Bài giảng Cơ học lý thuyết

Bài giảng Cơ học lý thuyết -18405 MỞ ĐẦU - Cơ học môn khoa học nghiên cứu chuyển động cân vật thể Các vật thể mà nghiên cứu phải đủ lớn so với kích thƣớc nghiên tử có vận tốc đủ nhỏ so với vận tốc ánh sáng Ngƣời ta phân loại học thành: Cơ học vật lý học kỹ thuật + Cơ học vật lý chủ yếu nghiên cứu chuyển động cân chất điển vài mơ hình vật rắn đơn giản Phƣơng pháp nghiên cứu học vật lý chủ yếu phƣơng pháp thực nghiệm, bao gồm khâu: Quan sát, thí nghiệm, từ rút định luật vật lý, giả thiết cuối áp dụng vào giải thích tƣợng vật lý + Cơ học kỹ thuật nghiên cứu chuyển động cân hệ kỹ thuật nhƣ: Các máy, cơng trình xây dựng, phƣơng tiện giao thông vận tải,… Phƣơng pháp ngiên cứu học kỹ thuật chủ yếu dựa việc xây dựng mơ hình hệ tiên đề - Hai toán học kỹ thuật là: Xây dựng mơ hình tính tốn mơ hình + Bài tốn xây dựng mơ hình tốn khó, vƣợt ngồi chƣơng trình mơn học, ta đƣa mơ hình đƣợc dựng sẵn + Bài tốn tính tốn mơ hình, nội dung giáo trình - Mục đích môn học lý thuyết + Cung cấp kiến thức tổng quát chuyển động cân vật rắn hệ vật rắn + Rèn luyện số phƣơng pháp tƣ khoa học cho ngƣời kỹ sƣ tƣơng lai Đó phƣơng pháp tiên đề phƣơng pháp mơ hình + Tạo tiềm ban đầu cho sinh viên, để họ nghiên cứu giải toán kỹ thuật + Cung cấp kiến thức sở để sinh viên học tiếp môn học nhƣ Sức bền vật liệu, Nguyên lý máy, Chi tiết máy, Cơ kết cấu, Thuỷ khí kỹ thuật, Dao động kỹ thuật, Động lực học máy, Động lực học cơng trình, Rơbốt công nghiệp, Công nghệ chế tạo máy, Nguyên lý gia công vật liệu,… Bài giảng Cơ học lý thuyết -18405 PHẦN THỨ NHẤT: TĨNH HỌC Tĩnh học phần thứ giáo trình lý thuyết, nghiên cứu trạng thái cân vật rắn (vật rắn tuyệt đối) dƣới tác dụng lực Trong phần giải hai vấn đề là: - Thu gọn hệ lực phức tạp hệ lực khác tƣơng đƣơng với nhƣng đơn giản Thiết lập điều kiện hệ lực mà dƣới tác dụng vật rắn cân Chương I: Tĩnh học vật rắn CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VÀ HỆ TIÊN ĐỀ TĨNH HỌC 1.1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN Trong tĩnh học có ba khái niệm là: Vật rắn tuyệt đối, cân lực 1.1.1 Vật rắn tuyệt đối Vật rắn tuyệt đối tập hợp vô hạn chất điểm mà khoảng cách hai chất điểm luôn không đổi Vật rắn tuyệt đối mơ hình vật thể biến dạng bỏ qua đƣợc q bé khơng đóng vai trị quan trọng q trình khảo sát Để đơn giản vật rắn tuyệt đối thƣờng đƣợc gọi tắt vật rắn 1.1.2 Cân - Hệ quy chiếu: Một vật thể đƣợc chọn làm mốc để theo dõi chuyển động vật rắn đƣợc gọi hệ quy chiếu Trong học, ngƣời ta thƣờng gắn vào hệ quy chiếu hệ trục toạ độ để tiện cho việc tính tốn đƣợc gọi hệ trục toạ độ quy chiếu - Vật rắn cân bằng: Một vật rắn đƣợc gọi cân vị trí khơng thay đổi so với hệ quy chiếu chọn - Trong tĩnh học hệ quy chiếu đƣợc chọn hệ quy chiếu tiên đề qn tính Newton đƣợc thoả mãn, đƣợc gọi hệ quy chiếu quán tính Cân hệ quy chiếu quán tính đƣợc gọi cân tuyệt đối - Trong thực tế khơng có hệ quy chiếu qn tính Do vậy, chọn hệ quy chiếu gần hệ quy chiếu quán tính Trong kỹ thuật, hệ quy chiếu quán tính gần đƣợc chọn đất 1.1.3 Lực Từ quan sát đời sống, với kinh nghiệm thực nghiệm ngƣời ta đến nhận xét rằng: Nguyên nhân gây biến đổi trạng thái chuyển động học, tức dời chỗ vật thể (bao gồm biến dạng) cân trƣờng hợp riêng, tác dụng tƣơng hỗ vật thể Tác dụng tƣơng hỗ vật mà kết gây biến dạng thay đổi vận tốc chúng đƣợc gọi tác dụng tƣơng hỗ học (phân biệt với tác dụng tƣơng hỗ khác nhƣ hoá, nhiệt, điện, …) Tác dụng tƣơng hỗ học đƣợc gọi lực Thực nghiệm chứng minh đƣợc lực đƣợc đặc trƣng yếu tố sau: - Điểm đặt lực điểm mà vật đƣợc truyền tác dụng tƣơng hỗ học từ vật khác - Phƣơng chiều lực phƣơng chiều chuyển động từ trạng thái yên nghỉ chất điểm chịu tác dụng lực - Cƣờng độ lực số đo tác dụng mạnh yếu lực so với lực đƣợc chọn làm chuẩn gọi đơn vị lực Đơn vị lực newton, đƣợc ký hiệu N  Do dùng véctơ để biểu diễn đặc trƣng F lực, gọi véctơ lực, ký hiệu: F, Q, A - Điểm đặt véctơ biểu diễn điểm đặt lực - Phƣơng chiều véctơ biểu diễn phƣơng chiều lực, Hình 1.1.1 - Môđun véctơ biểu diễn cƣờng độ lực Bài giảng Cơ học lý thuyết -18405 - Giá mang véctơ đƣợc gọi đƣờng tác dụng lực 1.1.4 Các khái niệm khác a, Hệ lực Hệ lực tập hợp nhiều lực tác dụng lên vật rắn Hệ lực gồm lực F1 , F2 , …, Fn đƣợc ký hiệu: (F1 , F2 , , Fn ) * Dựa vào tác dụng học học hệ lực ta có định nghĩa sau: - Hệ lực tƣơng đƣơng: Hai hệ lực (F1 , F2 , , Fn ) (1 ,  , ,  m ) tác dụng lên vật rắn tƣơng đƣơng chúng có tác dụng học nhƣ vật rắn đó, ký hiệu: (1.1.1) (F1 , F2 , , Fn )  (1 ,  , ,  m ) - Hợp lực hệ lực: Là lực tƣơng đƣớng với hệ lực Gọi R hợp lực hệ lực (F1 , F2 , , Fn ) , ta có R  (F1 , F2 , , Fn ) (1.1.2) - Hệ lực cân bằng: Hệ lực (F1 , F2 , , Fn ) đƣợc gọi cân tác dụng lên vật rắn khơng làm thay đổi trạng thái chuyển động (hay cân bằng) vật rắn Hệ lực cân đƣợc gọi hệ lực tƣơng đƣơng với không đƣợc ký hiệu: (1.1.3) (F1 , F2 , , Fn )  * Phân loại hệ lực Dựa vào phận bố đƣờng tác dụng lực thuộc hệ, ngƣời ta phân thành loại hệ lực sau: - Hệ lực không gian bất kỳ: Khi đƣờng tác dụng lực thuộc hệ nằm tuỳ ý không gian - Hệ lực phẳng bất kỳ: Khi đƣờng tác dụng lực thuộc hệ nằm tuỳ ý mặt phẳng - Hệ lực song song: Khi đƣờng tác dụng lực thuộc hệ song song với - Hệ lực đồng quy: Khi đƣờng tác dụng lực thuộc hệ qua điểm b, Vật rắn tự không tự - Vật rắn thực di chuyển vơ bé từ vị trí xét sang vị trí lân cận mà khơng bị cản trở, đƣợc gọi vật vật rắn tự Trái lại, số di chuyển vật bị cản trở vật khác, vật đƣợc gọi vật khơng tự - Những điều kiện cản trở di chuyển vật khảo sát đƣợc gọi liên kết đặt lên vật - Vật khơng tự cịn đƣợc gọi vật chịu liên kết, vật cản trở di chuyển vật khảo sát đƣợc gọi vật gây liên kết c, Lực liên kết lực hoạt động Phản lực liên kết - Những lực đặc trƣng cho tác dụng tƣơng hỗ vật có liên kết với qua chỗ tiếp xúc hình học đƣợc gọi lực liên kết Các lực lực liên kết đƣợc gọi lực hoạt động (ví dụ: Trong lực, lực đẩy gió, lực hoạt động) - Lực liên kết vật gây liên kết tác dụng lên vật khảo sát (hay vật chịu liên kết) đƣợc gọi phản lực liên kết, lực liên kết vật khảo sát tác dụng lên vật gây liên kết đƣợc gọi áp lực Lực liên kết có tính chất nội lực 1.2 MÔMEN CỦA LỰC VÀ NGẪU LỰC 1.2.1 Mômen lực a, Mômen lực điểm Cho lực F đặt A điểm O bất kỳ, ta có O định nghĩa   m O (F) d A Hình 1.1.2  F B Bài giảng Cơ học lý thuyết -18405 * Định nghĩa: Mômen lực F điểm O véctơ, ký hiệu m O (F) : Có phƣơng vng góc với mặt phẳng chứa điểm O lực F , có chiều cho nhìn từ đầu mút xuống thấy lực F vòng quanh O theo chiều ngƣợc chiều kim đồng hồ có mơđun đƣợc cho cơng thức mO (F)  F.d (1.1.4) Trong d khoảng cách vng góc từ tâm lấy mơmen O đến đƣờng tác dụng lực F , đƣợc gọi cánh tay đòn lực F tâm O * Nhận xét + Ta thấy mO (F)  F  đƣờng tác dụng lực F qua tâm mơmen O + Từ hình vẽ ta thấy mO (F)  2SOAB (hai lần diện tích tam giác OAB) + Nếu gọi r  OA véc tơ định vị điểm A điểm O, ta có i mO (F)  r  F  x Fx j y Fy k z Fz (1.1.5) * Chú ý: Khi lực nằm mặt phẳng mơmen lực đối điểm O nằm mặt phẳng song song với nhau, trƣờng hợp ngƣời ta đƣa khái niệm mơmen đại số lực F điểm O nhƣ sau: Mômen đại số lƣc F điểm O, lƣợng đại số ký hiệu m O (F) đợc xác định công thức mO (F)  F.d (1.1.6) Có dấu dƣơng lực F vịng quanh O theo chiều ngƣợc chiều kim đồng hồ có dấu âm lực F vòng quanh O chiều kim đồng hồ b, Mômen lực trục F  * Định nghĩa: Mômen lực F trục  lƣợng đại số, ký hiệu: m (F) mômen đại số lực F điểm O Ở A F hình chiếu lực F mặt phẳng P vng góc với trục , O giao điểm trục  với mặt phẳng P m (F)  mO (F)  F.d d O (1.1.7) Lấy dấu (+) nhìn từ đầu mút trục  xuống thấy lực F vòng quanh O ngƣợc chiều kim đồng hồ, lấy dấu (-) trƣờng hợp ngƣợc lại F A’ P Hình 1.1.3 * Nhận xét: Ta thấy m  (F)  F  F //  F cắt trục  c, Định lý liên hệ mômen lực điểm mômen lực trục * Định lý: Mơmen lực F trục  hình chiếu lên trục véctơ mômen lực F điểm O nằm trục m (F)  hch  mO (F)  (1.1.8) * Chứng minh: Cho lực F trục  nhƣ hình vẽ, ta xác định mặt phẳng  vng góc với trục  Gọi O giao trục  với mặt phẳng , ta có: Véctơ m O (F) vng góc với mặt phẳng OAB tạo với trục  góc  , trị số đƣợc tính mO (F)  2SOAB  B  F   m O (F) B’  F  (a)  A A’ O Hình 1.1.4 Bài giảng Cơ học lý thuyết -18405 Mặt khác ta thấy góc  góc mặt phẳng OAB mặt phẳng OA’B’, hình chiếu vectơ m O (F) trục  đƣợc tính mO (F) cos  2SOAB cos  2SAB (b) mà nhƣ ta biết m (F)  mO (F)  2SAB (c) Từ (b) (c) ta suy mO (F) cos  m (F)  m (F)  hch  mO (F)  (Điều phải chứng minh) 1.2.2 Ngẫu lực a, Định nghĩa Ngẫu lực hệ gồm hai lực song song ngƣợc chiều cƣờng độ b, Các đặc trưng ngẫu lực  Ngẫu lực đƣợc đặc trƣng yếu tố sau m - Mặt phẳng tác dụng ngẫu (hay gọi mặt phẳng ngẫu lực):  F Là mặt phẳng chứa hai lực thành phần  d - Chiều quay ngẫu lực mặt phẳng tác dụng F - Cƣờng độ tác dụng ngẫu đƣợc đặc trƣng mômen ngẫu lực, ký hiệu: m, đƣợc cho công thức m = F.d (1.1.9) Hình 1.1.5 (trong d khoảng cách vng góc hai lực thành phần) Để biểu diễn đặc trƣng ngẫu lực ngƣời ta dùng véctơ, ký hiệu m đƣợc gọi véctơ mômen ngẫu lực - Có gốc mặt phẳng ngẫu lực - Có phƣơng vng góc với mặt phẳng ngẫu lực - Có chiều cho nhìn từ đầu mút xuống thấy chiều quay ngẫu mặt phẳng ngẫu lực ngƣợc chiều kim đồng hồ - Có mơđun đƣợc mômen ngẫu lực (1.1.10) m  m  F.d c, Các định lý liên hệ véctơ mômen ngẫu lực mômen lực điểm * Định lý 1: Mômen điểm ngẫu lực véctơ mômen ngẫu lực mO (F)  mO (F)  m (1.1.11)    F Chứng minh: Theo định nghĩa mômen lực điểm ta có mO (F)  r  F ; mO (F)  r  F  mO (F)  mO (F)  r  F  r  F  r  F  r  F  mO (F)  mO (F)   r  r   F    F  m * Định lý 2: Véctơ mômen ngẫu lực mômen lực thành phần điểm nằm đƣờng tác dụng lực thành phần  r  F  r O Hình 1.1.6 mO (F)  mO (F)  m (1.1.12) Với O nằm đƣờng tác dụng F , O nằm đƣờng tác dụng F 1.3 HỆ TIÊN ĐỀ TĨNH HỌC Hệ tiên đề tập hợp mệnh đề, đƣợc công nhận không chứng minh Chúng phải độc lập với nhau, tối thiểu số lƣợng nhƣng đủ để nghiên cứu đối tƣợng 1.3.1 Tiên đề 1: Tiên đề hai lực cân   F Điều kiện cần đủ hệ hai lực tác dụng vào F1 A vật rắn tự cân chúng có đƣờng tác dụng, hƣớng B ngƣợc chiều cƣờng độ Hình 1.1.7 Bài giảng Cơ học lý thuyết -18405 * Ý nghĩa tiên đề 1: Đƣa tiêu chuẩn cân Nói khác muốn biết hệ lực tác dụng vào vật rắn có cân khơng, ta cần phải chứng minh hệ lực tƣơng đƣơng với hai lực cân 1.3.2 Tiên đề 2: Tiên đề thêm bớt hai lực cân Tác dụng hệ lực lên vật rắn tự không thay đổi, ta thêm vào bớt cặp lực cân Nhƣ vậy, (F, F) hai lực cân bằng, ta có (F1 , F2 , , Fn )  (F1 , F2 , , Fn , F, F) Nếu hệ lực (F1 , F2 , F3 , , Fn ) có hai lực cân (F1 , F2 ) ta có (F1 , F2 , F3 , , Fn )  (F3 , , Fn ) * Ý nghĩa tiên đề 2: Quy định phép biến đổi tƣơng đƣơng hệ lực  F1 1.3.3 Tiên đề 3: Tiên đề hình bình hành lực Hai lực đặt điểm, tƣơng đƣơng với lực đặt điểm đặt chung có véctơ lực véctơ chéo hình bình hành mà hai cạnh hai véctơ biểu diễn hai lực thành phần * Ý nghĩa tiên đề 3: Quy định phép biến đổi tƣơng đƣơng lực 1.3.4 Tiên đề 4: Tiên đề tác dụng phản tác dụng Lực tác dụng lực phản tác dụng hai vật có đƣờng tác dụng, hƣớng ngƣợc chiều cƣờng độ * Ý nghĩa tiên đề 4: Là sở để khảo sát toán hệ nhiều vật rắn B1 O  F  F2 Hình 1.1.8  F12  F21 B2 Hình 1.1.9 1.3.5 Tiên đề 5: Tiên đề hoá rắn Một vật biến dạng tự cân dƣới tác dụng hệ lực đó, hố rắn lại cân dƣới tác dụng hệ lực * Ý nghĩa tiên đề 5: Quy định điều kiện cần để vật thể biến dạng cân hệ lực tác dụng lên phải thoả mãn điều kiện cân vật rắn tuyệt đối * Chú ý: Tiên đề khơng có mệnh đề đảo 1.3.6 Tiên đề 6: Tiên đề giải phóng liên kết Một vật rắn chịu liên kết cân xem vật rắn tự cân ta giải phóng liên kết thay tác dụng liên kết đƣợc giải phóng phản lực liên kết tƣơng ứng * Ý nghĩa tiên đề 6: Nhờ tiên đề giải phóng liên kết, tiên đề phát biểu cho vật rắn tự vật rắn chịu liên kết, xem vật rắn tự chịu tác dụng hệ lực gồm lực hoạt động phản lực liên kết tƣơng ứng với liên kết đƣợc giải phóng CÁC HỆ QUẢ CỦA HỆ TIÊN ĐỀ TĨNH HỌC 1.4.1 Định lý trượt lực * Định lý: Tác dụng lực lên vật rắn không thay đổi ta trƣợt lực đƣờng tác dụng  F A * Chứng minh: Giả sử ta có lực FA đặt A, theo tiên đề A FB B  FB Newton ta thêm vào B thuộc đƣờng tác dụng lực FA Hình 1.1.10 cặp lực cân (FB , FB ) cho FA  FB , ta có     FA  FA , FB , FB  (FA , FB ), FB  FB 1.4.2 Định lý ba lực cân * Định lý: Một hệ ba lực cân bằng, có hai lực đồng quy lực thứ ba qua điểm đồng quy ba lực phải nằm mặt phẳng * Chứng minh: Giả sử ta có hệ lực cân (F1 , F2 , F3 )  hai lực F1 , F2 cắt O Theo tiên đề hình bình hành lực ta có (F1 , F2 )  F12  (F1 , F2 , F3 )  (F12 , F3 )  Theo tiên đề hai lực cân hai lực F12 F3 phải đƣờng tác dụng, hƣớng ngƣợc chiều cƣờng độ Do đó,  F3  F1 O  F2  F12 Hình 1.1.11 Bài giảng Cơ học lý thuyết -18405 đƣợng tác dụng ba lực F1 , F2 , F3 phải gặp O ba lực phải nằm mặt phẳng 1.4.3 Thu gọn hệ lực đồng quy Giả sử ta có hệ lực đồng quy O (F1 , F2 , , Fn ) Áp dụng tiên đề hình bình hành lực, ta tìm đƣợc hợp lực R qua điểm đồng quy đƣợc cho công thức n R  F1  F2   Fn   Fk (1.1.13) k 1 Để xác định phƣơng chiều trị số hợp lực R hệ lực đồng quy ta dùng phƣơng pháp vẽ phƣơng pháp chiếu a, Phương pháp vẽ Từ hình vẽ ta thấy véctơ hợp lực R véctơ khép kín đa giác OABCD mà cạnh véctơ song song chiều trị số với véctơ biểu diễn lực thành phần Đa giác OABCD đƣợc gọi đa giác lực Chú ý đa giác lực đƣợc vẽ xuất phát không bắt buộc từ điểm đồng quy O hệ lực mà xuất phát từ điểm O1 tuỳ ý Vậy hợp lực hệ lực đồng quy đƣợc biểu diễn véctơ khép kín đa giác lực đặt điểm đồng quy C B A  F1 O  F2  R B D A’  F4 C’ ’  F3  R D’ O1 Hình 1.1.12 b, Phương pháp chiếu Ta chiếu biểu thức (1.1.13) lên hệ trục toạ độ vng góc Oxyz ta đƣợc n  R F F F Fkx       1x 2x nx  x k 1  n  R  R  R x  R y2  R z2 R y  F1y  F2y   Fny   Fky  k 1  n  R F F F Fkz       z 1z 2z  nz k 1  Phƣơng chiều R đƣợc xác định qua cosin phƣơng sau: R R R cos   cos(R,Ox)  x ;cos   cos(R,Oy)  y ;cos   cos(R,Oz)  z R R R (1.1.14) 1.4.4 Các định lý biến đổi tương đương ngẫu lực a, Định lý 1: Hai ngẫu lực có véctơ mơmen tƣơng đƣơng với * Định lý rút từ hai tính chất sau - Tính chất 1: Hai ngẫu lực nằm mặt phẳng, có chiều quay trị số mơmen tƣơng đƣơng với - Tính chất 2: Tác dụng ngẫu lực không thay đổi dời ngẫu lực đến mặt phẳng song song * Nhận xét: Qua hai tính chất ta có số nhận xét nhƣ sau - Véctơ mômen ngẫu lực m véctơ tự - Tác dụng ngẫu lực không thay đổi tác động lên phép biến đổi khơng làm thay đổi véctơ mơmen nó: Dời tuỳ ý ngẫu lực mặt phẳng tác dụng, dời đến mặt phẳng song song, thay đổi cánh tay đòn lực thành phần Bài giảng Cơ học lý thuyết -18405 - Tác dụng ngẫu lực đƣợc đặc trƣng hoàn tồn véctơ mơmen b, Định lý 2: Hợp hai ngẫu lực đƣợc ngẫu lực có véctơ mômen tổng véctơ mômen hai ngẫu lực cho (1.1.15) m  m1  m2 * Tổng quát: Hợp n ngẫu lực ta đƣợc ngẫu lực có véctơ mơmen tổng véctơ mơmen biểu diễn ngẫu lực cho n m  m1  m2   mn   mk (1.1.16) k 1 Chú ý: Khi ngẫu lực nằm mặt phẳng, véctơ mômen ngẫu lực cho có phƣơng song song với nhau, cơng thức (1.) đƣợc viết lại nhƣ sau n m  m1  m2   mn   mk (1.1.17) k 1 1.5 PHẢN LỰC LIÊN KẾT CỦA CÁC LIÊN KẾT THƢỜNG GẶP 1.5.1 Lực liên kết phản lực liên kết - Những lực đặc trƣng cho tác dụng tƣơng hỗ vật có liên kết với qua chỗ tiếp xúc hình học đƣợc gọi lực liên kết Các lực lực liên kết đƣợc gọi lực hoạt động (ví dụ: Trong lực, lực đẩy gió, lực hoạt động) - Lực liên kết vật gây liên kết tác dụng lên vật khảo sát (hay vật chịu liên kết) đƣợc gọi phản lực liên kết, lực liên kết vật khảo sát tác dụng lên vật gây liên kết đƣợc gọi áp lực Lực liên kết có tính chất nội lực 1.5.2 Phản lực liên kết liên kết thường gặp a, Liên kết tựa Hai vật có liên kết tựa chúng trực tiếp tựa lên Chỗ tiếp xúc theo điểm, theo đƣờng mặt hồn tồn nhẵn Khi phản lực liên kết tựa có phƣơng vng góc với mặt tựa đƣờng tựa có chiều hƣớng vào vật khảo sát  N  NA  N  N  NB A B Hình 1.1.13 b, Liên kết dây mềm, không giãn không trọng lượng Phản lực liên kết dây cịn đƣợc gọi sức căng dây, có phƣơng nằm dọc theo dây có chiều hƣớng khỏi vật khảo sát  T  TA  TB A B  T1  T2 Hình 1.1.14 c, Liên kết lề trụ (thường gọi liên kết lề) Cho phép vật rắn quay quanh trục Do không xác định đƣợc điểm tiếp xúc nên không xác định đƣợc phƣơng chiều phản lực liên kết Vì phản lực liên kết thƣờng đƣợc phân tích thành hai thành phần vng góc với nhau, thƣờng phân tích theo hai phƣơng hai trục toạ độ  YA A  YO  XA  XO Hình 1.1.15 Bài giảng Cơ học lý thuyết -18405 d, Liên kết lề cầu (thường gọi liên kết cầu) Cho phép vật rắn quay quanh điểm không gian Tƣơng tự nhƣ trên, không xác định đƣợc điểm tiếp xúc nên không xác định đƣợc phƣơng chiều phản lực liên kết nên phản lực liên kết đƣợc phân tích thành ba thành phần theo ba phƣơng vng góc, thƣờng phân tích theo ba phƣơng ba trục toạ độ  ZO O  XO x e, Liên kết gối Để đỡ dầm khung…, ngƣời ta dùng liên kết gối Có hai dạng liên kết gối dạng cố định dạng di động - Phản lực liên kết gối di động đƣợc xác định nhƣ liên kết tựa - Phản lực liên kết gối cố định đƣợc xác định nhƣ liên kết lề  XA A  YO y Hình 1.1.16  NC  NB  YA z C B Hình 1.1.17 f, Liên kết cối Cho phép vật rắn quay quanh trục Phản lực liên kết đƣợc phân tích thành ba thành phần nhƣ liên kết cầu, nhƣng khác chỗ thành phần theo phƣơng z > (ZO > 0)  SA z  ZO O x  XO  YO  SB A y Hình 1.1.18 B Hình 1.1.19 g, Liên kết Đƣợc thực nhờ thoả mãn điều kiện sau: - Chỉ có lực tác dụng hai đầu - Trọng lƣợng không đáng kể - Những liên kết hai đầu đƣợc thực nhờ liên kết lề trụ, lề cầu, liên kết gối,… Khi phản lực liên kết có phƣơng nằm dọc theo đƣờng nối hai đầu chiều chƣa xác định (hình 1.1.19) h, Liên kết ngàm Hai vật có liên kết ngàm chúng  đƣợc nối cứng với Có hai dạng liên Y A kết ngàm ngàm phẳng ngàm không mA gian + Phản lực liên kết ngàm phẳng gồm hai lực thẳng góc với A ngẫu lực nằm mặt phẳng chứa hai lực thành phần nói + Phản lực liên kết ngàm không gian gồm ba thành phần lực thẳng góc với ba thành phần ngẫu lực my  XA  ZA mx A  XA  Y mz A Hình 1.1.20 10 Bài giảng Cơ học lý thuyết -18405 HỆ LỰC KHÔNG GIAN Hệ lực khơng gian hệ lực có đƣờng tác dụng lực thành phần nằm tuỳ ý không gian Hệ lực không gian hệ lực tổng quát nhất, kết nhận đƣợc khảo sát hệ lực không gian dễ dàng áp dụng đƣợc cho hệ lực đồng quy, hệ ngẫu lực , hệ lực song song, hệ lực phẳng, chúng đƣợc xem nhƣ trƣờng hợp riêng Trong chƣơng khảo sát hai vấn đề sau - Thu gọn hệ lực không gian dạng tối giản - Tìm điều kiện để hệ lực khơng gian cân Phƣơng pháp khảo sát hệ lực không gian tĩnh học phƣơng pháp tĩnh học, dựa hai đặc trƣng hình học véctơ mơmen 2.1 VÉCTƠ CHÍNH VÀ MƠMEN CHÍNH CỦA HỆ LỰC KHƠNG GIAN 2.1.1 Véctơ hệ lực khơng gian a, Định nghĩa Véctơ hệ lực khơng gian (F1 , F2 , , Fn ) , ký hiệu: R  , tổng hình học véctơ biểu diễn lực thành phần hệ lực n R   F1  F2   Fn   Fk (1.2.1) k 1 b, Phương pháp xác định véctơ Để xác định véctơ chính, ta có hai phƣơng pháp phƣơng pháp vẽ phƣơng pháp chiếu * Phương pháp vẽ Để xác định véctơ phƣơng pháp vẽ, ta xây dựng đa giác lực Muốn vậy, từ điểm ta lần lƣợt vẽ nối tiếp véctơ song song chiều, trị số với véctơ biểu diễn lực thành phần hệ lực Đƣờng gấp khúc nhận đƣợc đa giác lực, véctơ khép kín da giác lực véctơ hệ lực Chú ý: Trong trƣờng hợp hệ lực phẳng, đa giác lực đa giác phẳng, trƣờng hợp hệ lực khơng gian, đa giác lực nói chung đa giác gềnh  F2  F1 B  F2  F3 A  F1  F4  F3 C  R  F4 D O Hình 1.2.1 * Phương pháp chiếu Ta chiếu hai vế (1.2.1) lên hệ trục toạ độ Oxyz, ta đƣợc n   R F F F Fkx       1x 2x nx  x k 1  n   R F F F Fky       (1.2.2) R   R   R x  R y  R z  y 1y 2y  ny k   n  R z  F1z  F2z   Fnz   Fkz k 1  Phƣơng chiều R  đƣợc xác định cosin phƣơng R R R cos   cos(R ,Ox)  x ;cos   cos(R ,Oy)  y ;cos   cos(R ,Oz)  z R R R 11 Bài giảng Cơ học lý thuyết -18405 a, thí dụ Kéo vật nặng có trọng lƣợng P lên nhanh dần với gia tốc a Hãy xác định sức căng dây cáp Giải Khảo sát chuyển động vật nặng, đƣợc xem nhƣ chất điểm Các lực tác dụng vào vật gồm P T Viết phƣơng trình động lực học cho chất điểm ta đƣợc P a TP g z Chiếu phƣơng trình lên trục z ta đƣợc P a a TPT  P P T g g a  a  T  1   P P  g Hình 3.11.3 b, Thí dụ Tìm áp lực ơtơ lên cầu đỉnh A cầu, biết ơtơ có trọng lƣợng P, vận tốc ôtô đỉnh A v , bán kính cong cầu A  Giải Khảo sát chuyển động ô tô đƣợc xem nhƣ chất điểm Các lực tác dụng vào ô tô bao gồm: P, N, F, FC Viết phƣơng trình động lực học cho chất điểm ta đƣợc P a  P  N  F  FC N g v F FC A Chiếu phƣơng trình lên phƣơng pháp tuyến n ta đƣợc P P v2 an  P  N  N  P  P g g  n  v2   N  P 1   Hình 3.11.4  g  11.2.2 Bài toán ngược Cho biết lực tác dụng lên chất điểm điều kiện đầu chuyển động (vị trí ban đầu vận tốc ban đầu), xác định chuyển động chất điểm Để giải toán ta áp dụng dạng phƣơng trình vi phân chuyển động chất điểm Dƣới thí dụ cho dạng toán Một viên đạn đƣợc bắn lên với vận tốc ban đầu y v làm với phƣơng ngang góc , bỏ qua sức cản M khơng khí Tìm quy luật chuyển động viên đạn v0 Giải P Khảo sát chuyển động viên đạn đƣợc coi nhƣ chất điểm Do bỏ qua sức cản khơng khí nên lực tác dụng vào cịn trọng lực P Áp dụng phƣơng trình vi O Hình 3.11.5 phân chuyển động chất điểm dạng toạ độ Đề cho chất điểm ta đƣợc mx   Fkx  x      y  g my   Fky  P  mg Điều kiện đầu chuyển động  x(0)  x  x(0)  x  v0cos ;    y(0)  y0   y(0)  y0  v0 sin  x (1) (2) 50 Bài giảng Cơ học lý thuyết -18405 Từ (1) ta có Từ (2) ta suy  x  c1   y  gt  c2 (3)  x  c1t  c3    y   gt  c t  c Thay điều kiện đầu (2) vào (3) (4) ta đƣợc c1  v0 cos ;c2  v0 sin ;c3  0;c4  (4)  x  v0 t.cos   (5)   y  v0 t.sin   gt Phƣơng trình (5) mơ ta chuyển động viên đạn mặt phẳng Oxy, từ (5) ta dễ thấy quỹ đạo viên đạn đƣờng Parabol 11.3 BÀI TẬP Bài 11.1: Một xe gng có khối lƣợng 700kg chạy xuống dốc dọc theo đƣờng ray thẳng nghiêng với mặt ngang góc 150 Để giữ cho xe chạy ta dùng dây cáp song song với dốc Vận tốc chạy xe 1,6m/s Xác định lực căng dây cáp lúc xe chạy bị hãm dừng lại 4giây Hệ số cản chuyển động tổng cộng f = 0,015 lúc hãm coi xe chạy chậm dần Bài 11.2: Một ôtô chở hàng có khối lƣợng chạy xuống phà với tốc độ 21,6km/h Từ lúc bắt đầu xuống phà đến lúc dừng hẳn xe chạy thêm quãng 10m, cho ôtô chuyển động chậm dần Tính lực căng dây cáp (có hai dây cáp) buộc giữ phà, coi dây cáp luôn căng Bài 11.3: Một vật nặng chạy theo đƣờng dốc mặt phẳng nghiêng phía với vận tốc ban đầu v0 = 15m/s Mặt phẳng nghiêng tạo với mặt phẳng ngang góc  = 300 Cho hệ số ma sát f = 0,1 Tìm đoạn đƣờng vật nặng đƣợc lúc dừng hẳn tìm thời gian vật chạy quãng đƣờng x Bài 11.4: Một dây đàn hồi đƣợc giữ chặt điểm A vòng qua vòng nhẵn cố định O Ở đầu cuối tự lắp cầu M khối lƣợng m kg Chiều dài dây lúc không giãn l = AO Để kéo giãn dây 1cm cần lực k2 m Niutơn Sau kéo dây giãn theo đƣờng thẳng đứng dài gấp đôi, ta chuyền cho cầu vận tốc v0 vng góc với phƣơng thẳng đứng Xác định quỹ đạo cầu, bỏ qua tác dụng trọng lực xem nhƣ sức căng tỉ lệ với độ giãn dài O M y A Hình 11.4 51 Bài giảng Cơ học lý thuyết -18405 Chương VII: Các định lý tổng quát động lưc học 12.1 CÁC ĐẶC TRƢNG HÌNH HỌC KHỐI CỦA CƠ HỆ VÀ VẬT RẮN 12.1.1 Khối tâm hệ 12.1.1.1 Khối tâm hệ n chất điểm * Định nghĩa Khối tâm hệ n chất điểm điểm hình học C đƣợc xác định công thức sau n rC   m k rk (3.12.1) M k 1 Trong mk rk lần lƣợt khối lƣợng véc tơ định z r2 rC rn r1 O vị chất điểm thứ k, M   m k khối lƣợng tất x chất điểm hệ *Các toạ độ khối tâm C 1 x C   mk x k ; yC   m k y k ; z C   m k z k M M M 12.1.1.2 Khối tâm vật rắn * Định nghĩa Khối tâm vật rắn điểm hình học C đƣợc xác định công thức rC  (3.12.3)  rdm m (B) Trong m khối lƣợng vật rắn *Các toạ độ khối tâm C 1 xC  xdm; yC  ydm; z C     zdm m (B) m (B) m (B) C Mn M2 M1 y Hình 3.12.1 (3.12.2) z dm r x O (B) y Hình 3.12.2 (3.12.4) * Chú ý Đối với vật rắn nằm gần đất khối tâm vật rắn trùng với trọng tâm 12.1.1.3 Khối tâm hệ * Định nghĩa Khối tâm hệ gồm n chất điểm p vật rắn điểm hình học C đƣợc xác định công thức p  1 n (3.12.5) rC    mi ri   m k rCk  M  i 1 k 1  Trong đó: + mi , ri khối lƣợng véc tơ định vị chất điểm thứ i + mk , rCk khối lƣợng véc tơ định vị khối tâm Ck vật rắn thứ k + M   mi   mk khối lƣợng toàn hệ * Các toạ độ khối tâm C   x C  M   mi x i   m k x Ck     yC    mi yi   m k y Ck  M   z C  M   mi zi   m k z Ck   (3.12.6) 52 Bài giảng Cơ học lý thuyết -18405 12.1.2 Mơmen qn tính vật rắn 12.3.2.1 Mơmen qn tính vật rắn trục điểm a, Mômen quán tính vật rắn trục z * Định nghĩa Mơmen qn tính vật rắn trục z, đại lƣợng vô hƣớng, ký hiệu Jz, đƣợc xác định theo công thức z (3.12.7) J z   2 dm  dm (B) Trong  khoảng cách từ phân tố dm vật rắn đến trục z Từ hình vẽ ta thấy 2  x  y2  Jz   (x  y )dm r y O (3.12.8) y x (B) Tƣơng tự ta có Jx  x  (y  z )dm ; J y   (x  z )dm (3.12.9) (B) Hình 3.12.3 (B) (B) b, Mơ men qn tính vật rắn điểm * Định nghĩa Mô men quán tính vật rắn điểm O, ký hiệu JO, đƣợc xác định công thức (3.12.10) J O   r 2dm   (x  y  z )dm (B) (B) Trong r khoảng cách từ phân tố dm vật rắn đến điểm O * Chú ý Từ (3.12.8), (3.12.9) (3.12.10) ta có JO   J x  J y  Jz  (3.12.11) c, Bán kính quán tính * Định nghĩa Trong kỹ thuật ngƣời ta hay sử dụng khái niệm bán kính quán tính vật rắn trục z, ký hiệu z đƣợc định nghĩa công thức J z  z (3.12.12) m Trong m khối lƣợng vật rắn, Jz mơmen qn tính vật rắn trục z d, Các mơmen qn tính tích Các mơmen qn tính tích, ký hiệu: J xy, Jyz, Jzx đƣợc cho công thức sau J xy   xydm  J yx ; J yz   yzdm  J zy ; J xz   xzdm  J zx (3.12.13) (B) (B) (B) e, Mơmen qn tính số vật đồng chất có dạng hình học đơn giản * Thanh đồng chất Theo định nghĩa ta có y L J y   x dm dm đồng chất ta có dm = dx,  = m/l khối lƣợng đơn vị dài L  Jy   x2  Jy  mL3 B A L m 1m dx  x L 3L x dx x L Hình 3.12.4 (3.12.14) 53 Bài giảng Cơ học lý thuyết -18405 * Vành tròn đồng chất Ta có J z   2 dm  (B) y  R dm  R  dm 2 (B) (B)  (3.12.15) J z  mR Chú ý Công thức (3.12.15) đƣợc áp dụng cho trƣờng hợp trụ mỏng Ngồi dựa vào cơng thức (3.12.11) ta dễ dàng chứng minh đƣợc 1 J x  J y  J z  mR 2 * Đĩa trịn đồng chất Ta có J z   2 dm   r 2dm (B) C x (B) Hình 3.12.5 y (B) Ta chia đĩa thành nhiều vành tròn ta đƣợc dm = .2r.dr với  = m/R2 m dm  2rdr  R R  Jz   r2 dm  R dm C r x R 2m 2m 2m rdr   r 3dr  r R R R 0 (B) J z  mR  (3.12.16) Hình 3.12.6 Chú ý Công thức (3.12.16) đƣợc áp dụng trƣờng hợp trụ đặc Ngoài dựa vào (3.12.11) ta dễ dàng chứng minh đƣợc 1 J x  J y  J z  mR 2 12.3.2.2 Cơng thức tính mơmen qn tính vật rắn trục song song * Định lý Huyghen Mơmen qn tính vật rắn trục  tổng mơmen qn tính trục song song với trục  nhƣng qua khối tâm C vật tích khối lƣợng vật với bình phƣơng khoảng cách hai trục J = JC + Md2 (3.12.17) * Ví dụ Xét đồng chất JAz1 = JCz + Md2  JCz = JAz1 – Md2   J Cz L  ML2  M   2 J Cz  ML2 12 z1 z B A C x L (3.12.18) Hình 3.12.7 12.3.2.3 Trục qn tính trục quán tính trung tâm a, Các định nghĩa - Trục Oz đƣợc gọi trục quán tính O thoả mãn điều kiện sau Jzx = Jzy = (3.12.19) - Trục Oz đƣợc gọi trục qn tính trung tâm trục quán tính qua khối tâm vật Chú ý Ngƣời ta chứng minh đƣợc điểm vật rắn tồn ba trục qn tính vng góc với 54 Bài giảng Cơ học lý thuyết -18405 b, Các định lý xác định trục quán tính vật đồng chất * Định lý Nếu vật rắn đồng chất có trục đối xứng trục trục quán tính trung tâm * Định lý Nếu vật rắn đồng chất có mặt phẳng đối xứng trục thẳng góc với mặt phẳng đối xứng trục quán tính giao điểm mặt phẳng đối xứng trục 12.2 ĐỊNH LÝ BIẾN THIÊN ĐỘNG LƢỢNG 12.2.1 Các định nghĩa a, Động lượng chất điểm Động lƣợng chất điểm đại lƣợng véc tơ, ký hiệu: q , tích khối lƣơng chất điểm với véc tơ vận tốc Q  mv (3.12.20) b, Động lượng vật rắn * Định nghĩa Động lƣợng vật rắn (B) đại lƣợng véc tơ đƣợc xác định cơng thức (3.12.21) QB   vdm (B) Trong vdm động lƣợng phân tố dm vật rắn (B) * Chú ý theo định nhĩa khối tâm vật rắn ta có 1 rC  rdm  rC  rdm     vdm  (B) vdm  mvC m (B) m (B) m (B) QB  mvC  m vCB khối lƣợng vận tốc khối tâm vật rắn (B) vdm (B) Hình 3.12.8 (3.12.22) c, Động lượng hệ * Định nghĩa Động lƣợng hệ gồm n chất điểm p vật rắn tổng động lƣợng chất điểm vật rắn thuộc hệ, ký hiệu: Q n p i 1 k 1 Q   mi vi   mk vCk (3.12.23) Trong mi , vi khối lƣợng vận tốc chất điểm thứ i mk , vCk khối lƣợng vận tốc khối tâm vật rắn thứ k * Chú ý Cũng tƣơng tự nhƣ trên, từ định nghĩa khối tâm hệ ta suy đƣợc Q  MvC (3.12.24) Trong đó: M   mi   m k vC : vận tốc khối tâm hệ d, Xung lượng lực (còn gọi xung lực) - Xung lƣợng nguyên tố lực F khoảng thời gian vô bé dt, đại lƣợng véc tơ, ký hiệu: dS đƣợc cho công thức sau dS  Fdt (3.12.25) - Xung lƣợng hữu hạn lực F khoảng thời gian từ t1 đến t2 đƣợc cho công thức t2 S   Fdt (3.12.26) t1 55 Bài giảng Cơ học lý thuyết -18405 12.2.2 Định lý biến thiên động lượng a, Định lý dạng đạo hàm * Định lý Đạo hàm theo thời gian động lƣợng hệ tổng ngoại lực tác dụng lên chất điểm vật rắn thuộc hệ dQ (3.12.27)   Fk e dt * Chú ý Định lý đƣợc viết dƣới dạng hình chiếu nhƣ sau dQ dQx dQ (3.12.28)   Fkxe ; y   Fkye ; z   Fkze dt dt dt b, Định lý dạng hữu hạn * Định lý Biến thiên động lƣợng hệ khoảng thời gian hữu hạn tổng xung lƣợng ngoại lực tác dụng lên hệ khoảng thời gian Q(t )  Q(t1 )   Sek (3.12.29) * Chú ý Định lý đƣợc viết dƣới dạng hình chiếu nhƣ sau e Qx (t )  Qx (t1 )   Sekx ;Q y (t )  Q y (t1 )   Seky ;Qz (t )  Qz (t1 )   Skz (3.12.30) 12.2.3 Định lý bảo toàn động lượng * Định lý Nếu tổng ngoại lực tác dụng lên hệ khơng động lƣợng hệ đƣợc bảo toàn * Chứng minh Từ (3.12.27) ta có dQ   Fk e   Fke   Q  const dt * Định lý Nếu tổng hình chiếu ngoại lực tác dụng lên hệ lên trục cố định khơng, hình chiếu động lƣợng lên trục đƣợc bảo tồn * Chứng minh Từ (3.12.28) ta có dQ x   Fkxe   Fkxe   Qx  const dt 12.3 ĐỊNH LÝ CHUYỂN ĐỘNG KHỐI TÂM 12.3.1 Định lý Khối tâm hệ chuyển động nhƣ chất điểm có khối lƣợng khối lƣợng hệ chịu tác dụng lực véc tơ hệ ngoại lực tác dụng lên hệ Ma C   Fke (3.12.31) Chú ý Định lý viết dƣới dạng toạ độn đề nhƣ sau Mx C   Fkxe ; MyC   Fkye ; MzC   Fkze (3.12.32) 12.3.2 Định luật bảo toàn chuyển động khối tâm * Định lý Nếu véc tơ hệ ngoại lực tác dụng lên hệ ln ln khơng khối tâm hệ đứng yên chuyển động thẳng Chứng minh Ta có Ma C   Fke   Fke   a C 0  vC  Const có hai khả xảy nhƣ sau + Nếu vC  khối tâm hệ đứng yên + Nếu vC  Const  khối tâm hệ chuyển động thẳng * Định lý Nếu tổng hình chiếu ngoại lực tác dụng lên hệ lên trục cố định ln ln khơng toạ độ khối tâm hệ trục đứng yên chuyển động 56 Bài giảng Cơ học lý thuyết -18405 Chứng minh: Ta có Mx C   Fkxe ; MyC   Fkye ; Mz C   Fkze , Giả sử Có hai khả xảy nhƣ sau + Nếu x C   xC = Const F e kx   x C   x C  const + Nếu x C  const   xC chuyển động 12.4 ĐỊNH LÝ BIẾN THIÊN MÔMEN ĐỘNG LƢỢNG 12.4.1 Các định nghĩa a, Mômen động lượng chất điểm - Mômen động lƣợng chất điểm điểm O đại lƣợng véc tơ, ký hiệu: LO , mômen điểm O véc tơ động lƣợng chất điểm (hình 3.12.9) (3.12.33) LO  mO (mv)  r  mv mv z mO (mv) O M mv r O v d M’ P Hình 3.12.9 mv Hình 3.12.10 - Mơmen động lƣợng chất điểm trục z lƣợng đại số, ký hiệu: L z , mômen trục z véc tơ động lƣợng chất điểm (hình 3.12.10) (3.12.34) Lz  mz (mv)  mO (mv)  mvd Trong đó: + mv véc tơ hình chiếu véc tơ mv mặt phẳng P vng góc với trục z + d khoảng cách từ điểm O (là giao điểm trục z với mặt phẳng P) đến giá mang véc tơ mv + Lấy dấu cộng mv vòng quanh O ngƣợc chiều kim đồng hồ, lấy dấu trừ mv vòng quanh O chiều kim đồng hồ * Chú ý Từ định lý liên hệ mômen lực điểm mômen lực trục ta suy đƣợc mz (mv)  hch z  mO (mv)  (3.12.35) với O  z b, Mômen động lượng vật rắn * Định nghĩa - Mômen động lƣợng vật rắn điểm O đại lƣợng véc tơ đƣợc cho công thức LO   (r  v)dm (3.12.36) vdm r O (B) Hình 3.1211 (B) - Mơmen động lƣợng vật rắn trục z lƣợng đại số đƣợc cho công thức Lz   dL z   m z (vdm) (3.12.37) (B) (B) * Mômen động lượng vật rắn số chuyển động - Vật rắn chuyển động tịnh tiến: Đối với vật rắn chuyển động tịnh tiến, vận tốc điểm thuộc vật vận tốc khối tâm C vật, nên từ (3.12.35) ta có 57 Bài giảng Cơ học lý thuyết -18405   (r  v )dm  rdm  C      vC  (B) (B) (B)    mrC  rC  rC  (mrC ) LO   LO  mO (mvC ) - Vật rắn chuyển động quay quanh trục cố định Ta có dLz  vdm  2dm  Lz   dL (B)  z (r  v)dm  z  (3.12.38)    dm     dm  J  vdm  (B) z (B) (B) Lz  J z  (3.12.39) Hình 3.12.12 c, Mơmen động lượng hệ - Mômen động lƣợng hệ (gồm n chất điểm p vật rắn) điểm O đại lƣợng véc tơ tổng véc tơ mômen động lƣợng của chất điểm vật rắn thuộc hệ lấy điểm O p n LO   m O (mi vi )   i 1  k 1 (Bk ) n p (r  v)dm   r  m i v i   i 1  (r  v)dm (3.12.40) k 1 (Bk ) - Mômen động lƣợng hệ trục z tổng mômen động lƣợng chất điểm vật rắn thuộc hệ lấy trục z n p i 1 k 1 Lz  hch z  LO    mz (mi vi )   L(Bz k ) (3.12.41) 12.4.2 Định lý biến thiên mômen động lượng Định lý Đạo hàm theo thời gian mômen động lƣợng hệ tâm hay trục tổng mômen ngoại lực tác dụng lên hệ tâm hay trục dLO dL (3.12.42)   mO (Fke ); z   mz (Fke ) dt dt 12.4.3 Định luật bảo tồn mơmen động lượng * Định lý Nếu tổng mômen ngoại lực tác dụng lên hệ tâm hay trục mà ln khơng mơmen động lƣợng hệ tâm hay trục đƣợc bảo tồn * Chứng minh Từ cơng thức (3.12.42) ta thấy dL  Nếu  mO (Fke )   O   LO  const dt dL  Nếu  m O (Fke )   z   L z  const dt 12.5 ĐỊNH LÝ BIẾN THIÊN ĐỘNG NĂNG 12.5.1 Công lực z a, Công nguyên tố lực * Định nghĩa: Công nguyên tố lực F điểm đặt di chuyển đƣờng cong (c) đoạn vô nhỏ ds đƣợc cho công thức (3.12.43) dA(F)  F.cos().ds Trong  góc lực F véc tơ vận tốc v điểm đặt lực Mặt khác ta có ds = vdt  dA(F)  F.v.cos().dt=F.v.dt M1 M v r k F M2 j i x O (c) y Hình 3.12.13 58 Bài giảng Cơ học lý thuyết -18405 v  dr dt  vdt  dr  dA(F)  Fdr mà  dA(F)  Fx dx  Fy dy  Fz dz  F  Fx i  Fy j  Fz k  dr  dxi  dyj  dzk dA(F)  F.cos().ds  Fdr  Fx dx  Fy dy  Fz dz với (3.12.44) b, Công hữu hạn lực Định nghĩa Công hữu hạn lực F điểm đặt di chuyển đƣờng cong (c) đoạn hữu hạn từ M1 đến M2 đƣợc cho công thức S2 r2 A(F)   F.cos().ds   Fdr  S1 r1  Fx dx  Fy dy  Fz dz (3.12.45) M1M c, Biểu thức công số lực * Công trọng lực Ta có A(P)   Fx dx  Fy dy  Fz dz  z M1(x1, y1, z1) h  P M1M Từ hình vẽ ta thấy Fx = Fy = 0, Fz = 0, nên ta suy A(P)  z2  Fzdz  z1 z2  Pdz  P(z  z1 ) x M2(x2, y2, z2) O y Hình 3.12.14 z1 Nếu điểm đặt lực di chuyển từ xuống, ta có z2 < z1  A(P)  Nếu điểm đặt lực di chuyển từ dƣới lên, ta có z2 > z1  A(P)  Gọi h  z  z l hiệu độ cao, ta có (3.12.46) A(P)  Ph Lây dấu cộng trọng tâm vật di chuyển từ xuộng, lấy dấu trừ trọng tâm vật di chuyển từ dƣới lên x * Cơng lực đàn hồi tuyến tính y Từ hình 3.12.15 ta có, Fx = - Fdh, Fy = Fz =  A(Fdh )    x2  Fx dx  Fy dy  Fz dz    Fdh dx c Mà Fdh = cx, với x độ biến dạng lò xo kể từ vị trí chƣa biến dạng  x x1 M1M x2 Fdh  A(Fdh )    cxdx   c x 2  x12 x  Hình 3.13.15 z Nếu chọn x1 =  x2 = x, ta có A(Fdh )   cx 2 * Công ngẫu lực dA(M)  Md  A(M)  F (3.12.47)  2  Md  O n  M (3.12.48) 1 Hình 3.12.16 * Cơng lực tác dụng lên vật rắn quay quanh trục cố định Cho lực F tác dụng lên vật rắn quay quanh trục cố định nhƣ hình 3.12.16, ta có 59 Bài giảng Cơ học lý thuyết -18405 dA(F)  Fdr  Fdscos Với α góc F véc tơ vận tốc vM góc F trục tiếp tuyến M, ta có dA(F)  Fds  F OM.d  dA(F)  mz (F).d (3.12.49) * Công lực tác dụng vào chuyển động song phẳng Ta coi chuyển động song phẳng nhƣ vật rắn chuyển động quay quanh trục qua tâm vận tốc tức thời vng góc với tấm, ta có (3.12.50) dA(F)  mP (F)d  mC (F)d  FCdrC Chú ý: Nếu chịu tác dụng ngẫu lực có mơ men M nằm mặt phẳng tấm, ta có (3.12.51) dA(M)  Md * Cơng hệ nội lực vật rắn Đối với vật rắn biến dạng, nói trung cơng hệ nội lực ln khác khơng Đối với vật rắn tuyệt đối cơng hệ nội lực ln không 12.5.2 Công suất Định nghĩa Công suất công lực sinh đơn vị thời gian, ký hiệu: W dA Fdr   Fv W= dt dt (3.12.52) Chú ý Với ngẫu lực M tác dụng vào vật quay quanh trục cố định cơng suất đƣợc cho cơng thức dA Md  W=  M (3.12.53) dt dt 12.5.3 Động a, Động chất điểm Định nghĩa Động chất điểm có khối lƣợng m, chuyển động với vận tốc v đại lƣợng vô hƣớng dƣơng, ký hiệu: T, đƣợc cho công thức T  mv (kgm2/s2) (3.12.54) b, Động vật rắn * Định nghĩa Động vật rắn đƣợc cho công thức T   v dm (3.12.55) (B) v dm z (B) x O y Hình 3.12.17 * Động vật rắn số chuyển động - Vật rắn chuyển động tịnh tiến T  mvC2 (3.12.56) Trong đó: m vC khối lƣợng vận tốc khối tâm vật rắn - Vật rắn chuyển động quay quanh trục cố định T  J z 2 (3.12.57) Trong Jz mơ men qn tính vật rắn trục quay z,  vận tốc góc vật - Vật rắn chuyển động song phẳng 1 T  mv C2  J C 2 (3.12.58) 2 60 Bài giảng Cơ học lý thuyết -18405 Trong đó: m khối lƣợng vật, vC vận tốc khối tâm vật, Jc mơ men qn tính vật trục qua khối tâm C nó,  vận tốc góc vật c, Động hệ Động hệ gồm n chất điểm p vật rắn tổng động chất điểm vật rắn thuộc hệ n p i 1 k 1 T   TMi   TBk (3.12.59) 12.5.4 Định lý biến thiên động a, Dạng vi phân * Định lý 1: Vi phân động hệ tổng công nguyên tố tất ngoại lực nội lực tác dụng lên hệ dT=  dA(Fke )   dA(Fki ) (3.12.60) b, Dạng hữu hạn * Định lý 2: Biến thiên động hệ dịch chuyển tổng công tất ngoại lực nội lực tác dụng lên hệ dịch chuyển T2  T1   A(Fke )   A(Fki ) (3.12.61) c, Dạng đạo hàm * Định lý 3: Đạo hàm theo thời gian động hệ tổng công suất ngoại lực nội lực tác dụng lên hệ dT   w(Fke )   w(Fki ) (3.12.62) dt 12.6 ĐỊNH LÝ BẢO TOÀN CƠ NĂNG 12.6.1 Trường lực - Trƣờng lực khoảng không gian vật lý mà chất điểm hay vật rắn chuyển động chịu tác dụng lực phụ thuộc vào vị trí chất điểm hay vật rắn Ví dụ: Trƣờng trọng lực, trƣờng lực đàn hồi - Trƣờng lực trƣờng lực mà công lực trƣờng lực tác dụng lên chất điểm hay vật rắn chuyển động phụ thuộc vào vị trí đầu vị trí cuối điểm đặt lực Ví dụ: Trƣờng trọng lực, trƣờng lực đàn hồi tuyến tính - Lực trƣờng lực tác dụng lên chất điểm hay vật rắn đƣợc gọi lực thế, có dạng (3.12.63) F  F(x, y, z) với (x, y, z) toạ độ điểm đặt lực toạ độ Đề 12.6.2 Thế Khảo sát hệ gồm n chất điểm p vật rắn Giả sử hệ chịu tác dụng lực F1 , F2 , , Fm đƣợc đặt điểm M1, M2, …, Mm Ta chọn vị trí “0” (M1(0), M2(0), …, Mm(0)) làm gốc, gọi vị trí quy chiếu, ta có định nghĩa sau * Định nghĩa Thế hệ vị trí “1” đó, ký hiệu: 1, tổng công lực tác dụng lên hệ di chuyển từ vị trí vị trí quy chiếu “0” chọn 1    A(Fk )  (1) ( 0)  A10 (3.12.64) Mk Mk * Chú ý - Do vị trí quy chiếu đƣợc chọn tuỳ ý nên hệ vị trí đƣợc xác định sai khác số cộng - Thế hệ tạ vị trí quy chiếu khơng 0 = 61 Bài giảng Cơ học lý thuyết -18405 - Nhƣ biết công lực phụ thuộc vào vị trí điểm đặt lực M1, M2, …, Mm hệ phụ thuộc vào vị trí điểm M1, M2, …, Mm ta có hàm có dạng nhƣ  = (x1, y1, z1, …, xm, ym, zm) (3.12.65) đƣợc gọi hàm * Các ví dụ - Thế trọng lực (Hình 3.12.18) (3.12.66)   A MM  Py  mgy - Thế lực đàn hồi lị xo (Hình 3.12.19) (3.12.67)   A MM  cx 2 Trong đó: c độ cứng lị xo, x độ biến dạng lò xo so với vị trí chƣa biến dạng y y M x P = mg c O x M(0) Hình 3.12.18 M0 M Hình 3.12.19 12.6.3 Các tính chất lực * Tính chất 1: Cơng lực hệ di chuyển trƣờng lực hiệu vị trí đầu vị trí cuối hệ (3.12.68) A (1) ( 2)   M(1)   M( 2) M M * Chứng minh Vì công lực không phụ thuộc vào dạng quỹ đạo điểm đặt lực nên ta có: A1-2 = A1-0 + A0-2 = A1-0 - A2-0  A1-2 = 1 - 2 * Tính chất 2: Nếu Fk (x k , y k , z k ) lực tác dụng lên hệ, ta có    Fkx   ; Fky   ; Fkz   x k yk z k với  hệ (3.12.69) 12.6.4 Định lý bảo toàn a, Khái niệm hệ bảo toàn Cơ hệ chịu tác dụng lực hoạt động đƣợc gọi hệ bảo toàn (hay gọi tắt hệ bảo toàn) b, Định lý bảo toàn Định lý Khi hệ chịu tác dụng lực hoạt động tổng động hệ luôn không đổi E = T +  = const (3.12.70) E: Đƣợc gọi 12.7 BÀI TẬP Bài 12.1: Cho hệ gồm vật nặng A trọng lƣợng P1 đặt mặt nghiêng lăng trụ B có trọng lƣợng P2 Góc nghiêng mặt lăng trụ với mặt phẳng ngang  Lăng trụ đƣợc đặt mặt ngang nhẵn nhƣ hình vẽ Ban đầu vật nặng A nằm yên tƣơng đối mặt lăng trụ, cịn lăng 62 Bài giảng Cơ học lý thuyết -18405 trụ trƣợt sang trái với vận tốc v0 Hãy xác định vận tốc lăng trụ vật nặng A trƣợt xuống theo mặt phẳng nghiêng lăng trụ với vận tốc tƣơng đối u B A E K v0 u A (B)  600 D Hình 12.1 L Hình 12.2 Bài 12.2: Hai vật nặng A B có khối lƣợng m1 m2 đƣợc nối với sợi dây mềm, nhẹ, không giãn vắt qua ròng rọc K đƣợc đặt trêncác mặt LK KE lăng trụ DEKL Lăng trụ có khối lƣợng m3 đặt ngang nhẵn Tìm di chuyển lăng trụ vật nặng A trƣơt xuống theo mặt phẳng nghiêng KL đoạn S Ban đầu hệ đứng yên Bài 12.3: Xác định di chuyển ngang tàu mang cần cẩu cần AB mang vật nặng có khối lƣợng cất thẳng đứng lên từ vị trí ban đầu nghiêng góc 300 nhƣ hình vẽ Khối lƣợng tầu cần cẩu 20 tấn, chiều dài AB = 8m Bỏ qua sức cản nƣớc khối lƣợng cần AB Bài 12.4: Một động nƣớc đặt nằm ngang mặt móng trơn nhẵn Tay quay OA có chiều dài r quay với vận tốc góc  Thanh truyền AB dài tay quay (OA = AB) Coi khối lƣợng phận chuyển động đƣợc thu gọn thành hai khối lƣợng m1 m2 tập trung đầu tay quay trọng tâm pittông B Khối lƣợng vỏ động m3 Xác định chuyển động ngang vỏ động Biết ban đầu pittơng vị trí xa bên trái B A 300 O A B Hình 12.4 Hình 12.3 Bài 12.5: Khi đĩa trịn đơng chất bán kính R, khối lƣợng m1 nằm ngang quay quanh trục thẳng đứng AB qua tâm O đĩa với vận tốc góc 0 có chất điểm M khối lƣợng m2 bắt đầu chuyển động từ tâm đĩa ngồi theo bán kính OD Hỏi đĩa quay với vận tốc góc chất điểm chuyển động đến điểm bán kính OD z z B O B C M M D 0 D 0 A Hình 13.5 A Hình 13.6 63 Bài giảng Cơ học lý thuyết -18405 Bài 12.6: Ống CD nằm ngang có chiều dài L, quay tự quanh trục thẳng đứng AB Bên ống có cầu (xem nhƣ chất điểm), có khối lƣợng m Ban đầu ống quay với vận tốc góc 0 cịn cầu năm cách trục quay khoảng MC = a (a < L/2) Hãy xác định vận tốc góc  ống cầu di chuyển đến vị trí cách trục quay khoảng MC = b (b > L/2) Biết mô men quán tính ống trục quay J Bỏ qua ma sát ổ trục Bài 12.7: Một ngẫu lực có mơmen quay M khơng đổi tác dụng lên tang trục tời có bán kính R trọng lƣợng P1 Quấn vào tang tời sợi dây mềm nhẹ không giãn, đầu dây đƣợc buộc vào vật nặng A có trọng lƣợng P2 để kéo lên theo mặt phẳng nghiêng nhƣ hình vẽ Hệ số ma sát trƣợt động A mặt nghiêng f Tang tời đƣợc xem trụ trịn đồng chất Hãy tìm biểu thức vận tốc góc tời theo góc quay E C M O O B A  M Hình 12.7 Hình 12.8 Bài 12.8: Cho hệ gồm vật nặng A trọng lƣợng Q, ròng rọc cố định B lăn E có trọng lƣợng P, bán kính r trụ trịn đồng chất Con lăn E lăn không trƣợt mặt phẳng ngang Hãy xác định vận tốc vật A xuống đoạn h Biết ban đầu hệ đứng yên, trọng lƣợng dây không đáng kể bỏ qua ma sát lăn cong lăn mặt đƣờng Bài 12.9: Một rịng rọc kép C có bán kính nhỏ r bán kính lớn R có trọng lƣợng Q, quay quanh trục cố định O dây không giãn, không trọng lƣợng Một đầu dây treo vật nặng B có trọng lƣợng P1 chuyển động theo phƣơng thẳng đứng đầu buộc vào tâm A bánh xe đồng chất có trọng lƣợng P2 bán kính R lăn khơng trƣợt mặt phẳng nghiêng cố định hợp với phƣơng ngang góc α Tính vận tốc vật B vật B rơi xuống đoạn h Bài 12.10: Ơ tơ với bánh xe có trọng lƣợng P, bánh có trọng lƣợng q, bán kính r, bán kính quán tính trục bánh  nhƣ hình vẽ Nếu tác dụng vào bánh sau(bánh chủ động) mơmen quay Mq tô bắt đầu chuyển động từ trạng thái đứng yên với vận tốc V Coi bánh xe lăn không trƣợt, bỏ qua ma sát lăn Viết phƣơng trình vi phân chuyển động hệ C  V O A B α Hình 12.9 Hình 12.10 64 ... trọng lƣợng âm 24 Bài giảng Cơ học lý thuyết -18405 PHẦN THỨ HAI: ĐỘNG HỌC - Động học phần thứ hai giáo trình học lý thuyết Trong đó, nghiên cứu chuyển động học vật thể mặt hình học, không quan... 8.7 46 Hình 8.8 Bài giảng Cơ học lý thuyết -18405 PHẦN THỨ BA: ĐỘNG LỰC HỌC Động lực học phần học lý thuyết, nghiên cứu quy luật chuyển động học vật thể dƣới tác dụng lực Động lực học đƣợc xây dựng.. .Bài giảng Cơ học lý thuyết -18405 PHẦN THỨ NHẤT: TĨNH HỌC Tĩnh học phần thứ giáo trình lý thuyết, nghiên cứu trạng thái cân vật rắn (vật rắn