SỐ PHỨC (TOÁN CAO cấp SLIDE)

Bộ mơn Tốn Ứng dụng Đại số tuyến tính Chương 0: Số phức Mục tiêu mơn học Tốn Mơn học cung cấp kiến thức đại số tuyến tính Sinh viên sau kết thúc môn học nắm vững kiến thức tảng biết giải toán bản: tính định thức, làm việc với ma trận, tốn giải hệ phương trình tuyến tính, khơng gian véctơ, ánh xạ tuyến tính, tìm trị riêng véc tơ riêng, đưa dạng tồn phương tắc Số phức Ma trận Định thức Hệ phương trình tuyến tính Khơng gian véc tơ Khơng gian Euclide Phép biến đổi tuyến tính Trị riêng, véctơ riêng Dạng toàn phương Nhiệm vụ sinh viên Đi học đầy đủ (vắng 20% tổng số buổi học bị cấm thi!) Làm tất tập cho nhà Đọc trước đến lớp Đánh giá, kiểm tra Thi học kỳ: hình thức trắc nghiệm (20%) Thi cuối kỳ: hình thức tự luận + điền kết (80%) Tài liệu tham khảo Đỗ Công Khanh, Ngô Thu Lương, Nguyễn Minh Hằng Đại số tuyến tính NXB Đại học quốc gia Ngơ Thu Lương, Nguyễn Minh Hằng Bài tập tốn cao cấp Đỗ Công Khanh Đại số tuyến tính NXB Đại học quốc gia Meyer C.D Matrix analysis and applied linear algebra, SIAM, 2000 Kuttler K Introduction to linear algebra for mathematicians, Usmani R Applied linear algebra, Marcel Dekker, 1987 Kaufman L Computational Methods of Linear Algebra ,2005 Muir T Theory of determinants, Part I Determinants in general Golub G.H., van Loan C.F Matrix computations 3ed., JHU, 1996 10 Nicholson W.K Linear algebra with applications , PWS Boston, 1993 11 Proskuriyakov I.V Problems in Linear algebra 12 www.tanbachkhoa.edu.vn Nội dung 0.1 – Dạng đại số số phức 0.2 – Dạng lượng giác số phức 0.3 – Dạng mũ số phức 0.4 – Nâng số phức lên lũy thừa 0.5 – Khai số phức 0.6 – Định lý Đại số 0.1 Dạng đại số số phức - Khơng tồn số thực mà bình phương số âm Hay, khơng tồn số thực x cho x2 = -1 Ở kỷ thứ 17, người ta định nghĩa số ảo Bình phương số ảo số âm Ký tự i chọn để ký hiệu số mà bình phương –1 Định nghĩa số i Số i, gọi đơn vị ảo, số cho i2 = -1 0.1 Dạng Đại số số phức Định nghĩa số phức Cho a b hai số thực i đơn vị ảo, z = a + bi gọi số phức Số thực a gọi phần thực số thực b gọi phần ảo số phức z Phần thực số phức z = a + bi ký hiệu Re(z) Phần ảo số phức z = a + bi ký hiệu Im(z) Tập số thực tập hợp tập số phức, cho b = 0, a + bi = a + 0i = a số phức 0.1 Dạng Đại số số phức - Tất số có dạng + bi, với b số thực khác không gọi số ảo Ví dụ: i, -2i, 3i số ảo Số phức ghi dạng z = a + bi gọi dạng đại số số phức z 0.1 Dạng Đại số số phức Định nghĩa Hai số phức gọi chúng có phần thực phần ảo tương ứng Nói cách khác, hai số phức z1 = a1 + ib1 z2 = a2 +ib2 a1 = a2 b1 = b2 Ví dụ Cho z1 = + 3i; z2 = m + 3i Tìm tất số thực m để z1 = z2 Giải 2 m � z1  z2 �  3i  m  3i � � � m �3  0.3 Dạng mũ số phức Ví dụ Tính z  i1987 1987  4� 496  z  i 1987 � 3  i 4496  i  i 0.3 Nâng số phức lên lũy thừa Ví dụ Cho z = + i a) Tìm z3; b) Tìm z100 a) z  (1 i )3  1 3i  3i  i z  1 3i  3 i z  2  2i b) T� nh t� � ng t� � ra� t ph� � c ta� p Ta s� � du� ng ca� ch kha� c 0.3 Nâng số phức lên lũy thừa z  a  bi  r (cos  i sin ) z2  z � z  r 2(cos2  i sin2 ) z3  z2 � z  r 3(cos3  i sin3 ) z n  z n1 � z  r n (cosn  i sinn ) Công thức De Moivre Cho r > 0, cho n số tự nhiên Khi [r (cos   i sin  )]n  r n (cos n  i sin n ) 0.3 Nâng số phức lên lũy thừa Ví dụ Sử dụng cơng thức de Moivre’s, tính: a) c) Giải (1 + i)25 b) (  i 3) 200 (  i )17 ( 12  2i ) 20 a) Bước Viết + i dạng lượng giác   z 1  i  (cos  i sin ) 4 Bước Sử dụng công thức de Moivre’s:   25 25 25 25 25 z [ (cos  i sin )] ( ) (cos  i sin ) 4 4   25 12 z 2 (cos  i sin ) Bước Đơn giản 4 0.4 Khai số phức Định nghĩa bậc n số phức Căn bậc n số phức z số phức w, cho wn = z, n số tự nhiên n z  a  bi  r (cos   i sin  )   k   k n n z  r (cos   i sin  )  zk  r (cos  i sin ) n n với k = 0, 1, 2, …, n – Căn bậc n số phức z có n nghiệm phân biệt 0.4 Khai số phức Ví dụ Tìm bậc n số phức sau Biểu diển nghiệm lên mặt phẳng phức 16i c) b)  i a) 1 i d) 1 i i e)  12i f)  2i Giải câu a) b) Viết số phức dạng lượng giác:  8(cos  i sin 0) Sử dụng công thức: 8(cos  i sin 0)  k  k  zk  2(cos  i sin ) 3 k  0,1, 0.4 Khai số phức Giải câu b) b) Viết số phức dạng lượng giác:    i  2(cos  i sin ) 6 Sử dụng công thức:    k  k   2(cos  i sin )  z  2(cos  i sin ) k 6 4 k  0,1, 2,3 �z1 �z0 �z2 �z3 0.5 Định lý Đại số Nhà bác học người Đức Carl Friedrich Gauss (1777-1855) chứng minh đa thức có nghiệm Số nghiệm đa thức Đa thức P(z) bậc n có n nghiệm kể nghiệm bội 0.5 Định lý Đại số Định lý Đại số cho biết số nghiệm phương trình mà khơng cách tìm nghiệm Nếu đa thức với hệ số thực, có hệ quan trọng sau Hệ Nếu a + bi nghiệm phức đa thức P(z) với hệ số thực, a – bi nghiệm phức 0.5 Định lý Đại số Ví dụ (sử dụng hệ định lý bản) 1) Tìm đa thức bậc với hệ số thực nhận z1 = 3i z2 = 2+i làm nghiệm 2) Tìm đa thức bậc với hệ số thực nhận z1 = 3i z2 = 2+i làm nghiệm 1) Không tồn đa thức thỏa yêu cầu toán 2) Đa thức cần tìm là: P (z )  (z  z1)(z  z1)(z  z2)(z  z2) P (z )  (z  3i )(z  3i )(z  (2  i ))(z  (2  i )) P (z )  (z  9)(z  4z  5) 0.5 Định lý Đại số Ví dụ (sử dụng hệ định lý bản) Tìm tất nghiệm P( z )  z  z  14 z  36 z  45 biết + i nghiệm Giải Bởi đa thức với hệ số thực + i nghiệm, theo hệ ta có –i nghiệm P(z) phân tích thành (z – (2 + i))(z - (2 – i)) = = z2 – 4z + P(z) ghi dạng P(z) = (z2 – 4z + 5)(z2 + 9) z2 + có hai nghiệm 3i –3i Vậy ta tìm nghiệm P(z) + i, – i, 3i, -3i 0.5 Định lý Đại số Ví dụ Giải phương trình sau C z9  i  z  i � z   i � z  cos    i sin 2    k 2  k 2 � zk  cos  i sin 9 k  0,1, ,8 0.5 Định lý Đại số Ví dụ Giải phương trình sau C a) z   i 0 b) z  z  0 c) z  z  0 d) z  z   i 0 Giải Giải phương trình az  bz  c 0 Bước Tính  b  4ac Bước Tìm Bước   b  4ac 1, b  1 b  2 z1  ; z2  2a 2a Kết luận Dạng Đại số số phức z a  bi Dạng Lượng giác số phức z r (cos   i sin  ) Nâng lên lũy thừa z n [r (cos   i sin  )]n r n (cos n  i sin n ) Căn bậc n số phức   2k   2k n z n r (cos  i sin  )  z k n r (cos  i sin ) n n k 1,2,3, , n  ... 0.1 – Dạng đại số số phức 0.2 – Dạng lượng giác số phức 0.3 – Dạng mũ số phức 0.4 – Nâng số phức lên lũy thừa 0.5 – Khai số phức 0.6 – Định lý Đại số 0.1 Dạng đại số số phức ... ảo số phức z Phần thực số phức z = a + bi ký hiệu Re(z) Phần ảo số phức z = a + bi ký hiệu Im(z) Tập số thực tập hợp tập số phức, cho b = 0, a + bi = a + 0i = a số phức 0.1 Dạng Đại số số phức. .. - Tất số có dạng + bi, với b số thực khác không gọi số ảo Ví dụ: i, -2i, 3i số ảo Số phức ghi dạng z = a + bi gọi dạng đại số số phức z 0.1 Dạng Đại số số phức