Đang tải... (xem toàn văn)
- Nó đi qua một điể m và m ột đườ ng th ẳng không đi qua điểm đó... LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC DẠNG BÀI TẬP.[r]
(1)ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐƯỜNG
THẲNG
VÀ MẶT PHẲNG
A CHUẨN KIẾN THỨC A.TÓM TẮT GIÁO KHOA
1 Các tính chất thừa nhận
• Có đường thẳng qua hai điểm phân biệt
• Có mặt phẳng qua ba điểm khơng thẳng hàng
• Nếu đường thẳng có hai điểm phân biệt thuộc mặt phẳng điểm đường thẳng thuộc mặt phẳng
• Có bốn điểm khơng thuộc mặt phẳng
• Nếu hai mặt phẳng phân biệt có điểm chung chúng cịn có
điểm chung khác
Vậy thì: Nếu hai mặt phẳng phân biệt có điểm chung chúng có
đường thẳng chung qua điểm chung Đường thẳng gọi giao tuyến hai mặt phẳng
• Trên mặt phẳng các, kết quảđã biết hình học phẳng
2 Cách xác định mặt phẳng
Một mặt phẳng hoàn toàn xác định biết: - Nó qua ba điểm khơng thẳng hàng
- Nó qua điểm đường thẳng khơng qua điểm - Nó chứa hai đường thẳng cắt
(2)- (ABC kí hi) ệu mặt phẳng qua ba điểm không thẳng hàng A,B,C ( h1)
- (M,d) kí hiệu mặt phẳng qua d điểm M d (h2)
- (d ,d kí hi1 2) ệu mặt phẳng xác định hai đường thẳng cắt d ,d 1 2 (h3)
3 Hình chóp hình tứ diện 3.1 Hình chóp
Trong mặt phẳng ( )α cho đa giác lồi A A A L1 2 n điểm S nằm ( )α Lần lượt nối S với đỉnh A ,A , ,A n ta n tam giác
1 2 n
SA A ,SA A , ,SA A Hình gồm đa giác A A A 1 2 n n tam giác
1 2 n
SA A ,SA A , ,SA A gọi hình chóp , kí hiệu S.A A A 1 2 n Ta gọi S đỉnh, đa giác A A A 1 2 n đáy , đoạn SA ,SA , ,SA 1 2 n cạnh bên, A A ,A A , ,A A c1 2 2 3 n 1 ạnh đáy, tam giác
1 2 n
SA A ,SA A , ,SA A mặt bên…
3.2 Hình Tứ diện
d1 d2
(h3)
α
(h1) α
A
B C
d
(h2)
α
(3)Cho bốn điểm A,B,C,D khơng đồng phẳng Hình gồm bốn tam giác ABC,ABD,
ACD (BCD ) gọi tứ diện ABCD
B LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC DẠNG BÀI TẬP Bài toán 01: XÁC ĐỊNH GIAO TUYẾN CỦA HAI MẶT PHẲNG
Phương pháp:
Đểxác định giao tuyến hai mặt phẳng, ta tìm hai điểm chung chúng
Đường thẳng qua hai điểm chung giao tuyến
Lưu ý:Điểm chung hai mặt phẳng ( )α ( )β thường
được tìm sau :
Tìm hai đường thẳng a,b thuộc ( )α ( )β , đồng thời chúng nằm mặt phẳng ( )γ đó; giao điểm M a= b điểm chung ( )α ( )β
Các ví dụ
Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD tứ giác có cặp cạnh đối
khơng song song, điểm M thuộc cạnh SA Tìm giao tuyến cặp mặt phẳng :
a) (SAC ) (SBD b) ) (SAC ) (MBD ) c) (MBC ) (SAD d) ) (SAB ) (SCD)
Lời giải
a b
γ β
(4)a) Gọi O AC= BD
( ) ( ) ( ) ( )
O AC SAC O BD SBD
O SAC SBD
Lại
có S(SAC) ( SBD)
( ) ( )
SO SAC SBD
=
b) O AC= BD
( ) ( )
O AC SAC
O BD MBD
( ) ( )
O SAC MBD
Và M(SAC) ( MBD)OM=(SAC) ( MBD) c) Trong (ABCD) gọi
( )
( ) ( ) ( )
F BC MBC
F BC AD F MBC SAD
F AD SAD
=
Và M(MBC) ( SAD)FM=(MBC) ( SAD)
d) Trong (ABCD g) ọi E AB= CD, ta có SE=(SAB) ( SCD)
Ví dụ Cho tứ diện ABCD , O điểm thuộc miền tam giác BCD, M điểm đoạn AO
a) Tìm giao tuyến mặt phẳng (MCD v) ới mặt phẳng (ABC , ABD ) ( ) b) Gọi I,J điểm tương ứng cạnh BC BD cho IJ khơng song song với CD Tìm giao tuyến hai mặt phẳng ( )IJM (ACD )
Lời giải
(5)a) Trong (BCD g) ọi N DO= BC, (ADN g) ọi P DM= AN
( )
( )
P DM CDM
P AN ABC
( ) ( )
P CDM ABC
Lại có C(CDM) ( ABC)PC=(CDM) ( ABC)
Tương tự, (BCD g) ọi Q CO= BD,
(ACQ g) ọi R CM AQ=
( )
( ) ( ) ( )
R CM CDM
R CDM ABD
R AQ ABD
D điểm chung thứ hai (MCD ) (ABD nên ) DR=(CDM) ( ABD) b) Trong (BCD g) ọi E BO CD,F IJ= = CD, K BE= IJ; (ABE g) ọi
G KM= AE
Có ( )
( ) ( ) ( )
F IJ IJM
F IJM ACD
F CD ACD
, ( ) ( )
G KM IJM
G AE ACD
( ) ( )
G IJM ACD
Vậy FG=( ) (IJM ACD)
Bài toán 02: CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG –BA ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUI
Phương pháp:
- Để chứng minh ba điểm ( hay nhiều điểm) thẳng hàng ta chứng minh chúng điểm chung hai mặt phẳng phân biệt, chúng nằm
đường thẳng giao tuyên hai mặt phẳng nên thẳng hàng
(6)- Để chứng minh ba đường thẳng đồng qui ta chứng minh giao điểm
hai đường thẳng thuộc đường đường thẳng cịn lại
Các ví dụ
Ví dụ Cho tứ diện SABC Trên SA,SB SC lấy điểm D,E F cho DE cắt AB I , EF cắt BC J , FD cắt CA K
Chứng minh ba điểm I,J,K thẳng hàng
Lời giải
Ta có I DE= AB,DE(DEF) I (DEF ;)
( ) ( ) ( )
AB ABC I ABC
Tương tự J EF= BC
( ) ( ) ( )
J EF DEF J BC ABC
K=DFAC
( ) ( ) ( )
K DF DEF K AC ABC
Từ
(1),(2) (3) ta có I,J,K điểm chung hai mặt phẳng (ABC ) (DEF ) nên chúng thẳng hàng
Ví dụ Cho tứ diện SABC có D,E trung điểm AC,BC G trọng tâm tam giác ABC Mặt phẳng ( )α qua AC cắt SE,SB lần
lượt M,N Một mặt phẳng ( )β qua BC cắt SD,SA tương ứng P Q
a) Gọi I AM= DN,J BP= EQ Chứng minh S,I,J,G thẳng hàng b) Giả sử K AN= DM,L BQ EP= Chứng minh S,K,L thẳng hàng
K
I
J
S
A
B
C D
(7)Lời giải
a) Ta có S(SAE) ( SBD), (1)
( ) ( )
G AE SAE G AE BD
G BD SBD
= ( ) ( ) ( ) G SAE G SBD ( ) ( )
I DN SBD
I AM DN
I AM SAE
= ( ) ( ) ( ) I SBD I SAE ( ) ( ) (( )) ( )
J BP SBD J SBD
J BP EQ
J EQ SAE J SAE
=
Từ (1),(2),(3) (4) ta có S,I,J,G điểm chung hai mặt phẳng (SBD )
(SAE nên chúng th) ẳng hàng
Ví dụ Cho hình chóp tứ giác S.ABCD , gọi O giao điểm hai đường chéo AC BD Một mặt phẳng ( )α cắt cạnh bên SA,SB,SC,SD tưng ứng điểm M,N,P,Q Chứng minh đường thẳng MP,NQ,SO
đồng qui
Lời giải
(8)Trong mặt phẳng (MNPQ g) ọi I MP= NQ
Ta chứng minh I SO Dễ thấy SO=(SAC) ( SBD)
( ) ( )
I MP SAC I NQ SBD
( ) ( )
I SAC
I SO I SBD
Vậy MP,NQ,SO đồng qui I
Ví dụ Cho hai mặt phẳng ( )P ( )Q cắt theo giao tuyến đường thẳng a Trong ( )P lấy hai điểm A,B không thuộc a S
điểm không thuộc ( )P Các đường thẳng SA,SB cắt ( )Q tương ứng
điểm C,D Gọi E giao điểm AB a Chứng minh AB,CD a
đồng qui
Lời giải
Trước tiên ta có S AB ngược lại S AB ( )P S ( )P
I
O A
D
B C
S
M
N P
(9)(mâu thuẫn giả thiết) S,A,B khơng thẳng hàng, ta có mặt phẳng (SAB )
Do
( ) C SA( ) (SAB)
C SA Q
C Q = ( ) ( ) ( ) C SAB C Q Tương tự
( ) D SB( ) (SAB)
D SB Q
D Q = ( ) ( ) ( ) D SAB D Q
Từ (1) (2) suy CD=(SAB) ( ) Q
Mà ( )
( ) (( ) )
E AB SAB E SAB
E AB a
E a Q E Q
= E CD
Vậy AB,CD a đồng qui đồng qui E
Bài tốn 03: TÌM GIAO ĐIỂM CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
Phương pháp:
Sử dụng định nghĩa tính chất biểu thức tọa độ phép tịnh tiến
Đểtìm giao điểm đường thẳng d mặt phẳng ( )P ta cần lưu ý số trường hợp sau:
(10)Trường hợp 1. Nếu ( )P có sẵn đường thẳng d' cắt d M ,
đó M d ( ) M d( ) M d ( )P
M d' P M P
=
Trường hợp 2. Nếu ( )P chưa có sẵn d' cắt d ta thực theo bước sau:
Bước 1: Chọn mặt phẳng ( )Q chứa d
Bước 2: Tìm giao tuyến Δ=( ) ( )P Q
Bước 3: Trong ( )Q gọi M d= Δ M giao điểm d( )P
Các ví dụ
Ví dụ Cho hình chóp tứ giác S.ABCD với đáy ABCD có cạnh đối diện không song song với M điểm cạnh SA
a) Tìm giao điểm đường thẳng SB với mặt phẳng (MCD )
b) Tìm giao điểm đường thẳng MC mặt phẳng (SBD )
Lời giải
a) Trong mặt phẳng (ABCD , g) ọi E AB= CD Trong (SAB g) ọi N SB= EM
Ta có N EM (MCD) N (MCD) N SB nên N SB= (MCD)
b) Trong (ABCD) gọi I AC= BD Trong (SAC) gọi K MC= SI
Q
d' P
d
M
D A
C
N K
I
E S
M
(11)Ta có K SI (SBD) K MC nên K MC= (SBD)
Ví dụ Cho hình chóp tứ giác S.ABCD , M điểm cạnh SC , N cạnh BC Tìm giao điểm đường thẳng SD với mặt phẳng(AMN )
Lời giải
Trong mặt phẳng (ABCD g) ọi O AC= BD,J AN= BD Trong (SAC g) ọi I SO= AM
K IJ= SD
Ta có I AM (AMN ,J AN) (AMN)
( )
IJ AMN
Do K IJ (AMN) K (AMN) Vậy K SD= (AMN)
Bài toán 04: XÁC ĐỊNH THIẾT DIỆN CỦA MỘT MẶT PHẲNG VỚI HÌNH CHĨP
Phương pháp:
Đểxác định thiết diện hình chóp S.A A A c1 n mặt phẳng ( )α , ta
tìm giao điểm mặt phẳng ( )α với đường thẳng chứa cạnh hình chóp Thiết diện đa giác có đỉnh giao điểm ( )α với hình chóp ( cạnh thiết diện phải đoạn giao tuyến với mặt hình chóp)
J I
O S
A
B
D
C M
(12)Trong phần xét thiết diện mặt phẳng qua ba điểm khơng thẳng hàng
Các ví dụ
Ví dụ Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, có đáy hình thang với AD đáy
lớn P điểm cạnh SD
a) Xác định thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng (PAB)
b) Gọi M,N trung điểm cạnh AB,BC Xác định thiết diện hình chóp cắt (MNP )
Lời giải.
a) Trong mặt phẳng (ABCD , g) ọi E AB= CD Trong mặt phẳng (SCD g) ọi Q SC EP= Ta có E AB nên EP(ABP) Q (ABP),
đó Q SC= (ABP)
Thiết diện tứ giác ABQP
b)Trong mặt phẳng (ABCD g) ọi F,G giao điểm MN với AD CD
Trong mặt phẳng (SAD g) ọi H SA= FP Trong mặt phẳng (SCD) gọi K SC= PG
Q
E
S
A
D B
(13)Ta có F MN F (MNP),
( ) ( )
FP MNP H MNP
Vậy H SA( ) H SA (MNP)
H MNP
=
Tương tự K SC= (MNP) Thiết diện ngũ giác MNKPH
Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy
ABCD hình bình hành tâm O Gọi M,N,P ba điểm cạnh AD,CD,SO Xác định thiết diện hình chóp với mặt phẳng (MNP)
Lời giải
Trong mặt phẳng (ABCD) gọi E,K,F
là giao điểm MN với DA,DB,DC Trong mặt phẳng (SDB) gọi H KP= SB Trong mặt phẳng (SAB) gọi T EH= SA Trong mặt phẳng (SBC g) ọi R FH= SC
K H
F
G N M
S
B C
D A
P
R T
H
F
E
K O
C
A B
D S
M
(14)Ta có E MN EH (MNP) H KP
, ( ) ( )
T SA
T SA MNP
T EH MNP
=
Lí luận tương tự ta có R SC= (MNP) Thiết diện ngũ giác MNRHT
d1
d2 d
(15)Bài toán 05: DỰNG ĐƯỜNG THẲNG ĐI QUA MỘT ĐIỂM VÀ CẮT HAI
ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU
Phương pháp:
Để dựng đường thẳng d qua O cắt d ,d ta d1 2 ựng giao tuyến hai mặt phẳng mp O,d ( 1) mp O,d( 2), d mp O,d= ( 1)mp O,d( 2)
Các ví dụ
Ví dụ Cho tứ diện ABCD , O điểm huộc miền tam giác BCD , M điểm cạnh AB
a) Dựng đường thẳng qua M cắt AO CD
b) Gọi N mộtđiểm cạnh BC cho ON không song song với BD Dựng đường thẳng qua N cắt AO DM
Lời giải
a) Trong (BCD g) ọi P BO= CD Trong (ABN g) ọi I PM= AO
Đường thẳng MP đường thẳng qua M cắt
AO CD
I A
B
D
C O M
(16)b) Trong mặt phẳng (BCD g) ọi E NO= BD Trong (ABD g) ọi G MD= AE, (NAE g) ọi
F AO= NG, NG đường thẳng qua
N cắt AO DM
Bài toán 06: TÌM TẬP HỢP GIAO ĐIỂM CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG VÀ BÀI TOÁN CHỨNG MINH GIAO TUYẾN ĐI QUA ĐIỂM CỐĐỊNH
Phương pháp:
F G
E A
B
D
C
O M
(17)Để tìm tập hợp giao điểm I hai đường thẳng thay đổi a,b ta chọn hai mặt phẳng cốđịnh ( )α ( )β cắt
lần lượt chứa a,b,
( ) ( )
I a α I a b
I b β =
( ) ( )
I d α β
=
Vậy điểm I thuộc giao tuyến hai mặt phẳng ( )α ( )β
Để chứng minh đường thẳng d qua điểm cốđịnh ta thực theo
các bước sau
- Chọn điểm cốđịnh J thuộc hai mặt phẳng ( )δ ( )γ
- Chứng minh d giao tuyến hai mặt phẳng ( )δ ( )γ , d qua điểm cốđịnh J
Các ví dụ
Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang với đáy lớn AB Một mặt phẳng ( )P quay quanh AB cắt cạnh SC,SD điểm
tương ứng E,F
a) Tìm tập hợp giao điểm I AF BE b) Tìm tập hợp giao điểm J AE BF
Lời giải
a) Phần thuận:
Ta có I AF BE I AF I BE
=
,
( ) ( )
AF SAD BE SBC
d a
b
β
α
(18)( ) ( )
F SAD SBC
Trong (ABCD g) ọi H AD
H AD BC
H BC = ( ) ( ) H SAD H SBC ( ) ( )
SH SAD SBC I SH
=
Giới hạn:
Khi E chạy đến C F chạy đến D I chạy đến H Khi E chạy đến S F chạy đến S I chạy đến S
Phần đảo:
Lấy điểm I thuộc đoạn SH , (SAH g) ọi F SD= AI,
(SBH g) ọi E SH= BI (ABEF m) ặt phẳng quay quanh AB cắt cạnh SC,SD E,F I giao điểm AF BE
Vậy tập hợp điểm I đoạn SH
b) Ta có ( )
( ) ( ) ( )
J SAC J AE
J AE BF J SAC SBD
J BF J SBD
=
Nhưng
( ) ( )
SO= SAC SBD nên J SO
Khi E chạy đến chạy đến C F chạy đến D J chạy đến O Khi E chạy đến S F chạy đến S J chạy đến S
(19)Lập luận tương tự ta có tập hợp điểm J đoạn SO
Ví dụ Cho tứ diện ABDC Hai điểm M,N nằm hai cạnh AB AC cho AM AN
AB AC Một mặt phẳng ( )P thay đổi chứa MN , cắt cạnh CD BD E F
a) Chứng minh EF ln qua điểm cốđịnh b) Tìm tập hợp giao điểm I ME NF c) Tìm tập hợp giao điểm J MF NE
Lời giải
a) Trong (ABC g) ọi K MN= BC K cốđịnh
( )
( )
K MNP
K MN
K BC K BCD
(20)b)Phần thuận:
Trong ( )P gọi ( )
( )
I ME MCD I ME NF
I NF NBD
=
( ) ( )
I MCD NBD
Gọi O CM= BNOD=(MCD) ( NBD) I OD
Giới hạn:
Khi E chạy đến C F chạy đến B I chạy đến O
O I
E
J K
A
B
C
D M
(21)Khi Khi E chạy đến D F chạy đến D I chạy đến D
Phần đảo:
Gọi I điểm đoạn OD , (MCD g) ọi E MI= CD,
(NBD g) ọi F NI= BD suy (MNEF m) ặt phẳng quay quanh MN căt
các cạnh DB,DC điểm E,F I ME= NF Vậy tập hợp điểm I đoạn OD
c) Gọi ( )
( )
J MF ADB J MF NE
J NE ACD
=
J (ADB) ( ACD)
Mà AD=(ADC) ( ADB)
Khi E chạy đến C F chạy đến B J chạy đến A Khi Khi E chạy đến D F chạy đến D I chạy đến D
Từđó ta có tập hợp điểm J đường thẳng AD trừcác điểm đoạn AD
CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP
1 Cho tứ diện ABCD Gọi M,N trung điểm cạnh AD BC a) Tìm giao tuyến hai mặt phẳng (MBC ) (NAD )
b) Gọi E,F điểm cạnh AB AC Tìm giao tuyến hai mặt phẳng (MBC ) (DEF)
2 Cho hình chóp S.ABCD đáy tứ giác ABCD , AB cắt CD E , hai
đường chéo AC BD cắt F Tìm giao tuyến cặp mặt phẳng :
(22)b) ( )SEF với mặt phẳng (SAD ) (SBC )
3 Cho tứ diện ABCD , M điểm thuộc miền tam giác ABD , N điểm thuộc miền tam giác ACD Tìm giao tuyến cặp mặt phẳng :
a) (BCD ) (AMN ) b) (ABC ) (DMN )
4. Cho tứ diện ABCD Gọi M,N trung điểm AC BC
Trên đoạn BD lấy điểm P cho BP 3PD=
a) Tìm giao điểm đường thẳng CD với mặt phẳng (MNP) b) Tìm giao tuyến hai mặt phẳng (ABD ) (MNP )
5 Cho hình chóp S.ABCD , M N điểm cạnh SC,BC
a) Tìm giao điểm AM với (SBD)
b) Tìm giao điểm SD với (SMN )
6 Trong mặt phẳng ( )α cho hai đường thẳng d d' cắt O , A,B
là hai điểm nằm ( )α cho AB cắt ( )α với ( )α Một mặt phẳng ( )β
quay quanh AB cắt d d' M,N a) Chứng minh MN qua điểm cốđịnh
(23)7 Cho tứ diện ABCD Gọi I,J trung điểm AC BC Trên cạnh BD lấy điểm K cho BK 2KD=
a) Xác định giao điểm E đường thẳng CD với ( )IJK chứng minh DE DC=
b) Xác định giao điểm F đương thẳng AD với ( )IJK chứng minh FA 2FD=
c) Chứng minh FK AB
8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi M trung
điểm SC
a) Tìm giao điểm E AM với (SBD Tính ) EM EA
b) Tìm giao điểm F SD với (MAB ch) ứng minh F trung điểm SD
9. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành tâm O Gọi M
là trung điểm SB G trọng tâm tam giác SAD
a) Tìm giao điểm I GM với (ABCD Ch) ứng minh I,C,D thảng hàng IC 2ID=
b) Tìm giao điểm J AD với (MOG Tính ) JD JA
c) Tìm giao điểm K SA với (MOG Tính ) KS KA
10. Cho mặt phẳng ( )α xác định hai đường thẳng a,b cắt O c
(24)a) Tìm giao tuyến hai mặt phẳng ( )α mp O,c ( )
b) Gọi M điểm c không trùng với I Tìm giao tuyến Δ hai mặt phẳng (M,a ) (M,b ch) ứng minh Δ nằm mặt phẳng cốđịnh M di động c
11. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang với đáy lớn AB Gọi M,N trung điểm SB SC
a) Tìm giao điểm đường thẳng SD với (AMN )
b) Xác định thiết diện hình chóp với mặt phẳng (AMN )
12. Cho hình chóp S.ABCD Gọi I,J điểm cốđịnh cạnh SA SC ( IJ không song song với AC )
Một mặt phẳng ( )α quay quanh IJ cắt SB M cắt SD N a) Chứng minh đường thẳng MN,IJ,SO đồng qui
b) Giả sử ADBC E,IN= JM F= Chứng minh S,E,F thẳng hàng
c) Gọi P IN AD,Q JM= = BC Chứng minh đường thẳng PQ qua
một điểm cốđịnh ( )α di động
13 Cho hình chóp S.ABC Trên cạnh AB,BC,CS lấy điểm M,N,P cho MN AC không song song với
a) Xác định thiết diện hình chóp với mặt phẳng (MNP)
b) Gỉa sử I MP= NQ, chứng minh I nằm đường thẳng cố định P chạy cạnh SC
14 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành M
điểm cạnh SD cho SM 1SD
(25)a) Tìm giao điểm đường thẳng BM với (SAC )
b) N điểm thay đổi cạnh BC Xác định giao tuyến d (SBC ) (AMN Ch) ứng minh d qua điểm cốđịnh
c) Gọi G trọng tâm tam giác SAB Xác định thiết diện hình chóp với
(MNG)
15 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành Một mặt phẳng ( )α
căt cạnh bên SA,SB,SC tương ứng điểm A',B',C' Gọi O giao
điểm AC BD
a) Tìm giao điểm D' ( )α với SD b) Chứng minh SA SC SB SD
SA'+SC'=SB'+SD'
16 Cho hình chóp S.ABCD Gọi I,J hai điểm cạnh AD SB
a) Tìm giao điểm K,L đường thẳng IJ DJ với (SAC) b) Giả sử O AD= BC,M OJ= SC Chứng minh A,K,L,M thẳng hàng
17 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang với cạnh đáy
AB CD , AB 2CD= Gọi I trung điểm SA , J điểm cạnh SC với JS JC Gọi ( )α mặt phẳng quay quanh IJ, cắt cạnh
SD,SB M,N Tìm tập hợp giao điểm IM JN
oup: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/