Bài tập cơ học lý thuyết

các bài tập của môn cơ lý thuyết cần thiết cho sinh viên khối kĩ thuật

Học viện kỹ thuật quân sự

Bộ môn cơ học vật rắn – khoa cơ khí

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

Đỗ Anh Cường (Chủ biên)

Vũ Quốc Trụ – Lê Nho Thiết Tạ Hữu Vinh – Lê Hải Châu

Bài tập Cơ học lý thuyết

Tập 1 Tĩnh học và động học

Đối tượng sử dụng : Đại học và Cao đẳng

Hà Nội - 2005

Môc lôc Lêi nãi ®Çu 5 Ch−¬ng 1 : Bµi to¸n ph¼ng 7

Lời nói đầu

Cơ học lý thuyết là khoa học về các quy luật cân bằng và chuyển động của các vật thể dưới tác dụng của lực, là một trong những môn học trọng điểm cho sinh viên các trường Đại học kỹ thuật

Việc vận dụng các kiến thức đã học vào giải các bài tập cơ học lý thuyết là yêu cầu hàng đầu đối với sinh viên, qua đó giúp họ hiểu sâu thêm về lý thuyết,

đồng thời nâng cao khả năng tư duy và rèn luyện kỹ năng trong học tập

Giáo trình Bài tập cơ học lý thuyết được biên soạn theo chương trình giảng dạy môn Cơ học lý thuyết cho sinh viên của hầu hết các ngành đuợc đào tạo tại Học viện kỹ thuật quân sự, nó cũng phù hợp với chương trình môn học của Bộ Giáo dục & đào tạo

Giáo trình Bài tập cơ học lý thuyết được phân thành hai tập Tập 1 gồm 2 phần: Tĩnh học (từ chương 1 đến chương 4) và Động học (từ chương 5 đến chương 10) Trong mỗi chương đều có phần tóm tắt lý thuyết, phân loại bài tập và phương pháp giải, các ví dụ mẫu và phần bài tập Cuối mỗi bài tập có trả lời hoặc

đáp số để sinh viên tham khảo và tự kiểm tra lời giải của mình Cần lưu ý trong phần trả lời, đối với các đại lượng véctơ (lực, vận tốc, gia tốc ), kết quả được cho ở dạng trị đại số

Giáo trình Bài tập Cơ học lý thuyết Tập 1 do Nhóm môn học Cơ học lý thuyết thuộc Bộ môn Cơ học vật rắn – Khoa Cơ khí – Học viện Kỹ thuật quân sự biên soạn : Vũ Quốc Trụ, Tạ Hữu Vinh (phần Tĩnh học), Lê Nho Thiết, Lê Hải Châu (phần Động học), Đỗ Anh Cường chủ biên

Trong sách chắc chắn còn có thiếu sót, chúng tôi mong nhận đ−ợc ý kiến của bạn đọc, xin trân trọng cảm ơn và tiếp thu để bổ sung, sửa chữa cho giáo trình

đ−ợc tốt hơn Các nhận xét, góp ý xin gửi về : Bộ môn Cơ học vật rắn, Khoa Cơ khí, Học viện KTQS

Chương 1 Bài toán phẳng 1.1 Cơ sở lý thuyết

1.1.1 Thu gọn hệ lực phẳng:

Hệ lực phẳng khi thu gọn về một tâm (O), nhận được một véc tơ chính R 'r

và một mô men chính Mr O, véc tơ mô men chính luôn vuông góc với mặt phẳng

tác dụng của lực, xảy ra các trường hợp sau:

Chú ý: Véc tơ chính là một bất biến, nó có giá trị và phương chiều không thay đổi

và không phụ thuộc vào tâm thu gọn

1.1.2 Điều kiện cân bằng của hệ lực phẳng:

Từ các kết quả thu gọn hệ lực nêu trên, ta có định lí về điều kiện cân bằng

của hệ lực phẳng như sau:

Định lí (về điều kiện cân bằng của hệ lực phẳng): Điều kiện cần và đủ để hệ

lực phẳng cân bằng là vectơ chính và mômen chính của hệ lực đối với điểm O nào

Đối với hệ lực đồng quy, chúng ta còn sử dụng điều kiện cân bằng dưới

dạng hình học: Điều kiện cần và đủ để hệ lực đồng quy cân bằng là đa giác lực tự

Điều kiện: Đường nối AB không song song với trục y

Chú ý: Đối với hệ vật, có hai loại điều kiện cân bằng:

• Điều kiện cân bằng của từng vật tách riêng

• Điều kiện cân bằng của toàn hệ hoá rắn (xem toàn hệ như một vật rắn duy

nhất) hay còn gọi là điều kiện cân bằng của các ngoại lực (vì khi hoá rắn, hệ

các nội lực xem như cân bằng)

Những điều kiện cân bằng của toàn hệ hoá rắn là hệ quả của các điều kiện

cân bằng của từng vật Chúng ta cũng có thể xét riêng một phần hệ, hoá rắn và lập

các điều kiện cân bằng tương ứng

Như thế đối với hệ vật, khả năng lập các điều kiện cân bằng là rất rộng rãi, vấn đề đặt ra là lập điều kiện cân bằng thích hợp để có thể giải quyết bài toán đặt

ra một cách thuận lợi nhất

Hệ quả:

• Hệ ba lực phẳng cân bằng, không song song là hệ đồng quy phẳng;

• Hệ n lực cân bằng, trong đó có (n-1) lực song song là hệ lực song song (lực thứ n song song với n-1 lực đầu);

• Hai lực cân bằng với một ngẫu lực phải tạo thành một ngẫu lực ngược chiều quay và cùng trị số mômen

Kết quả thu gọn hệ lực phẳng được tổng kết trong bảng 1.1

Phương trình cân bằng

(F , F , , Fr r1 2 rn) (≡ R, Mr )

n j

1 Lực hoạt động: là lực có quy luật xác định, hoặc tập trung, hoặc phân bố

Lực phân bố xác định bởi biểu đồ và cường độ phân bố và thường được thu gọn Với hệ lực song song cùng chiều phân bố đều hoặc theo tam giác, kết quả thu gọn trên hình 1.1(a), (b) Trường hợp phân bố theo hình thang, có thể quy về phân bố

đều và tam giác Kết quả thu gọn hệ lực song song cùng chiều phân bố tổng quát trên chiều dài ta được lực thu gọn song song cùng chiều với hệ phân bố, đặt tại trọng tâm và có cường độ bằng số đo diện tích S (theo đơn vị thích hợp) của biểu

đồ phân bố

Hình 1.1

2 Phản lực liên kết: Phản lực liên kết từ vật gây liên kết (vật có gạch chéo)

đặt vào vật khảo sát (vẽ trắng) được biểu diễn dưới dạng lực và ngẫu lực tập trung

Khi gặp các liên kết phức tạp, chúng ta phải phân tích cấu tạo của liên kết, trạng thái chịu lực của vật rắn, điều kiện làm việc của liên kết, các di chuyển bị liên kết cản trở để quy về các liên kết đơn giản đã giới thiệu ở trên nhờ quy tắc sau: Tương ứng một di chuyển ( thẳng, quay) bị cản trở, liên kết tạo được một phản lực (lực, ngẫu lực) ngược chiều di chuyển

q

G

Q=ql

l/2 l/2

Bảng 1.2 nêu đặc điểm của các liên kết và các phản lực liên kết thường gặp

hiệu: N

ngoài vật khảo sát, kí hiệu: T

Ngàm

Phản lực gồm: hai thành phần lực X, Y và một ngẫu

SA SB

S

x

R Y

và một ngẫu lực như ngàm (trong mp tác dụng của hệ

Khi xét hệ vật, cần phân biệt ngoại và nội lực Ngoại lực là những lực từ bên

ngoài tác dụng vào hệ Nội lực là những lực tác dụng tương hỗ giữa các vật trong

hệ Đặc điểm của nội lực là xuất hiện từng đôi, cùng đường tác dụng, ngược chiều

và cùng trị số (nhưng không cân bằng vì đặt vào hai vật khác nhau) Chú ý rằng

ngoại lực cũng như nội lực đều có thể là lực hoạt động hoặc lực liên kết

Hình chiếu của lực lên các trục (H.1.2) cho bởi

n k

Để xác định vectơ chính, có thể áp dụng hai phương pháp:

1 Phương pháp giải tích: Hình chiếu của vectơ chính lên một trục toạ độ bằng tổng hình chiếu các lực lên trục đó

y

Rcos x, R ' ; cos y, R '

2 Phương pháp hình học: Vectơ chính '

Rr là vectơ khép kín đa giác lực, đó

là vectơ nối điểm cuối của một đường gẫy khúc có các cạnh tương ứng (song song, cùng chiều, cùng độ dài) với các vectơ lực Trường hợp hai điểm đầu và cuối của đa giác lực trùng nhau, vectơ chính R 'r =0, chúng ta nói đa giác lực tự khép kín

d Phương pháp xác định mômen lực và mômen chính:

Mô men lực: Cho lực Fr và điểm O (H.1.2)

Mômen lực Fr đối với O là lượng đại số: mO( )Fr = ±Fh

Trong đó : F – trị số lực ;

Hình 1.2 O

Mô men chính: Mômen của hệ lực phẳng đối với tâm O (mômen chính của hệ

lực) kí hiệu M là tổng mômen các lực đối với điểm O: O

tập trung các dây, các thanh ) Đặt lực: Trước tiên, biểu diễn tất cả các lực đã

cho, tiếp theo biểu diễn các phản lực liên kết (phản lực liên kết tựa và liên kết dây có phương chiều đã xác định; phản lực các liên kết thanh, bản lề, ngàm có

đúng; đáp số âm - chiều ngược lại) Trong biểu diễn lực, cần chú ý điểm đặt, phương chiều, số thành phần và cách phân tích các phản lực Cần phân biệt lực hoạt động và lực liên kết, lực tác dụng vào từng vật và vào toàn hệ hoá rắn, nội lực và ngoại lực

• Bước 2: Phân tích đặc điểm hệ lực khảo sát: (đồng quy, song song hay bất

kỳ), từ đó xác định số phương trình cân bằng độc lập có thể lập được (2 hoặc 3) theo các điều kiện trong mục 1.1.2, sau đó tiến hành giải các phương trình nhận được

Chú ý:

1 Nếu hệ lực khảo sát là đồng quy phẳng, có thể dùng điều kiện cân bằng dạng hình học (đa giác lực tự khép kín) Trong trường hợp số lực ít, có thể dùng phương pháp biến đổi lực ở bài toán đòn, vật lật, phương trình cân bằng lập được chỉ chứa các lực hoạt động

2 Đối với bài toán hệ vật, vì có hai loại điều kiện cân bằng nên tương ứng

có hai cách thành lập các phương trình cân bằng: phương pháp tách vật và phương pháp hoá rắn

3 Cần chú ý rằng, mỗi cặp nội lực dù được vẽ ngược chiều, cùng ký hiệu nhưng vẫn cùng giá trị (cùng dương hay âm tuỳ theo chiều giả định là đúng hay sai)

1.3 Bài giải mẫu

1.3.1 Bài toán tìm điều kiện cân bằng

Bài toán được đặt ra như sau: Cho một vật rắn (hay hệ vật rắn phẳng) chịu

tác dụng của hệ lực đã cho F 1 , F 2 , , F n , tìm vị trí cân bằng của vật (hệ vật) hoặc

tìm điều kiện ràng buộc giữa các lực đã cho để vật (hệ vật) cân bằng ở một vị trí

nào đó

Khi giải các bài toán dạng này, ta cần chú ý chọn phương trình cân bằng

sao cho không chứa phản lực liên kết, lập được phương trình cân bằng cho phép

tìm ngay ra điều kiện cân bằng

Các bài toán đòn và vật lật là các dạng bài toán đặc biệt của phần này

Ví dụ 1-1:

Thanh đồng chất AB nặng P, dài 2l được

đặt tựa hai đầu A và B vào hai cạnh nhẵn của

một góc vuông OCD Trên thanh AB tại E

treo một vật nặng trọng lượng Q Cho biết

AE=l/2, cạnh OC nghiêng với đường ngang

một góc α, tìm góc nghiêng θ của thanh AB

với đường ngang khi thanh AB cân bằng?

Bài giải:

Khảo sát sự cân bằng của thanh AB (H 1-3): thanh chịu tác dụng của các

lực P, Q và các phản lực NA , N B, ta có hệ lực cân bằng:

(P, Q, N , Nr r rA rB)≡0r

Ta thấy rằng, đường tác dụng của các phản lực liên kết cắt nhau tại I, vậy để

chúng không có mặt trong phương trình cân bằng ta lập phương trình mô men đối

với điểm này:

A

C

B D

Q 2 P Q cos 2tg

Thanh đồng chất AB, dài 2l, trọng lượng P có đầu A tựa trên tường nhẵn, đầu

B dược giữ bởi dây BC nghiêng với tường một góc 30 0 Tìm góc nghiêng α của thanh với tường để thanh nằm ở trạng thái cân bằng?

Bài giải:

Khảo sát sự cân bằng của thanh AB: giải phóng các liên kết, thanh chịu tác

dụng của các lực P, N, T Do bài toán chỉ yêu cầu tìm góc nghiêng α của thanh, nên ta sẽ xây dựng phương trình cân bằng không chứa các thành phần phản lực

chưa biết Lấy mô men với giao điểm của các đường tác dụng của các lực T và N

Hình 1-4

P

H

F Eα

Điều kiện cân bằng của đòn: Để đòn cân bằng, các lực chủ động tác dụng lên đòn phải thoả mãn phương trình cân bằng các mô men đối với trục quay:

Đòn OA có thể quay được quanh trục nằm ngang đi qua O Điểm B của

đòn được nối với van nồi hơi D, chịu áp suất p, đầu A của đòn phải treo vật có trọng lượng Q bằng bao nhiêu để khi áp suất hơi vượt quá một giá trị p nào đó thì van sẽ bị mở ra? Cho biết OA=a, OB=b, diện tích của van là S Bỏ qua trọng

lượng của đòn và ma sát

Bài giải:

Khảo sát đòn OAB (H 1-5), các lực chủ động tác dụng lên đòn gồm có lực

Q và lực đẩy P của hơi nước

Viết điều kiện cân bằng cho mô men đối với điểm O, ta có:

Hình 1-6 Hình 1-5

mô men lật M L và tổng mô men ngược lại là mô men chống lật M CL , ta có điều kiện để vật không bị lật là:

= , được gọi là hệ số ổn định chống lật, khi đó điều kiện để

vật không bị lật là k≥1

Ví dụ 1-4:

Cho cần trục nằm trên đường ray Trọng lượng của cần cẩu là P 1 nằm giữa

khoảng cách hai bánh Vật cẩu ở vị trí xa nhất là CD=l, trọng lượng là P 2 Tìm

trọng lượng của đối trọng Q để cần trục không bị lật? Cho khoảng cách từ đối trọng đến tâm cần trục là 2a, khoảng cách giữa hai bánh xe là 2b

Bài giải:

Khảo sát cần trục ở trạng thái làm việc bình thường, cần trục chịu các lực hoạt động là P1, P2, Q và hai phản lực tại A và B Có thể xảy ra hai khả năng lật: lật quanh A hoặc quanh B (H 1-6)

Xét khả năng lật quanh A: trường hợp này sẽ nguy hiểm nhất khi P2 = 0, lúc đó lực Q là lực gây mô men lật Thiết lập phương trình mô men quanh trục lật

ư

≥+

Như vậy, đối trọng Q phải có giá trị: 2 1

Ví dụ 1-5 (Bài toán hệ vật):

Treo một đĩa tròn đồng chất và một vật nặng vào cùng một điểm O cố định bằng hai sợi dây mềm, mảnh, không dãn và có trọng lượng không đáng kể Hệ cân bằng ở vị trí như hình vẽ, hãy xác định góc α giữa dây treo đĩa với phương

thẳng đứng Cho biết: bán kính đĩa r, trọng lượng đĩa P, chiều dài đoạn dây treo

đĩa là l, trọng lượng vật nặng là Q

Bài giải:

Khảo sát hệ cân bằng gồm đĩa, vật nặng và các dây treo (H 1-7) Các lực

tác dụng lên hệ gồm: các trọng lực P và Q, phản lực liên kết tại O R O Để xác

định góc lệch giữa dây treo đĩa với phương thẳng đứng, ta coi cả hệ là một vật rắn cân bằng dưới tác dụng của hệ lực kể trên, điều kiện cân bằng như sau:

(P, Q, Rr r rO)≡0r Lập phương trình cân bằng đối với mômen tại O, ta có:

60 0

D

C

B A

O1O

Ví dụ 1-6:

Cho cơ cấu phẳng chịu tác dụng của mô men M và lực đẩy F như hình vẽ

Bỏ qua khối lượng của các thanh và ma sát, tìm mối liên hệ giữa M và F để cơ

cấu cân bằng? Cho biết OA=a, điểm C nằm giữa thanh O1B (Hình 1-8)

Bài giải:

Khảo sát hệ bao gồm: các thanh OA, AB, O1B, CD và con chạy D cân

bằng dưới tác dụng của các lực chủ động và các phản lực liện kết tại O, O1, D Để

giải bài toán ta áp dụng phương pháp tách vật:

Trước tiên ta xét cân bằng của thanh OA: tại A do thanh AB chỉ bị kéo hoặc

Tiếp theo, khảo sát sự cân bằng của con chạy D cùng với thanh CD: hoá

rắn hệ đang xét, tại C do thanh chỉ chịu kéo hoặc nén nên chỉ có một thành phần

phản lực S2 hướng dọc theo thanh, lập phương trình cân bằng theo phương ngang,

ta có:

0 2

F S cos 30 0

Sau cùng, ta xét phần còn lại của hệ bao gồm thanh O1B và thanh AB Hoá

rắn hệ đang xét, tại C có thành phần phản lực S’2, tại A có S’1 Viết phương trình

cân bằng mô men đối với O1, ta nhận được:

1.3.2 Bài toán tìm phản lực liên kết

Bài toán được đặt ra như sau: Cho một vật rắn (hay hệ vật rắn phẳng) cân

bằng dưới tác dụng của hệ lực đã cho F 1 , F 2 , , F n , hãy xác định các thành phần

• Để giảm bớt số lượng các lực phải tìm, nếu các ẩn đồng quy, ta nên lập

phương trình mô men đối với điểm đồng quy đó; nếu các ẩn song song, ta

lập phương trình hình chiếu trên trục vuông góc với các ẩn đó

• Đối với bài toán hệ vật, lúc đầu ta nên xác định tính tĩnh định của hệ, sau

đó xác định số lượng ẩn và số phương trình cân bằng độc lập có thể lập

được từ đó tìm các vị trí tách hệ tương ứng

Ví dụ 1-7:

Dầm AB có chiều dài l, đầu A ngàm chặt vào tường, đầu B tự do Dầm chịu

tác dụng của lực F tạo với phương ngang một góc α tại B và ngẫu lực có mô men

bằng M Tìm phản lực tại A, bỏ qua trọng lượng của dầm (Hình 1-9)?

Bài giải:

Xét cân bằng của dầm AB Giải phóng liên kết tại ngàm A, thay bằng các

phản lực liên kết có chiều giả thiết như hình vẽ Ta có hệ lực cân bằng:

Thanh đồng chất AB trọng lượng P, đầu A gắn bản lề và được giữ cân bằng

ở vị trí nằm ngang nhờ dây buộc vật nặng D, dây tạo góc 600 với phương ngang

Bỏ qua trọng lượng dây, ma sát ở trục bản lề và ròng rọc Tìm trọng lượng của vật

D và phản lực tại A (Hình 1-10)?

Bài giải:

Xét cân bằng của thanh AB chịu tác dụng của hệ lực (P, R , Tr rA r), lập phương

trình cân bằng đối với mô men tại A, ta có:

0 A

F α

M

Ta cũng có thể giải bài toán trên theo cách khác: Để ý thấy thanh AB

cân bằng dưới tác dụng của ba lực P, R A và T, trong đó hai lực P và T có đường

tác dụng cắt nhau tại O, vậy để thanh cân bằng ba lực trên phải đồng quy Biểu diễn tam giác lực như hình trên ta sẽ xác định được các giá trị cần tìm

Ví dụ 1-9:

Dầm đồng chất AB có trọng lượng P và chiều dài l, dầu A ngàm chặt trong

tường, tạo với tường một góc α Trên dầm đặt khối trụ tròn đồng chất, trọng

lượng Q Tìm áp lực của khối trụ lên dầm và tường, phản lực liên kết tại A? Cho

30 0

C P

Tách hai vật và giải phóng các liên kết, ta có: Khối trụ chịu tác dụng của hệ

lực đồng quy (Q, N , Nr r1 r2); dầm AB chịu tác dụng của hệ lực ( ' )

B

XAA

Chọn hệ toạ độ như hình vẽ, hệ khảo sát gồm hai thanh ABC và CD, hoá rắn

hệ ta được một vật cân bằng dưới tác dụng của hệ lực:

(F , F , Q, X , Y , X , Y , Mr r1 2 r rA rA rO rO )≡0r (a) Trong đó: Q=4q

Từ (a), ta thiết lập các phương trình cân bằng cho hệ:

Ba phương trình lập được chưa đủ để xác định 4 ẩn Ta phải sử dụng thêm

phương pháp tách vật: Giải phóng liên kết cho thanh CD, lúc này phản lực tại C

xuất hiện và có hai thành phần

Viết các phương trình cân bằng cho thanh CD, ta có:

q

X A =-3.39kN; X C =-4.39kN; X D =4.39kN

Y A =11.8kN; Y C =4.14kN; Y D =7.86kN

Bài toán giàn:

Khái niệm giàn: Giàn là cấu trúc cứng được cấu tạo từ các thanh thẳng liên kết với nhau bằng các khớp ở hai đầu, các vị trí này được gọi là các nút

Trong bài toán giàn chấp nhận các giả thiết sau:

- Tất cả các tải trọng ngoài đặt lên giàn tại các nút

- Bỏ qua ma sát tại các nút và trọng lượng của các thanh (hoặc trọng lượng của các thanh được phân bố ra các nút), vì vậy các thanh giàn được coi là chỉ chịu kéo hoặc nén

Cấu tạo của giàn: Số lượng thanh (k) và số nút (n) liên hệ với nhau theo hệ thức:k=2n-3 Nếu số thanh ít hơn, giàn sẽ không cứng; ngược lại nếu số thanh nhiều hơn, giàn sẽ siêu tĩnh

Bài toán giàn: là bài toán xác định phản lực ở các gối tựa và ứng lực ở các thanh giàn

Bài toán xác định phản lực: Xem giàn như một vật rắn, viết các phương trình cân bằng thông thường và giải

Bài toán xác định ứng lực: Có hai phương pháp:

- Phương pháp tách nút:Đánh số nút và thanh (dùng số La mã để đánh số nút), ký hiệu các ứng lực tương ứng với các thanh là S k Lần lượt xét các điều kiện cân bằng của các lực đồng quy tại từng nút của giàn Phương pháp này

được sử dụng khi cần xác định ứng lực ở tất cả các thanh Khi có ứng lực nào bằng không thì thanh đó được gọi là thanh “không”

- Phương pháp mặt cắt: Cắt giàn qua một số thanh, viét phương trình cân bằng cho từng phần giàn Phương pháp này thường được sử dụng khi cần

xác định các ứng lực trong các thanh riêng rẽ cần kiểm tra độ bền, hoặc khi gặp nút có số ẩn lớn hơn 2.

Ví dụ 1-11:

Cho giàn như hình vẽ, giàn chịu các lực tác động sau: F 1 =F 2 =F 3 =F Xác

định các phản lực tại các gối và ứng lực trong các thanh (Hình 1-13)?

Bài giải:

Đầu tiên, ta xét tính tĩnh định của bài toán: đánh số nút và thanh như trên

hình vẽ, ta có: k=9 và n=6, như vậy số thanh và số nút thoả mãn hệ thức k=2n-3, vậy giàn là tĩnh định

Xác định phản lực: Coi giàn như một vật rắn cân bằng, chịu tác động của hệ lực bao gồm các lực hoạt động F 1 , F 2 , F 3 và các phản lực liên kết tại A và B Ta lập các phương trình cân bằng cho hệ lực nêu trên, nhận được:

Xác định ứng lực trong các thanh: Ký hiệu ứng lực S k tương ứng với ứng lực

tại thanh thứ k, chiều của các ứng lực như trên hình vẽ và các thanh coi như bị

kéo, nếu như kết quả tính toán là âm, khi đó thanh sẽ bị nén

b a

A

XA

V

IV III

II

I

VI

Phương pháp tách nút: Tại mỗi nút ta nhận được một hệ lực đồng quy và

= ư = ư Tiếp theo, tại nút II có ba thanh nhưng ta

đã biết giá trị của S 1 vì vậy ta cũng sẽ xác định được hai giá trị còn lại Lần lượt

như vậy, ta sẽ xác định được toàn bộ ứng lực trong các thanh

Phương pháp mặt cắt: Giả sử đòi hỏi xác định ứng lực trong thanh số 6, ta

3

2 3

3

Q N

; Q P

NA = ư B = ; Xe vượt qua bậc khi

3

3 P

P

B A

O

1-2 Trục của ròng rọc O được đỡ bởi hai thanhOA và OB, trọng lượng không

đáng kể, nghiêng đều 600 với đường nằm ngang Vòng qua ròng rọc là sợi dây,

đầu treo vật năng P, đầu kia nghiêng 300 với đường nằm ngang và chịu lực F(=P)

để giữ vật cân bằng Xác định ứng lực của hai thanh?

Trả lời:

3

3 2 3

3

P S

; P

1-3 Thanh AB được mắc vào tường nhờ bản lề A và được giữ nằm ngang nhờ

thanh CD; thanh sau có hai đầu là bản lề nối vào thanh đầu và trần Góc nghiêng

giữa hai thanh là 600, trọng lượng 2 thanh đều không đáng kể Cho AC=2m,

CB=1m Tìm phản lực tại bản lề A và C khi đầu B chịu lực thẳng đứng P=10kN

1-4 Cầu (xem như đồng chất) AB=2a, trọng lượng P, nằm gối cố định A và gối

di động B ở tầm cao h có lực gió nằm ngang Q Xác định phản lực tại A và B

trong hai trường hợp sau:

a) Gối di động B di chuyển trên mặt phẳng ngang

b) Gối di động B di chuyển trên mặt phẳng nghiêng góc 300 với mặt nằm

C

P

B A

Hình bài 1-3

α

a) h

Q

B A

B

b) h

Q A

Hình bài 1-4

b)

3

3 2

2

1 6

3 6

3

) a

h Q P ( N

; a

h Q P Y );

a

h ( Q P

mặt thẳng đứng) Treo vào nhẫn vật nặng P Mặt

khác buộc vào nhẫn sợi dây ABC, đầu C (sau khi

vắt qua ròng rọc B đặt ở vị trí cao nhất của đường

C

B A

Trả lời:

P

Q arccos 2 2

=

ϕ

1-9 Thanh đồng chất AB trọng lượng P=20N

có trục quay nằm ngang A, đầu B treo vật nặng

P=200N Cũng tại đầu B, buộc sợi dây, đầu dây

kia treo vật nặng Q = 200N sau khi vắt qua ròng

rọc nhỏ D Biết AD nằm ngang, AD=AB Tìm

góc nghiêng α của thanh khi cân bằng

với nhau tại trục nằm ngang B của đòn Tại

hai đầu A và C buộc hai sợi dây, đầu treo

hai vật nặng P1= 310N, P2= 100N, sau khi

vòng qua hai ròng rọc nhỏ E và F biết ở vị

trí cân bằng góc EAB = 1350, trọng tâm G của đòn cách đường thẳng đứng BD một đoạn 0,212m

Xác định góc ϕ =BCF

Trả lời: ϕ1=450; ϕ2 =1350

1-11 Khi lượn tròn, mặt đường nghiêng góc α với mặt nằm ngang (tâm lượn ở phía thấp) Biết khoảng cách hai bánh xe AB = 2a, trọng lượng xe là P (trọng lượng tâm C nằm trên trung trực của AB và cách mặt đường một đoạn h)

Xác định vận tốc tối đa v để xe không bị lật biết

rằng lực quán tính li tâm đặt tại C, nằm ngang và có trị

số:

R

v g

P Q

atg h

htg a gR

v 2

1-12 Lực nằm ngang Q đặt vào đầu A của cần OA, cần này quay được quanh trục O và ép ở B vào khối trụ c nằm trong góc vuông giữa nền ngang và tường

đứng Bỏ qua trọng lượng của cần, biết trọng

lượng khối trụ đồng chất là P và OB = BA, Ô=600;

N

; Q P

1-13 Thanh AB đồng chất trọng lượng P gắn với nền bằng bản lề A và tựa lên quả cầu C, quả cầu này đồng chất, trọng lượng Q, tựa lên nền và được giữa bởi dây AC (nối tâm C với chốt bản lề A) Biết thanh

nghiêng 600 với nền Tìm các phản lực tại A, D và

sức căng của dây

Trả lời:

4

3 4

3 2

2

P Y

; P X

;

P T

; Q

Trên đường có đoàn tầu AE, trọng lượng (thẳng

đứng) mỗi mét dài là 20kN Tìm phản lực tại A,

Cho AD = 40m, AE = 70m, chiều cao của đoàn tầu không đáng kể

Trả lời: SC = 50KN; YA = 225KN;

YE = 150KN; SD = 1125KN

1-15 Trên đường nằm ngang có xe AB trọng lượng Q mang cần BC trọng lượng

P, quay được quanh trục B và được giữ bởi dây ED,

vòng qua đầu mút C là dây mang vật nặng P có đầu

dây kia buộc vào A Cho AE=EB=BD=DC và cần BC

nghiêng 600 với mặt đường Tìm phản lực hai bánh

xe A, B sức căng của dây ED và lực tác dụng tương

1-16 Trên nền nằm ngang đặt thang hai chân nối với nhau nhờ bản lề C và dây

EF Trọng lượng mỗi chân thang (đồng chất) là 120N Tại D có người nặng 720N, kích thước ghi trên hình vẽ Tìm phản lực tại A, B và sức căng của dây

Hình 1-15

Trả lời: NK=2Pcos2α; ND=4Psinαcosα; NE=2Psinαcosα

P

K

D E

C O

B

A

a a a

1-18 Lực thẳng đứng P đặt vào đòn bẩy truyền tác dụng xuống cần BD thông

qua con trượt B Cần BD trượt theo máng trượt C thẳng đứng Biết đòn OA

nghiêng 300 với đường nằm ngang, OB=BA, CD=CB=a Tìm lực nén tại D và

phản lực máng trượt (xem như loại ngàm)

Trả lời:

2

3 2

3 2

3

aP m

; P N

; P

1-19 Vật nặng P được treo vào nút (1, 2) của dàn

gồm 5 thanh (1, 2, 3, 4, 5) bố trí như hình vẽ và được

giữ cố định nhờ 3 thanh 6, 7, 8

Tìm ứng lực các thanh (bỏ qua trọng lượng xem

như các thanh nối với nhau và với nền và tường bằng

30 0

P

8 7

1-20 Ba dầm đồng chất AB, BC, CD trọng l−ợng 2P, P, P nối với nhau bằng bản

lề B, C và đ−ợc đỡ nằm ngang nhờ gối đỡ cố định A và các gối đỡ di động E, G,

;

P N

; P N

; P

6

5 3

2 2

1-21 Cho cơ cấu nh− hình vẽ, ngẫu lực m đặt vào

tay quay OA, thông qua con chạy A, cần BC, con

chạy C và cần ED, truyền tác dụng đến vật G Biết

OB thẳng đứng OA=OB=r: OBC=300; BA=AC, cần

; r

m Y

; r

m X

; r

m

3

2 3

3 3

3 2

0

r

m Y

; r

Trả lời: ϕ=0; N=17,3N

Hình bài 1-21 Hình bài 1-20

Hình bài 1-22 Hình bài 1-23

1-23 Thanh đồng chất OA, trọng lượng P quay được quanh trục O và tựa tại

điểm B của nó lên quả cầu đồng chất C Quả cầu này có trọng lượng Q, bán kính

R, được treo vào trục nhờ dây OD=R Biết OD nghiêng 300 với OA, tìm góc nghiêng ϕ (với đường thẳng đứng) của dây OD khi cân bằng

Trả lời:

P Q

P tg

3 4

3 +

= ϕ

1-24 Ngẫu m đặt vào tay quay OA quay được quanh trục

O Nhờ con chạy A có thể trượt dọc CB mà lực truyền tác

dụng sang cần CB Biết OC thẳng đứng, OA=R nằm ngang

3 8

=

Hình bài 1-24

1-25 Cam A là một khối lăng trụ thiết diện tam giác

vuông trượt được theo mặt nhẵn nằm ngang dưới tác dụng

của lực dây nằm ngang P, cam có mặt nghiêng, góc

nghiêng α nhờ đó đẩy được cần trượt BC, trượt theo máng

trượt thẳng đứng Xác định lực thẳng đứng Q phải đặt vào

máng trượt để có cân bằng

Trả lời: Q=Pctgα

1-26 Quả cầu đồng chất có trọng lượng P được treo

trên tường nhẵn thẳng đứng nhờ sợi dâyAC Dây lập với tường góc α Xác định lực căng T và áp lực của quả cầu lên tường

Trả lời: T P ; N P.tg

cos

α

1-27 Giá ABC để nâng, hạ tải trọng P=20kN qua ròng rọc A và tời D Tời D

được gắn vào tường có góc DCA=300 Góc giữa các thanh của cần trục là ABC=60o, ACB=300 Hãy xác định lực dọc trong các thanh AB và AC

Trả lời:

Q sin2N

1-29 Dầm AB chiều dài l, đầu B treo vật M trọng lượng P, đầu A tựa vào tường

nhẵn thẳng đứng, tại C tựa vào gờ như hình vẽ Xác định phản lực tựa tại A và C, khoảng cách AC khi hệ cân bằng Bỏ qua ma sát và trọng lượng của dầm Cho biết dầm lập với phương ngang góc α

B

Q A

β Hình bài 1-31b

α

P

B A

b a

1-31 Dầm AB cân bằng dưới tác dụng của lực P như hình vẽ Cho biết các kích thước a, b, và các góc α, β Xác định phản lực liên kết tại A, B trong hai trường hợp Bỏ qua trọng lượng của dầm

Trả lời: a, XA=P.cosα; YA P.b sin ; NB P.a sin

3

B

P2 M C

4 A

P1 α

q

1-34 Hai dầm AB, BC liên kết khớp tại B cân bằng dưới tác dụng của các lực như hình vẽ Biết các kích thước: a, b, d, và các giá trị F1, F2, M1, M2, q, α, β Bỏ qua trọng lượng của các dầm Tìm các phản lực liên kết tại A, D, B, C

1-35 Dầm liên hợp gồm hai thanh AB, BC cân bằng dưới tác dụng của các lực như hình vẽ Xác định phản lực tại A, B, C

1-36 Khung gồm hai thanh AB, BC nối bản lề tại B cân bằng dưới tác dụng của các lực như hình vẽ Tìm phản lực tại A, B và C

1-37 Dầm liên hợp gồm ba thanh AB, BC, CD cân bằng dưới tác dụng của các lực như hình vẽ Bỏ qua trọng lượng của các dầm Tìm các thành phần phản lực tại A, B, E, D, C

1-38 Cơ hệ gồm ba thanh AB, BC và CD cân bằng dưới tác dụng của các lực

như hình vẽ Lực F2 song song với mặt phẳng nghiêng Bỏ qua trọng lượng của

các thanh Xác định phản lực tại A, B, E, C, D

b a

d c

C

F 2

α

B M

q

F2 C

b b a

M3

M2

M1

D C

E B A

Hình bài 1-37

F2 α

D B

A

a

a

a a a a a

F E

G P

C