Các định nghĩa - Chuyên đề Hình học 10 - Tài liệu học tập - Hoc360.net

Vectơ là đoạn thẳng có hướng, nghĩa là trong hai điểm mút của đoạn thẳng đã chỉ rõ điểm nào là điểm đầu, điểm nào là điểm cuối. Vectơ – không là vectơ có điểm đầu trùng điểm cuối. Hai[r]

(1)

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/

CHƯƠNG I: VECTƠ §1 CÁC ĐỊNH NGHĨA A TĨM TẮT LÝ THUYẾT

1 Định nghĩa vectơ:

Vectơ đoạn thẳng có hướng, nghĩa hai điểm mút đoạn thẳng rõ điểm điểm đầu, điểm điểm cuối

Vectơ có điểm đầu A, điểm cuối B ta kí hiệu : AB

Vectơ cịn kí hiệu là: a b x y, , , ,

Vectơ – khơng vectơ có điểm đầu trùng điểm cuối Kí hiệu

2 Hai vectơ phương, hướng

- Đường thẳng qua điểm đầu điểm cuối vectơ gọi giá vectơ - Hai vectơ có giá song song trùng gọi hai vectơ phương - Hai vectơ phương hướng ngược hướng

Ví dụ: Ở hình vẽ trên (hình 2) hai vectơ AB CD hướng cịn EF HG ngược hướng

Đặc biệt: vectơ – không hướng với véc tơ 3 Hai vectơ

- Độ dài đoạn thẳng AB gọi độ dài véc tơ AB, kí hiệu AB

Vậy AB AB

- Hai vectơ chúng hướng độ dài Ví dụ: (hình 1.3) Cho hình bình hành ABCD AB CD B CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.

 DẠNG 1: Xác định vectơ; phương, hướng vectơ; độ dài của vectơ

1 Phương pháp giải

H G

E F

C D

A B

Hình 1.2

C D

A B

Hình 1.3

A

B

a x

(2)

• Xác định vectơ xác định phương, hướng hai vectơ theo định nghĩa

• Dựa vào tình chất hình học hình cho biết để tính độ dài vectơ

2 Các ví dụ

Ví dụ 1: Cho tứ giác ABCDE Có vectơ khác vectơ-khơng có điểm đầu điểm cuối đỉnh ngũ giác

Lời giải

Hai điểm phân biệt, chẳng hạn A B, ta xác định hai vectơ khác vectơ-không AB BA, Mà từ bốn đỉnh A B C D, , , ngũ giác ta có cặp điểm phân biệt có 12 vectơ thỏa mãn u cầu tốn

Ví dụ 2: Chứng minh ba điểm A B C, , phân biệt thẳng hàng AB AC, phương

Lời giải

Nếu A B C, , thẳng hàng suy giá AB AC, đường thẳng qua ba điểm A B C, , nên AB AC, phương

Ngược lại AB AC, phương đường thẳng AB AC song song trùng Nhưng hai đường thẳng qua điểm A nên hai đường thẳng AB AC trùng hay ba điểm A B C, , thẳng hàng

Ví dụ 3: Cho tam giác ABC Gọi M N P, , trung điểm

, ,

BC CA AB

a) Xác định vectơ khác vectơ - khơng phương với MN có điểm đầu điểm cuối lấy điểm cho

b) Xác định vectơ khác vectơ - không hướng với AB có điểm đầu điểm cuối lấy điểm cho

c) Vẽ vectơ vectơ NP mà có điểm đầu A B, Lời giải (Hình 1.4)

a) Các vectơ khác vectơ không phương với MN

, , , , , ,

(3)

b) Các vectơ khác vectơ - không hướng với AB AP PB NM, , c) Trên tia CB lấy điểm B' cho

'

BB NP

Khi ta có BB' vectơ có điểm đầu B vectơ NP

Qua A dựng đường thẳng song song với đường thẳng NP Trên đường thẳng lấy điểm A' cho AA' hướng với NP AA' NP Khi ta có AA' vectơ có điểm đầu A vectơ NP

Ví dụ 4: Cho hình vng ABCD tâm O cạnh a Gọi M trung điểm AB, N điểm đối xứng với C qua D Hãy tính độ dài vectơ sau MD, MN

Lời giải (hình 1.5)

Áp dụng định lý Pitago tam giác vng MAD ta có

2 2

2

a a

DM AM AD a

2

a DM

Suy

2 a

MD MD

Qua N kẻ đường thẳng song song với AD cắt AB P

N

M P

A

B C

A'

B'

Hình 1.4

O

M D

A

C

B N

P

(4)

Khi tứ giác ADNP hình vng

2

a a

PM PA AM a

Áp dụng định lý Pitago tam giác vng NPM ta có

2 2

2 2 13

2

a a

MN NP PM a 13

2

a DM

Suy 13

2

a

MN MN

3 Bài tập luyện tập

Bài 1.1: Cho ngũ giác ABCDE Có vectơ khác vectơ-khơng có điểm đầu điểm cuối đỉnh ngũ giác

Bài 1.2: Cho hình bình hành ABCD có tâm O Tìm vectơ từ điểm A, B, C, D, O

a) Bằng vectơ AB ; OB b) Có độ dài OB

Bài 1.3: Cho ba điểm A, B, C phân biệt thẳng hàng a) Khi hai vectơ AB AC hướng ? b) Khi hai vectơ AB AC ngược hướng ? Bài 1.4: Cho bốn điểm A, B, C, D phân biệt

a) Nếu AB BC có nhận xét ba điểm A, B, C b) Nếu AB DC có nhận xét bốn điểm A, B, C, D

Bài 1.5: Cho hình thoi ABCD có tâm O Hãy cho biết khẳng định sau ?

a) AB BC b) AB DC c) OA OC d) OB OA e) AB BC f) 2OA BD

Bài 1.6: Cho lục giác ABCDEF tâm O Hãy tìm vectơ khác vectơ-khơng có điểm đầu, điểm cuối đỉnh lục giác tâm O cho

a) Bằng với AB b) Ngược hướng với OC

Bài 1.7: Cho hình vng ABCD cạnh a , tâm O M trung điểm AB Tính độ dài vectơ AB AC OA OM OA, , , , OB

(5)

Tính độ dài vectơ AB AG BI, ,

Bài 1.9: Cho trước hai điểm A B, phân biệt Tìm tập hợp điểm M thoả mãn MA MB

 DẠNG 2: Chứng minh hai vectơ 1. Phương pháp giải

• Để chứng minh hai vectơ ta chứng minh chúng có độ dài hướng dựa vào nhận xét tứ giác ABCD hình bình hành AB DC AD BC

2 Các ví dụ

Ví dụ 1: Cho tứ giác ABCD Gọi M, N, P, Q trung điểm AB, BC, CD, DA Chứng minh MN QP

Do M, N trung điểm AB BC nên MN đường trung bình tam giác ABC suy MN / /AC

1

MN AC (1)

Tương tự QP đường trung bình tam giác ADC suy QP / /AC

1

QP AC (2)

Từ (1) (2) suy MN / /QP

MN QP tứ giác MNPQ hình bình hành

Vậy ta có MN QP

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có trọng tâm G Gọi I trung điểm BC Dựng điểm B' cho B B' AG

a) Chứng minh BI IC

b) Gọi J trung điểm BB' Chứng minh BJ IG N M

Q

P A

B C

D

(6)

a) Vì I trung điểm BC nên BI CI BI hướng với IC hai vectơ BI, IC hay BI IC

b) Ta có B B' AG suy B B' AG '/ /

BB AG

Do BJ IG, hướng (1) Vì G trọng tâm tam giác ABC nên

1

IG AG, J trung điểm BB' suy '

BJ BB

Vì BJ IG (2)

Từ (1) (2) ta có BJ IG

Ví dụ 3: Cho hình bình hành ABCD Trên đoạn thẳngDC AB, theo thứ tự lấy điểm M N, cho DM BN Gọi P giao điểm

,

AM DB Q giao điểm CN DB, Chứng minh AM NC DB QB

Lời giải (hình 1.8)

Ta có DM BN AN MC, mặt khác AN song song với MC tứ giác ANCM hình bình hành

Suy AM NC

Xét tam giác DMP BNQ ta có DM NB (giả thiết), PDM QBN (so le trong)

Mặt khác DMP APB (đối đỉnh) APQ NQB (hai góc đồng vị) suy DMP BNQ

Do DMP BNQ (c.g.c) suy DB QB Dễ thấy DB QB, hướng DB QB 3 Bài tập luyện tập

J

I A

B C

B'

G

Hình 1.7

Q P

A

D C

B

M

N

(7)

Bài 1.10: Cho tứ giác ABCD Gọi M, N, P, Q trung điểm AB, BC, CD, DA Chứng minh MQ NP

Bài 1.11: Cho hình bình hành ABCD Gọi M N, trung điểm DC AB, ; P giao điểm AM DB, Q giao điểm

,

CN DB Chứng minh DM NB DP PQ QB

Bài 1.12: Cho hình thang ABCD có hai đáy AB CD với AB=2CD Từ C vẽ CI DA Chứng minh

a) AD=IC DI CB b) AI IB DC