Bài tập cơ học lý thuyế

3 LỜI NÓI ĐẦU Cuốn “ Bài tập lý thuyết ” in lần kết nhiều lần rút kinh nghiệm qua thực tế giảng dạy Bộ môn học lý thuyết Trường Đại học Thủy lợi suốt bốn mươi năm qua So với hai tập giáo trình xuất năm 1976, chúng tơi chọn lọc sửa chữa rút bớt lại số lượng bài, kết cấu lại chương mục cho phù hợp với đề cương môn học sửa đổi theo tinh thần cải cách giáo dục đáp ứng yêu cầu đào tạo ngành nghề Trường Đại học Thủy lợi Giáo trình dùng cho sinh viên quy hệ năm trường Đại học Thủy lợi, ngành cơng trình ngành máy(chương trình A) Tuy nhiên sinh viên học theo chương trình B sinh viên hệ chức, sử dụng giiaos trình có hướng dẫn giáo viên thuận lợi Ngồi giáo trình cịn làm tài liệu ôn tập cho học viên ôn tập để thi tuyển vào hệ cao học hay nghiên cứu sinh ngành học Chúng tơi mong có góp ý thầy giáo cô giáo người sử dụng nội dung hình thức để giúp chúng tơi hồn thiện giáo trình Hà Nội, tháng 10-2003 Tập thể môn Cơ học lý thuyết GS.TS.Nguyễn Thúc An PGS.TS.Khổng Dỗn Điền PGS.TS.Nguyễn Đình Chiều PGS.TS.Nguyễn Đăng Tộ PGS.TS.Nguyễn Bá Cự PGS.TS.Lê Đình Don TS.Nguyễn Đình Thơng TS.Nguyễn Thị Thanh Bình PHẦN THỨ NHẤT: TĨNH HỌC CHƯƠNG I: NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN- HỆ TIÊN ĐỀ TĨNH HỌC Tĩnh học phần Cơ học lý thuyết, nghiên cứu điều kiện cân vật rắn tác dụng lực Vật rắn trạng thái cân hiểu theo nghĩa tĩnh học vật rắn đứng yên Với qui ước từ đầu vật rắn đứng yên, ta đồng khái niệm cân vật rắn với khái niệm cân hệ lực tác dụng lên Do để nghiên cứu điều kiện cân vật rắn tác dụng hệ lực, ta cần nghiên cứu điều kiện cân hệ lực tác dụng lên đủ Nội dung chủ yếu tốn tĩnh học tìm phản lực để hệ lực tác dụng lên vật khảo sát cân Cơ sở lý luận phần tĩnh học hệ tiên đề tĩnh học HỆ TIÊN ĐỀ: Tiên đề 1: ( Tiên đề cân bằng) F F Điều kiện cần đủ để hệ hai lực tác dụng lên vật rắn cân chúng có giá, cường độ ngược chiều r r r r r F1 , F2 ⇔ F1 = − F2 giá ( ) Tiên đề 2: ( Tiên đề thêm bớt hệ lực cân ) Tác dụng hệ lực lên vật rắn không thay đổi ta thêm vào hay bớt hệ lực cân r r r r r r r r r (F1 , F2 , , Fn ; P1 , P2 , , Pm ) F1 , F2 , , Fn ( Trong đó: ) (P , P , , P ) r r r m r Tiên đề 3: ( Tiên đề hợp lực ) F2 Hệ hai lực đặt điểm có hợp lực đặt điểm chung ấy, véc tơ biểu diễn hợp lực véc tơ đường chéo hình bình hành mà hai cạnh hai vectơ biểu diễn hai lực cho r ur ur ur r r F1 , F2 R ; R = F1 + F ( ) Tiên đề 4: (Tiên đề lực tác dụng phản tác dụng) Lực tác dụng phản tác dụng hai vật hai lực có giá, cường độ ngược chiều F F1 Chú ý: Khác với tiên đề 1, tiên đề 4, lực tác dụng phản tác dụng hai lực cân Tiên đề 5: ( Tiên đề hoá rắn ) Khi vật biến dạng cân bằng, hố rắn lại, cân HỆ QUẢ: Những hệ phát biểu trực tiếp rút từ hệ tiên đề tĩnh học nêu trên: Hệ 1: ( Định lý trượt lực) Tác dụng lực lên vật rắn không thay đổi, ta trượt lực dọc theo giá Do lực tác dụng lên vật rắn biểu diễn véc tơ trượt Hệ 2: Nếu hệ lực cân lực thuộc hệ lấy theo chiều ngược lại, hợp lực hệ lực cịn lại Hệ 3: Có thể phân tích lực thành lực theo qui tắc hình bình hành lực Hệ 4: Vật rắn chịu tác dụng lực khác không, không trạng thái cân Hệ 5: (Định lý lực cân ) Nếu ba lực không song song, nằm mặt phẳng mà cân giá chúng đồng quy điểm Liên kết phản lực liên kết Nắm vững loại liên kết phản lực liên kết yếu tố quan trọng để giải toán tĩnh học • Liên kết tựa: NC NB NA A N C B N • Liên kết khơng trọng lượng: SC SA SB A • Liên kết ngàm: C B RA XA YA MA A MA • Liên kết dây mềm, thẳng, khơngdãn: A T B TA TB • Liên kết lề: Bản lề trụ: + Z X Y y x y Y X x + X Bản lề cầu Z Z Y Y X + Bản lề cối X Z Z Z Z R Z Y Y y y X X x x x y Nguyên lý giải phóng liên kết Vật khơng tự coi tự thay liên kết phản lực liên kết tương ứng B B K D C P O ND K C D T A Vật không tự NA A P Vật tự Để lập hệ phương trình cân cho loại hệ lực, phải nắm vững cách chiếu véc tơ lực lên trục toạ độ cách lấy mômen lực đối F với tâm trục α X Chiếu lực: Lực trục nằm mặt phẳng: X= F.cosα Lực trục không nằm mặt phẳng: z F X= Fxy.cosϕ= F.cosθcosϕ Y= Fxy.sinϕ= F.cosθ.sinϕ O Z= F.sinθ r r r r F = X i + Y j + Z k x y θ ϕ F xy Mômen lực: + Mômen lực tâm: r r r r m0 ( F ) = r ∧ F r r r i j k r r m0 F = x y z X Y Z z ( ) F h r m0 ( F ) = F h r r r r m0 ( F ) = giá lực F qua tâm lấy mômen + B Mô men lực lấy trục: O x r A y B' d F xy A' r mz ( F ) = ± d Fxy r Ta có mz ( F ) = lực trục lấy mômen nằm mặt phẳng nghĩa r r giá lực F cắt trục z, giá lực F song song với trục z CHƯƠNG II HAI BÀI TOÁN CƠ BẢN CỦA TĨNH HỌC I Bài toán thu gọn hệ lực r r r ( F , F , , F ) n r r ∼ ( R0 , M ) r ⎛ n ⎞r ⎛ n ⎞r ⎛ n ⎞r R0 = ⎜ ∑ X K ⎟ i + ⎜ ∑ YK ⎟ j + ⎜ ∑ Z K ⎟ k ⎝ K =1 ⎠ ⎝ K =1 ⎠ ⎝ K =1 ⎠ r r ⎤r ⎡ n r ⎤r ⎡ n r ⎤r ⎡n M = ⎢ ∑ m0 x ( FK ) ⎥ i + ⎢ ∑ m0 y ( FK ) ⎥ j + ⎢ ∑ m0 z ( FK ) ⎥ k ⎣ K =1 ⎦ ⎣ K =1 ⎦ ⎣ K =1 ⎦ Các trường hợp gặp thu gọn hệ lực khơng gian tâm tóm tắt bảng r r R0 M r r R0 M ≠ ≠ r R r r R0 M > r r R0 M < r M 0= = = r R r M0≠0 r M 0≠ r M0=0 Hệ lực thu Hệ lực thu xoắn xoắn thuận nghịch Hệ lực Hệ lực thu Hệ lực thu Hệ thu về hợp lực ngẫu có lực r hợp lực có fgiá mơmen M cân có giá khơng khơng phụ qua tâm qua tâm thuộc tâm Thí dụ r r r r r r Theo cạnh lăng trụ tác dụng lực F1 , F2 , F3 , F4 , F5 , F6 có chiều hình vẽ Biết Z F1 C F2 K RK F1 = F6 = 10N, F2 = F4 = 5N , F3 = F5 = N, R0 F5 OA =2.OB = 10m , α= 45 x Thu gọn hệ lực dạng tối giản Bài giải 10 F4 A MO α Hình F3 F6 y B ∑X K =1 K ∑Y K K =1 ∑Z K =1 K = F1 + F6 = 20N = ( F5 − F3 ) = = F4 − F2 + ( F3 − F5 ) r r r r R0 = 20.i + j + 0.k =0 ⇒ R0 = 20N r ( F =0 0x K ) = ( F3 − F5 ) B ∑m K =1 r ( A − F4 A = ( F1 + F5 − F4 )0 B = 50 Nm m F ∑ K ) = F1 0C + F5 0y K =1 r ( A − F6 B = ( F5 − F6 ).0 B = m F ∑ 0z K ) = F5 K =1 r r r r M = 0.i + 50 j + 0.k ⇒ M0 = 50Nm r r r r r r Vậy, thu gọn hệ lực ( F1 , F2 , F3 , F4 , F5 , F6 ) gốc toạ độ 0, ta véc tơ uur r R0 có chiều trùng với chiềucủa trục 0x có trị số 20N, mơmen M có chiều trùng với chiều trục 0y có trị số 50Nm r r r r R0 ≠ , M ≠ , R0 M = suy hệ lực cho thu hợp lực Hợp lực có trị số phương chiều trùng với trị số phương chiều véc tơ r M 50 = 2,5m R0 Ta cần tìm điểm đặt hợp lực: K = = R0 20 r r r r r r r Điểm K điểm đặt hợp lực: ( F1 , F2 , F3 , F4 , F5 , F6 ) ∼ R K Điểm K phải nằm phía chiều dương trục 0z, cách gốc toạ độ đoạn r 2,5m phù hợp với trị số phương chiều véc tơ R0 mơmen r M0 Thí dụ r r r Hệ ba lực ( F1 , F2 , F3 ) đặt điểm A, B, C F2 có chiều hình vẽ Biết 0A=0B=0C = a a Tìm điều kiện để hệ lực thu ngẫu lực b Tìm điều kiện để hệ lực thu lực 11 z B O xC F1 y A F3 Bài giải Hình r r Trước hết ta cần tìm véc tơ R0 mơmen M thu gọn hệ lực gốc toạ độ ⎧3 ⎪∑ X K = ( F2 − F3 ) ⎪ K =1 ⎪⎪ ⎨ ∑ YK = ( F3 − F1 ) ⎪ K =1 ⎪ ⎪ ∑ Z K = ( F1 − F2 ) ⎪⎩ K =1 2 2 r r r r ⎡( F2 − F3 )i + ( F3 − F1 ) j + ( F1 − F2 )k ⎤ suy R0 = ⎦ ⎣ 2 Mômen lực lấy trục không giá lực cắt trục nên ta r r r dễ dàng tìm thấy tổng mômen lực F1 , F2 , F3 trục tọa độ 0xyz r ⎧ ⎪ ∑ m0 x ( FK ) = F1.a ⎪ K =1 r ⎪⎪ r r r r a suy M0 = F1.i + F2 j + F3 k ≠ ⎨∑ m0 y ( FK ) = F2 a 2 ⎪ K =1 ⎪ r ⎪ ∑ m0 z ( FK ) = F3 a ⎪⎩ K =1 r r r R0 M = ; M ≠ r r r Kết luôn hệ lực cho ( F1 , F2 , F3 ) ( a Điều kiện để hệ lực thu ngẫu lực: Để hệ lực thu ngẫu lực cần thêm điều kiện : r R0 = suy F1 = F2 = F3 r Ngẫu lực có véc tơ mơmen M b Điều kiện để hệ lực thu lực: Để hệ lực cho thu lực cần thêm điều kiện: ⎧− F1 ≠ F2 ≠ F3 ; r ⎪ R0 ≠ ⇒ ⎨− F2 ≠ F3 ≠ F1 ; ⎪−F ≠ F ≠ F ⎩ 12 ) hình trụ vng góc với đường dốc sàn Khối lượng xe không kể bánh M Khối lượng tổng cộng bánh xe m, khối lượng trụ M1 Các bánh xe coi đĩa đồng chất Trả lời: W= M + 6m + M g sin α M + 9m + M ω O α Hình 208 x1 x m1 Oϕ A m2 ψ Hình 209 l B Hình 210 209 Xác định chuyển động hệ gồm hai khối lượng m1 m2 lồng nằm ngang nhẵn trục Ox) Các khối lượng nối với lị xo có độ cứng C trượt tịnh tiến dọc theo thanh, khoảng cách trọng tâm vật lúc lị xo khơng biến dạng l Trạng thái ban đầu hệ xác định trị số sau vận tốc toạ độ trọng tâm khối lượng Lúc t = x1 = 0; x& = V0; x2 = l; x& = Trả lời: x1 = m1 + m2 m2V0 ⎡ ⎤ ⎢⎣ m1V0t + k sin kt ⎥⎦ x2 = m1 + m2 m2V0 ⎡ ⎤ ⎢⎣ m1V0t − k sin kt ⎥⎦ + l ⎛ 1 ⎞ k = C⎜ + ⎟ ⎝ m1 m2 ⎠ 210 Một đĩa đồng chất có bán kính R khối lượng M quay quanh trục nằm ngang với vận tốc góc ω Một vật có khối lượng m treo vào đĩa dây không dãn dài l Thành lập phương trình vi phân chuyển động chất điểm Bỏ qua khối lượng dây Trả lời: ψ&& − ω2R l sin(ωt −ψ ) + g sinψ = l C y ψ - góc lệch dây so với phương thẳng đứng X E 211 Xác định chuyển động hệ gồm: lăng trụ A khối lượng 3m trượt theo mặt ngang nhẵn; mặt nghiêng nghiêng góc α=300 so với phương ngang có hình trụ đồng chất B khối lượng 2m quấn sợi 191 D A α O Hình 211 z B dây không dãn khối lượng không đáng kể vắt qua ròng rọc lý tưởng C buộc vào tải trọng D khối lượng m dịch chuyển theo phương thẳng đứng Dây CE song song với mặt nghiêng lăng trụ A Tại thời điểm đầu hệ đứng n Bỏ qua kích thước khối lượng rịng rọc C Trả lời: x= 3 gt gt ; y = gt ; z = 48 16 LÝ THUYẾT VA CHẠM 212 Thí dụ Quả cầu trọng lượng P = 10N đập vào cầu P2 = 20N đứng yên, vận tốc trọng tâm cầu trước va chạm phải để sau va chạm không đàn hồi vận tốc chúng 6m/s V2 C2 V1 C1 Hình 212 Bài giải r Chọn trục n qua tâm hai cầu theo chiều V1 chiếu vận tốc khối tâm cầu lên trục trước va chạm là: V1n = V1 ; V2n = Chiếu vận tốc chung hai cầu lên trục n cuối va chạm không đàn hồi bằng: Vn = m1V1n + m2V2 n m1 + m2 Từ ta có: V1n = (m1 + m2 )Vn − m2V2 n ( P1 + P2 )Vn − PV (10 + 20)6 − 20.0 2n = = = 18m / s m1 P1 10 213 Thí dụ V1 Quả cầu trọng lượng P1 = 2N rơi độ cao h1 = 1m lên cố định trọng lượng P2 = 20N, nẩy lên độ cao h2 = 25cm Tính lượng tiêu hao động va chạm Bài giải V2 n Hình 213 Lượng tiêu hao động va chạm lên mặt cố định tính theo cơng thức: 192 T1 − T2 = (1 − k ) m1m2 V12 2(m1 + m2 ) (a) Để tính (a) ta phải tìm k hệ số khơi phục Hướng trục n vng góc với mặt phẳng cố định ta có: r Chiếu vận tốc v1 cầu lên trục n tính theo công thức: v1n = + k (vn − V1n ) r Trong chiếu vận tốc chung v lên n bằng: = mV 1n + m2V2 n m1 + m2 Vì phẳng trước va chạm đứng yên nên V2n = Vậy: = Từ (b) ta suy ra: v1n = Từ đó: k= (b) m1V1n m1 + m2 m1 − km2 V1n m1 + m2 m1 m1 + m2 v1n − m2 m2 V1n (c) Ta thấy cầu rơi tự nên: V1n = V1 = gh1 v1n = −V1 = − gh2 Thay kết vào (c ) ta có: k= P1 P1 + P2 + P2 P2 Thay kết vào (a) ta có: T1 − T2 = (1 − k ) h2 = 0,65 h1 P1.P2 h1 = 1,05 Nm P1 + P2 214 Thí dụ Ba cầu đàn hồi tuyệt đối khối lượng m1, m2, m3 nằm rãnh phẳng cách Ta truyền cho cầu thứ vận tốc ban đầu đó, để va chạm vào cầu thứ hai, cầu thứ hai va chạm vào cầu thứ ba Hỏi khối lượng cầu thứ hai m2 phải để cầu thứ ba nhận vận tốc lớn Bài giải r r Gọi V1 ,V2 vận tốc hai cầu A B trước va chạm 193 r r u1 , u2 vận tốc hai cầu sau va chạm Theo kết toán va chạm thẳng xuyên tâm hai cầu ta có: u1 = V1 − 2m2V1 m V + m2 (V1 − V2 ) = 1 m1 + m2 m1 + m2 u2 = V2 + 2m1 (V1 + V2 ) (m1 + m2 )V2 + 2m1 (V1 − V2 ) = m1 + m2 m1 + m2 u2 = u2 = Vì V2 = 0, nên Lý luận tương tự ta có: 2mV 1 + V2 ( m2 − m1 ) m1 + m2 2m1V1 m1 + m2 u3 = 2m2u2 + V3 (m3 − m2 ) m2 + m3 Giả thiết cho V3 = 0, u3 = 2m2u2 2m2 2m1V1 = m2 + m3 (m2 + m3 )(m1 + m2 ) Điều kiện để cầu m3 có vận tốc lớn là: du3 =0 dm2 ⇒ 4m1V1 (m1 + m2 )(m2 + m3 ) − 4m1.m2V1 (m1 + 2m2 + m3 ) = Vậy: m2= m1m3 215 Hai cầu A B đồng chất chuyển động ngược chiều Hỏi tỉ số vận tốc hai cầu trước va chạm phải để sau va chạm cầu A đứng yên Hệ số khôi phục k Trả lời: VA + k = VB − k 216 Xác định tỉ số khối lượng hai cầu đàn hồi trường hợp sau: a) Quả cầu thứ đứng yên, sau cầu thứ hai va chạm thẳng vào cầu thứ cầu thứ chuyển động cầu thứ hai đứng lại b) Hai cầu va chạm thẳng vào với vận tốc giá trị ngược chiều, sau cầu thứ đứng lại Trả lời: a) m2 =k m1 b) m2 = + 2k m1 194 217 Để xác định thực nghiệm hệ số khôi phục vật liệu, người ta thả cầu rơi tự từ độ cao h1= 50cm xuống mặt phẳng ngang Quả cầu bật lên độ cao h2= 45cm lại rơi xuống Tìm hệ số khơi phục k Trả lời: k = 0,95 218 Quả cầu đàn hồi rơi thẳng đứng từ độ cao h xuống mặt phẳng ngang lại bật lên rơi xuống lần Cứ tiếp tục cầu ngừng chuyển động Hãy xác định quãng đường mà cầu được, cho biết hệ số khôi phục k Trả lời: 1+ k2 S= h 1− k2 219 Tấm B nặng P ghép chặt vào lò xo có độ cứng C thả vật A có trọng lượng Q rơi tự xuống B từ độ cao h Giả thiết va chạm hồn tồn mềm Tìm đoạn đường co ép S lò xo sau va chạm ( k = ) Trả lời: S= A h B Q Q Q + + 2h C C C ( P + Q) Hình 219 220 Một búa có trọng lượng P1 = 117,6 KN đập vào mặt đe với vận tốc V1=5m/s, khối lượng đe sắt nén đe P2 = 2450KN Biết va chạm hồn tồn mềm Tìm cơng A1 tiêu hao vào công tác làm biến dạng khối sắt rèn, cơng A2 tiêu hao làm nung nóng tính hiệu suất hữu ích η Trả lời: A1 = 143080 Nm ; A2 = 6860Nm; η = 0,95 221 Để làm chặt đất nhà người ta đóng cột trọng lượng P =500N, búa đóng cột nặng P1 = 4500 N rơi không vận tốc ban đầu với độ cao h = 2m, hệ số khôi phục khơng Sau 10 va chạm (đóng) cột lún sâu xuống đoạn δ =5cm Xác định lực cản trung bình đất đóng cột Trả lời: F = 162KN O A O B L B h C K Hình 222 A A C D C Hình 223 195 B Hình 224 222 Tìm tâm va chạm chữ nhật đồng chất quay quanh cạnh Lấy cạnh làm trục, chiều cao h Trả lời: s= 2h 223 Con lắc đập máy thử gồm có đồng chất hình trụ B đĩa trịn đồng chất A Thanh dài 90cm, có đường kính 2cm Đĩa có bán kính 10cm dày 5cm Đĩa thép Hỏi phải gắn mấu đập C cách trục quay O đoạn l để máy làm việc không xảy va chạm ổ trục O? Trả lời: l = 97,5cm 224 Con lắc thử đạn gồm có khối trụ AB treo vào trục ngang O Khối trụ đứng đầy cát Viên đạn bay xuyên vào cát đẩy khối trụ quay quanh trục O góc α Cho biết M khối lượng lắc OD = a khoảng cách từ đường va chạm đến trục treo, giả thiết trục O không chịu va đập ( nghĩa có hệ thức ah = ρ2 ) Tìm vận tốc viên đạn theo góc lệch cực đại α lắc ( mô tả hình vẽ ) 2( Mh + ma ) g α sin m a 225 Một đồng chất khối lượng M, dài l gắn chặt đầu vào lề trụ O rơi khơng có vận tốc ban đầu từ vị trí hợp với phương thẳng đứng góc 450 Khi rơi đến vị trí thẳng đứng va chạm vào khối vật nặng có khối lượng m, làm cho vật chuyển động theo mặt nằm ngang không nhẵn, hệ số ma sát trượt f Xác định đoạn đường vật nặng được, xem va chạm không đàn hồi Trả lời: Trả lời: V= O 45o M l m 3l M2 S= f ( M + 3m) 226 Một sàn xe chở vật nặng hình hộp chữ nhật AB Sàn xe chạy đường ray với vận tốc V Trên sàn A có mấu B để cản khơng cho khối AB C trượt phía trước Cho chiều cao 2h vật nặng, bán kính quán tính ρ mép B Tìm vận tốc góc khối AB quanh cạnh B sàn xe bị hãm dừng tức thời Cho chiều dài chiều cao khối AB Hình 226 Hình 225 B 4m, V 3m Tìm vận tốc V giới hạn ứng với trường hợp khối AB bị lật sàn xe dừng tức thời (hình vẽ) 196 ω= Trả lời: hV ρ2 ; Vgh= 30,7 km/h MỘT SỐ BÀI TẬP KHÓ Thanh đồng chất AB dài 2L trọng lượng P, đầu A tựa sàn nhẵn nằm ngang lập với sàn góc 600, đầu B treo sợi dây BD thẳng đứng không trọng lượng không dãn Tại thời điểm dây bị đứt bắt đầu chuyển động: 1) Xác định áp lực lên sàn thời điểm bắt đầu chuyển động 2) Tìm vận tốc khối tâm C phụ thuộc vào độ cao h so với sàn 3) Xác định quĩ đạo đầu B g ( 3L − 2h)( L2 − h ) x2 y Trả lời: N0= P ; VC= ; + =1 L2 − 3h L 4L D B 60 B A C C B A A Hình Hình F Hình Hai vật nặng A B có khối lượng m 2m, nối với lò xo có độ cứng C nằm mặt phẳng nằm ngang Tại thời điểm đầu người ta kéo hai vật hai phía cho lị xo bị dãn đoạn δ, thả vật khơng có vận tốc ban đầu Hãy tìm vận tốc vật A thời điểm độ biến dạng lị xo khơng Trả lời: VA = δ 2C 3m r Một AB có khối lượng m chịu tác dụng lực F theo phương ngang chuyển động không ma sát dọc theo sàn ngang Một lăn có khối tâm C, bán kính R, khối lượng m0; mơmen qn tính J trục qua C thẳng góc với mặt phẳng đáy lăn Con lăn giữ đứng yên AB sợi dây căng không dãn, không trọng lượng, đầu dây buộc vào tâm C lăn, đầu buộc vào thành đứng AB a) Tìm gia tốc AB b) Xác định sức căng dây ( giả thiết dây luôn căng) 197 c) Giả sử lăn đặt tự ( khơng có dây buộc ) Tìm chuyển động lăn lăn không trượt bỏ qua ngẫu lực ma sát lăn lăn Ban đầu hệ đứng yên d) Xác định hệ số ma sát trượt lăn để lăn lăn không trượt AB Trả lời: F m0 F ( J C + m0 R ) F t W= ; T= ; x 1= + x1 (0) ; m + m0 (m0 + m) J + mm0 R m + m0 f> JC F (m + m0 ) J C + m0 mR Ống AB dài L có khối lượng 6m quay xung quanh trục thẳng đứng O1O2 lập với góc 600 Trong ống có cầu khối lượng m; lúc đầu đứng yên ống 2L Bỏ qua khối điểm đoạn CB Vận tốc góc ban đầu ống ω0 ; CB = lượng trục quay, ma sát ống ổ trục quay Tìm gia tốc góc ống thời điểm cầu đến đầu B ống Trả lời: ε1= - 7ω0 g⎞ ⎛ 30 ⎜ 21Lω02 − 40 ⎟ 500 L⎠ ⎝ Trụ đặc đồng chất có bán kính r, lăn khơng trượt bên ống trụ bán kính R Trụ lăn xuống từ trạng thái đứng yên vị trí góc ∠ (AOC)= ϕ0 hình vẽ, hệ số ma sát lăn k Xác định vận tốc tâm C trụ đặc thời điểm vị trí thấp Trả lời: z O1 4 − αϕ ⎞ − αϕ ⎤ 4g (K − r) ⎡ ⎛ 3 V = sin ϕ0 ⎥ ⎢( − 4α ) ⎜1 − cos ϕ0 e ⎟ − 7α e 16α + ⎣ ⎝ ⎠ ⎦ C O1 B x O ϕ x A C ϕ O A 60O O2 Hình B y Hình O2 θ Hình 6 Hai đồng chất O1O2 AB có độ dài 2L; khối lượng m chuyển động mặt phẳng thẳng đứng Thanh O1O2 quay xung quanh trục nằm ngang cố định qua O1; AB gắn lề trụ với O1O2 O2 Cho O2A = a > L Bỏ qua ma sát lề O1 O2 a) Thiết lập phương trình vi phân chuyển động hệ 198 b) Khảo sát chuyển động hệ trường hợp O2 điểm AB, thời điểm ban đầu ϕ= ϕ0 ; ϕ& = ; O1O2 đứng n cịn AB có vận tốc góc ω0 Trả lời: 16 Lϕ&& − 6( a − L) cos(ϕ + ψ )ψ&& + 6(a − L)sin(ϕ + ψ )ψ& = −9 g sin ϕ ⎡⎣ L2 + 3(a − L) ⎤⎦ψ&& − L(a − L) cos(ϕ + ψ )ϕ&& + 6( a − L) L sin(ϕ + ψ )ϕ& = −3 g (a − L) S ⎛3 g ⎞ t⎟ L ⎝ ⎠ ϕ = ϕ0 cos ⎜ α B C C1 B M ω A B A a O C E D Hình S Hình A Hình Sau nhận vận tốc ban đầu nhỏ, trụ đồng chất bán kính r lăn khơng trượt khỏi bệ nằm ngang AB Bệ có cạnh biên B nhọn song song với đường sinh trụ trụ rời khỏi bệ, mặt phẳng qua trục trụ cạnh biên B nghiêng với phương thẳng đứng góc ∠ (CBC1 )= α Bỏ qua ma sát lăn Xác định vận tốc góc trụ lúc tách rời khỏi bệ giá trị góc α Trả lời: ω1 = g 7r Đĩa đồng chất có khối lượng m1 lăn khơng trượt theo mặt phẳng ngang Tại tâm đĩa gắn lề với AB dài L chuyển động nhờ mômen M Tại đầu B có gắn với chạy khối lượng m2 chuyển động thẳng đứng, gắn với tải trọng D khối lượng m3 nhờ lị xo có độ cứng C Bỏ qua khối lượng thiết lập phương trình vi phân chuyển động hệ toạ độ suy rộng S ϕ hình vẽ ϕ=0 ; S= 0, lị xo khơng biến dạng Trả lời: m3 S&& + C ( S − L sin ϕ ) + m3 g = ; L2 (3m1 sin ϕ + 2m2 cos ϕ )ϕ&& + (3m1 − 2m2 ) L2 sin 2ϕ ϕ& +4CL( L sin ϕ − S ) cos ϕ + 4m2 gL cos ϕ = M Tấm trịn đồng chất khối lượng M bán kính R nằm ngang quay quanh trục thẳng đứng lệch tâm với độ lệch a Trên mép có người đứng, vận tốc góc ban đầu ω0, coi người chất điểm có khối lượng m Bỏ qua ma sát ổ trục Xác định công cần thiết mà người thực để từ E đến trục quay 199 ∑A i K Trả lời: = ω02 ⎡⎣ J + m(a + R ) ⎤⎦m(a + R ) 2J x A T n mg α x D P B r AC R O R α A ϕ O Hình 10 M(t) Hình 11 Hình 13 10 Vịng khun nhỏ chuyển động trượt theo đường parabol y = ax2 (a > 0; trục y thẳng đứng) Hệ số ma sát trượt f 1) Lập phương trình vi phân chuyển động vòng khuyên 2) Cho vận tốc vòng vị trí thấp V0 Lập biểu thức trị số vận tốc vòng hàm số toạ độ x 3) Với vận tốc V0 để vịng khun lên tới độ cao h a(ax + f ) g (ax + f ) ax & x y = = − ; + a2 x2 + a2 x2 g g ⎛ g ⎞ -2.f.arctgax − (1 + a x ) V = ⎜ V0 + ⎟ e ; V02 = [ (1 + 2ah) e2.f.arctg a a⎠ a ⎝ Trả lời: && x+ ah −1] 11 Con lăn A bán kính r lăn theo mặt phẳng nghiêng lên tác dụng r lực P thẳng đứng đặt vào đầu D sợi dây không trọng lượng không dãn tang trống B bán kính R= 2r Tang trống gắn chặt vào lăn khối lượng chúng m= 2P/g ; bán kính quán tính chúng trục đối xứng qua C ρ= R.r , hệ số ma sát trượt f = 2/3; hệ số ma sát lăn k Xác định góc nghiêng α để lăn lăn không trượt; giả thiết dây không trượt tang trống B Trả lời: ⎛ R < α ≤ θ − arcsin ⎜ ⎜ ( R + r )2 + R ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ 12 Một ô tô chở thùng nước không nắp hình trụ trịn bán kính R chuyển động thẳng mặt phẳng ngang với vận tốc V=V0; mặt thoáng nước cách mặt thùng đoạn h a) Tính đoạn đường tối thiểu mà xe dừng hẳn lại sau phanh với lực không đổi nước khơng bị tràn ngồi 200 b) Nếu phanh gấp tức đoạn đường hãm biết S0 < Smin, tính lượng nước bị tràn ngồi Trả lời: Smin = ⎞ RV02 π R ⎛ RV02 ; V= − 2h ⎟ ⎜ ⎝ gS0 gh ⎠ 13 Đĩa đồng chất có khối lượng m1, bán kính R lăn khơng trượt đường nằm ngang tác dụng mômen M(t) = M0cosωt (ω - số) Trên tâm O đĩa có gắn lắc vật lý có khối lượng m2, khối tâm A với OA = h, đồng thời gắn với OB nối với lò xo có độ cứng C ( hình vẽ) a) Thiết lập phương trình vi phân chuyển động hệ b) Tìm phản lực liên kết ổ tựa O thời điểm ban đầu, thời điểm OA thẳng đứng lắc đứng yên so với đĩa ( ϕ& t=0 = 0) Cho m2 = m1 ; m1 = 40kg ; J0 = 0,1m1R2 h = 0,6R M ⎛3 ⎞ x + m2 hϕ&& cos ϕ − m2 hϕ& sin ϕ = cos ωt − Cx Trả lời: ⎜ m1 + m2 ⎟ && R ⎝2 ⎠ J 0ϕ&& + m2 hx&& cos ϕ + m2 gh sin ϕ = X(0)= 6,4N ; Y(0)= 98N r C R G O A P α Hình 14 Hình 15 ϕ A Hình 16 14 Một sợi dây cuộn vào vành bán kính r = 10cm bánh xe bán kính R= 16cm Người ta kéo dây lực F = 20N Bánh xe nặng 60N, bán kính quán tính trục đối xứng qua tâm G ρ = 12cm Hệ số ma sát tĩnh động bánh xe mặt đường ft = 0,2 ; fđ = 0,15 a) Bánh xe lăn khơng trượt khơng ? b) Tính gia tốc điểm G gia tốc góc bánh xe bỏ qua ma sát lăn; lấy g=10m/s2 Trả lời: a) xe lăn có trượt b) WG= 11 175 -2 s m/s2 ; ε = − 60 27 201 15 Hai vật nặng A B có khối lượng tương ứng m1, m2 nối với lị xo có độ cứng C vị trí cân tĩnh mặt phẳng nghiêng trơn lập với phương ngang góc α nhờ chắn A Tìm qui luật chuyển động A, B tâm khối lượng chúng thả nhẹ chắn Trả lời: m22 g sin α m m g sin α SA= g sin α t − cos ωt + L0 − C (m1 + m2 ) C (m1 + m2 ) SB = m m g sin α m m g sin α g sin α t − cos Kt − 2 C (m1 + m2 ) C ( m1 + m2 ) 16 Một tầu điện chạy bị hãm đột ngột Tại thời điểm người đứng yên tầu bước lên phía trước ( theo chiều tầu chạy) bước dài 0,3m để khỏi ngã Biết độ cao trọng tâm người 0,9m; tầu chạy thêm 9,6m dừng lại Hỏi vận tốc tầu điện lúc hãm Trả lời: V= 8m/s 17 Cơ cấu hành tinh nằm mặt phẳng thẳng đứng, có bánh chuyển động bánh cố định Bánh gắn cứng với tang trống bán kính, có quấn cuộn dây không dãn, đầu sợi dây buộc tải trọng A có khối lượng m Tính khối lượng cần thiết bánh tang trống để tay quay OC quay góc ϕ Tại thời điểm ban đầu hệ đứng yên OC thẳng đứng Dây đủ dài để bỏ qua chuyển động lắc tải trọng A bỏ qua khối lượng tay quay OC dây Trả lời: m1= m ϕ + cos ϕ − 1 + cos ϕ y A M ϕ C O F B x Hình 18 Hình 20 18 Thanh đồng chất AB có trọng lượng P dài 2L, nằm mặt phẳng thẳng đứng có đầu A B trượt không ma sát dọc theo trục y trục x Vật C có trọng lượng Q nối với đầu B sợi dây không dãn không trọng lượng Vật C trượt mặt phẳng ngang dọc theo trục x với hệ số ma sát f Ban đầu AB tạo với trục y góc ϕ0 cho rơi không vận tốc ban đầu 202 a) Xác định vận tốc góc gia tốc góc theo góc ϕ b) Tìm sức căng dây Trả lời: a) ω = 3g ⎡⎣ P ( cos ϕ0 − cos ϕ ) + 2Q ( sin ϕ0 − sin ϕ ) ⎤⎦ L ( P + 3Q cos ϕ ) ⎡ 2QLω sin ϕ cos ϕ ⎤ g ⎢ P sin ϕ − 2Qf cos ϕ + ⎥ g ⎦ ε= ⎣ L ( P + 3Q cos ϕ ) b) T = Qf + 2Ql ϕ&& cos ϕ − ϕ& sin ϕ ) ( g r 19 Một chất điểm chuyển động theo đường cong phẳng tác dụng lực Q có giá trị khơng đổi a) Xác định luật chuyển động chất điểm theo toạ độ tự nhiên, hình chiếu lực lên pháp tuyến Fn = mkV ( m - khối lượng chất điểm ; k - hệ số tỷ lệ V - trị số vận tốc chất điểm ) Ban đầu chất điểm trạng thái đứng yên b) Tìm hình chiếu lực lên trục toạ độ tự nhiên, bỏ qua trọng lượng chất điểm Trả lời: a) S = Q (1 − cos kt ) mk b) Fτ = Qcoskt ; Fn = Qsinkt 20 Chiếc xe hai bánh có bánh xe lăn khơng trượt mặt phẳng ngang, cịn bánh xe lăn có trượt mặt phẳng ngang Bán kính hai bánh xe R Các bánh xe có khối lượng tương ứng m1 m2 Bánh xe chịu tác dụng mômen M r tâm bánh xe chịu tác dụng lực F nằm ngang Hệ số ma sát trượt bánh xe với mặt đường f Bỏ qua ma sát lăn khối lượng khung Các bánh xe coi đĩa đồng chất Xác định gia tốc khung xe gia tốc góc bánh xe Trả lời: W3 = 2( M + FR − m2 gRf ) ; R (3m1 + 2m2 ) ε2 = gf R 21 Phà A khối lượng M, có ơtơ B khối lượng m chuyển động phà theo qui luật: S = b( αt + e-αt - 1) Trong b, α số dương Tại thời điểm đầu phà A đứng yên Xác định vận tốc phà A phụ thuộc vào thời gian hai trường hợp sau: a) Bỏ qua lực cản nước r r b) Lực cản nước tác dụng lên phà là: R = − μV 203 Trong μ số dương, với điều kiện α ≠ Trảlời: μ M +m m bα(1- e -αt ) M +m μ mbα (e-βt - e-αt ) với β= b) VA = (α − β )( M + m) M +m a) VA= 204 TÀI LIỆU THAM KHẢO КАН В П… Сборник задач ло теоретичесской Бражниченко Н А механике Государственное издательство Ленинград, 1962 Мецерский И.В Сборник задач Издательство “наука” Москва, 1967 ло теоретичесской Механике Bộ môn học lý thuyết Trường Đại học Thủy lợi Bài tập Cơ học lý thuyết – Tập I: Phần tĩnh học động học Hà Nội, 1976 Bộ môn học lý thuyết Trường Đại học Thủy lợi Bài tập Cơ học lý thuyết – Tập II: Phần động lực học Hà Nội, 1976 Nguyễn Văn Đình, Nguyễn Nhật Lệ, Đỗ Sanh Bài tập Cơ học phần Tĩnh học động học Nhà xuất Giáo dục, Hà Nội, 2002 Lê Doãn Hồng, Đỗ Sanh Bài tập Cơ học phần động lực học Nhà xuất Giáo dục, Hà Nội, 2001 Đinh Thế Hanh, Lê Ngọc Chấn Bài tập Cơ học sở Tập I: Tĩnh học động học Nhà xuất Giáo dục, Hà Nội, 1996 Đinh Thế Hanh, Lê Ngọc Chấn Bài tập Cơ học sở Tập II: Động lực học Nhà xuất Giáo dục, Hà Nội, 1996 Olympic Cơ học toàn quốc Cơ học lý thuyết: Đề thi đáp án 1989 – 1997, Bài tập chọn lọc Nhà xuất Khoa học Kỹ thuật, Hà Nội, 1998 205 ...LỜI NÓI ĐẦU Cuốn “ Bài tập lý thuyết ” in lần kết nhiều lần rút kinh nghiệm qua thực tế giảng dạy Bộ môn học lý thuyết Trường Đại học Thủy lợi suốt bốn mươi năm qua So với hai tập giáo trình xuất... TĨNH HỌC CHƯƠNG I: NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN- HỆ TIÊN ĐỀ TĨNH HỌC Tĩnh học phần Cơ học lý thuyết, nghiên cứu điều kiện cân vật rắn tác dụng lực Vật rắn trạng thái cân hiểu theo nghĩa tĩnh học vật... dụng nội dung hình thức để giúp chúng tơi hồn thiện giáo trình Hà Nội, tháng 10-2003 Tập thể môn Cơ học lý thuyết GS.TS.Nguyễn Thúc An PGS.TS.Khổng Dỗn Điền PGS.TS.Nguyễn Đình Chiều PGS.TS.Nguyễn