Bài tập cơ học lý thuyết

PHẦN THỨ NHẤT: TĨNH HỌC CHƯƠNG I: NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN- HỆ TIÊN ĐỀ TĨNH HỌC Tĩnh học là một phần của Cơ học lý thuyết, trong đó nghiên cứu điều kiện cân bằng của vật rắn dưới tác dụng

LỜI NÓI ĐẦU

Cuốn “ Bài tập cơ lý thuyết ” in lần này là kết quả của nhiều lần rút kinh

nghiệm qua thực tế giảng dạy của Bộ môn cơ học lý thuyết Trường Đại học Thủy lợi suốt bốn mươi năm qua

So với hai tập giáo trình xuất bản năm 1976, chúng tôi đã chọn lọc sửa chữa và rút bớt lại về số lượng bài, kết cấu lại các chương mục cho phù hợp với đề cương môn học đã được sửa đổi theo tinh thần cải cách giáo dục và đáp ứng yêu cầu đào tạo các ngành nghề của Trường Đại học Thủy lợi

Giáo trình này được dùng cho sinh viên chính quy hệ 5 năm của trường Đại học Thủy lợi, ngành công trình và ngành máy(chương trình A) Tuy nhiên những sinh viên học theo chương trình B hoặc sinh viên hệ tại chức, khi sử dụng giiaos trình này có sự hướng dẫn của giáo viên cũng rất thuận lợi Ngoài ra giáo trình này còn làm tài liệu ôn tập cho những học viên ôn tập để thi tuyển vào hệ cao học hay nghiên cứu sinh ngành

cơ học

Chúng tôi mong có sự góp ý của các thầy giáo cô giáo và người sử dụng về nội dung và hình thức để giúp chúng tôi hoàn thiện hơn về giáo trình này

Hà Nội, tháng 10-2003 Tập thể bộ môn Cơ học lý thuyết GS.TS.Nguyễn Thúc An PGS.TS.Khổng Doãn Điền

PGS.TS.Nguyễn Đình Chiều PGS.TS.Nguyễn Đăng Tộ

PGS.TS.Nguyễn Bá Cự PGS.TS.Lê Đình Don

TS.Nguyễn Đình Thông TS.Nguyễn Thị Thanh Bình

PHẦN THỨ NHẤT: TĨNH HỌC

CHƯƠNG I: NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN- HỆ TIÊN ĐỀ TĨNH HỌC

Tĩnh học là một phần của Cơ học lý thuyết, trong đó nghiên cứu điều kiện cân bằng của vật rắn dưới tác dụng của lực Vật rắn ở trạng thái cân bằng hiểu theo nghĩa tĩnh học là vật rắn đứng yên

Với qui ước ngay từ đầu vật rắn đã đứng yên, ta có thể đồng nhất khái niệm cân bằng của vật rắn với khái niệm cân bằng của hệ lực tác dụng lên nó Do đó để nghiên cứu điều kiện cân bằng của vật rắn dưới tác dụng của hệ lực, ta chỉ cần nghiên cứu điều kiện cân bằng của hệ lực tác dụng lên nó là đủ Nội dung chủ yếu của các bài toán tĩnh học là tìm phản lực để hệ lực tác dụng lên vật khảo sát cân bằng Cơ sở lý luận của phần tĩnh học là hệ tiên đề tĩnh học

HỆ TIÊN ĐỀ:

Tiên đề 1: ( Tiên đề về sự cân bằng)

Điều kiện cần và đủ để hệ hai lực cùng tác dụng lên một vật rắn

cân bằng là chúng có cùng giá, cùng cường độ và ngược chiều

Tiên đề 2: ( Tiên đề thêm bớt hệ lực cân bằng )

Tác dụng của một hệ lực lên vật rắn không thay đổi nếu ta thêm vào hay bớt đi một hệ lực cân bằng

Hệ hai lực cùng đặt tại một điểm có hợp lực đặt tại điểm chung

ấy, véc tơ biểu diễn hợp lực là véc tơ đường chéo của hình bình

hành mà hai cạnh là hai vectơ biểu diễn hai lực đã cho

(F Fr r1, 2)

Rr

; R Fur ur= 1+urF2

Tiên đề 4: (Tiên đề về lực tác dụng và phản tác dụng)

Lực tác dụng và phản tác dụng giữa hai vật là hai lực có cùng

giá, cùng cường độ và ngược chiều nhau

FF

F1

F2

F

Chú ý: Khác với tiên đề 1, trong tiên đề 4, lực tác dụng và phản tác dụng không phải

là hai lực cân bằng

Tiên đề 5: ( Tiên đề hoá rắn )

Khi vật biến dạng đã cân bằng, thì hoá rắn lại, nó vẫn cân bằng

Nắm vững các loại liên kết và phản lực liên kết là một trong những yếu tố quan trọng

để giải đúng các bài toán tĩnh học

• Liên kết thanh không trọng lượng:

x

X x

F

O

h

Nguyên lý giải phóng liên kết

Vật không tự do có thể coi như tự do nếu thay các liên kết bằng những phản lực liên kết tương ứng

m F0( )r =F h

m Fr0( ) 0r =r khi giá của lực Fr

đi qua tâm lấy mômen 0

+ Mô men của lực lấy đối với một trục:

m F z( )r = ±d F xy

Ta có m F z( ) 0r = khi lực và trục lấy mômen cùng nằm trên một mặt phẳng nghĩa là

giá của lực Fr

cắt trục z, hoặc giá của lực Fr

song song với trục z

CHƯƠNG II HAI BÀI TOÁN CƠ BẢN CỦA TĨNH HỌC

I Bài toán thu gọn hệ lực

Hệ lực thu về hợp lực

có giá đi qua tâm 0

Hệ lực thu

về hợp lực

có fgiá không

đi qua tâm 0

Hệ lực thu về một ngẫu có mômen là Mr

0 không phụ thuộc tâm 0

Hệ lực cân bằng

1 Thí dụ

Theo các cạnh của lăng trụ tác dụng các lực F F F F F Fr r r r r r1, , , , ,2 3 4 5 6

có chiều như hình vẽ Biết F1 = F6 = 10N,

0

Hình 1

Vậy, khi thu gọn hệ lực (F F F F F Fr r r r r r1, , , , ,2 3 4 5 6

) về gốc toạ độ 0, ta được véc tơ chính 0

Rr

có chiều trùng với chiềucủa trục 0x và có trị số 20N, mômen chính Muur0

có chiều trùng với chiều của trục 0y và có trị số 50Nm

0 0

Rr ≠ , Mr0 ≠0 , R Mr r0 0 =0 suy ra hệ lực đã cho thu về hợp lực

Hợp lực có trị số và phương chiều trùng với trị số và phương chiều của véc tơ chính Rr0

và mômen chính 0

có chiều như hình vẽ Biết 0A=0B=0C = a

a Tìm điều kiện để hệ lực thu về một ngẫu lực

b Tìm điều kiện để hệ lực thu về một lực

F3

F2

F1

2 3 1

3

3 1 1

3

1 2 1

2

22

22

Mômen của một lực lấy đối với một trục bằng không khi giá của lực cắt trục nên ta

dễ dàng tìm thấy tổng mômen của các lực F F Fr r r1, ,2 3

đối với các trục tọa độ 0xyz 3

22

)

a Điều kiện để hệ lực thu về một ngẫu lực:

Để hệ lực thu về một ngẫu lực chỉ cần thêm điều kiện :

0 0

Rr = suy ra F1 = F2 = F3

Ngẫu lực có véc tơ mômen là Mr0

b Điều kiện để hệ lực thu về một lực:

Để hệ lực đã cho thu về một lực chỉ cần thêm điều kiện:

O Z

x

K

y

y Z

3 Theo các cạnh của lăng trụ tác dụng các lực có trị số P1=40N, P2=P5=10N; P3=15N; P4

= 5N và có chiều như hình vẽ Biết 0A=2; 0K=20cm, α = 300 Thu gọn hệ lực về dạng tối giản

A3(2,3,1) và chiếu của chúng lên các trục

toạ độ cho trong bảng bên

Thu gọn hệ lực trên về gốc toạ độ

Trả lời: Rr0

=0; M0 = 23,4Nm; cos(M ir r0, )

= 0,679 cos(M jr r0, )

=0,085 ; cos(M kr0,r)

0,727

O A

F

C B

K D

E

P Q

O x

7 Tại các đỉnh của một lập phương có cạnh bằng a đặt 6 lực cùng có trị số P, có chiều như hình vẽ Rút gọn hệ lực về dạng tối giản

Trả lời: Hệ lực thu về một ngẫu lực với M0 = 20 3 P đơn vị mômen lực

8 Trên một tứ diện đều ABCD đặt các lực Pr1

hướng theo AB, Pr2

hướng theo CD và 3

Pr

có điểm đặt tại trung điểm E của BD Giá trị của Pr1

, Pr2 tuỳ ý Chiếu của Pr3

lên 3 trục toạ độ là X3 5 3

đi qua gốc toạ độ

P =0

10 Theo 3 cạnh không cắt nhau và không song song với nhau của một hình hộp tác

Vật nặng Q= 9 3 N được treo vào bản lề C Thanh BC

nằm ngang Thanh AC và BC bỏ qua trọng lượng được nối

với nhau bằng bản lề C và gắn vào tường thẳng đứng bằng

bản lề A, B Biết β= 600 Xác định ứng lực S Sr rA′ ′, B trong thanh

AC, BC

Bài giải

Hình 13

y x

a) Khảo sát cân bằng bản lề C

b) Các vật liên kết: Thanh AC và thanh BC (Hình 13)

c) Hệ lực tác dụng lên vật khảo sát bao gồm : Các lực tác dụng tích cực và phản lực liên kết:

• Lực tác dụng tích cực là Qr

• Liên kết là hai thanh thẳng bỏ qua trọng lượng hai đầu gắn bản lề nên hai phản lực có phương dọc theo thanh, ký hiệu là S Sr rA, B

và giả sử có chiều như hình vẽ

• Hệ lực cân bằng tác dụng lên vật khảo sát là: ( , , )Q S Sr r rA B

Vậy ta đã xác định được chiều của S Sr rA, B

dựa vào tam giác lực khép kín Chiều giả sử của S Sr rA, B

ở trên là đúng Do các cạnh tương ứng song song nên tam giác lực abc đồng dạng với tam giác hình học ABC Từ đó trị số SA, SB được xác định theo định lý hàm số sin trong tam giác lượng:

232

B

Q

Phương pháp giải tích: Hệ trục toạ độ Cxy được chọn như hình vẽ Nên chọn gốc toạ

độ trùng với điểm đồng qui của hệ lực và các trục toạ độ hướng sao cho việc lập hệ phương trình cân bằng đơn giản và dễ giải nhất

Áp dụng hệ phương trình cân bằng đối với hệ lực phẳng đồng qui ta có:

3 1

K B A K

K B K

Nếu giải bằng phương pháp hình học thì dựa vào chiều của tam giác lực khép

kín ta xác định được phương chiều của các phản lực trước sau đó tìm môđuyn của

các phản lực sau Nếu giải bằng phương pháp giải tích thì dựa vào hệ phương trình

cân bằng của hệ lực ta tìm được môđuyn của các phản lực trứơc Dựa vào kết quả

tìm được, môđuyn của phản lực nào dương thì phương chiều của phản lực đó đúng

như chiều giả thiết, môđuyn của phản lực nào âm thì phản lực đó có phương chiều

ngược lại với phương chiều giả thiết

Trong bài toán này SA= 18N > 0; SB = 9N > 0 nên hai phản lực S Sr rA, B

có chiều như giả thiết trên hình vẽ

Ứng lực của thanh AC có môđuyn bằng môduyn của phản lực SrA

S A′ =S A =18N ; SrA′ = −SrA

Ứng lực của thanh BC có môđuyn bằng môduyn của phản lực SrB

9

B B

S′ =S = N ; SrB′ = −SrB

Áp dụng tiên đề 4 và tiên đề 1 tĩnh học ta thấy thanh AC bị

kéo với cường độ 18N, còn thanh BC bị nén với cường độ 9N

14 Thí dụ

Một sợi dây không dãn hai đầu buộc vào trần nằm ngang

tại hai điểm A, B Tại điểm C treo tải trọng trọng lượng P

Các nhánh dây AC, BC lập với đoạn AB các góc α, β Hãy xác

90-b

90-a

(sin cosT B α β +sin cos )β α −Pcosα = 0

Suy ra: cos

Tuur12 = −T t.ur0 hay Tuur21 =T t.ur0

Sợi dây xét luôn căng, và sức căng T là dương Vậy,

sức căng T′ A của nhánh dây AC, T′ B của nhánh dây BC

có môđuyn bằng môđuyn TA, TB tương ứng: T A′ = ; T A

B B

T′ = T

15 Thí dụ

Xà AB bỏ qua trọng lượng nằm ngang, đầu A gắn vào

bản lề A, đầu B là gối tựa con lăn đặt lên mặt phẳng

nghiêng so với phương nằm ngang một góc α= 450 Tại điểm C của xà treo vật nặng P

chưa biết Theo hệ quả 5 ta có giá của RrA

cũng phải đi qua 0 Do đó ta có thể giải bài toán này bằng phương pháp hình học hoặc giải tích như hai thí dụ trên Tuy nhiên trong trường hợp này ( khi đã đưa về dạng hệ ba lực đồng qui) nên dùng phương pháp hình học để giải thì nhanh gọn hơn, còn

muốn sử dụng phương pháp giải tích không nhất thiết phải tìm

tâm đồng qui

Phương pháp hình học

Từ điểm 01 tùy ý dựng véc tơ 0C = Pr

Từ gốc 0 và mút C dựng các nửa đường thẳng song song với các giá của lực NrB

,RrA, hai nửa đường

thẳng này cắt nhau tại điểm d Dựa vào chiều của lực Pr

a

q

b) Liên kết: Bản lề A, dây BC (Hình 16)

c) Hệ lực tác dụng lên thanh AB: ( , ,P T Rr r rA)

∼ 0, trong đó giá của

Do điều kiện hình học đã cho, ta chọn gốc toạ độ trùng với tâm đồng qui còn hai trục toạ độ trùng với giá của RrA

, Tr: 3

0 1

cos30 0

K K

cos60 0

K A K

17 Thanh AC nằm ngang được nối với thanh BC bởi bản lề C và

cùng gắn vào tường thẳng đứng bởi bản lề A, B Tại bản lề C treo tải

trọng Q = 30N Biết AC=1,2m; BC=1,5m Bỏ qua trọng lượng hai

thanh Xác định ứng lực trong các thanh AC, BC

Trả lời: Thanh AC bị kéo với cường độ S′ A= SA = 40N

Thanh BC bị nén với cường độ S′ B= SB = 50N

18 Dây AB được buộc chặt tại A đầu B treo vật nặng P Dây BCD luồn qua ròng rọc C và đầu D treo vật nặng Q=10N Bỏ qua ma sát ở ròng rọc C Biết dây AB và BC lập với phương thẳng đứng các góc tương ứng α=450; β=600 Tìm lực căng của dây

AB và trọng lượng P

Trả lời: T= 12,2N ; P= 13,7N

Hình 18

19 Thanh AC và BC được nối với nhau và gắn vào tường thẳng đứng nhờ các bản lề

A, B, C Tại C treo tải trọng Q=1000N.Bỏ qua trọng lượng hai thanh Xác định ứng lực trong các thanh AC, BC cho các trường hợp:

1

2Q

21 Một vật nặng 15N treo tại trung điểm B của dây ABC dài 20m Biết A,C,D nằm ngang, BD = 0,1m Tìm lực căng của đoạn dây AB, BC

Trả lời: TA= TC= 750N

Hình 20 Hình 21 Hình 22

22 Một đèn nặng 2N treo tại điểm B của dây ABC Xác

định lực căng của các đoạn dây AB, BC Biết α=600 ,

β=1350

Trả lời: TA= 1,46N ; TC= 1,04N

23 Đoạn dây CAEBD vắt qua hai ròng rọc nhỏ nằm ngang A, B, AB = l Tại mút C và

D treo hai tải trọng cùng trọng lượng Q, tại E treo tải trọng P Bỏ qua ma sát ở hai ròng rọc Tìm khoảng cách x từ E đến AB khi hệ ở vị trí cân bằng

Trả lời:

2 2

2 4

Pl x

=

−

24 Thanh AB bỏ qua trọng lượng được gắn bản lề ở A, đầu B

được treo tải trọng P và buộc dây vắt qua ròng rọc nhỏ không ma

sát C có treo vật nặng Q A, C cùng trên đường thẳng đứng,

AC=AB Xác định ứng lực trong thanh AB và góc α khi hệ cân

bằng

Trả lời: S =-P, sin

Q P

α

=

25 Vật P=20KN treo trên cần trục ABC nhờ xích vắt qua hai

ròng rọc bỏ qua ma sát A và D Các góc cho trên hình vẽ Trọng

lượng các thanh và xích không đáng kể Tìm ứng lực trong thanh

AB và AC

Trả lời: S1=0 ; S2=-34,6KN

26 Tìm trị số tối thiểu của lực ngang Pr

để nâng con lăn nặng 40KN, bán kính 50cm lên khỏi nền gạch cao 10cm

B

Q Q

60o

Q

C

Q B

C

B

Trả lời: P=30KN

27 Trên hai mặt phẳng nhẵn vuông góc với nhau AB và BC đặt quả cầu D đồng chất nặng 60N Xác định áp lực của quả cầu lên mỗi mặt phẳng nghiêng nếu BC tạo với phương ngang góc 600

Trả lời: RD = 52N ; RE = 30N

28 Trên tường nhẵn, thẳng đứng AB treo một quả cầu đồng chất D nặng P nhờ dây

AC tạo với tường một góc α Xác định lực căng của dây và áp lực của quả cầu lên tường

Trả lời:

cos

P T

tại B tác dụng lực thẳng đứng xuống dưới F=5KN Bỏ qua

trọng luợng xà và thanh, AC=2m, BC=1m

31 Thanh đồng chất AB=2m, nặng 5N đầu A tựa vào tường thẳng đứng, đầu B buộc vào sợi dây BC, biết góc ∠(DAB) =450 Xác định khoảng cách AC cần thiết để buộc dây vào tường, phản lực ở A và lực căng của dây khi thanh cân bằng

36 Ở trục ròng rọc C treo tải trọng P=18N có thể trượt dọc theo dây cáp ACB, hai đầu

dây A, B được buộc chặt vào 2 tường có khoảng cách 4m, dây dài 5m Bỏ qua trọng lượng dây cáp và ma sát ở ròng rọc Xác định sức căng của dây cáp khi ròng rọc cân bằng

Trả lời: T=15N và không phụ thuộc vào độ cao BF

37 Thí dụ:

Cột 0A thẳng đứng được giữ nhờ hai dây AB và

AC tạo với cột góc α=300 , góc giữa hai mặt phẳng

0AB và 0AC là β=600 Tại đầu Acủa cột buộc hai dây

vuông góc với nhau và song song với các trục 0x, 0y

Biết lực kéo mỗi dây F=200N Tìm áp lực thẳng

đứng của cột lên nền và sức căng của mỗi dây AB,

AC Bỏ qua trong lượng cột và hai dây

5

2 1

P

AC

FB4m

P A

B

C

D

O C

buộc hai dây vuông góc với nhau và song song với 0x, 0y

Biết lực kéo mỗi dây P1=P2=P=100N Bỏ qua trong lượng cột

và dây AB, AD Tìm áp lực thẳng cột và sức căng mỗi dây

Trả lời: ϕ>450 ; TD = 231N ; TB= 85N ; R= 273N

HHình 38

39 Hai dây điện thoại được buộc vào cột AB tại A lập với nhau góc ∠(DAE)=900 Sức căng của các dây AD và AE tương ứng bằng 12N và 16N Cột chống AC lập với phương ngang góc

600 Bỏ qua trọng lượng hai cột Xác định góc α lập bởi hai mặt phẳng BAC và BAE và ứng lực cột chống AC

P 1

P 2

ϕ

Hình 39 Hình

40

40 Tại đỉnh A của giá 3 chân AB, AC, AD treo vật P=100N Khoảng cách từ A đến đất 0A=3m, độ dài mỗi chân l=10m, 3 đỉnh B, C, D tạo thành tam giác đều Tìm lực nén lên mỗi thanh

Trả lời: S= - 41,67N

41 Cột AB được giữ ở vị trí thẳng đứng nhờ 4 dây neo sắt đặt đối xứng Góc giữa hai dây kề nhau

là α=600 Sức căng mỗi dây bằng 1000N, trọng lượng cột là 2000N Xác định áp lực của cột lên mặt đất

Trả lời: R= 4828N

Hình 41 Hình 42 Hình 43

42 Vật nặng Q=100N được giữ bởi xà 0A, bỏ qua trọng lượng, bắt bản lề tại A

và nghiêng so với phương thẳng đứng góc α=450 và hai xích nằm ngang 0B, 0C dài như nhau trọng lượng không đáng kể Biết ∠(CBO)= ∠(BCO)=α=450 Tìm sức căng của xích và ứng lực của xà

Trả lời: T= 71N ; S= 41N

43 Tìm ứng lựcS Sr r1, 2

trong các thanh AB, AC và sức căng Tr

của dây AD của cần trục, nếu CBA=BCA=600, EAD=300, P=300N, mặt phẳng ABC nằm ngang Các thanh được bắt bản lề tại A, B, C

B

O

D a

P A

D E

B

C

E D

A

V

W

y Q O

A C

D α

α α B

y

x

QA

C

B

DO

44 Tìm ứng lực Sr

trong thanh AB và sức căng của dây xích AC, AD giữ trọng vật Q = 42N nếu AB = 145cm, bỏ qua trọng lượng, AC = 80cm, AD=60cm, mặt phẳng chữ nhật ACED nằm ngang, mặt phẳng V, W thẳng đứng, B là bản lề Trả lời: S= -58N ;

Trên dầm công xông CD nằm ngang, bỏ

qua trọng lượng, tác dụng ngẫu lực có mômen

K A B K

Az K B K

Thanh AB nằm ngang trọng lượng 100N có

thể quay xung quanh bản lề A cố định Đầu B

được giữ nhờ quả tạ trọng lượng G= 150N vắt

qua ròng rọc không ma sát bằng dây nhẹ, không

dãn Tại điểm K với BK=20cm treo vật nặng Q=

500N Tìm phản lực tại A và độ dài thanh AB khi

Hình 48

G Q

P

y

G Q

C

4 Hệ phương trình cân bằng của hệ lực song song phẳng trên:

Az K K

Trả lời: NC= 1020N ; ND =1300N

50 Trên dầm công xon nằm ngang, bỏ qua trọng lượng tác dụng một ngẫu lực có

mômen M=60KNm Tại C tác dụng lực thẳng đứng Pr

có giá trị P=20KN Biết AB=3,5m; BC=0,5m Tìm phản lực ở A, B

Trả lời: RA= - 20KN ; RrA

hướng xuống dưới

RB= 40KN ; RrB

hướng lên trên

51 Trên dầm hai côngxon nằm ngang tác dụng ngẫu lực ( , 'P Pr r

), bên công xon trái tác

dụng lực phân bố đều qur

, tại D bên công xon phải chịu tác dụng lực thẳng đứng Qr

Xác định phản lực tại A, B Biết P=10KN, Q=20KN, q=20KN/m; a=0,8m

Trả lời: RA=(7- 4n)KN ; RB= (3+4n)KN ; n = AC

AB

Trả lời:RA= 15KN ; RB= 21KN

52 Dầm AB=1,5m trọng lượng 80N đặt giữa hai gối đỡ C và D nằm ngang Tại mút B

treo tải trọng 200N Biết AC=25cm, CD=30cm Tìm phản lực tại C, D

Trả lời: RC= 688,7N ; RD= 966,7N

53 Xà đồng chất BC=4m nặng 5KN Đầu C treo vật nặng P=40KN đầu kia tựa vào hai điểm cố định A và B với AB=0,5m Xác định phản lực tại A, B khi xà cân bằng Trả lời: RA= 340KN ; RB= 295KN

54 Tìm giá trị phản lực của cần trục cầu tại A và B trên đường ray, phụ thuộc vào vị trí của xe nhỏ C trên có gắn ròng rọc ở nửa bên trái cầu, đặt AC

AB = n Trọng lượng cầu

P=6KN, trọng lượng xe kể cả ròng rọc P1=4KN

55 Trên một dầm ngang đặt lên hai bệ đỡ cách

nhau 4m đặt hai tải trọng: C nặng 200N, D nặng

100N, CD=1m Bỏ qua trọng lượng dầm và thanh

nối CD Tìm khoảng cách x từ A đến C để phản lực

DB

A

QP'

PC

C

B A

x

Hình 55

B A

M

M

O 2

56 Hai thanh đồng chất có cùng tiết diện AB và BC nối cứng

với nhau tạo thành góc 600 và được treo tại điểm A bởi dây

AD Biết BC=2AB Xác định góc ϕ tạo giữa thanh BC và

phương nằm ngang khi thanh gẫy khúc ABC cân bằng

Trả lời: ϕ= arctg 3

5 = 19

05’

57 Hai thanh đồng chất cùng tiết diện AC=2a, CB=2b nối

cứng với nhau tại C tạo thành góc α và được treo bởi dây

CD Tìm góc ϕ giữa thanh AC và phương nằm ngang khi

+

58 Một cửa cống hình chữ nhật rộng b=2m nối với đáy công trình bằng bản lề trụ nằm ngang còn phía trên có móc giữ chặt Chiều sâu của nước

phía trước cửa cống là h1=4m, phía sau cửa cống là h2=2m

Chốt bản lề và móc chịu tất cả áp lực phân bố của nước lên

cửa cống từ phía trái và từ phía phải Biết áp lực riêng của

nước là σ=10KN/m2; HK=0,5m Xác định phản lực của chốt

bản lề B và phản lực của móc H Trả lời:

RB= 78,5KN ; Rm= 41,5KN

59 Supap an toàn A của nồi hơi nối liền với thanh AB có

cánh tay đòn CD=50cm nặng 1N có thể quay quanh trục cố

định C Đường kính supap d=6cm, BC=7cm Tìm trị số của lực Qr

B

60o

60 Xà AB=10m, đầu A nối bản lề cố định, đầu B đặt trên con lăn nghiêng so với phương ngang góc α=300 Trên xà có 3 ngẫu lực tác dụng với mômen M1=8KNm,

M2=10KNm, M3=7KNm và có chiều như hình vẽ Tìm phản lực ở A, B

Trả lời: (R Rr rA, B)

- ngẫu lực: RA=RB=0,58KN

61 Vật nặng Q=50N được treo vào trục bán kính r=10cm nhờ

dây cáp Tay quay có độ dài l=1,25m bắt chặt vào trục và cùng

nằm trong mặt phẳng của dây vuông góc với trục Tìm phản lực ở

bản lề trụ O và trị số lực của ngẫu ( ,uur uurP P′

) nếu giá của Puur

vuông góc với tay quay

Trả lời: R= 50N ; P= 4N

62 Bộ phận chính của ròng rọc visai được cấu tạo bằng hai bánh

xe răng khía luồn chặt vào nhau cùng quay quanh trục cố định A

bán R và r Một dây xích dài luồn qua hai bánh xe răng khía tạo

thành hai nhánh Tại một trong hai nhánh đó đặt ròng rọc B mang vật

4 A'B' đặt vật nặng trọng lượng Q= 240N Tìm ứng lực trong các thanh

Bài giải

a) Vật khảo sát: Tấm 0'A'B' cân bằng

b) Liên kết: các thanh không trọng lượng AA', BB', 00'

c) Hệ lực song song không gian tác dụng lên vật khảo sát:

( P Q S S Sr, , ,r r r r0 A, B

) 0

d) Hệ phương trình cân bằng của hệ lực trên:

Hình 62 Q B

Hình 61

A A

Sr′ = −Sr ; SrB′ = −SrB; Sr0′ = −Sr0

Bài toán thuộc dạng này luôn luôn có thể giải được bằng phương pháp hợp lực song song hoặc phân tích một lực thành hai lực song song và cùng nằm trong một mặt phẳng

64 Một tấm chữ nhật đồng chất có cạnh a= 6m và b=12m, trọng lượng P= 180N được đặt nằm ngang lên 3 điểm nhọn 0, A và K như hình vẽ Biết phản lực tại 0 là 10N và điểm K có toạ độ K(2,yK) Tìm phản lực tại A, K và toạ độ yK

b

66 Một đĩa tròn trọng lượng không đáng kể nằm yên ở mặt phẳng ngang tâm tựa lên

điểm nhọn 0 Xác định góc α, β sao cho khi tác dụng các lực Pr1, Pr

2, Pr

3 theo phương thẳng đứng từ trên xuống đĩa vẫn cân bằng Biết P1=1,5N, P2=1N, P3=2N Trả lời: α = 75030’ ; β = 1510

67 Cần trục ba bánh xe A, B, C với kích thước AD=DB=1m, CD=1,5m, CM=1m, KL=4m,

ở cân bằng nhờ đối trọng F Trọng lượng của cần trục và của đối trọng là 10KN đặt tại điểm

G nằm trong mặt phẳng MLNF với khoảng cách GH=0,5m kể từ trục cần trục MN, tải

trọng Q=3KN Tìm áp lực của các bánh xe lên ray khi mặt phẳng MLN song song với mặt

3 KN

68 Một cần trục có hình tứ diện ABCD Mặt đáy ABC là tam giác đều Mặt bên thẳng đứng

ADB là tam giác cân Trục thẳng đứng của cần trục được giữ bởi bản lề 0 và D, thanh

chống 0E mang tải trọng P có thể quay quanh trục đó Đáy ABC được giữ chặt bởi bản lề

trụ A, B và bulông thẳng đứng C Xác định phản lực ở A, B, C khi cần nâng 0DE nằm

trong mặt phẳng đối xứng của cần trục, nếu P=1200N, trọng lượng cần trục Q=600N với

trọng tâm ở G, h=1m, a=b=4m

Trả lời: ZA = ZB = 1506 N ; ZC = -1212 N ; XA=XB=0

69 Một tấm chữ nhật đồng chất có cạnh a và b, trọng lượng P được đặt nằm ngang trên

3 điểm nhọn A, B và E như hình vẽ Biết áp lực lên điểm A và B tương ứng là P/4 và

P/5 Tìm áp lực lên điểm E và toạ độ của nó

Xà AB đồng chất trọng lượng P=100N được giữ trong mặt phẳng thẳng đứng như

hình vẽ Biết các góc α= 300 ; β= 600 Bỏ qua ma sát trượt Tìm phản lực tại A, B

Bài giải

a) Vật khảo sát: Xà AB

x

y z

B A

b a E M

y b zD

h.G

C

xa

B

b) Liên kết: tựa tại A, B

c) Hệ lực tác dụng lên vật khảo sát AB:

( ,P X Y Nr r r rA, ,A B

) 0

d) Hệ lực trên là hệ lực phẳng, trong đó các phản lực phải tìm đều đã biết phương chiều

Sử dụng hệ phương trình cân bằng của hệ lực

phẳng ta sẽ tìm được cường độ của chúng

Thay các giá trị đã cho P=100N, α= 300 ;

β= 600 vào hệ phương trình trên ta được:

1) Vật khảo sát: Khung ABCD

2) Liên kết: Bản lề A, con lăn B

3) Hệ lực tác dụng lên khung ABCD:

A

y

xP

E

Hình 71

có chiều ngược với chiều giả thiết trên hình vẽ

72 Thanh AB đồng chất, trọng lượng P, đầu A tựa trên nền nhẵn nằm ngang, đầu B tựa lên mặt phẳng nghiêng với góc nghiêng β và được giữ bởi dây luồn qua ròng rọc

và buộc vào tải trọng Q Bỏ qua ma sát Xác định phản lực ở A, B và Q theo P khi thanh cân bằng

Trả lời: NA=

2

P

; NB=2

Pcosβ ; Q= T= =

2

Psinβ

Hình 72 Hình 73 Hình 74

73 Xà đồng chất trọng lượng 60N dài 4m một đầu tựa trên nền nhẵn và tại điểm B của

xà gác lên cột cao 3m, góc giữa xà và cột là 300 còn tại đầu C của xà buộc dây vào chân cột A Tìm phản lực ở B, C và sức căng của dây AC

Trả lời: T= 15N ; NB= 17,3N ; NC= 51,3N

74 Một thang AB nặng 200N được tựa trên tường nhẵn lập với phương ngang một góc

450 Một người nặng 600N đứng tại điểm D với AD=1

3AB Tìm phản lực tại A, B Trả lời: NB= 300N ; XA= 300N ; YA= 800N

a

a B

A

75 Thanh đồng chất dài 2l trọng lượng P tựa vào hai tường tại đầu B và điểm A Khoảng cách giữa hai tường là a Xác định phản lực tại A, B và góc nghiêng α giữa thanh và phương nằm ngang

Trả lời: NA=35,4N ; SC= 89,5N ; SD= - 60,6N

77 Người ta cần nâng một dầm cầu bằng ba dây cáp như hình vẽ Trọng lượng của dầm cầu là 4200N, trọng tâm đặt tại D Biết AD=4m, BD=2m, BF=1m và AC nằm ngang Tìm sức căng của ba dây

Trả lời: TA= 1800N ; TB= 1757N; TC= 1243N

78 Thanh đồng chất AB trọng lượng P được tựa trên

một mặt phẳng nằm ngang và một mặt phẳng nghiêng

Hai mặt phẳng lập với nhau góc một α Thanh được giữ

lập với mặt phẳng nằm ngang một góc β nhờ dây CD

lập với phương ngang góc γ Tìm sức căng của dây,

phản lực tại A, B Góc γ phải thỏa mãn điều kiện nào

thanh mới có thể cân bằng

Trả lời: NA= cos cos

C

Hình 78

80 Quả cầu đồng chất trọng lượng Q, bán kính a và vật nặng P được treo nhờ sợi dây buộc tại D, khoảng cách OM = b Xác định góc ϕ tạo bởi 0M và phương thẳng đứng khi quả cầu cân bằng

Trả lời: NA= 2,48KN ; XA= 2KN ; YA= 2,98KN

83 Xà AB= l =3m bỏ qua trọng lượng, bắt bản lề tại A, còn B tựa trên con lăn nghiêng

so với phương nằm ngang góc α=300 chịu tác dụng của lực phân bố đều q=2KN/m trên một đoạn a=2m và một ngẫu lực có mômen M=3KNm Tìm phản lực tại A, B

C

A

B D

O

β

α β

α B A

F P

l l

Trả lời: ND=39N ; XA= 33,5N ; YA= 4,5N

85 Một xà đồng chất AB trọng lượng P=100N gắn vào tường bằng bản lề A và nghiêng với

phương thẳng đứng một góc 450 Đầu B được buộc vào dây luồn qua ròng rọc không ma sát có treo vật nặng G Biết đoạn đây BC lập với phương thẳng đứng một góc 300 Tại D với BD = 1

4 AB treo vật nặng Q=200N Tìm trọng lượng G và phản lực tại A khi xà cân bằng

A

D B

G C

aM

86 Xà AB đồng chất trọng lượng 100N đầu A bắt bản lề vào tường , đầu B buộc vào dây nằm ngang BC và treo vật nặng P=200N, nghiêng với phương thẳng đứng góc α=450 Tìm sức căng của dây BC và phản lực tại A

Trả lời: T= 250N ; XA= 250N ; YA= 300N

87 Một dàn có bệ đỡ bản lề cố định tại A và xe di động B có độ dài AB=20m, nặng 100KN chịu lực ép tổng hợp của gió là F=20KN tác dụng song song với AB từ phải sang trái và cách AB là 4m Tìm phản lực tại A, B Biết α=300

Trả lời: NB= 62,4KN ; XA= 11,2KN ; YA= 46KN

88 Thí dụ:

Khung gấp khúc ABCD có phần ABC nằm ngang, phần

BCD thẳng đứng Khung được giữ bởi bản lề cầu A, bản lề trụ E

và dây không dãn DK song song với BA Khung chịu tác dụng

a) Vật khảo sát: Khung ABCD cân bằng

b) Liên kết: Bản lề cầu A, bản lề trụ E và dây DK

ZA

YA

m1

m2x

XA

PC

1 3

6

5 4 D

C

A

7 1 7 1 7 1 9

1 1

9 1 9

2 1

00

K A E K

Ax K E K

Thay các trị số đã cho vào 6 phương trình cân bằng trên và giải ra, ta tìm được:

YA = 0 ; ZE = 303N ; T = 203N ; ZA = -203N ; XE = 611N ; XA =-408N

e) Nhận xét: ZE > 0 ; T > 0 ; XE > 0 nên chiều của Z T Xr r rE, , E

giả thiết như hình

vẽ là đúng, còn ZA < 0 , XA < 0 nên chiều của Z Xr rA, A

ngược lại với chiều giả thiết trên hình vẽ

89 Xác định ứng lực trong 6 thanh đỡ giữ tấm vuông ABCD bỏ qua trọng lượng dưới

tác dụng của lực nằm ngang Pr

dọc theo AD Kích thước như hình vẽ

Trả lời: S1= P ; S2=-P 2 ; S3=-P ; S4=P 2 ; S5=P 2 ; S6= -P

90 Một tấm đồng chất có dạng hình chữ nhật nặng P nằm ngang được giữ cố định bởi

6 thanh thẳng trọng lượng không đáng kể hai đầu gắn bản lề Xác định ứng lực trong

60OQ

E B

C

x

y z

x

100 25