bài tập nguyên lý thống kê

bài tập nguyên lý thống kê khối ngành kinh tế

BÀI TẬP MÔN NGUYÊN LÝ THỐNG KÊ

Các bài tập này phần lớn do tôi tự giải Vì khả năng có hạn nên dĩ nhiên các bài giải sẽ không tránh được sai sót Nếu ai đó đọc được tài liệu này, nhận ra chỗ nào chưa ổn, hãy liên lạc với tôi qua email: nguyen123765@yahoo.com.vn Hi vọng với sự đóng góp

của tôi sẽ có ích cho các bạn

Bài 1 Có một hộp chứa 3 quả cầu màu xanh, 4 quả cầu màu đỏ, 5 quả cầu màu vàng Lấy ngẫu nhiên 1 quả Tính xác suất để quả cầu lấy ra là quả cầu màu đỏ?

Giải

- Gọi A là biến cố quả cầu lấy ra là quả cầu màu đỏ Xác suất:

3

112

4)

Bài 2: Một thùng gồm 10 viên bi, trong đó có 3 viên bi đen và 7 viên bi trắng Lấy ngẫu nhiên 1 viên bi từ thùng

a Tìm xác suất để viên bi lấy ra là viên bi trắng?

b Lấy ngẫu nhiên (1 lần) 4 viên bi từ thùng Tìm xác suất để trong 4 viên bi này có đúng

2 viên bi trắng?

Giải

a Tìm xác suất để viên bi lấy ra là viên bi trắng

- Số kết quả đồng khả năng xảy ra: C101 10

- Gọi A là biến cố viên bi lấy ra là bi trắng

- Số kết quả thuận lợi cho A xảy ra: C17 7

- Xác suất bi lấy ra là bi trắng: 0,7

10

7)(A  

P

b Lấy ngẫu nhiên (1 lần) 4 viên bi từ thùng Tìm xác suất để trong 4 viên bi này có đúng

2 viên bi trắng

- Gọi B: Biến cố 4 bi lấy ra có đúng 2 viên bi trắng

- Xác suất để trong 4 viên bi lấy ra có đúng 2 viên bi trắng:

10

3210

63210

321)

10

2 3 2



C

C C B P

Bài 3 Có một hộp có chứa 7 bi đỏ và 5 bi xanh Có bao nhiêu cách lấy:

- Gọi B: Biến cố 4 bi lấy ra có ít nhất 1 bi đỏ BC124 C54C70 495(51)490(Cách)

Bài 4 Trong một thùng đựng 20 quả cầu, được đánh số từ 1 đến 20

Lấy ngẫu nhiên 1 quả cầu Tính xác suất để:

a Quả cầu lấy ra là quả cầu số chẵn?

b Quả cầu lấy ra là quả cầu chia hết cho 3?

Giải

a Quả cầu lấy ra là quả cầu số chẵn

20

0 10 1

10   



C

C C A P

b Quả cầu lấy ra là quả cầu chia hết cho 3

- Các số có tổng các chữ số chia hết cho 3 thì chia hết cho 3

- Từ 1 đến 20 có 6 số chia hết cho 3: 3, 6, 9, 12, 15, 18 và có 20-6=14 số không chia hết cho 3

- Gọi B là biến cố quả cầu lấy ra là quả cầu chia hết cho 3

- Tính xác suất:

10

320

16)

20

0 14 1

6   



C

C C B P

Bài 5 Cho X = {1,2,3,4,5,6,7} Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số lấy từ X và sao cho: a) Có chữ số đầu là 3?

- Với chữ số đầu tiên là 3 thì các chữ số còn lại (từ 2 đến 5) đều có 7 cách chọn từ X

- Do đó số tự nhiên có 5 chữ số với chữ số đầu là 3 thì gồm có: 74=2401 (số) (Chữ số đầu tiên

Chữ đầu tiên có 7 cách chọn, theo đề bài số kề nhau phải khác nhau nên số liền kề phải khác

số liền trước, vậy x2 có 7-1=6 cách chọn, x3 phải khác x2 nhưng không khác x1, x3 có 7-1=6 cách, suy luận tương tự ta có được x4 có 6 cách, x5 cũng có 6 cách

Vậy áp dụng quy tắc nhân ta tính như sau: 7x64=9072 (số)

d) Không được bắt đầu bằng 123

- Gọi A là tập hợp các số tự nhiên có 5 chữ số bất kỳ (gồm cả các số bắt đầu bằng 123)

- Gọi B là tập hợp các số tự nhiên có 5 chữ số bắt đầu bằng 123

- Gọi C là tập hợp các số tự nhiên có 5 chữ số mà các số không được bắt đầu bằng 123

→ C=A-B

Theo kết quả câu a ta có A=16.807, tính B?

Vì các số tự nhiên bắt đầu bằng 123 nên ta chỉ xét các số thứ 4 và 5 Vì đề bài không yêu cầu điều kiện nên số thứ 4 có 7 cách, thứ 5 cũng có 7 cách Vậy B=7x7=49 (số)

- Vậy C=A-B = 16.807 – 49 = 16.758 (số)

Bài 6 Một nhóm có 10 ứng cử viên để chọn vào 3 vị trí: Trưởng, Phó và Thư ký

a Có bao nhiêu cách chọn ra 3 người để xếp vào 3 vị trí trên?

b Có bao nhiêu cách bổ nhiệm 3 người vào 3 vị trí trên?

Giải

a Cách chọn ra 3 người để xếp vào 3 vị trí trên

- Theo đề bài ta chỉ việc chọn ra 3 người mà không xét đến vị trí của họ nên Như vậy cách lấy

ở đây là cách lấy theo kiểu tổ hợp (không xét đến vị trí, thứ tự)

- Số cách chọn: C103 120(cách)

b Cách bổ nhiệm 3 người vào 3 vị trí trên

- Việc bổ nhiệm sẽ xét đến vị trí của 3 người Cách lấy như vậy là lấy theo kiểu chỉnh hợp

- Gọi A là biến cố 6 viên bi lấy ra là bi đỏ

- Số kết quả thuận lợi cho A xảy ra: C66 1

- Xác suất 6 bi lấy ra đều là bi đỏ:

210

1)(A 

P

Tính nhanh như sau:

210

1210

11)

10

0 4 6

6    



C

C C A P

b Có 4 bi đỏ, 2 bi vàng:

- Số kết quả đồng khả năng xảy ra: C106 210

- Gọi B là biến cố 6 bi lấy ra có 4 bi đỏ và 2 bi vàng: BC64C42 90

- Xác suất cần tìm:

7

3210

90)

90210

615)

10

2 4 4



C

C C B P

c Có ít nhất 2 bi vàng:

Cách giải 1:

Vì 6 bi lấy ra có ít nhất 2 bi vàng, nghĩa là số bi vàng lấy ra sẽ giao động từ 2 bi vàng đến 4 bi vàng (số bi vàng tối đa) Vì vậy sẽ có 3 trường hợp xảy ra như sau:

- Trường hợp 1: 2 bi vàng được lấy ra khi đó số bi đỏ sẽ là 4 bi

+ Gọi C là biến cố 2 bi vàng được lấy ra:

7

3210

156)

10

4 6 2

4    



C

C C C P

- Trường hợp 2: 3 bi vàng được lấy ra khi đó số bi đỏ sẽ là 3 bi:

+ Gọi D là biến cố 3 bi vàng được lấy ra:

21

8210

204)

10

3 6 3

4   



C

C C D P

- Trường hợp 3: 4 bi vàng được lấy ra khi đó số bi đỏ sẽ là 2 bi:

+ Gọi E là biến cố 4 bi vàng được lấy ra:

14

1210

151)

10

2 6 4

4    



C

C C E P

Gọi F là biến cố 6 bi lấy ra có ít nhất 2 bi vàng:

42

3714

121

87

3)()()()

P

Cách giải 2:

)11()46(210)

10

0 4 6 6 1 4 5 6 6



C

C C C C C

- Gọi A là biến cố bi lấy ra là bi đỏ

- Số kết quả thuận lợi cho A xảy ra: C16 6

- Xác suất bi lấy ra là bi đỏ: 0,6

10

6)(A  

P

Bài 9 Một hộp có 6 bi đỏ, 4 bi xanh, lấy ngẫu nhiên ra 4 bi Tìm xác suất 4 bi lấy ra có 2 bi

đỏ và 2 bi xanh

Giải

- Số kết quả đồng khả năng xảy ra: C104 210

- Gọi A là biến cố 4 bi lấy ra có 2 bi đỏ và 2 bi xanh: 2 90

4 2

90)(A  

P

Bài 10 Một cái hộp đựng 16 viên bi gồm 7 trắng, 6 đen và 3 đỏ Lấy ngẫu nhiên 10 viên bi Tính xác suất để được 5 viên trắng, 3 viên đen và 2 viên đỏ

Giải

- Số kết quả đồng khả năng xảy ra: C16108.008

- Gọi A là biến cố 10 bi lấy ra có 5 viên trắng, 3 viên đen và 2 viên đỏ: AC75C63C32 1.260

- Xác suất cần tìm:

286

458008

1260)

P

Bài 11 Một công ty cần tuyển 4 nhân viên, có 15 ứng cử viên, trong đó có 10 nam và 5

nữ Khả năng được tuyển của mỗi người như nhau Tính xác suất để có kết quả 4 người được tuyển gồm 2 nam 2 nữ?

Giải

- Số kết quả đồng khả năng xảy ra: C154 1365

- Gọi A là biến cố kết quả tuyển được 4 người gồm 2 nam 2 nữ: AC102 C52 450

- Xác suất:

91

301365

450)(A  

b 2 người trúng tuyển là nữ?

c Có ít nhất 1 nữ trúng tuyển?

Giải

a 2 người trúng tuyển là nam

- Gọi A là biến cố 2 người trúng tuyển là nam Xác suất:

15

1)

6

0 4 2

2  



C

C C A P

b 2 người trúng tuyển là nữ

- Gọi B là biến cố 2 kết quả trúng tuyển là nữ Xác suất:

5

2)

6

2 4 0

2  



C

C C B P

c Có ít nhất 1 nữ trúng tuyển

- Gọi C là biến cố kết quả trúng tuyển có ít nhất 1 nữ:    

15

1415

1115)

6

0 4 2 2 2

6      



C

C C C C P

Bài 13 Một hộp có 6 bi đỏ và 4 bi xanh, lấy cùng lúc ra 3 bi

a Tìm xác suất 3 bi lấy ra cùng màu?

b Xác suất 3 bi lấy ra có ít nhất một bi đỏ?

Giải

a Gọi: A là biến cố 3 bi lấy ra đều là bi đỏ

B là biến cố 3 bi lấy ra đều là bi xanh

C là biến cố 3 bi lấy ra cùng màu

Vì 3 bi lấy ra phải cùng màu nên 3 bi lấy ra hoặc là 3 bi đỏ hoặc là 3 bi xanh nên hai biến cố A

20)

30

1120

4)

5

130

16

1)()(A P B    

P

b Xác suất 3 bi lấy ra có ít nhất 1 bi đỏ

Cách 1:

Vì 3 bi lấy ra có ít nhất 1 bi đỏ, nghĩa là số bi đỏ lấy ra sẽ giao động từ 1 bi đỏ (ít nhất) đến 3 bi

đỏ (nhiều nhất) Vì vậy sẽ có 3 trường hợp xảy ra như sau:

- Trường hợp 1: 1 bi đỏ được lấy ra khi đó số bi xanh sẽ là 2 bi

+ Gọi C là biến cố 1 bi đỏ được lấy ra:

10

3120

66)

10

2 4 1

6   



C

C C C P

- Trường hợp 2: 2 bi đỏ được lấy ra khi đó số bi xanh sẽ là 1 bi:

+ Gọi D là biến cố 2 bi đỏ được lấy ra:

2

1120

415)

10

1 4 2

6    



C

C C D P

- Trường hợp 3: 3 bi đỏ được lấy ra khi đó số bi xanh sẽ là 0 bi:

+ Gọi E là biến cố 3 bi đỏ được lấy ra:

6

1120

120)

10

0 4 3

6   



C

C C E P

Gọi F là biến cố 3 bi lấy ra có ít nhất 1 bi đỏ:

30

296

12

110

3)()()()(F P C P D P E    

P

Cách 2:

- Gọi E là biến cố 3 bi lấy ra có ít nhất 1 bi đỏ

- Gọi Ē là biến cố 3 bi lấy ra toàn xanh Tức Ē là biến cố đối lập của E

Khi đó: P(E) = 1 – P(Ē )

Tính P(Ē)? P(Ē)

30

2930

11)(30

1120

4

3 10

3

C C

Bài 14 Phòng kinh doanh công ty A có 7 nam, 5 nữ Bây giờ cần lập một nhóm 6 người

đi dự họp trong công ty

- Số cách lập một nhóm có 6 người đi dự họp trong đó có 4 nam và 2 nữ: C74C52 350(Cách)

Bài 15 Một tổ học sinh gồm 9 nam và 3 nữ Giáo viên chọn 4 học sinh dự đại hội trường Hỏi có bao nhiêu cách chọn nếu:

a Chọn học sinh nào cũng được?

b Trong đó có đúng 1 học sinh nữ được chọn?

c Trong đó có ít nhất 1 học sinh nữ được chọn?

Giải

a Số cách chọn 4 học sinh bất kỳ từ 12 học sinh (9 nam và 3 nữ): C124 495

b Số cách chọn mà trong đó có đúng 1 học sinh nữ được chọn: 3 252

9 1

- Trường hợp 1: 1 học sinh nữ được chọn khi đó số học sinh nam sẽ là 3 học sinh

Vậy số cách chọn mà trong đó ít nhất 1 học sinh nữ được chọn: 2521089369(Cách)

Bài 16 Cho đại lượng ngẫu nhiên rời rạc X có bảng phân phối xác suất sau:

- Tìm phương sai của X:

Ta có E(X)3,8[E(X)]23,8214,44; E(X2)120,1320,4520,516,2

Vậy: V(X)E(X2)[E(X)]216,214,441,76

Bài 17 Trong một hộp bịt kín đựng 14 cây bút Trong đó có 8 bút xanh, 6 bút đen Lấy ngẫu nhiên 1 lần 2 cây Gọi X là số cây bút màu xanh lấy được

a X có phải là đại lượng ngẫu nhiên không?

b Lập bảng phân phối xác suất tương ứng?

Giải

a X có phải là đại lượng ngẫu nhiên?

Theo định nghĩa ta có: Đại lượng ngẫu nhiên là đại lượng biến đổi biểu thị các giá trị kết quả của một phép thử ngẫu nhiên

Có 3 trường hợp xảy ra như sau:

- Trường hợp 1: X=0; 2 cây lấy ra là đen 0,165

91

1591

151)

0

14

2 6 0

8     



C

C C P

- Trường hợp 2: X=1; 1 cây lấy ra là đen 0,527

91

4891

68)

1

14

1 6 1

8    



C

C C P

- Trường hợp 3: X=2; 0 cấy lấy ra là đen 0,3

91

2891

128)

2

14

0 6 2

8     



C

C C P

Kết luận: X là đại lượng ngẫu nhiên

b Lập bảng phân phối xác suất tương ứng

a Tìm luật phân phối của X

Ta thấy X là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc nhận các giá trị 0, 1, 2 Vậy sẽ có 3 trường hợp xảy

0

10

2 4 0

P

15

8)

1

10

1 4 1

P

3

1)

2

10

0 4 2

Xác định kỳ vọng: 1,2

3

1215

8115

20)(X       

8115

20

8115

20)]

([)()

V

d Độ lệch chuẩn của X: (X) V(X) 0,4267 0,6532

Bài 19 Một nhóm có 10 người gồm 6 nam và 4 nữ Chọn ngẫu nhiên ra 3 người Gọi X là

số nữ ở trong nhóm Lập bảng phân phối xác suất của X và tính E(X), V(X), mod(X)?

20120

201)

0

10

3 6 0

P

2

1120

60120

154)

1

10

2 6 1

P

10

3120

36120

66)

2

10

1 6 2

P

30

1120

4120

14)

3

10

0 6 3

322

116

10)(X         

E

Xác định phương sai: Ta có E(X)1,2[E(X)]21,221,44

230

1310

322

116

10

Bài 20 Thống kê về doanh thu của một nhà sách trong năm có các thông số sau:

a Lập bảng phân phối xác suất doanh thu nhà sách/ngày

Gọi X là số doanh thu của nhà sách/ngày

098,0357

35)15

X

143,0357

51)23

X

182,0357

65)29

Kết quả trên cho thấy doanh thu trung bình của nhà sách là 23,032 triệu (Giá trị kỳ vọng)

Doanh thu thấp nhất của nhà sách ở mức 15 triệu và cao nhất 29 triệu

Ở mức 27 triệu có số ngày nhiều nhất vì xác suất cao nhất

Bài 21 Có một hộp chứa 10 viên bi, trong đó có 6 viên màu đỏ, 4 viên màu trắng Rút đồng thời 4 viên bi và gọi X là số viên bi màu đỏ được rút ra Lập luật phân phối xác suất của X

Giải

Gọi A là biến cố rút được 4 viên bi, X là số viên bi màu đỏ được rút ra, X lúc này giao động từ

từ 0 đến 4 trong mỗi lần rút ra Vậy sẽ có 5 trường hợp xảy ra như sau:

T HỢP SỐ BI ĐỎ (X) SỐ BI XANH (4-X) XÁC SUẤT

210

1210

11)

0

10

4 4 0

P

35

4210

46)

1

10

3 4 1

P

7

3210

615)

2

10

2 4 2

P

21

8210

420)

3

10

1 4 3

P

14

1210

115)

4

10

0 4 4

P

Bảng phân phối xác suất của X:

Bài 22 Thống kê về lương của 400 cán bộ GV trường Đại học A có số liệu sau:

a Lập bảng phân phối xác suất

Gọi x là số lương của cán bộ GV trường Đại học A

04,0400

16)5,1

X

25,0400

100)2,2(

X

025,0400

10)

Bài 23 Một hộp chứa 12 bi gồm 8 bi đỏ và 4 bi xanh Chọn ngẫu nhiên từ hộp ra 4 bi Gọi

X là số bi đỏ có trong 4 bi chọn ra Hãy tìm luật phân phối của X và xác định kỳ vọng, phương sai của X

11)

0

12

4 4 0

P

495

32495

48)

1

12

3 4 1

P

495

168495

628)

2

12

2 4 2

P

495

224495

456)

3

12

1 4 3

P

495

70495

170)

4

12

0 4 4

P

Bảng phân phối xác suất của X:

2243495

1682495

321495

10)(X           

E

Xác định phương sai: Ta có E(X)2,667[E(X)]22,66727,112889

7576,7495

704495

2243

495

1682495

321495

10

- Lượng biến thiên biến thiên lớn: ta phân tổ có khoảng cách tổ và mỗi tổ có 2 giới hạn:

- Giới hạn dưới: lượng biến nhỏ nhất của tổ: (Xmin)

- Giới hạn trên: lượng biến lớn nhất của tổ: (Xmax)

- Khoảng cách tổ: mức độ chênh lệch giữa 2 giới hạn: h

a Phân tổ có khoảng cách tổ đều:

- Đối với lượng biến liên tục: các trị số lấp kín 1 khoảng [a,b]

Khoảng cách tổ:

k

X X

h max  min

)2

3070

X

h max  min ( 1)



b Phân tổ có khoảng cách không đều

Áp dụng khi lượng biến thiên không đều đặn hoặc với mục đích đánh giá quy mô, mức độ theo các loại, tiêu chuẩn đã được đặt ra:

a Căn cứ vào bậc thợ, hãy phân công nhân trên thành 7 tổ có khoảng cách đều nhau?

b Biểu diễn kết quả lên đồ thị?

TẤN SUẤT (f i )

25

BẬC I BẬC II BẬC III BẬC IV BẬC V BẬC VI BẬC VII

TẤN SUẤT (f i )

0 1 2 3 4 5 6 7 8

Bài 27 Thống kê về doanh thu của một siêu thị có các thông số sau: (ĐVT: triệu đồng/ngày)

TẤN SUẤT (f i )







h

TỔ ĐỘ TUỔI

(x i )

TẦN

SỐ (n i )

TẤN SUẤT (f i )

Cơ cấu (%)

Số lượng (Người)

Cơ cấu (%)

Số lượng (Người)

Cơ cấu (%) TỔNG SỐ

1000

14,3

1140

14,3

1310

2 Xác định tỷ lệ phù hợp:

Nếu chọn R1 làm tỉ lệ gốc (R=1) thì khi so R2, R3 thật với R1 thật sẽ có các tỉ lệ tương ứng sau:

R 1 thật R 1 đã quy đổi R 2 thật R 2 đã quy đổi R 3 thật R 3 đã quy đổi

17,85 1 19 19/17,85 = 1,06 20,4 20,4/17,85 = 1,143

3 Vẽ biểu đồ:

Biểu đồ phản ánh số lượng và cơ cấu học sinh phổ thông

Bài 30 Thống kê về sản lượng Cà phê của Việt Nam có các thông số sau: (ĐVT: ngàn tấn)

95422575630420950

GDP C«ng nghiÖp – X©y dùng N«ng- L©m- Ng- nghiÖp

- Từ năm 2005 đến 2010, sản lượng cà phê của các tỉnh đều tăng, nhưng tốc độ tăng trưởng thì khác nhau giữa các tỉnh Tốc độ gia tăng sản lượng cà phê của các tỉnh Gia Lai và Lâm Đồng từ năm 2005 đến 2010 nhanh hơn so với các tỉnh còn lại Cụ thể: tỉnh Gia Lai từ 18,01% lên 18,78% trong khi tốc độ tăng trưởng của tỉnh Lâm Đồng là nhanh nhất từ 24,5% lên tới 28,16%

- Về quy mô sản lượng cà phê (từ năm 2005 đến 2010):

+ Các tỉnh ĐăkLăc, Gia Lai và Lâm Đồng chiếm phần lớn sản lượng cà phê của Việt Nam Trong 3 tỉnh vừa nêu thì sản lượng cà phê của ĐăkLăc là vượt trội nhất, chiếm tỉ trọng cao nhất (khoảng 2/5 cơ cấu sản lượng cà phê của cả nước)

+ Sản lượng cà phê của các tỉnh còn lại thấp hơn nhiều so với 3 tỉnh ĐăkLăc, Gia Lai và Lâm Đồng, chiếm một tỉ lệ khá nhỏ trong cơ cấu sản lượng cà phê của Việt Nam

Bài 31 Dựa vào bảng số liệu dưới đây hãy vẽ và nhận xét biểu đồ sự tăng trưởng kinh

tế nước ta trong thời gian 1976-2005 (Đơn vị %/năm)

Năm, giai đoạn 76/80 1988 1992 1994 1999 2002 2004 2005

a Những năm trước đổi mới ( từ 1976 đến năm 1988)

- Tăng trưởng kinh tế chậm: GDP chỉ có 0,2%/năm; công nghiệp là 0,6%, nông nghiệp tăng khá hơn 2% Sự phát triển kinh tế dựa vào nông nghiệp là chính Lý do tốc độ tăng trưởng thấp

b Giai đoạn sau đổi mới (từ 1988 tới 2005)