1 Cơng thức nghiệm phương trình bậc hai 2.1.2 Hệ thức Vi-et 2.1.3 Một số toán dấu nghiệm phương trình bậc hai 2.1.4 Qui trình chung để giải toán liên quan đến mối quan hệ hai nghiệm phương trình bậc hai 2.1.5 Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị hai hàm số Các toán giao điểm đường thẳng parabol 3.1 Dạng 1: Tìm tọa độ giao điểm đường thẳng parabol 3.2 Dạng 2: Số giao điểm đường thẳng parabol 3.3 Dạng 3: Đường thẳng cắt parabol thỏa mãn điều kiện tọa độ giao điểm; vị trí giao điểm Bài tập vận dụng 19 KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ 22 TÀI LIỆU THAM KHẢO 23 Các toán giao điểm đường thẳng parabol cấp trung học sở ĐẶT VẤN ĐỀ 1.1 Lý chọn đề tài Nghị Đại hội đại biểu toàn quốc Đảng lần thứ XI khẳng định “Đổi bản, toàn diện giáo dục Việt Nam theo huớng chuẩn hoá, đại hoá, xã hội hóa , dân chủ hóa hội nhập quốc tế giáo dục đào tạo có sứ mệnh nâng cao dân trí, phát triển nguồn nhân lực, bồi dưỡng nhân tài, góp phần quan trọng xây dựng đất nước, xây dựng văn hóa người Việt Nam ” Để đạt mục tiêu đó, ngồi việc thiết kế chương trình giáo dục phổ thơng, đổi chương trình sách giáo khoa, đổi phương pháp dạy học, … việc giúp cho người học có hội học tập hết chương trình phổ thơng, định hướng nghề nghiệp việc làm quan trọng Cấp học trung học sở cấp học quan trọng việc giúp học sinh có hội học tập theo hướng học trung học phổ thông học nghề Từ năm học 2006 – 2007 đến nay, Sở GD&ĐT Hà Nội lựa chọn phương án thi vào lớp 10 theo hướng kết hợp thi tuyển với xét tuyển Đối với phương án kết thi mơn Tốn Văn nhân đơi, đóng vai trò quan trọng việc định tổng điểm học sinh Chính vậy, giáo viên ln trăn trở việc làm để luyện cho học sinh đạt điểm cao thi vào lớp 10 Với vai trị giáo viên dạy mơn Tốn ôn thi cho học sinh cuối cấp, nhận thấy học sinh bỡ ngỡ toán giao điểm đường thẳng parabol Bài tốn khơng quan trọng cấp học trung học sở mà cịn quan trọng học sinh học tốn cấp trung học phổ thơng Chính lí đó, tơi viết sáng kiến, kinh nghiệm “Các tốn giao điểm đường thẳng parabol cấp trung học sở” Các toán giao điểm đường thẳng parabol cấp trung học sở 1.2 Nhiệm vụ mục đích đề tài Trước thực đề tài, học sinh gặp nhiều khó găp câu hỏi từ nhận biết, thông hiểu, vận dụng thấp, vận dụng cao Cụ thể, số liệu khảo sát trước thực đề tài cho 45 học sinh lớp 9G, năm học 2015-2016 Nhận biết Tỉ lệ làm 70% Thông hiểu 65% Vận dụng thấp Vận dụng cao 60% 35% Đề tài “Các toán giao điểm đường thẳng parabol cấp trung học sở” với nhiệm vụ giúp học sinh nắm vững kiến thức, phát triển tư duy, kỹ giải dạng toán giao điểm đường thẳng parabol câu hỏi liên quan Từ đó, em tự tin giải vấn đề liên quan khác Đề tài tài liệu giúp em học sinh lớp ôn thi vào lớp 10, định hướng tư toán giao điểm đường thẳng đường cong cấp trung học phổ thông 1.3 Phạm vi đề tài Đề tài nghiên cứu áp dụng với đối tượng học sinh lớp Đề tài tài liệu tổng hợp, củng cố kiến thức, phát triển tư cho học sinh lớp Các toán giao điểm đường thẳng parabol cấp trung học sở GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 2.1 Một số kiến thức phương trình bậc hai vấn đề liên quan 2.2.1 Cơng thức nghiệm phương trình bậc hai: Cho phương trình ax + bx + c = (a  0) Công thức nghiệm  = b2 − 4ac Công thức nghiệm thu gọn Nếu b=2b’ ta có  ' = b '2 − ac +) Nếu >0, phương trình có hai +) Nếu ’>0, phương trình có hai nghiệm phân biệt: nghiệm phân biệt: x1 = −b +  −b −  ; x2 = 2a 2a x1 = +) Nếu =0, phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 = −b 2a −b '+  ' −b '−  ' ; x2 = a a +) Nếu ’=0, phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 = +) Nếu 0  m  +) y1 + y2 = x1.x2 + 57  x12 + x22 = x1.x2 + 57  ( x1 + x2 ) − 3x1.x2 = 57 (**) Áp dụng hệ thức Vi-et cho pt (*) ta có x1+x2=2(m-3); x1.x2=m2-7 (**)  ( m − 3) − 3(m2 − 7) = 57  m2 − 24m =  m = 0(tmdk )   m = 24(loai ) Vậy m = Ví dụ Cho Parabol (P): y = x đường thẳng (d): y = ( 2m + 1) x − 2m a) Khi m=1 Xác định tọa độ giao điểm (P) (d) b) Tìm m để (P) (d) cắt hai điểm phân biệt P(x1;y1); Q(x2;y2) cho T = y1 + y2 − x1 x2 nhỏ Giải a) Xét phương trình hồnh độ giao điểm (d) (P): x = ( 2m + 1) x − 2m  x − ( 2m + 1) x + 2m = 0(*) (*)  x − ( 2m + 1) x + 2m = Khi m=1 pt  x2 − 3x + = Giải nghiệm x1 = 1; x2 = Vậy toạ độ giao điểm (d) (P) là: A(1;1) B(2;4) 13 Các toán giao điểm đường thẳng parabol cấp trung học sở b) +) (P) (d) cắt hai điểm phân biệt  (*) có hai nghiệm phân biệt   >0  m 0,5 +) Ta có T = y1 + y2 − x1 x2 = x12 + x22 − x1 x2 T = ( x1 + x2 ) − 3x1 x2 Áp dụng hệ thức Viet cho (*)  x1 + x2 = 2m +   x1 x2 = 2m T = ( 2m + 1) − 3.2m 2 1  T = 4m − 2m + =  2m −  + 2  Lập luận dấn n Tmin= ắ m = ẳ Vớ d (Trích Đề thi mơn Tốn vào lớp 10 Hà Nội, năm học 2013-2014) 1 Cho parabol (P): y = x d: y = mx − m2 + m + 2 a) Với m = xác định tọa độ giao điểm A, B d (P) b) Tìm m để d cắt (P) hai điểm phân biệt có hồnh độ x 1; x2 cho x1 − x2 = Giải a) Với m = ta có d: y = x + Xét phương trình hồnh độ giao điểm (d) (P): x = x +  x − x − = (1) 2  1  9 Giải pt (1) ta có x=-1; x= Từ đó tìm A  −1;  ; B  3;  2  2  b) Tìm m để d cắt (P) hai điểm phân biệt có hoành độ x 1; x2 cho x1 − x2 = Xét: x2 − 2mx + m2 − 2m − = (*) *) d cắt (P) hai điểm pt (*) có nghiệm phân biệt   '   m  −1 *) x1 − x2 =  ( x1 − x2 ) =  ( x1 + x2 ) − x1 x2 = (**) 2  x1 + x2 = 2m Áp dụng hệ thức Vi-et cho (*)   x1 x2 = m − 2m − 14 Các toán giao điểm đường thẳng parabol cấp trung học sở (**) ( 2m ) − ( m2 − 2m − ) =  m = Vậy m = −1 (tmđk) −1 Ví dụ Cho ( P) : y = − x ;(d) : y = −2(m + 1) x + 2m + Tìm m để (d) cắt (P) hai điểm phân biệt có hoành độ giao điểm lớn -1 Giải: Xét phương trình hồnh độ giao điểm (d') (P): x − 2(m + 1) x + 2m + = (*) (d) cắt (P) hai điểm phân biệt có hoành độ giao điểm lớn -1  phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt lớn -1 +) Pt có nghiệm pb   '   m2   m  +) Vì a + b + c = 0, nên theo hệ thức Vi-et, pt cho có nghiệm pb: x1 = 1;x = 2m + Để nghiệm pt lớn -1  2m +  −1  m  −1 m  −1 Kết hợp điều kiện:  m  Ví dụ 10 Cho Parabol (P): y = x đường thẳng (d): y = ( 2m + 1) x − 2m a) Khi m=1 Xác định tọa độ giao điểm (P) (d) b) Tìm m để (P) (d) cắt hai điểm phân biệt có điểm có hồnh độ nhỏ Giải a) Xét pt hoành độ giao điểm (d) (P): x − ( 2m + 1) x + 2m = Khi m=1 pt  x2 − 3x + = Giải nghiệm x1 = 1; x2 = Vậy toạ độ giao điểm (d) (P) là: A(1;1) B(2;4) b) +) (P) (d) cắt hai điểm phân biệt  (*) có hai nghiệm phân biệt   >0  m 0,5 Từ (*) hai nghiệm pt là: x= x = 2m +) Để để (P) (d) cắt hai điểm phân biệt đó có điểm có hồnh 15 Các tốn giao điểm đường thẳng parabol cấp trung học sở độ nhỏ  (*) có hai nghiệm phân biệt có nghiệm nhỏ  x = 2m