Giáo trình bài tập cơ học lý thuyết phần 1

Đ À O V ĂN DŨNG_(Chủ biên) NGUYỄN XUÂN BỘI - PHẠM THỊ OANH - PHẠM CHI VINH BÀI TẬP ÌHNLtmnÉi o m CIPG Hà Noi NHÀ XUẤT BÀN ĐAI HOC QUỐC GIA HÀ NÔI M Ụ C LỤC Phần I TĨN H HỌC C hương l ẳ Hệ lực phầng 1 Các lực tác dụng theo đường thẳng song song 1.2 Các lực có đường tác dụng giao m ột điểm 1.3 Các lực song song ngẫu lực 1.4 Hệ lực phẳng 10 1.5 T ĩnh học đồ thị 12 C hương Hệ lực không gian 13 2.1 Đ a hệ lực dạng đơn giản 13 2.2 Cân lưc 14 2.3 Trọng tâm 15 Phần II Đ Ộ N G HỌC 17 C hương Chuyển động điểm 17 3.1 Q uý đạo phương trình chuyển động điểm 17 3.2 V ận tốc điểm 17 3.3 Gia tốc điểm 18 C hương Các chuyển động đơn giản cố thể 19 4.1 Cố th ể quay quanh m ột trục cố định 19 4.2 B iến đổi chuyển động đơn giản cố thể 20 C hương P hân hợp chuyển động điểm 21 C hương Chuyển động phẳng cố thể 26 P h ng trình chuyển động hình phẳng điểm 26 V ận tốc điểm cố thể chuyển động phẳng T âm vận tốc tức thời 27 6.3 X entrôit cố định xentrôit động 29 6.4 G ia tốc điểm cố thể chuyền động phằng T âm gia tốc tức thời 31 6.5 Hợp chuyền động phẳng cố thể 31 Chương c ố thể quay quanh m ột điểm cố định 33 7.1 Cố thể quay quanh m ột điểm cố định 33 7.2 Hợp chuyển động quay cố thể quay quanh trục cắt 34 Phần IIIề Đ Ộ N G LỰC HỌC 36 Chương Đ ộng lực học điểm 36 8.1 Phương trình vi phân chuyển động - Các tốn động lực học 36 8.2 Ba định lý bản: Biến thiên động lượng, biến thiên m ô m en động lượng, biến thiên động 41 C hương Đ ộng lực học hệ chất điểm vật rắn 45 9.1 Đ ộng lực học hệ chất điểm 45 9.2 Đ ịnh lý biến thiên động lượng chuyển động khối tâ m 48 9.3 Đ ịnh lý biến thiên mô men động lượng 49 9.4 Đ ịnh lý biến thiên động 52 9.5 Khảo sát m ột số chuyển động đặc biệt 54 9.6 M ột số toán hỗn hợp 59 M Phần IV Đ Ộ N G L ự c HỌC GIAI TÍCH T R O N G T Ọ A ĐỘ SU Y R Ộ N G , DAO Đ Ộ N G , VA CHẠM 62 Chương 10 N guyên lý độ dời khả dĩ, nguyên lý D ’A lem bert-E uler-L agrange 62 C hương 11 Phương trình Lagrange II C hương 12 Phương trình R auss, phưong trình tắc H am ilton, định lí H am ilton-Jacobi, định lí Poisson 66 72 Chương 13 On dịnh chuỳển động 74 C hương 14 D ao động 76 14.1 D ao động hệ có m ột bậc tự 76 14.2 Dao động nhỏ hệ nhiều bậc tự 80 Chưcrng 15 Va chạm 82 Phần V M ỘT s ó ĐỀ THI OLYMPIC c HỌC T Ừ N Ă M 1989 Đ E N 1998 85 iv D Á P SỐ v H Ư Ớ N G D Ẫ N Phần Iệ TĨNH HỌC 91 C hương Hệ lực phẳng 91 l l ề Các lực tác dụng theo m ột đường thẳng song song 91 l ế2 Các lực có đường tác dụng giao m ột điểm 91 i ẵ3 Các lực song song ngẫu lực 97 1.4Ể Hệ lực phẳng 100 1.5 T ĩnh học đồ thị 103 C hương Hệ lực không gian 103 2.1 Đ a hệ lực dạng đơn giản 103 2.2 Cân hệ lực 105 2.3 Trong tâm 106 Phần II Đ Ộ N G HỌC 109 C hương Chuyển động điểm 109 3.1 Q uỹ đạo phương trình chuyển động điểm 109 3.2 V ận tốc điểm 109 3.3 G ia tốc điểm 111 C hương Các chuyển động đơn giản cố thể 112 4.1 Cố th ể quay quanh m ột trục cố định 112 4.2 B iến đổi chuyển động đơn giản cố thể 112 C hương P hân hợp chuyển động điểm 113 C hương Chuyển động phẳng cố thể 116 6.1 P h ng trình chuyển động hình phẳng điểm 6.2 V ận tốc điểm cố thể chuyển động phầng T âm vận tốc tức thời 6.3 X entrôit cố định xentrôit động 6.4 G ia tốc điểm cố th ể chuyền động phẳng T âm gia tốc tứ c thời 6.5 Hợp chuyển động phầng cố th ể 116 117 119 120 121 C hương c ố thể quay quanh m ột điểm cố định 121 Ế Cố thể quay quanh m ôt điểm cố đinh 121 7.2 Hợp chuyển động quay cố thể quay quanh trục cắt 123 Phần III Đ Ộ N G LỰC HỌC 124 C hương Đ ộng lực học điểm 124 8.1 Phương trình vi phân chuyển động Các toán động lực hoc 124 8.2 Ba định lý bản: Biến thiên động lượng, biến thiên m ô m en động lượng, biến thiên động 129 C hương Đ ộng lực học hệ chất điểm vật rắn 134 Ỗ1 Đ ộng lực học hệ chất điểm 134 9.2 Đ ịnh lý biến thiên động lượng chuyển động khối tâ m 136 9.3 Đ ịnh lý biến thiên m ôm en động lượng 136 9.4 Đ ịnh lý biến thiên động 137 9.5 Khảo sát m ột số chuyển động đặc biệt 139 9.6 M ột số toán hỗn hợp 142 Phần IV Đ Ộ N G LỰ C HỌC GIAI TÍCH T R O N G T Ọ A ĐỘ SU Y R Ộ N G , DAO Đ Ộ N G , VA CHẠM 145 C hương 10 N guyên lý độ đữi k*hả dĩ, nguyên lý D ’A lem bert-E uler-L agrange 145 C hương 11 P h ang trình Lagrange II 148 C hương 12 Phương trình R auss, phương trình tắc H am ilton, định lý H am ilton - Jacobi, định lý Poisson 155 C hương 13 On định chuyến động 159 C hương 14 Dao động 162 14.1 Dao động hệ có m ột bậc tự 162 14.2 Dao động nhỏ hệ nhiều bậc tự 166 C hương 15 Va chạm 168 Phần V M ỘT s ó ĐẾ THI OLYM PIC c HỌC T Ừ N Ă M 1989 Đ E N 1998 171 LỜI N Ó I D Ầ U Cơ học lý th u yết khoa học quy luật chuyển động, cân v tư ơng tác vật thể không gian, theo thời gian, m ột môn học điềm cho sinh viên ngành Cơ học trường Đ ại học Quốc gia Đ ại học Kỹ thuật Việc vận dụng kiến thức học vào giải tập học lý th u yết yêu cầu hàng đầu sinh viên, qua giúp họ hiểu sâu th êm lý th u yết đồng thời nâng cao tư kỹ học tập Giáo trình tập học lý thuyết soạn thảo theo chương trình giảng dạy học lý th u yết cho sinh viên ngành Cơ học Khoa Toán - Cơ - T in học, Trường Đ hoc K hoa học T nhiên, Đ ại học Quốc gia Hà Nội Nội dung gồm bốn phần (15 chương) phần V m ột số đề thi O lym pic C học Các tập chọn lọc gồm đủ thể loại phù hợp với phần lý th u y ết, phân loại thành chủ đề chi tiết Cuối phần tập có đáp số hướng dẫn để người đọc th am khảo tự kiểm tra lời giải T ham gia biên soạn giáo trinh tập gồm có N guyễn X uân Bội (P hần I: T ĩnh học), Phạm Chí V ĩnh (Phần II: Đ ộng học), Phạm T hị O anh (P hần III: Đ ộng lực học), Đ V an D ũng (Phần IV: Đ ộng lực học giải tích tọa độ suy rộng, dao động, va chạm ); Đ Văn Dũng chủ biên Giáo trìrih hồn thành nhờ quan tâm v tạo điều kiện lãnh đạo Khoa Toán - C - T in học, lãnh đạo Trường Đ ại học Khoa học T ự nhiên Các tác giả bày tỏ lời cảm ơn chân thành Các tác giả chân thành cảm ơn G S-T SK H Đ Huy Bích, G S-T S N guyễn Thúc An đóng góp ý kiến q báu nhằm hồn thiện nội dung sách N hân dịp tác giả cảm ơn Nhà X uất Đ ại học Quốc gia Hà Nội nhiệt tìn h giúp đỡ việc xuất giáo trình Vì nội dung giáo trình đa dạng, thời gian hạn chế vấn đề trình bày chắn cịn có thiếu sót Chúng tơi m ong nhận ý kiến bạn đọc để bổ sung cho giáo trình ngày hồn thiện Các nhận xét, góp ý xin gử i K hoa Toán - Cơ - Tin học, Trường Đ ại học K hoa học T ự nhiên, Đ ại học Quốc gia Hà Nội Hà nội, ngày 10 tháng 11 năm 1999 Các tác giả P h ầ n I ẳ T ĨN H H Ọ C C h n g HỆ LỰC P H Ẳ N G 1.1 C ác lư c tá c d u n g th e o m t d ị n g th ẳ n g h o ă c so n g so n g Các lực P\ = kG, p = kG, p = 12 kG, p = 18 kG tác dụng vào m ột điểm Hãy xác định lực cân chúng hai trường hợp sau: a) lực cho tác dụng theo đường thẳng chiều b) hai lực đầu chiều, hai lực sau theo chiều ngược lại Hai cân kG 5kG treo m ột sợi dây điểm khác nhau, cầu lớn treo thấp cầu nhỏ Hỏi sức cấng đoạn dây ? ///////// Tải trọng Q = 30 kG giữ cân nhờ đối trọng côt vào đầu dây cáp ABC vắt qua ròng rọc Trọng lượng dây cáp 5k G Bò qua độ cứng dây, m a sát bán kính rịng rọcẵ Hãy xác định trọng lượng p , ứng lực Fa , F c căng dây đầu A, c ứng lực Fb tiết diện giữ a B dây trường hợp sau: a) điểm A c nằm m ột độ cao b) điềm A nhận vị trí cao c) điểm A nhận vị trí thấp Hình s M ột người nặng 64 kG đứng đáy giếng mỏ ghì giữ m ột tải trọng 48 kG nhờ m ột sợi dây m ềm nhẹ, khơng dãn vắt qua rịng rọc cố định a) Hỏi người tác động lên đáy giếng m ột áp lực ? b) N gười có th ể ghì giữ m ột tải trọng lớn ? M ột đoàn tàu gồm đầu máy, toa chở than trọng lượng 45 tấn, toa hành lý trọng lượng 20 toa chở khách m ỗi toa trọng lương 48 Hỏi m óc nối toa xe bị căng m ột lực v lực kéo đầu m áy ? B iết sức cản chuyển động đồn tàu xem —— trọng lượng giải tốn ta th a nhận sức căng 200 phân tỷ lệ vớ i trọng lượng thành phần đoàn tàu đoàn tàu chuyển động T hanh OM lắc máy ghi dao đông (tàu thủy) đeo tải trọng tự qua ống trụ quay o nối khớp A với tay đòn A O 1, tay đòn Q quanh true O ị Đ ô dài tay đòn r; khoảng cách từ trọng tam cua y trọng đến khớp A l , khoảng cách 0 \ — h Hãy nghiên cứu tính ổn định vị trí cân thẳng đứ ng lac Bỏ qua kích thước tải trọng lượng Chương 14 DAO DỘNG 14.1 D a o d ô n g củ a có m t b âc t Lò xo gắn m ột đầu vào điểm A để dãn cm cần phải đặt vào điểm B m ột tải trọng tĩnh 20 G T ại thời điểm người ta treo vào đầu B lò xo chưa bị biến dạng cầu c nặng 100 G thả với vận tốc ban đầu khơng Bổ qua khối lượng lị xo, viết phương trình chuyển động cầu biên độ, chu kỳ dao động X em chuyển đơng cầu xuất phát từ vị trí cân tĩnh dọc theo trục thẳng đứng xuống Hình 350 Trong từ từ tải Q = với vân tốc V = m / s , người ta đột ngột giữ chặt đầu trê n củ a dây đ ỡ tải trọng lại cách kẹp dây vào vòng kẹp ròng rọc Bỏ qua trọng lượng dây, xác định sức căng lớn tải trọng dao động tiếp sau, biết hệ số cú n g dây c = tấ n /cm Hình 351 M ỗi lò xo toa tàu chịu tải trọng p kG, cân d i tác dung lực lị xo bị nén xuống cm Hãy xác định chu kỳ dao động riêng T toa tàu lò xo Lực kháng đàn hồi lò xo tỉ lệ với độ nén Hãy xác định chu kỳ dao động tự bệ m áy đặt đàn hồi, biết trọng lượng bệ m áy Q = 90 , diện tích đế m óng s = 15ra2, hệ số cứng đất c = AS, A = k G / c m gọi độ cứng riêng đất Hãy xác định chu kỳ dao động tự tải trọng Q bị nén giữ a hai lò xo có hệ số cứng khác n h a u C\ C2 5 Hãy xác định hệ số ng c lò xo tư n g đưcrng với lò xo kép gồm hai lò xo có hệ số cứng khác C\ C2 gắn nối tiếp nhau; đong thời ch ỉ chu kỳ 76 dao động tải trọng Q treo vào lị xo kép AV Hình 354 Hình S55 Hình 356 Tấm D nặng 100 G treo vào điểm cố định A nhờ lò xo AB chuyển động hai cực nam châm ế Do ảnh hưởng dịng xốy, chuyển động bị cản b(H lực tỉ lệ với vận tốc Lực cản k v $ kG, k — ,0 0 , V vân tốc tính theo c m /s , cịn $ từ thơng cực N v s T thời điểm ban đầu vận tốc khơng lị xo chưa bị dãn; lò xo dãn cm chịu lực tĩnh 20 G đặt đầu B Hãy viết phương trình chuyển động trường hợp $ = 0 \/5 đơn vị MKS Một vật nặng 5k G treo vào lị xo có hệ số cứng k G /c m Lực cản môi trường tỉ lệ với vận tốc Sau dao động biên độ giảm 12 lần Hãy xác định chu kỳ dao động độ tắt lôga Một vật nặng ,9 kG treo vào lò xo, với lực kG lò xo dãn cm Khi chuyển động vật gặp lực cản tỉ lệ bậc với vận tốc, với vận tốc lc m /s lực 0,02 kG Tại thời điểm ban đầu lị xo bị dãn khỏi vị trí cân cm vật chuyển động khơng có vận tốc ban đầu Hãy xác định chuyển động vật 359 N gười ta treo m ột nam châm nặng 100 G vào lị xo có độ cứng c = 20 G /cm Đ ầu nam châm qua cuộn dây có dịng điện xoay chiều i = 20sin87TÍ am pe D ịng điện bắt đầu chạy từ lúc t = v kéo th anh vào cuộn dây xoắn, trước lúc nam châm treo cố định vào lò xo Lực tư n g hỗ nam châm cuộn dây xác định đẳng th ứ c F = 167ri (kG ) Hãy xác định dao động cưỡng nam châm Q uả cân M treo vào lò xo A B, đầu lò xo dao động điều hòa theo đường thang đứng với biên đô a v tần số n; \ C — a sin nt cm 77 Hãy xác định dao đông cưỡng cầu với số liệu sau đây, trọng lượng cân 400 G, tác dụng lực 40 G lò xo dãn lc m ; a = c m , ,-1 n = 7s~ ã Hình 359 Hình 361 Lồng thang m áy có trọng lượng Q = hạ xuống giếng m ổ vớ i vận tốc u = m /s ; hãm chặt đầu dây cáp lại, lồng không hạ xuống Hãy xác định chuyển động tiếp sau lồng, hệ số cú n g dây cáp c = ,7 tấ n /c m Bỏ qua khối lượng dây cáp Hãy xác đinh chu kỳ dao động tự m óng m áy đặt đất đàn hồi bị lệch khỏi vị trí cân Trọng lượng m óng m áy Q = 147 tấn, diện tích đế m óng s — 50m 2, độ cứng riêng đất À = 3k G / c m (hệ số cứng đất c — AS) Hình 362 363 Hình 363 M ột vật treo hai dây thẳng đứng, m ỗi dây dài £, khoảng cách giữ a chúng 2a V ật bị xoay xung quanh trục thẳng đứng nằm m ặt phầng dây cách chúng (hệ treo hai dây) Bán kính quán tín h v ật đối 78 .với trục quay p Hãy tìm chu kỳ dao động nhỏ Hãy xác định chu kỳ dao động nhổ tự lắc có trọng lượng Ọ; biết trục quay tạo với m ặt phằng nằm ngang m ột góc /?, m ơm en qn tính trục quay J khoảng cách từ trọng tâm đến trục quay s Trong ghi rung, dùng để ghi dao động m óng, phận máy v.v lị xo xoắn có độ cứng c giữ lắc có trọng lượng Q lệch khỏi đường thẳng đứng m ột góc a M ơm en qn tính lắc trục quay o J; khoảng cách từ trọng tâm lắc đến trục quay s Hãy xác định chu kỳ dao động tự ghi rung Hình 365 Hình bàt 366 6 Trong cấu bốn khớp O A B O i (cơ cấu định hướng thẳng) trọng tâm tải trọng nằm đường kéo dài truyền T ại vị trí cân OA, BC thẳng đứng, \ B nằm ngang, O A = A B — a, A C — s Hãy tìm chu kỳ dao động nhỏ lắc Bỏ qua khối lượng Máy rung dùng để tạo dao động gồm hai đĩa mắc lệch tâm hai trục song song, trọng lượng m ỗi đĩa Q, trọng lượng toàn m áy P\ tâm sai hai đĩa r Khi lắp ráp ban đầu đĩa tạo với phương nằm ngang gộc «1 Q2- Hai đĩa quay ngư ạc chiều với vận tốc góc cưẵ M áy gắn bu lơng bệ đàn hồi có độ cứng c Hãy xác định biên độ dao động cưỡng thẳng đứng bệ máy, bỏ qua lượng Đ ể khử dao động trục khuỷu động m áy bay, ngư ời ta đặt đối trọng với đoạn máng trịn bán kính r có tâm nằm cách trục quay m ột đoạn A B = í, m ột đối trọng phụ dang chất điểm chuyển động tự theo m V ận tốc góc quay trục tưệ 79 Hãy xác đinh tần số dao đơng nhị đối phu, bổ qua ảnh h n g trọng lực Hình 367 ẳ D a o dộng n h ổ củ a hệ• n h iều b ậc t ự• • ' • M ột m óng máy nặng Q = 100 đặt đất đàn h iẵ D iện tích đáy m óng s = 17 m 2; độ cứng riêng đất A = 6000 tấ n /m 3ử Đ ể khử dao động cộng hưởng phát sinh m áy làm việc, người ta đặt máy m ột bệ nặng liên kết với m óng bầng lị xo có độ cứng tổng cộng c = 5.000 tấ n /m Trọng lượng m áy bệ p = ,9 Hãy xác định tần số dao động hệ (m óng v giảm rung) ế Hãy xác định tần số dao động xoắn tự hệ gồm m ột trục có mơt đầu gắn chặt hai đĩa đồng chất lắp vào đầu trục M ơm en qn tính m ỗi đĩa đường tim trục J ; độ cứng xoắn phần truc Cl — C2 = c Bỏ qua khối lưcmg truc h — > / ể - ® Hình, 371 Hình 312 Hai lắc có độ dài £ khối lượng m nối với khoảng h lị xo có độ cứng c; đầu lò xo gắn chặt vào chúng Hãy xác định dao động nhổ hệ m ặt phầng chứa vị trí cân 80 lắc, sau làm cho lắc có góc lệch a khỏi vị trí cân bằng; vận tốc ban đầu chúng không Bỏ qua khối lượng lò xo Hai lắc vật lý treo vào hai trục song song đặt m ặt phẳng nằm ngang nối với m ột lò xo có độ dài trạng thái chưa bị câng khoảng cách hai trục lắc Hãy xác định tần số, tỷ số biên độ dao động hệ, góc lệch khỏi vị trí cân nhỏ Trọng lư ạng m ỗi lắc P ; bán kính quán tính trục qua trọng tâm song song với trục treo ơ; độ cứng lò xo c; khoảng cách từ trọng tâm lắc từ điểm gắn lò xo vào lắc đến trục treo tư ơng ứng a b Bỏ qua sức cản chuyển động khối lượng lò xo Thanh đồng chất có độ dài L treo vào m ột điểm cố định nhờ sợi dây dài í = ,5 L Hãy xác định tần số dao động hệ tìm tỷ số đệ lệch khỏi đường thẳng dây ứng với dao động th ứ dao động thứ hai Bỏ qua khối lượng dây Con lắc vật lý kép gồm thẳng đồng chất O O có chiều dài 2a, trọng lượng Pị quay quanh trục cố định nằm ngang Oi m ột đồng chất AB có trọng lượng P nối khớp trọng tâm với đầu m út O th ứ Hãy xác định chuyển động hệ, th ời điểm ban đầu O O lệch khỏi đường thẳng đứng m ột góc 0 - Hình S7S Hình 374 Hình 575 M ột đĩa tròn đồng chất bán kính r, khối lượng M nối khớp vớ i OA độ dài £; th anh quay quanh trục cố định nằm ngang C hất điểm có khối lư ợng m gắn chặt vào vành đĩa Hãy xác định tần số dao động tự hệ Bổ qua khối lư ợng Đ ĩa có th ể quay m ặt phẳng dao đông OA: 81 M ột hệ gồm khối lượng m j pittông giảm chấn gắn cứng với điểm B N hờ lị xo có độ cứng Cl, hệ treo vào phầng A chuyển động theo quy luật f = £ ( t ) Hộp giảm chấn có khối lượng m tự a lị xo có độ cứng c2, đầu lị xo tự a pittơng M a sát nhớt giảm chán tỳ lệ với vận tốc tưcmg đối pittông so với hộp; hệ số cản ß Hãy th iết lập phương trình chuyển động cùa hệ Hình 376 C hương 15 VA C H Ạ M 7 D ầu búa A cùa m áy đóng cọc rơi từ độ cao 4,905 m đập xuống đe B gắn lò xo Trọng lư ạng đầu búa 10 kG, ọn g lượng đe 5kG Hãy tìm xem sau va chạm , đe bắt đầu chuyển đông với vận tốc bao nhiêu, đầu búa chuyển động với Hãy tìm vận tốc sau va chạm đàn hồi tu yệt đối hai q u ả c ầ u n h - n h a u , c h u y ể n đ ô n g g ặ p n h a u v i v â n t ố c Vị v t>2 HìrứI 377 Hãy xác định tỉ số khối lượng m \ m hai cầu hai trường hợp sau đây: 1) cầu th ứ nằm yên, cho va chạm tâ m sau cầu th ứ hai đứng yên; 2) hai cầu gặp với vận tốc ngược hướng, sau va chạm tâm cầu th ứ hai nằm yên C ho biết hệ số phục hồi k Tải Ả có trọng lượng p rơi khơng vận tốc ban đầu từ độ cao h xuống B có trọng lượng p gắn m ột lò xo với hệ số cứng C Hãy xác định độ nén s lò xo sau va chạm , vớ i giả th iết hệ số phục hồi không B úa nước nặng 12 rơi với vận tốc m /s xuống đe, trọng lượng đe m iếng sắt cần rèn nặng 250 Hình 380 Hãy tìm cơng A\ tiêu hao vào m iếng sắt cần rèn công Ả làm rung m óng, đồng thời tính hệ sổ tác dụng hữu ích búa; xem va chạm không đàn hồi ẽ Quả cầu có khối lượng m \ chuyển động với vận tốc Vi gặp cầu đứng yên có khối lượng m , cho va chạm vận tốc hợp với đư ờng nối hai 82 tâm m ột góc a Hãy xác định: 1Ế Vận tốc thử sau va chạm , xem va chạm tu yệt đối không đàn hồiề Vận tốc m ỗi cầu sau va chạm với giả thiết va chạm đàn hồi với hệ số phục hồi k Quả cầu thép rơi m ột góc 45° xuống thép nằm ngang v nẩy lên góc 60° so với phương thẳng đứng Hãy tính hệ số phục hồi va chạm Quả cầu rơi nghiêng với vận tốc V xuống m ặt phẳng nằm ngang cố định l nẩy lên với vận tốc V\ = - ẽ Hãy xác định góc rơi Ot góc phản xạ ß, hệ số phục hồi va c ot, 'r r v Á ' \ ửHình 384 Hình S85 Hai cầu đàn hồi tu yệt đối va chạm với vận tốc V độ lớn Trước va chạm cầu bên trái có vận tốc hướng bên phải theo đường nối tâm hai cầu, cịn cầu bên phải có vận tốc hợp với đường nối tâm góc a (xem hình v ẽ )Ế Hãy tìm vận tốc cầu sau va chạm Để nén chặt đất móng cơng trình, người ta dùng búa đóng cọc đóng cọc trọng lượng p = 50 kG xuống đất Đ ầu búa nặng P\ — 450 kG rơi khơng có vận tốc ban đầu từ độ cao h — m; hệ số phục hồi không; vớ i 10 va đập sau cọc xuống sâu ỏ — cm Hãy xác định sức cản trung bình đất đóng cọc Trong dụng cụ để xác định hệ số phục hồi va chạm có m ột quay mặt phẳng thằng đứng xung quanh trục nằm ngang o Tại m ột đoạn xác đinh th an h , ta gắn m ột miếng vât liệu cần thử T hanh bắt đầu rơi khơng có vận tơc ban đầu từ vị trí nằm ngang tác dụng trọng lượng thân vị trí thẳng đứng va chạm với v ậ t càn có dạng m ỏng gắn cố định Bản làm vật liệu cần th nêu Hãy xác định số phục hồi k, sau va chạm lêch trở lại m ơt góc so với vi trí 83 thẳng đứng cần phải đăt m ẫu th cách trục ^ua,y cua t ^ian khoảng X bao nhiêu, va chạm không xuất ap lực phụ trục o Hình 387 84 ắj P h ần V M Ộ T S ố ĐE thi O L Y M P IC học T Ừ N Ă M 1989 Đ Ế N 1998 8 (năm 1989) M ột rịng rọc kép c có bán kính r R quay quanh trục cố định o dây không dãn, không trọng lượng M ột đầu dây treo vật nặng B có trọng lượng P\ chuyển động theo phương thẳng đứng đầu buộc vào tâm A bánh xe đồng chất có trọng lượng p bán kính R có th ể lăn không trượt m ặt phẳng nghiêng cố định hợp với phương ngang m ột góc a Cho biết rịng rọc kép có bán kính qn tính trục quay o pị^Jo = — p2j Bỏ qua ma sát lăn m a sát trục quay o Tính gia tốc vật B Trong điều kiện vật B chuyển động hướng xuống Xác đinh phản luẵc tai trục quay o sức căng đoan dây treo vât B Trong trường hợp vật B chuyển động thẳng (khi hướng xuống, hướng lên) Hình S88 Hình bàI 390 (năm 1989) M ột xe ô tô tải chở m ột bê tông nặng chuyển động với vận tốc V G iả th iết trình hãm xe lực hãm xem không đổi xe chuyển đông tinh tiến thẳng Tính đoan đường hãm (đoan đường xe kể từ lúc hãm xe đến xe dừng hẳn lại) tối thiểu để bê tông không bị dịch chuyển so với ầàn xe Cho biết hệ số m a sát trư ợ t bê tôn g sàn xe / (năm 1990) T hanh đồng chất AB dài Í , trọng lượng p đầu A tự a sàn ngang nhăn lập với sàn m ột góc 60°, đầu B treo dây D B th ẳng đứng không dãn, không trọng lượng Tai m ôt thời điểm dây bi đốt đứt bắt đầu chuyển động 85 Xác định áp lực lên sàn thời điểm bắt đầu chuyển động T ìm vận tốc khối tâm c phụ thuộc độ cao h so với sàn Xác định quỹ đao đầu B (năm 1990) Một AB có khối lượng m chịu tác dụng lực F theo phương nằm ngang, chuyển đông tinh tiến không m a sát doc th eo sàn ngang Mơt lăn có khối tâm c, bán kính R, khối lượng m 0, m ơm en quán tín h J c trục qua c thẳng góc với mặt phang lân Con lăn g iữ yên AB m ột dây căng không dãn, không trọng lượng lư n g , m ột đầu buộc vào tâm c lăn, m ột đầu buộc vào thành đứng AB Tìm gia tốc AB Tìm sức căng dây (giả thiết dây ln ln căng) Giả sử lăn đươc đăt tự (khơng có dây buộc) T ìm chuyển động lăn lăn không trượt , bổ qua ngâu lưc m a sát lăn lăn Ban đầu hệ đứng yên T ìm số ma sát lăn để lăn không trư ợ t AB (năm 1991) Ong AB dài £, khối lượng m quay xung quanh trục th ẳ n g đứng ị lập với góc 60° Trong ống có m ột quà cầu khối lượng m , lúc đầu đứng yên ống diểm đoạn CB Vận tốc góc ban đầu ống 2t u>0\ C B = y ẳ Bỏ qua khối lượng trục quay, ma sát ống v ả ổ trục quay T im gia tốc góc ống thời điểm cầù lăn đến đầu B ống (năm 1991) Trụ đặc đồng chất có bán kính r, lăn không trư t bên ống trụ bán kính R Trụ lăn xuống từ trạng thái đứng n v vị trí góc hình vẽ Hệ số m a sát lăn ỗ Á O C =