Bài tập cơ học lý thuyết

3 4 LỜI NÓI ĐẦU Cuốn “ Bài tập cơ lý thuyết ” in lần này là kết quả của nhiều lần rút kinh nghiệm qua thực tế giảng dạy của Bộ môn cơ học lý thuyết Trường Đại học Thủy lợi suốt bốn mươi năm qua. So với hai tập giáo trình xuất bản năm 1976, chúng tôi đã chọn lọc sửa chữa và rút bớt lại về số lượng bài, kết cấu lại các chương mục cho phù hợp với đề cương m ôn học đã được sửa đổi theo tinh thần cải cách giáo dục và đáp ứng yêu cầu đào tạo các ngành nghề của Trường Đại học Thủy lợi. Giáo trình này được dùng cho sinh viên chính quy hệ 5 năm của trường Đại học Thủy lợi, ngành công trình và ngành máy(chương trình A). Tuy nhiên những sinh viên học theo chương trình B hoặc sinh viên hệ tại chức, khi sử dụng giiaos trình này có sự hướng dẫn của giáo viên cũng rất thuận lợi. Ngoài ra giáo trình này còn làm tài liệu ôn tập cho những học viên ôn tập để thi tuyển vào hệ cao học hay nghiên cứu sinh ngành cơ học. Chúng tôi mong có sự góp ý của các thầy giáo cô giáo và người sử dụng về nội dung và hình thức để giúp chúng tôi hoàn thiện hơn về giáo trình này. Hà Nội, tháng 10-2003 Tập thể bộ môn Cơ học lý thuyết GS.TS.Nguyễn Thúc An PGS.TS.Khổng Doãn Điền PGS.TS.Nguyễn Đình Chiều PGS.TS.Nguyễn Đăng Tộ PGS.TS.Nguyễn Bá Cự PGS.TS.Lê Đình Don TS.Nguyễn Đình Thông TS.Nguyễn Thị Thanh Bình 5 PHẦN THỨ NHẤT: TĨNH HỌC CHƯƠNG I: NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN- HỆ TIÊN ĐỀ TĨNH HỌC Tĩnh học là một phần của Cơ học lý thuyết, trong đó nghiên cứu điều kiện cân bằng của vật rắn dưới tác dụng của lực. Vật rắn ở trạng thái cân bằng hiểu theo nghĩa tĩnh học là vật rắn đứng yên. Với qui ước ngay từ đầu vật rắn đã đứng yên, ta có thể đồng nhất khái niệm cân bằng của vật rắn với khái niệm cân bằng của hệ lực tác dụng lên nó. Do đó để nghiên cứu điều kiện cân bằng của vật rắn dưới tác dụng của hệ lực, ta chỉ cần nghiên cứu điều kiện cân bằng của hệ lực tác dụng lên nó là đủ. Nội dung chủ yếu của các bài toán tĩnh học là tìm phản lực để hệ lực tác dụng lên vật khảo sát cân bằng. Cơ sở lý luận của phần tĩnh học là hệ tiên đề tĩnh học. HỆ TIÊN ĐỀ: Tiên đề 1: ( Tiên đề về sự cân bằng) Điều kiện cần và đủ để hệ hai lực cùng tác dụng lên một vật rắn cân bằng là chúng có cùng giá, cùng cường độ và ngược chiều nhau. ( ) 12 , F F rr 0 r 12 F F⇔=− rr và cùng giá. Tiên đề 2: ( Tiên đề thêm bớt hệ lực cân bằng ) Tác dụng của một hệ lực lên vật rắn không thay đổi nếu ta thêm vào hay bớt đi một hệ lực cân bằng ( ) 12 , , , n F FF rr r ( ) m21n21 P, ,P,P;F, ,F,F r r r r rr Trong đó: ( ) m21 P, ,P,P r r r 0 r Tiên đề 3: ( Tiên đề về hợp lực ) Hệ hai lực cùng đặt tại một điểm có hợp lực đặt tại điểm chung ấy, véc tơ biểu diễn hợp lực là véc tơ đường chéo của hình bình hành mà hai cạnh là hai vectơ biểu diễn hai lực đã cho. ( ) 12 , F F rr R r ; 12 RF F = + u rur ur Tiên đề 4: (Tiên đề về lực tác dụng và phản tác dụng) Lực tác dụng và phản tác dụng giữa hai vật là hai lực có cùng giá, cùng cường độ và ngược chiều nhau. F F F 1 F 2 F 6 Chú ý: Khác với tiên đề 1, trong tiên đề 4, lực tác dụng và phản tác dụng không phải là hai lực cân bằng. Tiên đề 5: ( Tiên đề hoá rắn ) Khi vật biến dạng đã cân bằng, thì hoá rắn lại, nó vẫn cân bằng. HỆ QUẢ: Những hệ quả phát biểu dưới đây được trực tiếp rút ra từ hệ tiên đề tĩnh học đã nêu ở trên: Hệ quả 1: ( Định lý trượt lực) Tác dụng của một lực lên vật rắn không thay đổi, nếu ta trượt lực dọc theo giá của nó. Do đó lực tác dụng lên vật rắn được biểu diễn bằng véc tơ trượt. Hệ quả 2: Nếu một hệ lực cân bằng thì một lực bất kỳ thuộc hệ lấy theo chiều ngược lại, sẽ là hợp lực của hệ lực còn lại. Hệ quả 3: Có thể phân tích một lực thành 2 lực theo qui tắc hình bình hành lực. Hệ quả 4: Vật rắn chịu tác dụng của một lực khác không, sẽ không ở trạng thái cân bằng. Hệ quả 5: (Định lý về 3 lực cân bằng ) Nếu ba lực không song song, cùng nằm trong một mặt phẳng mà cân bằng thì giá của chúng đồng quy tại một điểm. Liên kết và phản lực liên kết Nắm vững các loại liên kết và phản lực liên kết là một trong những yếu tố quan trọng để giải đúng các bài toán tĩnh học. • Liên kết tựa: N A N B N C N N A B C 7 • Liên kết thanh không trọng lượng: • Liên kết ngàm: • Liên kết dây mềm, thẳng, khôngdãn: • Liên kết bản lề: + Bản lề trụ: X X y x Y Z + Bản lề cầu + Bản lề cối X Y y x A S B S C S A B C T T B T A A B RA MA X A M A A Y A Y X x y Z Z Z y R Z Y y Z x X x Z Y X Z X Y 8 A B C D O K P A B C D K P T D N A N X α F y x z F xy F θ ϕ O x z y B A A' B' d r F xy F O h Nguyên lý giải phóng liên kết Vật không tự do có thể coi như tự do nếu thay các liên kết bằng những phản lực liên kết tương ứng. Vật không tự do Vật tự do Để lập hệ phương trình cân bằng cho các loại hệ lực, chúng ta phải nắm vững cách chiếu véc tơ lực lên các trục toạ độ và cách lấy mômen của lực đối với một tâm cũng như đối với trục. Chiếu lực: Lực và trục cùng nằm trên một mặt phẳng: X= F.cosα Lực và trục không cùng nằm trên một mặt phẳng: X= F xy .cosϕ= F.cosθcosϕ Y= F xy .sinϕ= F.cosθ.sinϕ Z= F.sinθ . F Xi Y j Zk=++ r r rr Mômen của lực: + Mômen của lực đối với 1 tâm: 0 ()mF r F=∧ rr rr () 0 ijk mF x y z XYZ = r rr r r 0 () .mF Fh= r 0 () 0mF= r r r khi giá của lực F r đi qua tâm lấy mômen 0. + Mô men của lực lấy đối với một trục: 9 () . zxy mF dF=± r Ta có () 0 z mF= r khi lực và trục lấy mômen cùng nằm trên một mặt phẳng nghĩa là giá của lực F r cắt trục z, hoặc giá của lực F r song song với trục z. 10 CHƯƠNG II. HAI BÀI TOÁN CƠ BẢN CỦA TĨNH HỌC I. Bài toán thu gọn hệ lực ( ) 12 , , , n F FF rr r ∼ 00 (, )RM rr 0 111 nnn KK K KKK RXiYjZk === ⎛⎞⎛⎞⎛⎞ =++ ⎜⎟⎜⎟⎜⎟ ⎝⎠⎝⎠⎝⎠ ∑∑∑ r r rr 00 0 0 11 1 () () () nn n xK yK zK KK K M mF i mF j mF k == = ⎡ ⎤⎡ ⎤⎡ ⎤ =++ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦⎣ ⎦ ∑∑∑ r rr r r rr Các trường hợp có thể gặp khi thu gọn hệ lực không gian về một tâm được tóm tắt ở bảng dưới đây 0 R r . 0 M r ≠ 0 0 R r . 0 M r = 0 R r ≠ 0 R r = 0 0 R r . M r 0 > 0 0 R r . M r 0 < 0 M r 0 = 0 M r 0 ≠ 0 M r 0 ≠ 0 M r 0 = 0 Hệ lực thu về xoắn thuận Hệ lực thu về xoắn nghịch Hệ lực thu về hợp lực có giá đi qua tâm 0 Hệ lực thu về hợp lực có fgiá không đi qua tâm 0 Hệ lực thu về một ngẫu có mômen là M r 0 không phụ thuộc tâm 0 Hệ lực cân bằng 1. Thí dụ Theo các cạnh của lăng trụ tác dụng các lực 123456 ,,,,, F FFFFF r rrrrr có chiều như hình vẽ. Biết F 1 = F 6 = 10N, F 2 = F 4 = 5N , F 3 = F 5 = 5 2 N, OA =2.OB = 10m , α= 45 0 . Thu gọn hệ lực về dạng tối giản. Bài giải y F 4 x Z α F 5 R K F 1 F 2 R M O F 3 F 6 A B C K 0 0 Hình 1 11 6 16 1 K K XFF = =+ ∑ = 20N 6 53 1 2 () 2 K K YFF = =− ∑ = 0 6 42 35 1 2 () 2 K K ZFFFF = =−+ − ∑ = 0 0 20. 0. 0.Rijk=++ r r rr ⇒ R 0 = 20N () 6 035 1 2 () 0 0 2 xK K mF F F B = =− = ∑ r 6 015 4154 1 2 () .0 . .0 .0 ( 22)0 50 2 yK K mF FCF AFA FF FB Nm = =+ −=+− = ∑ r 6 05 656 1 2 () 0 .0 ( 2 ).0 0 2 zK K mF F AFB F F B = =−=−= ∑ r 0 0. 50. 0. M ijk=+ + r r r r ⇒ M 0 = 50Nm. Vậy, khi thu gọn hệ lực ( 123456 ,,,,, F FFFFF rr rrrr ) về gốc toạ độ 0, ta được véc tơ chính 0 R r có chiều trùng với chiềucủa trục 0x và có trị số 20N, mômen chính 0 M uur có chiều trùng với chiều của trục 0y và có trị số 50Nm. 0 0R ≠ r , 0 0M ≠ r , 00 .0RM = rr suy ra hệ lực đã cho thu về hợp lực. Hợp lực có trị số và phương chiều trùng với trị số và phương chiều của véc tơ chính 0 R r . Ta cần tìm điểm đặt của hợp lực: 0 0 50 02,5 20 M Km R === Điểm K là điểm đặt của hợp lực: ( 123456 ,,,,, F FFFFF r rrrrr ) ∼ R r K Điểm K phải nằm về phía chiều dương của trục 0z, cách gốc toạ độ 0 một đoạn 2,5m mới phù hợp với trị số và phương chiều của véc tơ chính 0 R r và mômen chính 0 M r . 2. Thí dụ Hệ ba lực ( 123 ,,) F FF rr r đặt tại các điểm A, B, C và có chiều như hình vẽ. Biết 0A=0B=0C = a. a. Tìm điều kiện để hệ lực thu về một ngẫu lực. b. Tìm điều kiện để hệ lực thu về một lực. B z x O y A C F 3 F 2 F 1 12 Bài giải Hình 2 Trước hết ta cần tìm véc tơ chính 0 R r và mômen chính 0 M r khi thu gọn hệ lực về gốc toạ độ 0. 3 23 1 3 31 1 3 12 1 2 () 2 2 () 2 2 () 2 K K K K K K XFF YFF ZFF = = = ⎧ =− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ =− ⎨ ⎪ ⎪ =− ⎪ ⎪ ⎩ ∑ ∑ ∑ suy ra 0233112 2 ()()() 2 RFFiFFjFFk ⎡ ⎤ =−+−+− ⎣ ⎦ r r rr Mômen của một lực lấy đối với một trục bằng không khi giá của lực cắt trục nên ta dễ dàng tìm thấy tổng mômen của các lực 123 ,, F FF r rr đối với các trục tọa độ 0xyz. 3 01 1 3 02 1 3 03 1 2 () 2 2 () 2 2 () 2 xK K yK K zK K mF Fa mF Fa mF Fa = = = ⎧ = ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ = ⎨ ⎪ ⎪ = ⎪ ⎪ ⎩ ∑ ∑ ∑ r r r suy ra () 0123 2 0 2 a MFiFjFk = ++ ≠ r r rr 00 .0RM = rr ; 0 0M ≠ r Kết quả trên luôn luôn đúng đối với hệ lực đã cho ( 123 ,, F FF r rr ). a. Điều kiện để hệ lực thu về một ngẫu lực: Để hệ lực thu về một ngẫu lực chỉ cần thêm điều kiện : 0 0R = r suy ra F 1 = F 2 = F 3 . Ngẫu lực có véc tơ mômen là 0 M r . b. Điều kiện để hệ lực thu về một lực: Để hệ lực đã cho thu về một lực chỉ cần thêm điều kiện: 123 0231 312 ; 0; . F FF RFFF F FF −≠ ≠ ⎧ ⎪ ≠⇒− ≠ ≠ ⎨ ⎪ −≠ ≠ ⎩ r [...]... = 2 T= P.sin600= 2 1 = 1N 2 3 = 3N 2 e) Sức căng của dây BC có cường độ T ′ = T = 3 N và có chiều ngược với chiều r của phản lực T : r r T'=- T Bài toán này cũng như các bài toán tĩnh học khác có thể được giải bằng phương pháp giải tích: Do điều kiện hình học đã cho, ta chọn gốc toạ độ trùng với tâm đồng qui còn hai r r trục toạ độ trùng với giá của RA , T : 3 ∑X K =1 K 3 ∑Y K =1 K = −T + P cos300... phản lực tại A và độ dài thanh AB khi thanh cân bằng C y A T RA K Q B P G Q Hình 48 G Bài giải 1 Vật khảo sát: Thanh AB cân bằng 2 Liên kết: Bản lề A, dây 3 r r r r Hệ lực tác dụng lên AB: ( P, Q, YA , T ) 0 Ròng rọc C là lý tưởng (bỏ qua khối lượng và ma sát) Với dây mềm nhẹ không dãn (lý tưởng) vắt qua ròng rọc lý tưởng thì sức căng T trên dây là đồng đều Ta thừa nhận được T = G = 150 N (Có thể xem... qua 0 Do đó ta có thể giải bài toán này bằng phương pháp hình học hoặc giải tích như hai thí dụ trên Tuy nhiên trong trường hợp này ( khi đã đưa về dạng hệ ba lực đồng qui) nên dùng phương pháp hình học để giải thì nhanh gọn hơn, còn o uuu r muốn sử dụng phương pháp giải tích không nhất thiết phải tìm NB tâm đồng qui a Phương pháp hình học r Từ điểm 01 tùy ý dựng véc tơ 0C = P Từ gốc 0 và mút C dựng... T P Bài giải Hình 16 a) Vật khảo sát: Thanh AB cân bằng 19 C c b) Liên kết: Bản lề A, dây BC (Hình 16) r r r c) Hệ lực tác dụng lên thanh AB: ( P, T , RA ) ∼ 0, trong đó giá của r r P trọng lực P và giá của phản lực T cắt nhau tại 0 nên giá của r phản lực RA cũng phải qua 0 d) Ta sử dụng phương pháp hình học để giải T o a RA Dựng tam giác lực o1ac Tam giác lực o1ac đồng dạng với tam giác hình học 0AC... xác r định sức căng T của các nhánh dây AC, BC theo P, α và β b a TA C TB x P3 Hình 14 Bài giải a) Vật khảo sát : Nút C b) Vật liên kết: hai nhánh dây AC, BC (Hình 14) r r r c) Hệ lực tác dụng lên nút C: P, TA , TB TB r r r d) Lập điều kiện cân bằng của hệ lực trên: ( P, TA , TB ) ∼ 0 + 90-b a+b TA Phương pháp hình học: 90-a 17 P3 B Ta dễ dàng dựng được tam giác lực abc như hình vẽ và có: TA T P = B... A, B 3 Bài giải a) Vật khảo sát: Xà AB cân bằng b) Liên kết: Bản lề A, gối tựa con lăn B (Hình 15) r r r c) Hệ lực tác dụng lên xà: ( P, N B , RA ) ∼ 0 r d) Trong hệ ba lực cân bằng trên ta đã biết được phương chiều của hai lực P r và N B , giá của chúng giao nhau tại điểm O, còn phương chiều của phản lực r r RA chưa biết Theo hệ quả 5 ta có giá của RA cũng phải đi qua 0 Do đó ta có thể giải bài toán... Trả lời: R = P 2( j + k ) ; M D = 0 Hệ lực thu về một lực A II Bài toán cân bằng của hệ lực 13 Thí dụ Vật nặng Q= 9 3 N được treo vào bản lề C Thanh BC nằm ngang Thanh AC và BC bỏ qua trọng lượng được nối với nhau bằng bản lề C và gắn vào tường thẳng đứng bằng r r ′ bản lề A, B Biết β= 600 Xác định ứng lực S ′ , S B trong thanh A AC, BC Bài giải 15 b B SA y SB x C Q Hình 13 a) Khảo sát cân bằng bản... , hai nửa đường r r thẳng này cắt nhau tại điểm d Dựa vào chiều của lực P và phản lực N B d b ur P uur q RA c ta có tam giác lực ocd Tam giác giác lực ocd đồng dạng với tam giác hình học 0CD Dựa vào các điều kiện hình học ta dễ dàng tính được các cạnh: 0C = 6m; 0D=2 2 m ; CD= 2 5 m Do đó ta có: RA N P = B = 2 5 2 2 6 NB = suy ra RA = 5 20 5 P= (N); 3 3 2 20 2 P= (N) 3 3 r Từ tam giác lực khép kín ocd... sử có chiều như hình vẽ r r r • Hệ lực cân bằng tác dụng lên vật khảo sát là: (Q, S A , S B ) ∼ 0 d) Hệ lực trên là hệ ba lực đồng qui phẳng Ta có thể giải bằng phương pháp hình học hoặc phương pháp giải tích Phương pháp hình học: Dựng tam giác lực khép kín r Lực Q đã biết trước cả trị số và phương chiều nên trước hết ta dựng SA uu r r Q ab = Q Từ a và b dựng hai nửa đường thẳng song song với hai β... chiều của S A , S B dựa vào tam giác lực khép kín r r Chiều giả sử của S A , S B ở trên là đúng Do các cạnh tương ứng song song nên tam giác lực abc đồng dạng với tam giác hình học ABC Từ đó trị số SA, SB được xác định theo định lý hàm số sin trong tam giác lượng: SA SB SC = = 0 0 sin 90 sin 30 sin 600 ⇒ SA = Q = 18 N ; 3 2 SB = Q 1 = 9N 32 2 Phương pháp giải tích: Hệ trục toạ độ Cxy được chọn như hình . “ Bài tập cơ lý thuyết ” in lần này là kết quả của nhiều lần rút kinh nghiệm qua thực tế giảng dạy của Bộ môn cơ học lý thuyết Trường Đại học Thủy lợi suốt bốn mươi năm qua. So với hai tập. Thanh Bình 5 PHẦN THỨ NHẤT: TĨNH HỌC CHƯƠNG I: NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN- HỆ TIÊN ĐỀ TĨNH HỌC Tĩnh học là một phần của Cơ học lý thuyết, trong đó nghiên cứu điều kiện cân bằng. lợi. Ngoài ra giáo trình này còn làm tài liệu ôn tập cho những học viên ôn tập để thi tuyển vào hệ cao học hay nghiên cứu sinh ngành cơ học. Chúng tôi mong có sự góp ý của các thầy giáo cô