➢ DẠNG TOÁN 2: BÀI TOÁN CHỨA THAM SỐ LIÊN QUAN ĐẾN TAM THỨC BẬC HAI LUÔN MANG MỘT DẤU.. Các ví dụ minh họa..[r]
(1)§6 DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI
A TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1 Tam thức bậc hai
Tam thức bậc hai (đối với x) biểu thức dạng ax2 bx c Trong a b c, ,
nhứng số cho trước với a
Nghiệm phương trình ax2 bx c 0 gọi nghiệm tam thức bậc hai
f x ax bx c; b2 4ac ' b'2 ac theo thứ tự gọi biệt thức biệt thức thu gọn tam thức bậc hai f x ax2 bx c
2 Dấu tam thức bậc hai
Dấu tam thức bậc hai thể bảng sau
2 , 0
f x ax bx c a
0 a f x 0, x
0
a
0, \
2
b
a f x x
0 a f x 0, x ;x1 x2;
1
0, ;
a f x x x x
Nhận xét: Cho tam thức bậc hai ax2 bx c
• 0,
0 a
ax bx c x R
• 0,
0
a
ax bx c x R
• 0,
0 a
ax bx c x R
• 0,
0 a
ax bx c x R
B CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
➢ DẠNG TOÁN 1: XÉT DẤU CỦA BIỂU THỨC CHỨA TAM THỨC BẬC HAI 1 Phương pháp giải
Dựa vào định lí dấu tam thức bậc hai để xét dấu biểu thức chứa * Đối với đa thức bậc cao P x( ) ta làm sau
• Phân tích đa thức P x thành tích tam thức bậc hai (hoặc có nhị thức bậc nhất) • Lập bảng xét dấu củaP x Từ suy dấu
* Đối với phân thức ( ) ( ) P x
Q x (trong P x Q x, đa thức) ta làm sau
(2)• Lập bảng xét dấu ( ) ( ) P x
Q x Từ suy dấu
2 Các ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Xét dấu tam thức sau
a) 3x2 2x b) x2 4x c) 4x2 12x
d) 3x2 2x e) 25x2 10x f) 2x2 6x
Lời giải
a) Ta có ' 0,a suy 3x2 2x 0, x
b) Ta có
5 x
x x
x Bảng xét dấu
x
2 4 5
x x + |
Suy x2 4x x 1;5 x2 4x x ; 5;
c) Ta có ' 0,a suy 12 \
2
x x x
d) Ta có
2
3 4
3
x
x x
x Bảng xét dấu
x
3
2
3x 2x + | +
Suy 2 ; 2;
3
x x x 2 4;2
3
x x x
e) Ta có ' 0,a suy 25 10 \
5
x x x
f) Ta có ' 0,a suy 2x2 6x x Nhận xét:
Cho tam thức bậc hai ax2 bx c Xét nghiệm tam thức, nếu:
* Vơ nghiệm tam thức bậc hai f x ax2 bx c
dấu với a với x * Nghiệm kép tam thức bậc hai f x ax2 bx c
dấu với a với
2a b x
* Có hai nghiệm f x dấu với a x ;x1 x2; (ngoài hai nghiệm) f x trái dấu với a x x x1; 2 (trong hai nghiệm)(ta nhớ câu trái ngồi cùng)
Ví dụ 2: Tùy theo giá trị tham số m, xét dấu biểu thức f x( ) x2 2mx 3m 2
(3)Tam thức f x( ) có a ' m2 3m * Nếu m ' f x( ) x R
* Nếu ' ( )
2 m
f x x R
m f x( ) x m
* Nếu ' ( )
1
m
f x
m có hai nghiệm
2
1
x m m m x2 m m2 3m Khi đó:
+) f x( ) x ( ; ) ( ;x1 x2 ) +) f x( ) x ( ; )x x1 2
Ví dụ 3: Xét dấu biểu thức sau
a) x2 x 6x2 5x b)
2
2
x x
x x
c) x3 5x d)
2
6
x x
x
x x
Lời giải
a) Ta có x2 x vơ nghiệm, 1
x x x
3
x
Bảng xét dấu
x
3
3
2 1
x x |
2
6x 5x + | +
2 1 6 5 1
x x x x + Suy x2 x 6x2 5x dương 1;
3
x
2 1 6 5 1
x x x x âm ;1 1;
3
x
b) Ta có 2 1,
2
x x
x x x x
x x
Bảng xét dấu
x
2 2
x x + + | +
2 3 4
x x + | +
2
2
x x
x x || + || Suy
2
2
x x
x x dương x 2;4 ,
2
2
x x
(4); 1;2 4;
x
c) Ta có x3 5x x x2 2x
Ta có x2 2x x
Bảng xét dấu
x 1 2 1 2 2
2
x | +
2 2 1
x x + | + +
3 5 2
x x + +
Suy x3 5x dương x 2; 2; , x3 5x âm
và x ; 2;2
d) Ta có
2
2
2 2
1
6
3 4
x x x
x x x x x
x
x x x x x x
Ta có 2,
3
x x
x x x x
x x
Bảng xét dấu
x
1
x | | + | + | +
2 6
x x + | + | + |
2 3 4
x x | + | + | +
2
6
x x
x
x x
+ || + || + Suy
2
6
x x
x
x x dương x 2; 1;3 4; ,
2
6
x x
x
x x âm x ; 1;1 3;4
3 Bài tập luyện tập
Bài 4.84: Xét dấu tam thức sau
a) f x( ) 2x2 3x b) ( )
g x x x c) h x( ) 2x2 x
Bài 4.85: Xét dấu biểu thức sau
a) f x( ) (x2 5x 4)(2 5x )x2 b) ( ) 2 3x
f x x x
x
Bài 4.86: Xét dấu biểu thức sau
a) 1
9
x x b)
4 4 1
x x
c) 23 x
x x d)
3 3 2
x x
Bài 4.87: Tùy theo giá trị tham số m, xét dấu biểu thức
2
( ) ( 1) 2( 1)
(5)➢ DẠNG TOÁN 2: BÀI TOÁN CHỨA THAM SỐ LIÊN QUAN ĐẾN TAM THỨC BẬC HAI LN MANG MỘT DẤU
1 Các ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Chứng minh với giá trị m a) Phương trình mx2 3m 2 x 1 0
ln có nghiệm b) Phương trình m2 5 x2 3m 2 x 1 0
vô nghiệm Lời giải
a) Với m phương trình trở thành 1
x x suy phương trình có nghiệm Với m 0, ta có 3m 2 4m 9m2 8m
Vì tam thức 9m2 8m 4 có 9 0, ' 20 0
m m
a nên 9m2 8m với m
Do phương trình cho ln có nghiệm với m b) Ta có
2
2
3m m m 3m 16
Vì tam thức m2 4 3m 8 có 1 0, ' 4 0
m m
a nên m2 3m với
mọi m
Do phương trình cho ln vơ nghiệm với m
Ví dụ 2: Tìm giá trị m để biểu thức sau âm
a) f x mx2 x b) g x m x2 2m x m
Lời giải
a) Với m f x x lấy giá trị dương(chẳng hạn f 1) nên m không thỏa mãn u cầu tốn
Với m f x mx2 x tam thức bậc hai dó
0
0 1
0, 1
1 4
4
m
a m
f x x m
m m
Vậy với
4 m biểu thức f x âm
b) Với m g x thỏa mãn yêu cầu tốn
Với m g x m x2 2m x m tam thức bậc hai dó
2
4 0,
' 4
a m
g x x
m m m
4
4
4
m
m m
Vậy với m biểu thức g x ln âm
Ví dụ 3: Tìm giá trị m để biểu thức sau dương a)
2
2
4 1 4
x m x m
h x
x x b)
2 1
k x x x m
(6)a) Tam thức 4x2 5x có a 0, suy 4x2 5x x Do h x dương h x' x2 m x 4m2 âm
2 2
1 5
8
8
' 1
a
m m
m m
Vậy với
8
m biểu thức h x dương
b) Biểu thức k x dương x2 x m 0, x
2 1, 0,
x x m x x x m x
1 1
1 4
a
m
m
Vậy với
m biểu thức k x ln dương
Ví dụ 4: Chứng minh hàm số sau có tập xác định với giá trị m
a) 2 2
2
mx y
m x mx b)
2
2 2
2 1
2
x m x m
y
m x mx m
Lời giải
a) ĐKXĐ: 2m2 1 x2 4mx 2 0
Xét tam thức bậc hai f x 2m2 1 x2 4mx 2
Ta có a 2m2 0, ' 4m2 2m2 Suy với m ta có f x 2m2 x2 4mx x Do với m ta có 2m2 x2 4mx 0, x
Vậy tập xác định hàm số D b) ĐKXĐ:
2
2 2
2 1
0
2
x m x m
m x mx m
2 2 2 0
m x mx m
Xét tam thức bậc hai f x 2x2 2 m 1 x m2 1
Ta có af 0, f ' m 2 m2 m2 2m m Suy với m ta có f x 2x2 m x m2 0, x (1)
Xét tam thức bậc hai g x m x2 2mx m2 2
Với m ta có g x 0, xét với m ta có
2 0, ' 2 2 2 1 0
g g
a m m m m m m
Suy với m ta có g x m x2 2mx m2 0, x (2) Từ (1) (2) suy với m
2
2 2
2 1
0
2
x m x m
m x mx m
2 2 2 0
(7)Vậy tập xác định hàm số D
3 Bài tập luyện tập
Bài 4.88: Chứng minh với giá trị m a) Phương trình x2 2 m 2 x m 3 0
ln có nghiệm b) Phương trình m2 1 x2 3m 2 x 2 0 ln vơ nghiệm
Bài 4.89: Tìm giá trị m để biểu thức sau âm
a) f x x2 2x m b) g x 4mx2 m x m
Bài 4.90: Chứng minh hàm số sau có tập xác định với giá trị m a) y m x2 4mx m2 2m b)
2
2
2
x m
y
x m x m
Bài 4.91: Tìm m để
a) 3x2 2(m 1)x 2m2 3m x R
b) Hàm số y (m 1)x2 2(m 1)x 3m có nghĩa với x c)
2 1
x m
x R
https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/