Tài liệu Chuyên đề dấu của tam thức bậc hai doc

Giải bài kỳ trớc Bài 1. a) Giải phơng trình x 4 =3x 2 +10x+4 b) x 3 =6x 2 +1 Giải a) Viết lại phơng trình đã cho dới dạng: ++=++++ +=+ + ++ 4222 2 22 2 2 231042 ()(32)104 xx xx x xxx 2 Chọn để vế phải là một hằng đẳng thức, tức là = + + = ++= 2 32 '25(32)(4 )0 238130 Thấy =1 thoả mãn ( Chú ý chỉ cần chọn một nghiệm ) Vậy ta có: += + + += + += + += + 22 2 22 2 2 (1)5105 (1)[5(1)] 15(1) 15(1) xxx xx xx xx 2 Đây là hai phơng trình bậc hai , từ đó giải đợc nghiệm ++ = + = 5145 2 5145 2 x x b) x 3 =6x 2 +1 x 3 -6x 2 -1=0 (xem dạng 6- phơng trình bậc 3) Đặt = = =+ 6 2 33 a xy y y Khi đó phơng trình đã cho tơng đơng với phơng trình sau: ++= = = 32 3 3 (2)6(2)1 15 0 15 yy y y 0 Từ đó nghiệm của phơng trình là =+ 3 21x 5 Bài 2. Giải phơng trình a(ax 2 +bx+c) 2 +b(ax 2 +bx+c)+c=x Đặt ++= 2 ax bx c y Ta có hệ phơng trình sau: + += + += 2 2 ax bx c y ay by c x Đây là hệ phơng trình đối xứng loại I đã biết cách giải. Chú ý: Tổng quát hơn khi gặp phơng trình dạng:f(f(x)=x, trong đó f(x) là một hàm số nào đó thì đặt f(x)=y, ta sẽ có hệ đối xứng loại I: = = () () f xy f yx Bài 3. (ĐH Ngoại thơng-2000). Giải phơng trình (x 2 +3x-4) 2 +3(x 2 +3x-4)=x+4 Viết lại phơng trình dới dạng: (x 2 +3x-4) 2 +3(x 2 +3x-4)-4=x Đây là dạng cụ thể của bài 2. Đặt x 2 +3x-4=y, ta có hệ: += += 2 2 34 34 x xy y yx Từ hai phơng trình cho nhau, giải ra ta đợc ===0; 4; 1 5xx x Bài 4.Giải hệ phơng trình a) 3 3 22 22 xy yx = = b) 3 3 33 33 x y yx = = c) 0 3 4 1 8 xyz xy yz zx xyz ++= ++= = Giải a) 3 3 22(1 22(2 xy yx = = ) ) 0 Đây là phơng trình đối xứng loại II. Trừ hai phơng trình cho nhau ta đợc 33 22 2( ) ()( 2) xy yx xyx xyy xy = +++= = Thay x=y vào (1) ta đợc: 33 2( 1) 2 2xx xx == ở đây p=2, q=-2. Đặt 2 2.2 33 p x t==t , khi đó ta đợc phơng trình tơng đơng: 3 3 3 3 22 (2 . ) 2.2 . 2 33 22 2 8. . 4. 2 33 3 22 8. 6 3 33 33 43 22 tt tt tt tt = = = = Đặt 33 1 22 m= >m nên phơng trình có nghiệm duy nhất 33 22 33 22 33 22 33 33 1 (1 1) 2 221 2. 2. . ( 1 1) 332 2 .( 1 1) 3 23327 3327 11 38 8 22 22 23319 3319 3 22 22 tmm mm xt mm mm xmmmm =++ = = + + = + + =++ + =+ Vậy nghiệm của hệ phơng trình đã cho là: 33 33 23319 3319 3 22 22 23319 3319 3 22 22 x y + =+ + =+ b) Giải tơng tự nh a). c) 0 3 4 1 8 xyz xy yz zx xyz ++= ++= = áp dụng công thức Viet cho phơng trình bậc ba, khi đó x,y,z là nghiệm của phơng trình bậc ba sau đây: 3 3 31 0 48 1 43 2 tt tt = = Vì 1 cos 23 = nên nghiệm của phơng trình là (xem phơng pháp giải) 2 3 cos ; cos 93 tt == Tóm lại phơng trình có ba nghiệm là: 12 3 75 cos ; cos ; cos 99 tt t 9 == = Từ đó nghiệm của hệ phơng trình là: 75 (cos ;cos ;cos ) 99 9 cùng các hoán vị của bộ ba số này. Bài 5. Giải các phơng trình a) 3 1 4x -3x= 2 b) 3 1 43 4 xx += c)x 4 =4x+1 Giải a),b) Xem cách giải trong phần phơng trình bậc ba. c)Viết lại phơng trình đã cho dới dạng: 422 2 2241xx xx 2 ++=+++ Chọn để vế phải là hằng đẳng thức tức là : 2 '42(1 )0 = + = Nhận thấy =1 thoả mãn. Viết lại phơng trình dới dạng: 42 2 22 2 2 2 2124 (1)[2(1) 12(1) 12(1) xx xx xx xx xx ++=++ += + += + += + 2 ] Đây là các phơng trình bậc hai nên có thể giải dễ dàng. Bài 7 Dấu của tam thức bậc hai A. Tóm tắt lý thuyết Chú ý ban đầu: Trớc khi xét một tam thức khi hệ số a chứa tham số, cần xét riêng trờng hợp a=0. Chỉ khi a 0 các điều sau đây mới đợc thực hiện. 1.Định lý thuận về dấu của tam thức bậc hai Cho tam thức f(x)=ax 2 +bx+c; trong đó a 0. +) Nếu <0 thì a.f(x)>0 ; x R, tức là f(x) luôn cùng dấu với hệ số a. +)Nếu =0 thì a.f(x) 0 x R, f(x) =0 2 b x a = , tức là f(x) luôn cùng dấu với hệ số a với mọi 2 b x a +) Nếu >0 thì f(x) =0 có hai nghiệm phân biệt x 1 ,x 2 ( giả sử x 1 <x 2 ) và *) af(x)<0 x (x 1 ;x 2 ) *) a.f(x)>0 x (-;x 1 ) (x 2 ;+ ). Tức là trong khoảng hai nghiệm thì f(x) trái dấu với hệ số a, ngoài khoảng hai nghiệm thì f(x) cùng dấu với hệ số a. 2. Định lý đảo về dấu của tam thức bậc hai 2.1 Định lý Cho tam thức bậc hai f(x) =ax 2 +bx+c. Nếu có một số sao cho a.f( ) <0 thì f(x) có hai nghiệm x 1 ,x 2 và x 1 < <x 2 , tức là nằm giữa hai nghiệm của f(x). 2.2. So sánh nghiệm của phơng trình bậc hai với một số cho trớc. Cho phơng trình bậc hai f(x) =ax 2 +bx+c=0 ( a 0) có hai nghiệm x 1 ,x 2 và một số . Khi đó +) 12 .() 0xxaf << < +) > > << > 12 12 0 phơng trình có hai nghiệm x , .() 0 0 2 x af và x x S +) > > << < 12 12 0 phơng trình có hai nghiệm x , .() 0 0 2 x af và x x S +) > + > 12 12 0 (;)(;) [;] .() 0 xx xx af 2.3 So sánh nghiệm của phơng trình bậc hai với hai số cho trớc. Cho phơng trình f(x) =ax 2 +bx+c=0 ( a 0) có hai nghiệm x 1 ,x 2 và hai số , (giả sử < ). Khi đó +) <<< < 12 a.f( )<0 ( tức là cả hai số đều nằm trong khoảng hai nghiệm) .( ) 0 xx af (Chú ý rằng khi đó phơng trình luôn có hai nghiệm, không cần điều kiện 0) +) <Phơng trình có hai nghiệm phân biệt và chỉ có một nghiệm thuộc ( ; ) ( ). ( ) 0ff +) << > > < 12 0 a.f( )>0 (tức là cả hai nghiệm đều nằm trong khoản g hai số) a.f( ) 0 0 2 0 2 xx S S B. Phơng pháp giải và ví dụ minh hoạ Dạng 1: Xét dấu một biểu thức và áp dụng để giải bất phơng trình hữu tỉ. a) Xét dấu một biểu thức E. +) Viết E dới dạng tích của các nhân tử là tam thức bậc hai và nhị thức bậc nhất. +)Lập bảng xét dấu. b)Giải bất phơng trình hữu tỉ. +) Chuyển tất cả các hạng tử sang một vế +)Rút gọn biểu thức có đợc +) Xét dấu biểu thức đó +)Dựa vào bảng xét dấu để chọn miền nghiệm Ví dụ 1. Xét dấu biểu thức sau: 22 17 (2 )(2 22 Ex x x = 2 ) Giải áp dụng hằng đẳng thức, viết lại E dới dạng: 22 22 17 1 [ 2 (2 )].[ 2 (2 )] 22 2 (4)(43) Ex x x x x x xxx = + = + 7 2 +) x 2 -4=0 có hai nghiệm là -2,+2. +)x 2 -4x+3=0 có hai nghiệm là: 1;3 áp dụng quy tắc xét dấu đối với tam thức bậc hai ta có bảng sau: Ví dụ 2. Giải bất phơng trình: x - -2 1 2 3 + x 2 - 4 + 0 - - 0 + + x 2 4x +3 + + 0 - - 0 + E + 0 - 0 + 0 - 0 + 52 1 2 21 5 xx xx + +> + Giải 2 52 1 2 21 5 52 1 20 21 5 12 36 0 (2 1)( 5) xx xx xx xx xx xx + +> + + + + + > + > Từ đó ta có bảng xét dấu sau: x - -5 1/2 6 + x 2 12x + 36 + + + 0 + (2x-1)(x+5) + 0 - 0 + + f(x) + - + 0 + Dựa vào bảng xét dấu ta có nghiệm của bất phơng trình là: x<-5 1 6 2 x << x>6 Chú ý: Nếu đề toán là: 52 1 2 21 5 xx xx + + + thì nghiệm của bài toán là: x<-5 1 2 x > Dạng 2. Giải và biện luận bất phơng trình bậc hai. f(x)=ax 2 +bx+c>0 ( hay <; ; ) *) Xét riêng trờng hợp hệ số a=0. *) Khi a 0 +) Lập bảng xét dấu của a và biệt thức trên cùng một bảng +)áp dụng đính lý về dấu của tam thức bậc hai để xác định nghiệm của bất phơng trình Ví dụ 3. Giải và biện luận bất phơng trình 2 (1) 4(1) 10(1mx mxm +++ ) Giải Ta xét các trờng hợp: a) a=m-1=0 m=1: Ta có: (1) -8x+2 0 1 4 x b) m 1; Khi đó (1) là một bất phơng trình bậc hai: +) a=m-1=0 m=1 +) '=(3m+5)(m+1)=0 5 3 m = m=-1 Ta có bảng xét dấu sau: m - -5/3 -1 1 + a - - - 0 + + 0 - 0 + + Từ bảng xét dấu ta có: +) < 5 hoặc -1<m<1: 3 m Khi đó ta có a<0 và '>0, phơng trình tơng ứng có hai nghiệm là: + = + + = 1 2 2( 1) ' 1 2( 1) ' 1 m x m m x m Trong trờng hợp này x 1 >x 2 , từ đó áp dụng quy tắc xét dấu (1) x x 2 hoặc x x 1 +) 5 1 3 m . Trong trờng hợp này a<0 và ' 0, tam thức mang dấu của hệ số a nên (1) x R +) m>1: Trong trờng hợp này a>0, '> và x 1 <x 2 Khi đó (1) x 1 x x 2 Tóm lại: +)m=1: 1 4 x +) < 21 5 hoặc -1<m<1: x x ; 3 mx x +) 5 1: 3 mxR x +) > 12 1:mxx Trong đó : + + + = ++ + + = 1 2 2( 1) (3 5)( 1) 1 2( 1) (3 5)( 1) 1 mmm x m mmm x m Dạng 3. Tìm điều kiện để tam thức không đổi dấu trên R. Cho tam thức bậc hai f(x)=ax 2 +bx+c; a 0. Ta có: > > < > < < < < 0 *) ( ) 0 0 0 *) ( ) 0 0 0 *) ( ) 0 0 0 *) ( ) 0 0 a fx x R a fx x R a fx x R a fx x R *)Chú ý: Nếu hệ số a có chứa tham số thì phải xét riêng trờng hợp a=0. Ví dụ 4. Tìm m sao cho: a) =+++> 2 () 2 2( 1) 2 1 0f xx mxm R b) = + 2 () ( 1) ( 1) 1 2 0f xmxmx m xR Giải a) Ta có: => >= < < <= 2 20 ()0 ' 2 10 12 12 afxxRmm m b)*) m=1: khi đó f(x) có dạng f(x)=-1 <0 x R. Do đó m=1 thoả mãn *) m 1: ta có: =< = < < 10 () 0 ( 1)(9 5) 0 1 5 1 5 9 9 am fx x R mm m m m Kết luận 5 1 9 m Ví dụ 5. Tìm m để bất phơng trình sau vô nghiệm =++< 2 () (2 1) 1 0(1)fx mx m x m Giải *) Nếu a=m=0, khi đó (1) x+1<0: có nghiệm m=0 loại. *) Nếu m 0 (1) vô n ghiệm f(x) 0 x R a=m>0 1 8 =1-8m 0 m Ví dụ 6. Tìm m để: 2 2 4 2 4 xx x R xmx ++ + Giải Vì tam thức x 2 +x+4 có =-15<0 nên x 2 +4x+4>0 x R để 2 2 4 2 4 xx x R xmx ++ + thoả mãn cho mọi x R trớc hết hàm phải xác định tại mọi x R, suy ra x 2 -mx+4=0 phải vô nghiệm, tức là =m 2 -16<0. Với =m 2 -16< 0 thì tam thức x 2 -mx+4>0 x R Do đó 22 22 22 2 2 44 22 44 42( 4); (2 1) 4 0; (2 1) 16 0 xx xx x Rx xmx xmx xx xmx xR xmx xR m ++ ++ + + ++ + + + = + R Vậy điều kiện của bài toán là: 2 2 16 0 53 22 (2 1) 16 0 m m m < + Dạng 4.So sánh một số với các nghiệm của một tam thức bậc hai Cho tam thức bậc hai f(x)=ax 2 +bx+c và một số . cần so sánh với các nghiệm x 1 ; x 2 của nó. áp dụng định lý đảo về dấu của tam thức bậc hai, ta thức hiện các bớc sau: *)Xét riêng trờng hợp a=0 *)Khi a 0:Tính a.f( ) +)Nếu a.f( )<0 thì phơng trình f(x) =0 luôn có hai nghiệm x 1 ;x 2 ( luôn có >0), khi đó nằm giữa hai nghiệm: x 1 < <x 2. +)Nếu a.f( )=0 thì là một nghiệm của f(x). +)Nếu a.f( )>0, ta tính -Nếu <0 thì phơng trình f(x)=0 vô nghiệm, việc so sánh nghiệm với là vô nghĩa. -Nếu =0 thì phơng trình f(x)=0 có nghiệm kép 12 2 b xx a == , khi đó ta so sánh trực tiếp nghiệm này với . -Nếu >0 thì phơng trình f(x)=0 có hai nghiệm x 1 ,x 2 và nằm ngoài đoạn [x 1 ;x 2 ]. Để biết rõ nằm về bên nào của nghiệm đó ta so sánh với nửa tổng của hai nghiệm tức là so sánh với 22 Sb a = Nếu 12 0: 2 S x x > < Nếu 12 0: 2 S xx < < *Cụ thể hơn xem phần A, mục 2.2 Ví dụ 7. Tìm m để các phơng trình sau đây có hai nghiệm x 1 ;x 2 thoả mãn điều kiện đợc nêu: a)mx 2 +(m-1)x+3-4m=0 với x 1 <2<x 2 b)(m+1)x 2 -(m-3)x+m+1=0 với -1<x 1 x 2 Giải a)Đặt f(x)= mx 2 +(m-1)x+3-4m Trờng hợp 1: a=m=0: Loại vì khi đó f(x) là nhị thức bậc nhất nên không thể có hai nghiệm Trờng hợp 2: m 0, f(x) là tam thức bậc hai =<< +<<< 12 () 0 có hai n <ghiệm :x 2 . (2) 0 1 (2 1) 0 0 2 fx x af mm m b) Đặt =+ ++ 2 () ( 1) ( 3) 1fx m x m x m Trờng hợp 1: a=m+1=0 m=-1 loại. Trờng hợp 2: m -1 = + =+ > > + + > > + <>< < > 12 2 2 ( )=0 có hai nghiệm thoả mãn:-1<x 31450 .(1) ( 1)(3 1) 0 1 2 31450 (1)(31)0 31 0 2( 1) 1 5 3 1 1; 5 1 3 1 1; 3 f xx mm af m m S mm mm m m m mm m mm Ví dụ 8. Biện luận theo m vị trí của số 1 đối với các nghiệm của phơng trình: =+ += 2 () ( 1) 4 0(1)fx m x mx m Giải [...]... sau: (Hình 4) Dạng 5 So sánh các nghiệm của phơng trình bậc hai với hai số cho trớc Cách giải: Xem phần A, mục 2.3 Ví dụ 9 Tìm m để các phơng trình sau thoả mãn các điều kiện đợc nêu: a) f(x)=(m+1)x2+mx+3=0 với x1 . các phơng trình bậc hai nên có thể giải dễ dàng. Bài 7 Dấu của tam thức bậc hai A. Tóm tắt lý thuyết Chú ý ban đầu: Trớc khi xét một tam thức khi hệ số. khoảng hai nghiệm thì f(x) trái dấu với hệ số a, ngoài khoảng hai nghiệm thì f(x) cùng dấu với hệ số a. 2. Định lý đảo về dấu của tam thức bậc hai 2.1