Cơ học lý thuyế

NGUYỄN THÚC AN - NGUYỄN ĐÌNH CHIỀU - KHỔNG DỖN ĐIỀN GIÁO TRÌNH CƠ HỌC LÝ THUYẾT NHÀ XUẤT BẢN XÂY DỰNG THÔNG TIN TÁC GIẢ A Tác giả giáo trình: Lý thuyết dao động GS.TS Nguyễn Thúc An - Năm sinh: 25/02/1939 - Nguyên quán: Xã Tảo Dương văn, huyện Ứng hòa, Hà nội - Trú quán: Phòng 101 nhà tập thể trường Đại học Thủy lợi - Điện Thoại: 04.38533673 - Cơ quan công tác: Đại học Thủy lợi PGS.TS Nguyễn Đình Chiều - Năm sinh: 19/9/1946 - Nguyên quán: Xã Yên Nam huyện Duy Tiên tỉnh Hà nam - Trú quán: 515 Nguyễn Tam Trinh quận Hai Bà trưng, Hà nội - Điện Thoại: 04.36241860 - Cơ quan công tác: Đại học Thủy lợi PGS.TS Khổng Doãn Điền - Năm sinh: 08/10/1946 - Nguyên quán: Phường Bạch hạc thành phố Việt trì, tỉnh Phú thọ - Trú quán: Tập thể trường Đại học Thủy lợi, Đống Đa, Hà nội - Điện Thoại: 38528515 - Cơ quan công tác: Đại học Thủy lợi B Phạm vi đối tượng sử dụng: Ngành học: Kỹ thuật cơng trình, Cơng nghệ kỹ thuật xây dựng, Thủy điện lượng tái tạo, Kỹ thuật tài nguyên nước, Kỹ thuật khí, Thủy văn, Kỹ thuật bờ biển Trường học: Đại học Thủy lợi Từ khóa: Cơ học, Cơ lý thuyết Yêu cầu kiến thức: Toán cao cấp Số lần xuất bản: 01 Nhà xuất bản: NXB Xây dựng LỜI NĨI ĐẦU Trong 40 năm qua, giáo trình Cơ học lý thuyết dùng để giảng dạy học tập Trường Đại học Thuỷ lợi biên soạn nhiều lần Chất lượng in thời kỳ có khác nhau, nội dung đảm bảo cho giảng dạy học tập, đáp ứng yêu cầu đào tạo chương trình khung Hội đồng Ngành Cơ học Bộ Đại học Trung học chuyên nghiệp trước đây, Bộ Giáo dục Đào tạo Lần in năm 1977, chương trình có tới 20 chương, nhiều năm liền sinh viên Trường Đại học Thuỷ lợi học theo chương trình đầy đủ Qua nhiều lần cải cách, chương trình bị rút bớt gần theo chương trình khung Hội đồng Ngành Xây dựng, khơng cịn dạy nội dung: Chuyển động vật rắn có điểm cố định, chuyển động vật rắn tự do, Hợp chuyển động vật rắn, động lực học vật rắn, lý thuyết va chạm, … rút gọn cách trình bày phần Tĩnh học Để thuận tiện cho sinh viên có nguyện vọng học đầy đủ nâng cao, đồng thời đáp ứng u cầu tình hình mới, chúng tơi biên soạn lại giáo trình Cơ học lý thuyết, có chương khơng có chương trình khung (như Chương V phần thứ Phần phụ lục), theo chúng tơi, có chương trình đầy đủ Cách xếp phần không đáp ứng cho tất ngành, chia theo chương trình học ngành học đầy đủ Phân công trách nhiệm viết phần sau: - PGS TS Khổng Doãn Điền viết Chương: I, II, III phần thứ nhất; Phần mở đầu, Chương I, II, III, IV phần thứ hai GS Nguyễn Thúc An viết Chương II phần Một vài Nguyên lý Cơ học - PGS TS Nguyễn Đình Chiều viết Chương V phần thứ hai; Chương I, II phần thứ ba Chương I, III phần phụ lục - GS TS Nguyễn Thúc An viết Chương I PGS Khổng Doãn Điền viết Chương II phần Một vài Nguyên lý Cơ học; Chương II phần phụ lục Tập thể tác giả chân thành cảm ơn GS TSKH Nguyễn Đông Anh GS TS Nguyễn Văn Phó ý kiến đóng góp quý báu trình biên soạn giáo trình Chúng tơi mong nhận góp ý đồng nghiệp người học Cảm ơn Th.S Nguyễn Ngọc Hun đóng góp cơng sức vào hình thức thể giáo trình Xin chân thành cảm ơn Hà Nội, tháng năm 2007 Các tác giả MỞ ĐẦU Cơ học lý thuyết môn học sở Khoa học kỹ thuật đại, Khoa học nghiên cứu quy luật tổng quát chuyển động cân chuyển động vật thể Trong Cơ học lý thuyết, ta hiểu chuyển động thay đổi vị trí vật thể khơng gian theo thời gian, cịn vật thể biểu diễn dạng mơ hình chất điểm hệ Cơ học lý thuyết xây dựng theo phương pháp tiên đề, tức dựa vào số khái niệm hệ tiên đề Niutơn, suy diễn toán học lơgíc mà suy kết Người ta gọi Cơ học cổ điển hay Cơ học Niutơn, nghiên cứu chuyển động với vận tốc nhỏ so với vận tốc ánh sáng vật thể vĩ mơ, tức vật thể có kích thước lớn kích thước nguyên tử nhiều Trên sở toán nghiên cứu, Cơ học lý thuyết chia làm ba phần: Tĩnh học, Động học Động lực học Phần tĩnh học, nghiên cứu trạng thái cân vật rắn tác dụng lực đặt lên vật Phần động học khảo sát chuyển động chất điểm hay vật rắn phương diện hình học mà khơng xét đến ngun nhân gây chuyển động Phần động lực học nghiên cứu quy luật chuyển động chất điểm hệ tác dụng lực Cơ học lý thuyết có vai trị ý nghĩa lớn Nó khơng sở khoa học nhiều lĩnh vực Khoa học kỹ thuật đại, mà quy luật phương pháp nghiên cứu học lý thuyết cho phép ta tìm hiểu giải thích tượng tự nhiên giới xung quanh ta Đối với Trường Đại học kỹ thuật nói chung Trường Đại học Thuỷ lợi nói riêng, Cơ học lý thuyết mơn học quan trọng sở cho nhiều môn học khác, Sức bền vật liệu, Nguyên lý máy, Thuỷ lực, Bê tông cốt thép, Thuỷ năng, Thi công, Để học tốt môn học, cần phải nắm sở giải tích tốn học, hình học giải tích, Đại số cao cấp, phương pháp vi phân Ngồi ra, kiến thức hình học đại số sơ cấp, lượng giác phải nắm thật vững Lịch sử phát triển Cơ học lý thuyết gắn liền với với phát triển sản xuất, q trình lâu dài Từ xa xưa, để xây dựng cơng trình vĩ đại Kim tự tháp Ai cập, người ta dùng kinh nghiệm tích lũy học để chuyên chở hay đưa vật nặng lên cao công cụ đơn giản như: Xe trượt, lăn đòn bẩy, mặt phẳng nghiêng, Sự chuyển tiếp từ hiểu biết đơn kinh nghiệm dẫn đến việc thiết lập quy luật chung học địi hỏi thời gian dài tích luỹ dần tài liệu thực tế phong phú kết quan sát, kinh nghiệm hoạt động sản xuất người Nhà thuỷ tổ Cơ học lý thuyết (phần tĩnh học) Ácximét (287-212 TCN), giải nhiều vấn đề học như: Xét điều kiện cân đòn, xây dựng lý thuyết trọng tâm, sức đẩy nước lên vật đặt nước nhiều phát minh kỹ thuật Quân Dưới thời trung cổ, học môn học khác bị đình trệ kìm hãm thống trị hà khắc chế độ phong kiến thần học Nhà hoạ sĩ nhà Vật lý học người Ý tên Lê-ô-na Đờvanhxi (1452-1513) người dùng tốn học học Ơng nghiên cứu tượng ma sát Máy, trượt vật mặt phẳng nghiêng đưa khái niệm mơmen lực Cơpécních (1473-1543) lập lý thuyết “mặt trời trung tâm”, lật đổ lý thuyết “trái đất trung tâm” đóng góp cho lịch sử phát triển cho lịch sử học Kêple (1571-1630) tìm ba định luật tiếng chuyển động Galilê (1564-1642) đưa khái niệm vận tốc, gia tốc giải xác vấn đề chuyển động viên đạn, đặt móng cho phần động lực học Nhà Tốn học Cơ học tiếng người Anh Ixac Niutơn (1643-1727) có cơng lớn việc xây dựng hồn chỉnh sở Cơ học cổ điển; đó, ông lập định luật xuất phát từ định luật ơng trình bày phần động lực học cách có hệ thống Ngồi ơng cịn tìm định luật vạn vật hấp dẫn người lập môn Cơ học Sau nhà tốn học Ơle (1707-1783) dùng giải tích để nghiên cứu học cách triệt để hơn, phương pháp nghiên cứu học giải tích phát triển nhờ cơng trình nghiên cứu Lagrăng (1736-1813) Nhà khoa học người Pháp Đalămbe (1717-1813) dựa nguyên lý di chuyển ảo Bécnulli, đưa nguyên lý tiếng mang tên ơng Ngồi ra, nhà khoa học Pháp Laplas, Pốtxơng nhà khoa học Đức Gaoxơ, Écxơ đóng góp nhiều cơng trình giá trị cho phát triển học giải tích Vào kỷ 19 phát triển nhanh chóng khoa học kỹ thuật, để đáp ứng yêu cầu thực dụng, môn Cơ học kết cấu đời Vào kỷ 20, công nghiệp ngành hàng không phát triển nên môn Đàn hồi, thuỷ khí động lực có bước phát triển mạnh Nhà khoa học người Nga Jucốpski (1847-1921) người có giả thiết táo bạo ngành du hành vũ trụ coi thuỷ tổ ngành hàng không Nga Do thành tựu sáng lạn ngành Vật lý vào nửa kỷ 19, đầu kỷ 20 Môn Cơ học tương đối nhà khoa học thiên tài người Đức Anhxtanh đời, làm đảo lộn quy luật Cơ học cổ điển, phủ định khái niệm không gian thời gian tuyệt đối, khối lượng không đổi, mở cho Cơ học bước tiến nhảy vọt Nhưng phải nhấn mạnh rằng: Cơ học cổ điển khơng ý nghĩa vật lý Các tính toán kỹ thuật, thiên văn học vào định luật học cổ điển Tính tốn cho biết rằng: Khi vật chất chuyển động với vận tốc gần vận tốc ánh sáng (300.000 Km/s) kết đạt học cổ điển khác so với kết đạt học tương đối PHẦN THỨ NHẤT: TĨNH HỌC Tĩnh học phần đầu giáo trình Cơ học lý thuyết Nội dung chủ yếu phần khảo sát trạng thái cân vật rắn tác dụng hệ lực đặt lên Để nghiên cứu vấn đề ta giải hai toán sau: Thu gọn hệ lực đặt lên vật rắn Tìm điều kiện cân hệ lực đặt lên vật rắn CHƯƠNG I: CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN - HỆ TIÊN ĐỀ TĨNH HỌC LIÊN KẾT VÀ PHẢN LỰC LIÊN KẾT 1.1 Các khái niệm Trong tĩnh học có ba khái niệm là: Lực, vật rắn tuyết đối trạng thái cân vật rắn 1.1.1 Lực Khái quát hóa kinh nghiệm thực nghiệm tác dụng vật thể, người ta xây dựng khái niệm lực Lực đại lượng đặc trưng cho tác dụng tương hỗ vật thể Tác dụng lực đặc trưng ba yếu tố: • Điểm đặt lực: Là phần tử vật chất thuộc vật chịu tác dụng, tác dụng học mà ta nói đến truyền sang vật • Phương, chiều tác dụng lực • Cường độ tác dụng lực (cịn gọi mơđun ur F lực) B Đơn vị lực thường dùng niutơn, ký hiệu N Từ ba yếu tố đặc trưng cho lực ta thấy lực đại uur uur uur lượng véctơ, ký hiệu F , P , R A Hình 1-1 Véctơ lực véctơ buộc Đường thẳng chứa véctơ lực gọi giá lực hay đường tác dụng lực 1.1.2 Vật rắn tuyệt đối Vật rắn tuyệt đối vật thể mà khoảng cách hai điểm thuộc vật không thay đổi tác dụng học Thường thực tế, tác dụng học, vật rắn biến dạng, ta gọi vật rắn tuyệt đối hai lý sau: − Biến dạng xảy vật rắn bé, khơng ảnh hưởng đến kết tính tốn kỹ thuật, sai số cho phép − Quan niệm toán đơn giản Từ sau, ta gọi vật rắn tuyệt đối vật rắn, khơng nói thêm 1.1.3 Trạng thái cân vật rắn Vật rắn trạng thái cân vật rắn đứng yên hay chuyển động tịnh tiến thẳng so với hệ quy chiếu Trong tĩnh học, vật rắn trạng thái cân vật rắn đứng yên so với hệ quy chiếu gắn liền với trái đất Chuyển động tịnh tiến thẳng vật rắn chuyển động mà điểm thuộc vật chuyển động thẳng với vận tốc không đổi 1.1.4 Một số định nghĩa khác a Hệ lực Hệ lực tập hợp lực tác dụng lên vật rắn uur uur uur Giả sử vật rắn chịu tác dụng lực: F1 , F2 , , Fn , ta ký hiệu hệ lực tác dụng lên uur uur uur vật rắn là: F1 , F2 , , Fn ( ) b Hệ lực tương đương Hai hệ lực gọi tương đương với chúng có tác dụng học vật rắn uur uur uur ur uur uur Hai hệ lực F1 , F2 , , Fn P1 , P2 , , Pm tương đương với ký hiệu uur uur uur ur uur uur sau: F1 , F2 , , Fn P1 , P2 , , Pm ( ( ) ( ) ( ) ) c Hợp lực hệ lực Hợp lực hệ lực lực tương đương với ur hệ lực Gọi R hợp lực hệ lực ur uur uur uur R F1 , F2 , , Fn ( ) uur uur uur ( F , F , , F ) n ta viết: d Hệ lực cân Hệ lực cân hệ lực tác dụng lên vật rắn mà không làm thay đổi trạng thái chuyển động mà vật có chưa tác dụng hệ lực Giả sử hệ uur uur uur lực F1 , F2 , , Fn tác dụng lên vật rắn đứng yên, vật rắn trạng thái đứng yên, uur uur uur uur uur uur ta ta nói hệ lực F1 , F2 , , Fn cân ký hiệu là: F1 , F2 , , Fn ( ) ( ) ( ) Hệ lực cân cịn gọi hệ lực tương đương với khơng e Hệ quy chiếu Trong Cơ học lý thuyết để khảo sát chuyển động vật thể, ta phải so sánh vị trí với vị trí vật thể khác mà ta coi đứng yên Vật dùng để so sánh gọi vật quy chiếu, hệ toạ độ gắn với vật quy chiếu gọi hệ quy chiếu Thường thực tế, người ta chọn hệ tọa độ đề vng góc gắn liền với trái đất làm hệ quy chiếu 1.2 Hệ tiên đề tĩnh học Tiên đề mệnh đề phát biểu cơng nhận tính chất khái niệm bản, điều hiển nhiên có thực tiễn kiểm nghiệm mà rút Dưới ta trình bày tiên đề, cịn lại tiên đề nêu cuối chương Đó hệ tiên đề tĩnh học, làm sở xây dựng lý luận cho phần tĩnh học Tiên đề (Tiên đề hai lực cân bằng) Điều kiện cần đủ hệ hai lực tác dụng lên vật rắn cân chúng có giá, cường độ ngược chiều uur uur Ta viết F1 , F2 ( ur F1 ) ur F1 uur F2 Hình 1-2 Tiên đề nêu lên hệ lực cân chuẩn, đơn giản Tiên đề (Tiên đề thêm bớt hệ lực cân bằng) uur F2 uur F2 Tác dụng hệ lực lên vật rắn không thay đổi, ta thêm vào hay bớt hệ lực cân ur uur uur Nếu P1 , P2 , , Pm thì: ) uur uur uur uur uur uur ur uur uur F , F , , F F , F , , F ; P , P , , P ) ( ) ( ur F1 ( n n m ur F B A Từ tiên đề 2, ta có hệ sau: Hình 1-3 Hệ (Định lý trượt lực) Tác dụng lực đặt lên vật rắn không thay đổi, ta trượt lực dọc theo giá uur Chứng minh: Giả sử lực F tác dụng lên vật rắn điểm A Gọi B điểm uur uur nằm giá lực F thuộc vật rắn, ta thêm vào B hệ hai lực cân ( F1 , uur uur Sao cho phương với lực F trị số F1 = F2 = F (hình 1-3) F2 ) uur Theo tiên đề ta có F uur uur uur uur uur ( F , F , F ) mặt khác theo tiên đề ( F , F ) 2 đó, theo tiên đề 2, ta bớt hệ lực khơng làm thay đổi trạng thái chuyển uur uur uur uur uur động vật: F F , F1 , F2 F1 đặt B ( ) Từ ta suy véctơ biểu diễn lực tác dụng lên vật rắn véctơ trượt Hệ Nếu hệ lực đặt lên vật rắn mà cân lực lấy theo chiều ngược lại hợp lực hệ lực lại uur uur uur uur uur uur uur Nếu F1 , F2 , , Fn − F1 F2 , F3 , , Fn ( ) ( uur uur uur Chứng minh: Giả sử hệ lực ( F , F , , F ) ) n uur Tác dụng lên vật rắn lực − F1 Theo tiên đề ta tác dụng thêm hệ lực cân cho thì: uur uur uur uur uur − F1 − F1 , F1 , F2 , , Fn ( ) uur uur Vì hệ hai lực − F1 , F1 hệ lực cân nên theo tiên đề 2, ta bớt tác dụng ( ) lên hệ không thay đổi: uur − F1 uur uur uur uur ( − F , F , F , , F ) 1 n 10 uur uur uur ( F , F , , F ) n (đpcm)  m1v1 + m2 v2 m1u1 + m2u2 = u = m + m m1 + m2   m2 (v1 − v2 ) u1 = v1 − (1 + k ) m1 + m2   m1 (v1 − v2 ) u2 = v2 + (1 + k ) m1 + m2   m m  S = v1 − v2 m1 + m2   m m  S ′ = u2 − u1 m1 + m2  (2-10) b Xác định hệ số khôi phục thực nghiệm Từ (2-10) ta có: k= S ′ u2 − u1 ur = = S v2 − v1 vr (2-11) Trong đó: ur, vr vận tốc tương đối hai cầu va chạm thẳng xuyên tâm sau trước va chạm Thí nghiệm: Thả viên bi xuống khơng vận tốc ban đầu từ độ cao h1 xuống sàn nằm ngang cố định Sau rơi viên bi bị bật lại với độ cao h2 lại rơi xuống Tìm hệ số khơi phục k Theo (2-11) v2 = u2 = 0, nên ta có: ≤ k = Vậ y ≤ k = gh2 ur u1 h = = = ≤1 vr v1 h1 gh1 h2 ≤1 h1 c Xác định ∆T va chạm thẳng xuyên tâm hai vật chuyển động tịnh tiến Ở trường hợp tức thời đặt liên kết, theo (2-8), ta có: ∆T = T1 − T2 = m1 m v1 − u12 ) + ( v22 − u22 ) ( 2 (a) Thay giá trị u1, u2 từ (2-10) vào (a), rút gọn ta có: ∆T = m1m2 (1 − k )(v1 − v2 ) 2( m1 + m2 ) (2-12) Áp dụng (2-12) vào hai toán thực tế: − Búa rèn kim loại: Ta có v1 vận tốc ban đầu búa, v2 = vận tốc kim loại chịu rèn 237 Vậy từ (2-12) ta có: ∆T = Gọi T0 = m1m2 (1 − k )v12 2( m1 + m2 ) m1v12 động búa trước va đập ∆T (1 − k ) Gọi η = = hệ số hữu ích Rõ ràng muốn tăng η phải giảm tỷ số m T0 1+ m2 m1 hay khối lượng búa phải nhỏ nhiều lần so với khối lượng đe vật m2 − là: Búa đóng cọc: Khi búa đóng cọc ∆T vơ ích, người ta gọi hệ số hữu ích T0 − ∆T 1− k2 η= = 1− m T0 1+ m2 Muốn tăng η phải tăng tỷ số m1 , phải tăng khối lượng búa m2 2.3.2 Tâm va chạm vật rắn quay xung quanh trục cố định Dưới tác dụng xung lượng va chạm ur S , vật rắn chuyển động quay xung quanh trục cố định AB, thường ổ đỡ A B xuất ur ur xung lượng phản lực S A , S B làm tiêu hao lượng phá hỏng gối đỡ, trục quay Cho nên phải tìm điều kiện để tác dụng xung lượng va chạm lên vật chuyển x động quay khơng xuất xung lượng ur ur phản lực S A , S B ổ đỡ (hình 2-5) z r SB B O r SA Ta xét vật có mặt phẳng đối xứng Oxy vật gắn vào trục quay AB vng góc với mặt phẳng ω1 a C h ur VC K y r S A Hình 2-5 Chọn Oy qua tâm khối lượng C vật rắn với OC = a Giả sử trước lúc va chạm vật rắn đứng yên (ω0 = 0) Khi tác dụng xung lượng va ur ur ur chạm S nằm mặt phẳng Oxy xung lượng phản lực S A , S B xuất ổ đỡ A, B ur ur ur ur ur Theo định lý biến thiên động lượng ta có: Q − Q = S + S A + S B (a) 238 ur ur ur Trong đó: Q = 0; Q = MV C ur V C vận tốc tâm khối lượng vật sau va chạm ur ur ur ur ur Từ (a) điều kiện để S A = S B = , S = MV C suy xung lượng va chạm S có ur hướng với V C hay ⊥ với OC (trục Oy) Ta có: S = MVC = M aω1 (b) uur Mặt khác từ (2-7), ta có: (ω1 − ω0 ) J z = ∑ mz S ke toán ta có: n k =1 ( ) ur mz S ur S h ω1 J z = mz S ⇒ ω1 = = Jz Jz ( ) ( ) Từ (b) (c) ta có: h= (c) Jz M a (2-13) ur Các điều kiện xung lượng va chạm S tác dụng lên vật quay xung quanh trục cố định mà không xuất xung lượng phản lực ổ trục là: − Xung lượng va chạm đặt mặt phẳng Oxy mặt phẳng mặt phẳng đối xứng vật ur ur − Xung lượng va chạm S hướng với V C vng góc với mặt phẳng chứa trục z tâm khối lượng C vật ur J − Xung lượng va chạm S đặt cách trục quay Oz khoảng h = z (ở phía M a ur có tâm khối lượng C) Điểm K tâm va chạm xung lượng va chạm S đặt K khơng xuất xung lượng phản lực ổ đỡ Ví dụ Tìm tâm va chạm đồng chất chiều dài l trục quay qua đầu vng góc với (hình 2-6) z O C K Bài giải: Trục quay Oz trục quán tính điểm O Tâm khối lượng C trung điểm l thanh, nên a = Vậy: M l2 J 2l OK = z = = l M a M 239 Hình 2-6 CHƯƠNG III: ĐỘNG LỰC HỌC CỦA CHUYỂN ĐỘNG TƯƠNG ĐỐI Trong chương trước, ta khảo sát chuyển động vật thể (chất điểm hệ; vật rắn hệ vật rắn) hệ quy chiếu quán tính (cố định) Tuy nhiên, thí nghiệm cho phép ta nghiệm lại rằng: Một hệ quy chiếu chuyển động có gia tốc hệ quy chiếu qn tính khơng phải hệ quy chiếu quán tính Chuyển động vật thể hệ quy chiếu gọi chuyển động tương đối (chuyển động hệ quy chiếu khơng qn tính) Nhiều tốn thực tế kỹ thuật cần phải khảo sát hệ quy chiếu cho ta lời giải đơn giản 3.1 Phương trình via phân chuyển động chất điêm hệ quy chiếu khơng qn tính 3.1.1 Thiết lập phương trình vi phân chyển động tương đối chất điểm ur ur ur Chất điểm M, khối lượng m, chịu tác dụng lực ( F , F , , F n ) chuyển động uur hệ quy chiếu quán tính với gia tốc W Ta xét chuyển động chất điểm M hệ quy chiếu khơng qn tính chuyển động có gia tốc hệ quy chiếu quán tính uur n ur Phương trình động lực học hệ quy chiếu quán tính: mW = ∑ F k k =1 Từ định lý hợp gia tốc: Ta thu được: uur uur uur uur uur W = W a = W r +W e +W C n ur uur uur uur mW r = ∑ F k + (− mW e ) + ( − mW C ) k =1 Đặt: ur qt uur F e = −mW e gọi lực quán tính kéo theo; ur qt uur ur uur F C = − mW C = −2mω e ∧ Vr gọi lực qn tính Cơriơlít Lực tồn chất điểm chuyển động hệ quy chiếu khơng qn tính hệ chuyển động quay hệ quy chiếu quán tính Như vậy, hệ quy chiếu khơng qn tính chuyển động có gia tốc hệ quy chiếu quán tính, phương trình vi phân chuyển động chất điểm có dạng: n ur uur ur qt ur qt mW r = ∑ F k + F e + F C k =1 240 (3-1) r Gọi r véctơ định vị chất điểm hệ quy chiếu không qn tính, ta có: r n ur ur qt ur qt r d 2r && mr = m = ∑ F k + F e + F C (3-2) dt k =1 (3-2) phương trình vi phân chuyển động chất điểm hệ quy chiếu không quán tính dạng véctơ Các trường hợp đặc biệt: ur qt − Nếu hệ động chuyển động tịnh tiến: ωe = WC = 0, suy F C = , phương trình (3-2) có dạng: r n ur ur qt r d 2r && mr = m = ∑ F k + F e dt k =1 − Nếu hệ động chuyển động tịnh tiến thẳng đều, chất điểm đứng yên hệ động ta có trường hợp đặc biệt xét riêng phần đây: 3.1.2 Phương trình cân tương đối chất điểm (điều kiện cân tương đối) uur Chất điểm không chuyển động hệ khơng qn tính Vr ≡ , vế trái (3-1) lực qn tính Cơriơlít triệt tiêu Ta nhận được: n uu r uur qt F ∑ k + F e =0 (3-3) k =1 (3-3) phương trình cân tương đối Như thế, cân chất điểm hệ quy chiếu không quán tính giải thích cách đưa thêm vào lực quán tính kéo theo 3.1.3 Nguyên lý tương đối học cổ điển Chất điểm M chuyển động hệ quy chiếu khơng qn tính tác dụng ur ur ur hệ lực ( F , F , , F n ) Hệ quy chiếu chuyển động tịnh tiến thẳng uur qt uur qt hệ quy chiếu quán tính, đó: F e = 0, F C = Hệ thức (3-1) trở thành: uuur n uur m Wr = ∑ Fk k =1 Hệ thức nhận trùng với hệ thức (1-3) Như hệ quy chiếu chuyển động tịnh tiến thẳng hệ quy chiếu quán tính hệ quy chiếu quán tính đương nhiên tồn lớp hệ quy chiếu quán tính Tất tượng học xảy 241 hệ quy chiếu chuyển động tịnh tiến thẳng hệ quy chiếu quán tính hồn tồn giống chúng xảy hệ quy chiếu quán tính 3.1.4 Ảnh hưởng quay trái đất − Sự bào mòn đường ray: Xét tàu hoả khối lượng m tiến phía bắc dọc theo kinh tuyến uur với vận tốc Vr vùng có vĩ độ θ thuộc bán cầu bắc (hình 3-1) Trái đất quay quanh trục từ tây sang đơng, vịng 23 56 phút giây, nghĩa vận tốc góc bằng: ω= Vr ω q O qt FC q 2π = 0,0000729 s −1 86164 Coi tàu chất điểm, gia tốc Cơriơlít là: uur ur uur W C = 2ω ∧ Vr Hình 3-1 Gia tốc hướng phía tây theo tiếp tuyến vĩ tuyến Áp lực tầu thông qua bánh xe lực quán tính Cơriơlít gây hướng phía đơng (bên phải) theo hướng tàu chạy bằng: uuur ur uur FCqt = −2mω ∧ Vr ; độ lớn: FCqt = 2mωVr sin θ Thay số với: m = 2.106 kg; Vr = 100 km/h; θ = 450 ta FCqt = 5,7 KN Áp lực phải bị khử đường ray, ray bên phải bị bào mòn − Hiện tượng Berer (lở bờ sơng): Giải thích tương tự dịng sơng chảy bắc bán cầu Do dịng chảy khơng lệch ngang, nên dịng sơng chảy từ xích đạo lên bắc bán cầu, dịng nước tác dụng vào bờ sơng lực từ trái sang phải bờ bên phải sông bị xói lở nhiều Hiện tượng ngược lại tàu chạy dịng sơng chảy từ xích đạo Nam bán cầu ur − Sự lệch hướng vật rơi tự gần mặt đất: Do vận tốc góc ω trái đất có giá trị bé, nên độ lớn lực qn tính Cơriơlít lực quán tính kéo theo đặt lên vật uur rơi bé so với lực hấp dẫn Ta coi cách gần đúng: Vận tốc tương đối Vr vật rơi hướng theo đường thẳng đứng vào tâm trái đất Khi gia tốc Cơriơlít hướng phía tây lực qn tính Cơriơlít hướng phía đơng Do tác dụng lực này, vật rơi tự gần mặt đất lệch phía đơng so với đường thẳng đứng Độ lệch tính theo công thức xấp xỉ: ∆= ω gcosθ  H     g  242 3/ Trong θ vĩ độ địa phương; H độ cao rơi vật − Nhiều tượng học khác, như: Ở Bắc bán cầu, gió bắc có khuynh hướng thổi lệch phía tây, lệch hướng chuyển động mặt phẳng ngang, thay đổi gia tốc trọng trường theo vĩ độ, giải thích đưa hệ thức xấp xỉ cách tương tự Ta minh hoạ: Hướng lệch gió mùa; hướng chảy vịng dịng nước biển dịng khí; chiều xốy gió bão gió lốc hình vẽ (hình 3-2) B T B Đ N T B Đ T Đ N N a) Gió mùa đơng: b) Gió mùa hạ: c) - Bắc bán cầu: Gió mùa Đơng – Bắc - Bắc bán cầu: Gió mùa Đơng – Bắc - Dịng nước biển, dịng khí - Nam bán cầu: Gió mùa Đơng – Nam - Nam bán cầu: Gió mùa Đơng – Nam - Chiều xốy gió bão Hình 3-2 Ví dụ Điểm treo lắc tốn học chuyển động uur đường thẳng đứng với gia tốc không đổi W Hãy khảo sát chuyển động lắc hệ trục toạ độ tịnh tiến với điểm treo (hình 3-3) y W x O Bài giải: Khảo sát chuyển động chất điểm M hệ trục tọa độ Oxy, gốc O gắn vào điểm treo ur Các lực tác dụng lên chất điểm gồm: Trọng lực P ; uuur uur phản lực N dây lực quán tính theo Feqt , hướng ur uuur uur chiều với lực P , Feqt = − mW Do hệ động ur qt chuyển động tịnh tiến, nên F C = 243 j l N r n M P qt Fe Hình 3-3 r τ Hệ thức động lực học hệ quy chiếu khơng qn tính viết cho chất điểm M: uur ur uur uuur mW = P + N + Feqt Để khử N, chiếu phương trình trục tiếp tuyến, ta có: ms&& = − P sin ϕ − Feqt sin ϕ Do s = lϕ nên && s = lϕ&& : Phương trình sau rút gọn, nhận được: ϕ&& + g +W sin ϕ = l Khi ϕ bé, sin ϕ ≈ ϕ , ta nhận được: ϕ&& + k 2ϕ = 0, k = Con lắc thực dao động điều hoà với chu kỳ: T = g +W l 2π l = 2π k g +W uur Trường hợp điểm treo lắc có gia tốc W hướng xuống Giả thiết W ≤ g, ta có phương trình dao động bé lắc: ϕ&& + g −W ϕ =0 l − Nếu W < g, chu kỳ dao động lắc: T = − Nếu W = g, ta có: ϕ&& = 0, ϕ& = C1 , ϕ = C1t + C2 2π l = 2π k g −W Cho rằng, thời điểm ban đầu t = 0, lắc lệch khỏi vị trí thẳng đứng góc ϕ0 = α khơng có vận tốc tương đối ban đầu ϕ& (0) = , ϕ = α Như vậy, điểm treo lắc rơi tự lắc cân tương đối Áp ur uur uur qt dụng (1-14) ta được: P + N + F e = ur uur r uur qt r Do P = mg , F e = − mg , suy N = , chất điểm M trạng thái trọng lượng uur Trường hợp điểm treo lắc có gia tốc W hướng xuống giả sử W > g, ta có lắc ngược Chu kỳ dao động lắc: T= 2π l = 2π k g +W 244 Ví dụ z Một chất điểm khối lượng m, chuyển động ω qt không ma sát mặt phẳng xOz Mặt phẳng FC M N quay xung quanh trục thẳng đứng Oz, với vận tốc qt Fe z0 góc khơng đổi ω Tìm quy luật chuyển động tương P M0 đối chất điểm, thời điểm ban đầu đứng O x0 yên tương đối điểm M0(x0, z0) Xác định phản lực uur x N mặt (hình 3-4) y Hình 3-4 Bài giải: Xét chất điểm M chuyển động mặt phẳng xOz Lực tác dụng gồm: Trọng uur qt uur qt ur uur lượng P , phản lực pháp tuyến mặt N lực quán tính F e , F C Hệ thức động lực học chất điểm hệ khơng qn tính, trường hợp khảo sát có dạng: uur ur uur uur qt uur qt mW r = P + N + F e + F C ur uur Trong đó: P ↑↑ Oz , N vng góc với mặt phẳng xOz chiều với trục Oy; uur qt uur qt uuur uur qt F e = F en = − m W en ; F en = mxω , chiều hướng chiều trục Ox; uur qt ur uur uur qt F C = −2mω ∧ Vr hướng ngược chiều trục Oy, có độ lớn: F C = 2mω x& Chiếu hệ thức lên hệ Oxyz, thu được: mx&& = mxω  qt my&& = = N − FC mz&& = − mg  Phương trình thứ hai hệ cho ta giải N: N = FCqt = 2mω x& Hai phương trình cịn lại, sau tích phân, ta có: x = C1eωt + C2e −ωt z=− gt + C3t + C4 x0 ; C3 = 0; C4 = z0 Phương trình chuyển động chất điểm M mặt phẳng xOz là: Khi ý điều kiện ban đầu t = 0, suy ra: C1 = C2 = 245  x = x0ch(ωt )   gt z z = −   uur Phản lực N mặt có độ lớn: N = 2mω x& = 2mx0ω sh(ωt ) 3.2 Các định lý tổng quát động lực học chuyển động tương đối Các định lý động lượng, mômen động lượng động thiết lập mối quan hệ độ đo chuyển động với độ đo tác dụng lực hệ quy chiếu quán tính dẫn sở phương trình bản: uur ur (1) mW = ∑ F k k uur uur uur uur uur ur qt uur ur qt Vì W = W r + W e + W C thay vào (1) đặt: − mW e = F e , − mW C = F C , ta có phương trình động lực học Cơriơlít: uur ur ur qt ur qt mW r = ∑ F k + F e + F C (2) k Điều có nghĩa là: Ngoài lực cho, cần thêm vào lực qn tính kéo theo lực qn tính Cơriơlít chất điểm Dựa vào nhận xét trên, ta khơng thực phép biến đổi tốn học chặt chẽ, mà đưa dạng định lý tổng quát Động lực học hệ hệ quy chiếu khơng qn tính sau: 3.2.1 Định lý động lượng ur r ur e ur qt ur qt dQ = ∑ F k + ∑ F ek + ∑ F Ck dt k k k (3-4) 3.2.2 Định lý mômen động lượng ur r ur ur e ur ur qt ur ur qt d LO = ∑ mO F k + ∑ mO F ek + ∑ mO F Ck dt k k k ( ) ( ) ( ) (3-5) Nếu hệ quy chiếu động có gốc trùng với khối tâm C hệ trục Cx // O1x1, Cy // O1y1, Cz // O1z1 hệ quy chiếu qn tính O1x1y1z1 (hình 3-5) ur ω e = , nên: ur qt ur ur r F Ck = −2ω e ∧ V k = 246 Suy ra: ur ∑m k ur qt C (F ) = Ck Mặt khác: ur ur qt uur e uur r ur qt r r m F r F r m W r m W = ∧ = ∧ − = ∧ − ek ek C k e ∑ ∑k ∑k ∑k k k k ( ) k ) ( k uur r uur r = W e ∧ ∑ mk rk = W e ∧ MrC = k ( ) r ( rC = 0) k Do đó, nhận được: ur r ur ur e d LC = ∑ mC F k dt k ( ) (3-6) Kết luận: Trong hệ quy chiếu động (khơng qn tính) có gốc trùng với khối tâm hệ chuyển động tịnh tiến hệ quy chiếu cố định (qn tính), định lý mơmen động lượng hệ khối tâm C có dạng tương tự Hình 3-5 hệ quy chiếu quán tính Ví dụ Tính lực ăn khớp hai bánh hành tinh Cơ cấu đặt mặt phẳng nằm ngang, tay quay OA quay với vận tốc góc ω gia tốc góc ε Bánh xe động II coi đĩa đồng chất trọng lượng P2 Biết góc ăn khớp α, bán kính bánh R1 R2 (hình 3-6) y y1 I A x ω II O ω ε x1 A ur N ur P ur T Hình 3-6 α Hình 3-7 247 ur RA ur Q Bài giải Khảo sát chuyển động bánh động II Hệ quy chiếu động gắn vào khối tâm A Axy, chuyển động tịnh tiến hệ quy chiếu cố định Ox1y1 ur ur Lực tác dụng lên bánh II gồm: P , phản lực A: R A , lực ăn khớp ur ur uur Q = T + N (hình 3-7) Áp dụng định lý biến thiên mơmen động lượng hệ quy chiếu động: ur r ur ur e d L Az = ∑ m Az F k = T R2 = Q.R2 cos α (1) dt k ( ) P R + R2 P R ( R + R2 ) Ta có: LrAz = J Azω2 = R22 ω= 2 ω R2 g 2g Thay (2) vào (1), ta nhận được: Q = (2) P2 ( R1 + R2 ) ω g cos α 3.2.3 Định lý động ur ur qt ur qt dT r = ∑ dAr F k + ∑ dAr F ek + ∑ dAr F Ck ( ) k ( ) k k ( ) ur qt ur qt ur ur ur ur Vì dAr F Ck = F Ck V r dt = −2m ω e ∧ V r V r dt = ( ) Suy ra: ( ) ur ur qt dT r = ∑ dAr F k + ∑ dAr F ek k ( ) k ( ) (3-7) Như vậy, định lý động khơng có mặt lực qn tính Cơriơlít (nghĩa áp dụng, khơng cần tính cơng lực này) 3.3 Phương trình Lagrăng loại II hệ quy chiếu khơng qn tính Từ phương trình Lagrăng loại II hệ quy chiếu cố định, suy tương tự, ta viết phương trình Lagrăng loại II chuyển động tương đối hệ chịu liên kết giữ, lý tưởng, hơlơnơm có N bậc tự do: d  ∂Tr  dt  ∂q&i ur ur qt ur qt  ∂Tr = Qir F k + Qir F ek + Qir F Ck −  ∂qi ( ) ( ) ( ) (i = 1, N ) Trong đó: 248 (3-8) qi , q&i - Toạ độ suy rộng vận tốc suy rộng hệ hệ quy chiếu khơng qn tính ur ur qt ur qt Qir F k ; Qir F ek ; Qir F Ck ( ) ( ) ( ) - Các lực suy rộng lực hoạt động, lực quán tính theo lực qn tính Cơriơlít ứng với toạ độ suy rộng q i hệ quy chiếu khơng qn tính Tr - Động hệ chuyển động tương đối ur ur qt Khi hệ cân (V rk = 0) , Tr = 0, Qir F Ck = Do suy điều kiện ( ) cân tương đối: ur ur qt Qir F k + Qir F ek = 0; i = 1, N ( ) ( ) (3-9) Một cách tương tự, độc giả viết phương trình tổng quát Động lực học chuyển động tương đối Ví dụ Một chất điểm có khối lượng m chuyển động theo ống vịng trịn bán kính a, đồng thời vòng tròn quay quanh trục thẳng đứng với vận tốc góc ω Bỏ qua ma sát, thành lập phương trình vi phân chuyển động chất điểm (hình 3-8) Bài giải Để nhận lời giải tốn, viết phương trình Lagrăng loại II hệ quy chiếu cố định, đặt điều kiện ống tròn quay Ở đây, ta sử dụng phương trình Lagrăng loại II chuyển động tương đối z O2 O θ a δθ r qt Fe M ur r P = mg ω O1 Khảo sát cầu M chất điểm Do bỏ qua ma Hình 3-8 sát nên liên kết đặt lên M lý tưởng ur r Các lực hoạt động tác dụng vào chất điểm P = mg , lực quán tính theo ur qt ur qt ur qt F e = F er (do vòng tròn quay đều) lực qn tính Cơriơlít F C hướng vng góc với mặt phẳng hình vẽ, phía ngồi Vị trí chất điểm xác định hệ động toạ độ suy rộng đủ q = θ Phương trình Lagrăng loại II có dạng: 249 ur qt ur qt d  ∂Tr  ∂Tr r = Qθ ( mg ) + Qθ F en + Qθ F C  & − dt  ∂θ  ∂θ ( ) ( ) Trong đó: Tr = Ta có: (1) 1 mVr2 ; Vr = s& = aθ& ; suy Tr = ma 2θ& 2 ∂Tr ∂T d  ∂T  = ; r = ma 2θ& ;  r  = ma 2θ&& ∂θ ∂θ& dt  ∂θ&  (2) Để tính lực suy rộng vế phải phương trình (1), ta cho chất điểm di chuyển với góc δθ có: r r δ A(mg ) mg sin θ a δθ Qθ ( mg ) = (3) =− = − mga sin θ δθ δθ ur qt δ A F en ur qt F qt cos θ a δθ = en = ma sin θ cos θ ω Qθ F en = ( ) ur Q (F ) = θ ( ) δθ δθ qt C (4) (5) Thay (2), (3), (4), (5) vào (1), nhận phương trình vi phân chuyển động tương đối chất điểm là: g  − ω cos θ  sin θ = a  θ&& +  250 TÀI LIỆU THAM KHẢO Бухгольц.H.H Основной курс теоретической механики Часть I и II Издательство “наука” Москва 1969 Теоретическая Механика Издательство “Высшая школа” Москва 1968 Голубева О В Добронравов В В никитин н.н Дворников А Л Курс теоретической механики ицд 4.e “Высшая школа” Москва 1976 Мецерский И В Сборник задач Издательство “наука” Москва 1967 по теоретической механике Тарг C M краткий курс теоретической механики изд 2.e физик-мат Москва 1961 Nguyễn Văn Đạo, Nguyễn Trọng Truyền, Nguyễn Thế Tiến, Ngô Văn Thảo Cơ học lý thuyết, NXB Đại học Trung học chuyên nghiệp, Hà Nội, 1969 Bộ môn Cơ học lý thuyết - ĐH Thuỷ lợi Cơ học lý thuyết, tập Tĩnh học động học Hà nội 1977 Bộ môn Cơ học lý thuyết - ĐH Thuỷ lợi Cơ học lý thuyết, tập Động lực học Hà nội 1977 Bộ môn Cơ học lý thuyết - ĐH Thuỷ lợi Bài tập Cơ học lý thuyết, tập Hà nội 1976 10 Bộ môn Cơ học lý thuyết - ĐH Thuỷ lợi Bài tập Cơ học lý thuyết Hà nội 2004 251 ... Trường học: Đại học Thủy lợi Từ khóa: Cơ học, Cơ lý thuyết Yêu cầu kiến thức: Toán cao cấp Số lần xuất bản: 01 Nhà xuất bản: NXB Xây dựng LỜI NÓI ĐẦU Trong 40 năm qua, giáo trình Cơ học lý thuyết... chất điểm hệ Cơ học lý thuyết xây dựng theo phương pháp tiên đề, tức dựa vào số khái niệm hệ tiên đề Niutơn, suy diễn tốn học lơgíc mà suy kết Người ta gọi Cơ học cổ điển hay Cơ học Niutơn, nghiên... sở toán nghiên cứu, Cơ học lý thuyết chia làm ba phần: Tĩnh học, Động học Động lực học Phần tĩnh học, nghiên cứu trạng thái cân vật rắn tác dụng lực đặt lên vật Phần động học khảo sát chuyển