Đang tải... (xem toàn văn)
Với 50 câu hỏi trong 180 phút cùng hàng chục nghìn câu hỏi trắc nghiệm lấy từ ngân hàng đề thi của bộ GD&ĐT, chúng ta khó có thể lường trước được những gì sẽ xảy ra trong kỳ thi sắ[r]
(1)BÙI THẾ VIỆT
Chuyên Đề CASIO Luyện Thi THPT Quốc Gia
THỦ THUẬT CASIO TÌM HỆ SỐ TRONG KHAI TRIỂN NHỊ THỨC NEWTON Tác giả : Bùi Thế Việt – Chuyên gia thủ thuật CASIO
A – GIỚI THIỆU :
Như biết, kể từ kỳ thi THPT Quốc Gia năm 2017, mơn Tốn thi hình thức khác trắc nghiệm Với 50 câu hỏi 180 phút hàng chục nghìn câu hỏi trắc nghiệm lấy từ ngân hàng đề thi GD&ĐT, khó lường trước xảy kỳ thi tới
Trong cơng cụ mang vào phịng thi CASIO máy tính cầm tay khác thiết bị khơng thể thiếu kỳ thi Để đạt hiệu cao cần phải biết cách sử dụng tính CASIO cách tối đa
Trong chuyên đề này, sử dụng CASIO việc giải nhanh toán liên quan tới việc yêu cầu tìm hệ số khai triển nhị thức Newton
Lưu ý : Thủ thuật phù hợp với hình thức thi trắc nghiệm B – Ý TƯỞNG :
Trước hết, cần biết công thức khai triển nhị thức Newton :
n n n 1 n n 2 2 n n 3 3 n n 1 n n
a b a a b a b a b ab b
1 n
Với k
n
n n!
C
k k! n k !
Hoặc viết gọn lại :
n
n k n k
k
n
a b a b
k
Vậy tìm hệ số x khai triển biểu thức t x a n, ta cần xét :
n
n k n k
k
n
x a x a
k
Hệ số x t t n t n
x a
t
(2)đáp án xác nhanh Cách làm vơ khó khăn xét biểu thức lớn tìm hệ số x 10 8
x 2x 1
Bắt kịp xu thế, (Bùi Thế Việt) mạnh dạn đưa phương pháp mà tự nghĩ chia sẻ cho bạn đọc để giải toán cách khoa học
Bài toán : Tìm hệ số x biểu thức : m
t t 1 t 2 n
t t t
f x a x a x a x a x a Hướng dẫn : Hệ số x tính : m
t t t
k k k k k
m
t t t
t t t
n!
x a a a a a
k !k !k ! k !
Với k ,k ,k , ,k1 2 3 t thỏa mãn :
0 t
1 t
k k k k n
k 2k 3k tk m
Nhận xét : Công thức gây khó hiểu cho bạn đọc nhìn lần Tuy nhiên, thử xem vài ví dụ để biết mang lại …
Ví dụ : Tìm hệ số x sau khai triển biểu thức : 10
f x 2x 3
Hướng dẫn : Với k ,k1 0 , ta có hệ phương trình sau :
0
1
k k 10 k
k k
Vậy k ,k1 0 7,3 Hệ số
x k1 k0 7 3
10! 10!
x 3 414720
k !k ! 7!3!
Kết luận : Hệ số x 7 x7 414720
Ví dụ : Tìm hệ số x sau khai triển biểu thức :
2 9
f x 3x 2x 1
Hướng dẫn : Với k ,k ,k2 1 0 , ta có hệ phương trình sau :
0
1
k k k
k 2k
(3)
6 4
6
2
2
9! 9!
x 3
0!6!3! 1!4!4!
9! 9!
3
2!2!5! 3!0!6!
5376 30240 27216 2268 84
Kết luận : Hệ số
x x6 84
Nhận xét : Lời giải loằng ngoằng phải không ? Nhưng so sánh với cách làm truyền thống, công thức dễ làm nhiều …
Lời giải : [truyền thống] Ta có :
9
9 k
2 k 18 2k
k
9 k i k i
9 k 18 2k i
k i
9 k i k i
9 k 18 2k i
k i
9
f x 3x 2x x 2x
k k
3 x x
k i k
3 x
k i
Vậy 18 2k i 6 k,i 6,0 ; 7,2 ; 8,4 ; 9,6 Thế vào ta : i k i
9 k n k
3 2268 27216 30240 5376 84
k i
Hệ số x x6 84
Nhận xét : Thử với toán khó hơn, liệu giải pháp có tối ưu khơng :
Ví dụ : Tìm hệ số
x sau khai triển biểu thức : 4 3 12
f x x 2x x
Hướng dẫn : Với k ,k ,k ,k4 3 1 0 , ta có hệ phương trình sau :
0
1
k k k k 12
k 3k 4k
Khi :
4
k k k k
0 1760
0 354816
0 4055040
452320
0 901120
1 354816
1 3041280
2 337920
(4)Kết luận : Hệ số x x9 452320
Nhận xét : Rất nhanh khoa học ! Chúng ta chẳng cần phải phá thành tổng nhỏ hơn, tính n
k
hay
k n
C Đơn giản công thức :
t t t
k k k k k
m
t t t
t t t
n!
x a a a a a
k !k !k ! k !
Hy vọng bạn đọc hiểu ý tưởng làm mà muốn chia sẻ Có thể đầu lạ, làm nhiều thành quen …
Tuy nhiên, áp dụng vào đề thi trắc nghiệm ?
Để giải câu hỏi này, cần tới trợ giúp CASIO Sẽ có hai vấn đề lớn cần giải :
Làm để tìm hết giá trị k ,k ,k , ,k0 1 2 t giải HPT ?
Làm để tính kt kt kt k1 k0
t t t
t t t
n!
.a a a a a k !k !k ! k !
nhanh chóng ?
Trước tiên, HPT đặc biệt : Nghiệm số tự nhiên
PT(1) có hệ số
PT(2) có hệ số tăng dần số k tăng
Vậy cách quét hết nghiệm HPT đơn giản Chỉ cần đặt bút lên nháp, giống bảng giá trị Ví dụ 3, lấy hết nghiệm HPT nhờ quy luật tự nhiên Ví dụ k4 0, k3 tăng dần từ đến k2 giảm 9 6 … Khá thú vị
Cịn việc tính tổng kt kt kt k1 k0
t t t
t t t
n!
.a a a a a k !k !k ! k !
?
Chắc hẳn bạn đọc biết tới phím chức CALC, STO, M+ để gán giá trị cách nhanh chóng Vậy :
Cách : Gõ biểu thức tổng quát (ví dụ 12! 2 B 2D
A!B!C!D! Ví dụ 3) Sau ấn CALC, máy hỏi giá trị A, B, C, D cần gán Nhập giá trị A, B, C, D (ví dụ ấn = = = =), máy giá trị biểu thức ứng với A, B, C, D vừa gán (máy 12! 2 B 2D 1760
A!B!C!D! ) Lưu kết nháp sau cộng chúng lại, ta đáp án
Cách : Sau lần CALC xong, cộng dồn lưu giá trị vào biến nhớ Ví dụ vừa tính 12! 2 B 2D 1760
(5)Ta lưu vào X phím Shift + STO + X, sau tính giá trị biểu thức 12! 2 B 2D 354816
A!B!C!D! , ta lấy X Ans X
Cách : Đầu tiên ta gán cho M ( 0M) Sau lần tính xong, ấn M+ máy tự động thêm vào M ( M Ans M)
Để làm quen với phương pháp mới, tập làm ví dụ C – THỰC HIỆN :
Ví dụ : Tìm hệ số x sau khai triển biểu thức : 3
12
f x 2x 3
(THPT Nam Yên Thành – Nghệ An – Lần – 2015) Hướng dẫn : Với k ,k1 0 , ta có hệ phương trình sau :
0
1
k k 12
k ,k 3,9
k
Vậy : x3 12! 23 3 34642080
3!9!
Kết luận : Hệ số x 3 x3 34642080
Ví dụ : Cho n số tự nhiên thỏa mãn 2C1n C2n n Tìm hệ số x sau khai 5
triển biểu thức :
n
f x x
x
(THPT Nguyễn Trung Thiên – Hà Tĩnh – Lần – 2015) Hướng dẫn : Thử giá trị n TABLE, ta thấy n 7 Vậy f x x3 2x17 Với k ,k3 1 , ta có hệ phương trình sau :
1
3
1
k k
k ,k 3,4
k 3k
Vậy : x5 7! 13 2 560 3!4!
Kết luận : Hệ số x 5 x5 560
Ví dụ : Cho n số nguyên dương thỏa mãn 4Cn 13 2C2n A3n Tìm hệ số x sau khai triển biểu thức :
2 n
f x x
x
(6)Hướng dẫn : Khơng giải trực tiếp phương trình 4C3n 1 2C2n A3n mà thử TABLE, ta thấy phương trình có nghiệm n 11 Vậy f x x2 2x111
Với k ,k2 1 , ta có hệ phương trình sau :
1
2
2
k k 11
k ,k 6,5
2k k
Vậy : x7 11! 16 2 14784 6!5!
Kết luận : Hệ số x x7 14784
Ví dụ : Tìm số hạng khơng chứa x khai triển nhị thức Newton :
4
1
f x x
x
với x 0
(Đề thi Tuyển Sinh Đại Học, Cao Đẳng – khối D – 2004) Hướng dẫn : Ta có
7
7
3 1/ 1/
4
1
f x x x x
x
Với k1/ 3,k1/ 4 , ta có hệ phương trình sau :
1/ 1/
1/ 1/ 1/ 1/
k k
k ,k 3,4
1
k k
3
Vậy : x0 7! 1 13 35
3!4!
Kết luận : Hệ số x x0 35
Ví dụ : Cho n số nguyên dương thỏa mãn C1n C2nCn3 Cnn 255 Hãy tìm số hạng chứa x khai triển : 14
2n
f x 1 x 3x
(THPT Chuyên Lê Hồng Phong – Nam Định – Lần – 2013) Hướng dẫn : Ta có n n
n n n n
C C C C 2552 1 255 n Với k ,k ,k2 1 0 , ta có hệ phương trình sau :
0
2
1
k k k
k ,k ,k 6,2,0 ; 7,0,1
k 2k 14
Vậy : x14 8! 36 8! 37 20412 17496 37908 6!2!0! 7!0!1!
(7)Ví dụ : Tìm hệ số x khai triển đa thức: 210
f x 2x 3x
(Thử sức trước kỳ thi – Báo TH&TT – Đề số – 2011) Hướng dẫn : Với k ,k ,k2 1 0 , ta có hệ phương trình sau :
2
0
1
k k k
k k k 10 3360
8085
1 4320
k 2k
2 405
Kết luận : Hệ số x x4 8085
Ví dụ 10 : Cho n số nguyên dương thỏa mãn n
n n
A C 4n 6 Hãy tìm số hạng không chứa x khai triển nhị thức Newton :
n
f x 2x x
(THPT Ngọc Tảo – Hà Nội – 2016) Hướng dẫn : Thành thử ta thấy n 12 Khi f x 2x3 x112.
Với k ,k3 1 , ta có hệ phương trình sau :
1
3
1
k k 12
k ,k 3,9
k 3k
Vậy : x0 12! 23 1760
3!9!
Kết luận : Hệ số
x x0 1760
Ví dụ 11 : Tìm số hạng chứa x khai triển nhị thức Newton biểu thức : 3
2
f x x
x
(THPT Lam Kinh – Thanh Hóa – Lần – 2016) Hướng dẫn :
Với k ,k1 2 , ta có hệ phương trình sau :
2
1
2
k k
k ,k 7,2
2k k
Vậy : x3 9! 2 144
7!2!
Kết luận : Hệ số
(8)Ví dụ 12 : Cho n số nguyên dương thỏa mãn C12n 1 C32n 1 C52n 1 C2n 12n 1 1024 Hãy tìm số hạng chứa x khai triển nhị thức Newton biểu thức :
n
f x 4x
(THPT Chuyên Amsterdam – Hà Nội – Khối A – 2013) Hướng dẫn : Giả thiết cho ta 22n1024 n 5 Khi f x 3 4x 5.
Với k ,k1 0 , ta có hệ phương trình sau :
0
1
k k
k
không tồn k ,k1 0
Kết luận : Hệ số
x x7
Ví dụ 13 : Tìm số hạng có giá trị tuyệt đối lớn khai triển đa thức: 50
ab biết a b
(Thử sức trước kỳ thi – Báo TH&TT – Đề số – 2011) Hướng dẫn : Chuẩn hóa b 1 ax 3, ta tìm hệ số xk 50! 3 k
k! 50 k !
Thành thử giá trị
k
50!
3
k! 50 k ! TABLE, ta thấy :
k 20
a max 7.77145 10 k 32
Kết luận : Hệ số có giá trị tuyệt đối lớn a b32 18 Ví dụ 14 : Tìm số hạng chứa
x khai triển nhị thức Newton biểu thức : 10 2 2
f x 1 2x x x
(THPT Trần Quốc Tuấn – Phú Yên – Khối A, B – 2013) Hướng dẫn : Lưu ý
2
2 2x
x x
4
Do :
2 10 2
14 12 10
f x 2x x x
1
1 2x 2x 2x
16 16
Vậy : x3 14! 26 12! 26 10! 26 12012 22176 7560 41748 16 6!8! 6!6! 16 6!4!
Kết luận : Hệ số x 6 x6 41748
(9)Ví dụ 15 : Cho n số nguyên dương thỏa mãn :
3
3 log
log n 5n 15
2
n 5n 15 4 n 5n 15
Hãy tìm số hạng chứa x khai triển nhị thức Newton biểu thức : 4
n
2
f x 1 x x
(THPT Tứ Kỳ – Hải Dương – Khối A, B, D – Lần – 2011) Hướng dẫn : Thành thử CASIO, ta mò n 8 Vậy f x 1 x x 28.
Với k ,k ,k2 1 0 , ta có hệ phương trình sau :
2
0
1
k k k
k k k 4 70
266
1 168
k 2k
2 28
Kết luận : Hệ số x x4 266
Ví dụ 16 : Cho n số nguyên dương thỏa mãn n 5 log n4 nlog 94
Hãy tìm số hạng chứa x khai triển nhị thức Newton biểu thức :
3n
f x x x
(THPT Lương Ngọc Quyến – Thái Nguyên – Khối A, B, A1 – 2013) Hướng dẫn : Thành thử CASIO, ta mò n 4
Vậy f x x4 1 x112
Với k ,k ,k4 0 1 , ta có hệ phương trình sau :
4
1
1
k k k
k k k 12 10 66
27159
3 27720
k 4k
4 495
Kết luận : Hệ số
x x8 27159 Ví dụ 17 : Tìm số hạng chứa
x khai triển nhị thức Newton biểu thức : 2 38
f x 1 x x
(THPT Số Tuy Phước – Bình Định – Khối A, A1 – Lần – 2013) Hướng dẫn : Với k ,k ,k3 2 0 , ta có hệ phương trình sau :
3
0
2
k k k
k k k
0 4 70 238
2k 3k
2 168
(10)Kết luận : Hệ số x x8 238
Ví dụ 18 : Cho n số nguyên dương thỏa mãn n n
n n
C C 36 Hãy tìm số hạng chứa
x khai triển nhị thức Newton biểu thức :
n
2
f x 1 2x x
(THPT Lương Ngọc Quyến – Thái Nguyên – Khối A, B, A1 – 2013) Hướng dẫn : Thành thử CASIO, ta mò n 8
Vậy f x 1 2x2x38.Với k ,k ,k3 2 0 , ta có hệ phương trình sau :
3
0
2
k k k
k k k
0 4 1120 1456
2k 3k
2 336
Kết luận : Hệ số x x8 1456
Ví dụ 19 : Cho n số nguyên dương thỏa mãn C0n C1n Cnn 2048 Hãy tìm số hạng chứa 19
x khai triển nhị thức Newton biểu thức : 9 n
f x 2x 1 x 2
(THPT Đức Thọ – Hà Tĩnh – Khối A – Lần – 2013) Hướng dẫn : Ta có C0nC1n Cnn 2n n 11.Vậy f x 2x 1 9 x 2 11
Giả sử 2x 1 9 có số hạng axu x 2 11 có số hạng bx u v 19v Từ ta tìm u,v 9,10 ; 8,11
Vậy x19 29 11! 21 111 9! 28 1 8960
10! 8!
Kết luận : Hệ số x 19 x19 8960
Ví dụ 19 : Cho n số nguyên dương thỏa mãn n n
n n
C C 7 n 3 Hãy tìm số hạng chứa x khai triển nhị thức Newton biểu thức : 4
n n
f x x 3x
2
(THPT Cù Huy Cận – Hà Tĩnh – Khối A, A1, B, D – Lần – 2013) Hướng dẫn : Thành thử CASIO, ta mò n 12
Vậy f x 1 2x 3x 210.Với
2
(11)2
0
1
k k k
k k k 10 3360
8085
1 4320
k 2k
2 405
Kết luận : Hệ số
x x4 8085
Ví dụ 20 : Tìm số hạng chứa x2010 khai triển nhị thức Newton biểu thức :
2016
2
f x x
x
(THPT Lý Thái Tổ – Bắc Ninh – 2016) Hướng dẫn : Với k ,k1 2 , ta có hệ phương trình sau :
2
1
2
k k 2016
k ,k 2014,2
2k k 2010
Vậy x2010 2016! 22 8124480
2014!2!
Kết luận : Hệ số 2010
x x2010 8124480
Nhận xét : Bạn đọc thấy, đề thi thử yêu cầu khai triển mức a b n a b c n Vậy với khó a b c d n ? D – MỞ RỘNG :
Ví dụ 21 : Tìm hệ số x sau khai triển biểu thức : 7
3 2 8
f x 2x x x
Hướng dẫn : Với k ,k ,k ,k3 2 1 0 , ta có hệ phương trình sau :
3
0
1
k k k k
24
0
1512
0
15120
0 3
k k k k
22680 193560
0
k 2k 3k
15120
1
136080
1
81648
1
163296
2
Kết luận : Hệ số x 7
x 193560
Ví dụ 22 : Tìm hệ số x sau khai triển biểu thức : 4 3 2 200
(12)Hướng dẫn : Với k ,k ,k ,k4 3 2 0 , ta có hệ phương trình sau :
4
0
2
k k k k
k k k k 200 196 2069918400
1989801000
2k 3k 4k 197 1313400
1 1 197 78804000
Kết luận : Hệ số
x x9 1989801000 Ví dụ 23 : Tìm hệ số 1881
x sau khai triển biểu thức :
100
2
1
f x 2x 4x 3x
x
Hướng dẫn : Với k ,k ,k ,k7 5 1 2 , ta có hệ phương trình sau :
7
2
2
k k k k
k k k k 100
0 96 317619225 317559825
2k k 5k 7k 188
1 98 59400
Kết luận : Hệ số 1881 x
188
x 317559825
Ví dụ 24 : Tìm hệ số 58
x sau khai triển biểu thức :
5 4 3 2 13
f x x x 2x x 2x 1
Hướng dẫn : Với k ,k ,k ,k ,k ,k5 4 3 2 1 0 , ta có hệ phương trình sau :
0
1
5
k k k k k k 13
k 2k 3k 4k 5k 58
k k k k k k
6 0 0 1716
7 0 20592
8 0 51480
8 0 6435
9 0 22880
9 1 0 17160
9 0 5720
10 0 3432
10 0 858
10 1 6864
10 0 858
11 0 1 312
11 0
19877
312
(13)Kết luận : Hệ số x 58 x58 19877 D – BÀI TẬP TỰ LUYỆN :
Bài : Tìm hệ số x sau khai triển: 5 4x 7 12
Bài : Tìm hệ số x sau khai triển: 10
10
3
1 2x
x
Bài : Tìm hệ số khơng chứa x sau khai triển:
18
2
1 4x
x
Bài : Tìm hệ số x sau khai triển: 3x2 2x 2 10 Bài : Tìm hệ số x sau khai triển: 10 20
x 4x 2 Bài : Tìm hệ số 193
x sau khai triển:
100
2
1 x
x x
Bài : Tìm hệ số x sau khai triển: 10 x32x2 x 18 Bài : Tìm hệ số x2017 sau khai triển: x102x5 x 1204
Bài : Tìm hệ số khơng chứa x sau khai triển:
6
2
2
x
x x x
Bài 10 : Tìm hệ số x sau khai triển: 13 1 x x 2x3 x1313 E – ĐÁP ÁN :
Bài : 10450944 Bài : 11520 Bài : 783360 Bài : 768000 Bài : 49807360 Bài : 19800 Bài : 316 Bài : 8365224 Bài : 220 Bài 10 : 5200300
GROUP : CASIO Luyện Thi THPT Quốc Gia