Tài liệu gồm hai phần chính:1. Xét dấu tam thức bậc hai.2. Một số dạng toán ứng dụng: Giải phương trình tích, giải phương trình chứa ẩn ở mẫu, tìm tập xác định của hàm số, tìm điều kiện của tham số để phương trình, bất phương trình bậc hai thỏa mãn điều kiện cho trước, ...
DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI VÀ ỨNG DỤNG 1: Xét dấu tam thức bậc hai f ( x) = ax + bx + c ( a ≠ ) Phương pháp: Tính : ∆ = b2 − 4ac Nếu ∆ < f ( x) ln dấu với a, nghĩa af ( x) > 0, ∀x ∈ ¡ Nếu ∆ = f ( x) dấu với a, với x ≠ −b −b , nghĩa af ( x) > 0, ∀x ≠ 2a 2a Nếu ∆ > f ( x) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 giả sử x1 < x2, ta có bảng xét dấu -∞ X ax2 +bx + c x1 Cùng dấu với a +∞ x2 Trái dấu với a Cùng dấu với a Bài tập 1: Xét dấu tam thức sau: a) x + 3x + , b) −4 x + 12 x − , c) 3x + x − 10 , d) − x + x Giải a) Tam thức bậc hai f ( x) = x + 3x + , có a = > 0, ∆ = −39 < Do x + x + > 0, ∀x ∈ ¡ b) Tam thức bậc hai f ( x) = −4 x + 12 x − , có a = -4 < 0, ∆ ' = Do −4 x + 12 x − < 0, ∀x ≠ c) Tam thức bậc hai f ( x) = 3x + x − 10 , có hai nghiệm x = 1, x = − 10 nên ta có bảng xét dấu sau X x + x − 10 -∞ − + 10 f ( x) > ⇔ x ∈ −∞; − ÷∪ ( 1; +∞ ) 3 ; 10 +∞ − + 10 x=− 10 f ( x ) < ⇔ x ∈ − ;1÷; f ( x ) = ⇔ x = d) Tam thức bậc hai − x + x , có hai nghiệm x = 0, x = -∞ X − -x + 3x f ( x) < ⇔ x ∈ ( −∞; ) ∪ ( : +∞ ) + − f ( x) > ⇔ x ∈ ( 0;3) ; ; +∞ f ( x) = ⇔ x = ∨ x = Bài tập 2: Xét dấu biểu thức sau: a) f ( x ) = − x + 2mx − m − , b) f ( x) = x − 3x + , c) f ( x ) = x − x + , d) f ( x) = x4 − x2 − − x3 + x + x − Giải a) Xét f ( x) = − x + 2mx − m − có a = -1 > 0, ∆ ' = −2 < Như f ( x) < 0, ∀x ∈ ¡ b) Ta có f ( x ) = x3 − 3x + = ( x − 1)( x − x − 2) Và x − = ⇔ x = ; x − x − = ⇔ x = + ∨ x = − Ta có bảng xét dấu -∞ X 1− x −1 - x2 − 2x − + - f ( x) - + ) ( ) ( - f ( x ) < ⇔ x ∈ −∞;1 − ∪ 1;1 + c) Xét f ( x ) = x − x + = ( x − 1)( x − 4) Ta có: Bảng xét dấu + + 0 - ( + ) ( + ) , f ( x ) > ⇔ x ∈ − 3;1 ∪ + 3; +∞ , f ( x) = ⇔ x = − x = x = + x = x2 −1 = ⇔ x = −1 ; +∞ 1+ x = x2 − = ⇔ x = −2 -∞ X −2 x2-1 −1 x2 − + f ( x) + − + + − − + + + − − +∞ − 0 + + f ( x) < ⇔ x ∈ ( −2; −1) ∪ ( 1; ) , f ( x) > ⇔ x ∈ ( −∞; −2 ) ∪ ( −1;1) ∪ ( 2; +∞ ) , f ( x) = ⇔ x = −2 x = −1 x = x = d) Ta xét dấu tử mẫu phân thức x4 − x2 − ( x + 1)( x − 2) f ( x) = = suy − x + x + x − ( x − 1)(− x + x + 2) dấu f ( x) Ta có x − x − = ( x + 1)( x + 2) − x + x + x − = ( x − 1)(− x + x + 2) x = 2 Ta có x + > 0, ∀x ∈ ¡ ; x − = ⇔ x = − ; x = −1 x −1 = ⇔ x = ; − x + x + = ⇔ x = Bảng xét dấu - −∞ X (x + 1)(x – 2) + −1 _ _ x–1 _ _ -x2 + x + - - f(x) + ( ) f ( x) > ⇔ x ∈ −∞; − ∪ ( −1;1) ∪ _ ( 2; ) , + + + P - _ + P + + + + + - ( +∞ 2 + - P ) ( _ ) f ( x) < ⇔ x ∈ − 2; −1 ∪ 1; ∪ ( 2; +∞ ) f ( x) = ⇔ x = − x = , f ( x) không xác định x = −1 , x = , x = 2 Một số dạng tốn ứng dụng: Giải phương trình tích, giải phương trình chứa ẩn mẫu, tìm tập xác định hàm số, tìm điều kiện tham số để phương trình, bất phương trình bậc hai thỏa mãn điều kiện cho trước, Ta xét tập minh họa Bài tập Chứng minh rằng: a) Phương trình − x + 2mx + m + = ln ln có nghiệm với m ∈ ¡ b) Phương trình x − mx + m2 + m + = vô nghiệm với m ∈ ¡ Giải 4 a) Phương trình − x + 2mx + m + = có ∆ ' = m + m + 19 3 Vì m + m + tam thức bậc hai (theo m) có ∆ m = ÷ − 4.2 = − < nên 16 4 ∆ ' > 0, ∀m ∈ ¡ , suy phương trình cho ln có nghiệm với m b) Phương trình x − mx + m2 + m + = có ∆ = m − 4(m + m + 3) = −3m2 − 4m − 12 Vì tam thức bậc hai có −3m − 4m − 12 ∆ 'm = − 36 = −32 < ∆ = −3m − 4m − 12 < 0, ∀m ∈ ¡ Vậy phương trình cho ln vơ nghiệm với ∀m ∈ ¡ Tìm m để tam thức bậc hai khơng đổi dấu ¡ Phương pháp: Cho tam thức bậc hai f ( x) = ax + bx + c ( a ≠ ) Khi a > ; ∆ < (2) f ( x ) < 0, ∀x ∈ ¡ ⇔ a > ; ∆ ≤ (4) f ( x ) ≤ 0, ∀x ∈ ¡ ⇔ a < ; (1) f ( x) > 0, ∀x ∈ ¡ ⇔ (3) f ( x) ≥ 0, ∀x ∈ ¡ ⇔ a < ; ∆ < ∆ ≤ (5) f ( x) không đổi dấu ⇔ ∆ ≤ Bài tập Tìm m để f ( x) = x + (2m − 1) x + m nhận giá trị dương Giải Yêu cầu toán f ( x) > 0, ∀x ∈ ¡ tức nên a = > ⇔ 4m − m + − m < ⇔ m > 2 ∆ = (2m − 1) − 4m < Bài tập Tìm m để f ( x) = ( m − 1) x + x + nhận giá trị âm Giải Vì m = f ( x) = x + có lấy giá trị dương nên m = không thỏa yêu cầu a = m − < ∆ ' = − (m − 1) < Với m ≠ , yêu cầu toán m < ⇔ ⇔ m∈∅ m > Vậy giá trị m thỏa mãn yêu cầu đề Bài tập Tìm m để f ( x) = (m − 1) x + (2m + 1) x + m + không dương với x thuộc ¡ Giải Yêu cầu toán f ( x) ≤ 0, ∀x ∈ ¡ Với m = f ( x) = x + lấy giá trị dương Vậy m = khơng thỏa mãn u cầu tốn Với m ≠ Yêu cầu toán a = m − < m < ⇔ ⇔ 2 ∆ ' = (2m + 1) − 4(m − 1)( m + 1) ≤ 4m + 4m + − 4( m − 1) ≤ Vậy với m ≤ − m < ⇔ m≤− m ≤ − f ( x) khơng ln ln dương Tìm tập xác định hàm số Bài tập Cho f ( x ) = (m + 4) x − (m − 4) x − 2m + Tìm tất giá trị m để hàm số có tập xác định ¡ Giải Hàm số có tập xác định ¡ g ( x) = (m + 4) x − ( m − 4) x − 2m + ≥ 0, ∀x ∈ ¡ (*) Khi m + = ⇔ m = −4 g ( x) = x + , lúc g ( x) nhận giá trị âm Vậy m = −4 không thỏa mãn yêu cầu toán Khi m ≠ −4 Điều kiện để (*) ∆ = (m − 4) − 4( m + 4)(1 − 2m) ≤ ∆ = m − 8m + 16 − 4(−2m − 7m + 4) ≤ ⇔ m + > m > −4 20 20 − ≤ m ≤ ⇔ ⇔ − ≤m≤0 m > −4 Vậy m thỏa mãn yêu cầu toán − 20 ≤m≤0 Bài tập Có giá trị nguyên tham số m để hàm số y = x − 2mx − 2m + có tập xác định ¡ Giải Hàm số y = x − 2mx − 2m + có tập xác định ¡ x − 2mx − 2m + ≥ với x∈¡ m + 2m − ≤ ∆′ ≤ ⇔ ⇔ ⇔ −3 ≤ m ≤ Do m ∈ ¢ ⇒ m ∈ { −3; −2; −1;0;1} a > 1 > Vậy có giá trị nguyên m thỏa yêu cầu toán Bài tập Tìm tất giá trị m cho với x ∈ ¡ , ta ln có (m + 2) x − 2(m − 1) x + 4m + >1 2x2 + (1) Giải Do x + > 0, ∀x ∈ ¡ nên (1) ⇔ (m + 2) x − 2(m − 1) x + 4m + > x + ⇔ f ( x) = mx − 2(m − 1) x + 4m > (2) Khi m = : f ( x) = x nhận giá trị âm nên m = không thỏa mãn yêu cầu toán Khi m ≠ Điều kiện để f ( x) > 0, ∀x ∈ ¡ m > a = m > m > 1 ⇔ ⇔ 1 ⇔ m ∈ ; +∞ ÷ 2 3 ∆ ' = (m − 1) − 4m < −3m − 2m + < m ∈ (−∞; −1) ∪ ; +∞ ÷ Vậy giá trị cần tìm m m > Bài tập 10 Tìm giá trị m cho bất phương trình sau vơ nghiệm (m − 3) x − 2( m − 1) x + 4m − ≤ −1 3x + (1) Giải Vì x + > 0, ∀x ∈ ¡ nên (1) ⇔ (m − 3) x − 2(m − 1) x + 4m − ≤ −3 x − ⇔ mx − 2(m − 1) x + 4m ≤ (2) Bất phương trình (2) vơ nghiệm f ( x ) = mx − 2( m − 1) x + 4m > 0, ∀x ∈ ¡ Khi m = : f ( x) = x nhận giá trị âm nên m = không thỏa mãn yêu cầu toán Khi m ≠ : Điều kiện để f ( x) > 0, ∀x ∈ ¡ m > a = m > m > 1 ⇔ ⇔ ⇔ m ∈ 0; ÷ 2 3 ∆ ' = (m − 1) − 4m < −3m − 2m + < m ∈ −1; ÷ Vậy giá trị cần tìm m < m < Bài tập 11 Chứng minh phương trình sau ln có nghiệm với m a) (3 − 2m) x + (3m − 2) x + m − = b) (3m − 1) x + 3(m + 1) x + = (1) (2) Giải a) Khi − 2m = ⇔ m = Phương trình (1) trở thành 1 x + = ⇔ x = −1 ⇔ x = − Phương trình (1) có nghiệm 2 Khi m ≠ ta có ∆ = (3m − 2) + 4(2m − 3)(m − 1) = 17m − 32m + 16 Tam thức f (m) = 17 m − 32m + 16 > 0, ∀m ∈ ¡ nên (1) có nghiệm Tóm lại pt (1) ln có nghiệm với m b) Cách giải tương tự câu a Bài tập 12 Xác định giá trị tham số m để bất phương trình sau nghiệm với giá trị x a) x + mx − < (1) ; 2x2 − 2x + b) − x + x − 20 >0 mx + 2( m + 1) x + 9m + (2) Giải a) Vì x − x + > 0, ∀x ∈ ¡ nên (1) ⇔ x + mx − < x − x + ⇔ x − (m + 2) x + > (*) (*) Nghiệm với x ∈ ¡ khi: ∆ = (m + 2) − 16 < ⇔ m + 4m − 12 < ⇔ −6 < m < b) Do − x + x − 20 < 0, ∀x ∈ ¡ nên yêu cầu toán f ( x) = mx + 2( m + 1) x + 9m + < 0, ∀x ∈ ¡ (**) • Khi m = : f ( x) = x + có nhận giá trị dương nên m = không thỏa mãn m ⇔ x ∈ ( 0;3) ; ; +∞ f ( x) = ⇔ x = ∨ x = Bài tập 2: Xét dấu biểu thức sau: