Hàm số bậc hai – Chuyên đề đại số 10 - Tài liệu học tập - Hoc360.net

– Xác định một số điểm cụ thể của parabol (chẳng hạn, giao điểm của parabol với các trục toạ độ và các điểm đối xứng với chúng qua trục trục đối xứng).. – Căn cứ vào tính đối xứng, bề l[r]

§3: HÀM SỐ BẬC HAI A TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1 Định nghĩa: Hàm số bậc hai hàm số có dạng y ax2 bx c a 0

2 Sự biến thiên

TXĐ: D

Khi a hàm số đồng biến ;

2 b

a , nghịch biến ;

b

a có giá trị nhỏ 4a

b x

a Khi a hàm số đồng biến ;

b

a , nghịch biến ; b

a có

giá trị lớn

4a b x

a Bảng biến thiên

x

2 b

a

y ax bx c

(a ) 4a

3 Đồ thị

Khi a đồ thị hàm số bậc hai bề lõm hướng lên có tọa độ đỉnh ;

2

b I

a a

Khi a đồ thị hàm số bậc hai bề lõm hướng lên có tọa độ đỉnh ;

2

b I

a a

Đồ thị nhận đường thẳng

2 b x

a làm trục đối xứng

B CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

➢ DẠNG TOÁN 1: XÁC ĐỊNH HÀM SỐ BẬC HAI 1 Phương pháp giải

Để xác định hàm số bậc hai ta sau

x

2 b

a

y ax bx c

(a )

4a

2 b

a

−

x y

O 1

x y

O 1

0

a

0

a

2 b

a

Gọi hàm số cần tìm lày ax2 bx c a, 0 Căn theo giả thiết toán để thiết lập giải hệ phương

trình với ẩn a b c, , , từ suy hàm số cần tìm

2 Các ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Xác định parabol P : y ax2 bx c, a biết: a) P qua A(2; 3) có đỉnh I(1;2)

b) c P qua B 3; có trục đối xứng

2

x

c) Hàm số y ax2 bx c có giá trị nhỏ 3

1

x nhận giá trị khix

d) P qua M(4; 3) cắt Ox N(3; 0) P cho INP có diện tích biết hồnh độ điểm P nhỏ

.Lời giải

a) Vì A P nên 4a 2b c (1)

Mặt khác P có đỉnh I(1;2) nên

2 b

a b

a (2) I P suy a b c (3)

Từ (1), (2) (3) ta có

4

2

2

a b c a

a b b

a b c c

Vậy P cần tìm y x2 2x

b) Ta có c P qua B 3; nên 9a 3b 3a b (4)

P có trục đối xứng

2

x nên 3

2

b

b a

a thay vào (4) ta

3

3

a a a b

Vậy P cần tìm 2

3

y x x

c) Hàm số y ax2 bx c có giá trị nhỏ 3

1

x nên ta có

1

0

2

b

a b

a (5)

2

3 1

,

4 a b c a b c (6) a

Từ (5), (6) (7) ta có

0

2

1

a b a

a b c b

a b c c

Vậy P cần tìm y x2 x

d) Vì P qua M(4; 3) nên 16a 4b c (8)

Mặt khác P cắt Ox N(3; 0) suy 9a 3b c(9), P cắt Ox P nên P t;0 ,t Theo định lý Viét ta có

3

b t

a c t

a

Ta có

2

IBC

S IH NP với H hình chiếu ;

2

b I

a a lên trục hoành

Do

4

IH

a , NP t nên

1

1

2

INP

S t

a

2

3

3

2

3 3

2

t

b c

t t t t

a a a a a (10)

Từ (8) (9) ta có 7a b b 7a suy 3

3

a t

t

a a

Thay vào (10) ta có 3 3 27 73 49

3

t

t t t t t

Suy a b c Vậy P cần tìm y x2 4x

3 Bài tập luyện tập

Bài 2.29: Xác định phương trình Parabol (P): y x2 bx c trường hợp sau: a) (P) qua điểm A 1; B 2;

b) (P) có đỉnh I 1;

c) (P) cắt trục tung điểm có tung độ có đỉnh S 2;

Bài 2.30: Tìm Parabol y ax2 3x , biết Parabol : a) Qua điểm A 1;

b) Cắt trục Ox điểm có hồnh độ

c) Có trục đối xứngx d) Có đỉnh 1; 11

2

I

a) y ax2 bx qua A(1 ; 0) trục đối xứng

2

x= b) y ax2 bx qua A(-1 ; 9) trục đối xứng x= −2 c) y ax2 bx c qua A(0 ; 5) đỉnh I ( 3; - 4)

➢ DẠNG TOÁN 2: XÉT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SÔ BẬC HAI 1 Phương pháp giải

Để vẽ đường parabol y ax2 bx c ta thực bước sau:

– Xác định toạ độ đỉnh ;

2

b I

a a

– Xác định trục đối xứng

2 b x

a hướng bề lõm parabol

– Xác định số điểm cụ thể parabol (chẳng hạn, giao điểm parabol với trục toạ độ điểm đối xứng với chúng qua trục trục đối xứng)

– Căn vào tính đối xứng, bề lõm hình dáng parabol để vẽ parabol 2 Các ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Lập bảng biến thiên vẽ đồ thị hàm số sau a) y x2 3x b) y x2 2x

Lời giải

a) Ta có 3,

2 4

b

a a

Bảng biến thiên

Suy đồ thị hàm số y x2 3x có đỉnh

3

;

2

I , qua điểm A 2;0 , B 1;0 ,C 0;2 , D 3;2

x

2

2 3 2

y x x

4 x

y

I

-3

2

Nhận đường thẳng

2

x làm trục đối xứng hướng bề lõm lên

trên

b) Ta có 2,

2

b

a a

Bảng biến thiên

x 2 2 2

y x x

Suy đồ thị hàm số y x2 2 2x

có đỉnh I 2;2 , qua

các điểm O 0;0 ,B 2;0

Nhận đường thẳng x làm trục đối xứng hướng bề lõm xuống

Ví dụ 2: Cho hàm số y x2 6x

a) Lập bảng biến thiên vẽ đồ thị hàm số

b) Sử dụng đồ thị để biện luận theo tham số m số điểm chung đường thẳng y m đồ thị hàm số c) Sử dụng đồ thị, nêu khoảng hàm số nhận giá trị dương

d) Sử dụng đồ thị, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số cho 1;5

Lời giải

a) Ta có 3,

2

b

a a

Bảng biến thiên

Suy đồ thị hàm số y x2 3x 2 có đỉnh

3;

I , qua điểm A 2;0 , B 4;0

Nhận đường thẳng x làm trục đối xứng hướng bề lõm

lên

b) Đường thẳng y m song song trùng với trục hồnh dựa vào đồ thị ta có Với m đường thẳng y m parabol y x2 6x không cắt

x

2 6 8

y x x

x y

2

O 1

x y

y=m

-1

m

3 4

2

Với m đường thẳng y m parabol y x2 6x cắt điểm(tiếp xúc) Với m đường thẳng y m parabol y x2 6x cắt hai điểm phân biệt c) Hàm số nhận giá trị dương ứng với phần đồ thị nằm hồn tồn trục hồnh

Do hàm số nhận giá trị dương x ;2 4; d) Ta có y 15,y 13,y 1, kết hợp với đồ thị hàm số suy

1;5

maxy 15 khix

1;5

miny x

3 Bài tập luyện tập

Bài 2.32: Lập bảng biến thiên vẽ đồ thị hàm số sau

a) y x2 3x b) y 2x2 4x

Bài 2.33: Cho hàm số y x2 2x

a) Lập bảng biến thiên vẽ đồ thị hàm số

b) Tìm m để đồ thị hàm số cắt đường thẳng y m hai điểm phân biệt c) Sử dụng đồ thị, nêu khoảng hàm số nhận giá trị âm

d) Sử dụng đồ thị, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số cho 3;1

➢ DẠNG TOÁN 3: ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ CHO BỞI NHIỀU CÔNG THỨC VÀ HÀM SỐ CHỨA DẤU TRỊ TUYỆT ĐỐI

1 Các ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Vẽ đồ thị hàm số sau

a) 2 2

2

x khi x

y

x x x b)

2 2

y x x

Lời giải

a) Đồ thị hàm số 2 2

2

x khi x

y

x x x gồm :

+ Vẽ đường thẳng y x qua A 2;0 , B 0; lấy phần nằm

bên phải đường thẳng x x

y

+ Parabol y x2 2x có đỉnh I 1;2 , trục đối xứng x 1, qua điểm O 0;0 ,C 2;0 lấy phần đồ thị nằm bên trái đường thẳng x

b) Vẽ parabol P đồ thị hàm số y x2 x có đỉnh

1

;

2

I , trục đối xứng

2

x , qua điểm

1;0 , 2;0 , 0; , 1;

A B C D

Khi đồ thị hàm số y x2 x 2

gồm

+ Phần parabol P nằm phía trục hoành phần đối xứng P nằm trục hồnh qua trục hồnh

Ví dụ 2: Vẽ đồ thị hàm số sau

a) y x2 x b) y x2 x

c) y x2 x d)

2 4 3 2 6 1

y x x x

Lời giải

3

;

2

I

a) Vẽ đồ thị hàm số P :y x2 3x 2

có đỉnh

, trục đối xứng

2

x , qua điểm

1;0 , 2;0 , 0;2 , 3;2

A B C D Bề lõm hướng lên Khi đồ thị hàm số y x2 3 x 2

P1 gồm phần bên phải

trục tung P phần lấy đối xứng qua trục tung b) Đồ thị hàm số y x2 3 x 2

P2 gồm phần phía trục

hồnh P1 phần đối xứng P1 nằm phía trục hồnh qua trục hoành

c) Đồ thị hàm số y x2 3 x 3

P3 có từ việc tịnh tiến

1

P đơn vị lên phái song song với trục tung

x y

-1 O 1 2

x y

-1 2

2 -2 O 1

x y

-1 2

2

-2 O 1

x y

3

d) Ta có

2

2 4 3 2 6 1 2 3 2 2 1

y x x x x x

Do tịnh tiến P1 sang phải hai đơn vị song song với trục hoành ta đồ thị hàm số

2

2 2

y x x , tiếp tục tịnh tiến xuống đơn vị song song với trục tung ta đồ thị hàm số y x 2 x 2

2 Bài tập luyện tập

Bài tập 2.34: Vẽ đồ thị hàm số sau a)

2

1

2

x x khi x

y

x x khi x b)

2 2 3

y x x

Bài 2.35: Vẽ đồ thị hàm số sau

a) y x2 x b)

2

2

2

x x khi x

y

x x khi x

➢ DẠNG TOÁN 4:ỨNG DỤNG CỦA HÀM SỐ BẬC HAI TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC VÀ TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT, LỚN NHẤT

1 Phương pháp giải

Dựa vào đồ thị(bảng biến thiên) hàm số y ax2 bx c a ( 0)

ta thấy đạt giá trị lớn nhất, nhỏ ; điểm x x

2 b x

a Cụ thể: TH 1:a

* Nếu

; ;

; ( ) ( ); max ( ) max ( ), ( )

2

b b

f x f f x f f

a a

* Nếu

; ;

; ( ) ( ), ( ) ; max ( ) max ( ), ( )

b

f x f f f x f f

a

; max ( ) ( ); ( ) ( ), ( )

b b

f x f f x f f

x y

4 3 2 -1

* Nếu

; ;

; ( ) ( ), ( ) ; max ( ) max ( ), ( )

b

f x f f f x f f

a

2 Các ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho phương trình x2 2 m 3 x m2 3 0

, m tham số

Tìm m để phương trình có hai nghiệm x x1, 2 P 5(x1 x2) 2x x1 2 giá trị lớn

Lời giải

Ta có ' m m2 6m 12

Phương trình có nghiệm ' 6m 12 m

Theo định lý Viét ta có 2

1

2

3

x x m

x x m

2

10 3 10 24

P m m m m

Xét hàm số y 2x2 10x 24 với x 2;

Bảng biến thiên

x

2

2 10 24

y x x

12

Suy

2; 12

max y x Vậy m giá trị cần tìm.y

Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ hàm số: y x4 2x2 33 x2 1

Lời giải

Đặt t x2 1,t 1 t2 x4 2x2 1

Khi hàm số trở thành y t2 3t 1 với t 1

Bảng biến thiên x

1

2

2 3 1

y t t

1

Suy giá trị nhỏ hàm số y x4 2x2 33 x2 1

4 t hay

3 1 19

2

x x

Ví dụ 3:Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số y x4 4x2 1 1;2

Lời giải

Đặt t x2

Với x 1;2 ta có t 0;4 Hàm số trở thành f t t2 4t 1

với t 0;4 Bảng biến thiên

t

2 3 1

y t t

1

Suy

1;2 0;4

max y max f t

4 t

t hay

0 x

x

1;2 1;2

miny minf t t hay x

Ví dụ 4: Cho số thực a b, thoả mãn ab Tìm giá trị nhỏ biểu thức:

2

2

a b a b

P

b a

b a

Lời giải

Đặt t a b

b a Ta có

a b a b a b

t

b a b a b a ,

2 2

2

2 2 2

a b a b

t t

b a b a

Ta có P t2 t t2 t Xét hàm số f t( ) t2 t 1

với t ; 2; Bảng biến thiên

t

2

( )

f t t t

; 2;

minP f t( ) t hay a b a b

b a

Ví dụ 5: Cho số x y, thoả mãn: x2 y2 xy Chứng minh 4 2

9 x y x y

Lời giải

Đặt P x4 y4 x y2

Ta có P (x2 y2 2) 3x y2 xy 3x y2 2x y2 2xy Đặt t xy, P 2t2 2t 1

Vì

2

2

2

x y xy

x y xy nên

1

1

1

xy xy

xy

xy xy

+ 



 −  

 +  −



Do 1

3 t

Xét hàm số f t( ) 2t2 2t 1 1;1

Ta có

2

b a

− = , ta có bảng biến thiên t 1

3

2

2

( ) 2

f t t t

2

9

Từ bảng biến thiên ta có

1;12 1;1

3

1

min ( ) max ( )

9

f t P f t

Suy điều phải chứng minh

3 Bài tập luyện tập

Bài 2.36: Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số

a) y x4 2x2 2;1 b) y x4 2x3 x [ 1;1 ]

Bài 2.37:Cho x y, số thực thoả mãn: 2(x2 y2) xy Chứng minh : 18 7( 4) 4 2 70

25 x y x y 33

Bài 2.38: Cho số thực không âm x, y thay đổi thỏa mãn x y Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ

nhất biểu thức: S 4x2 3y 4y2 3x 25xy

oup: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/