Thủ thuật casio tìm hệ số trong khai triển nhị thức Newton - Bùi Thế Việt

GROUP : CASIO Luyện Thi THPT Quốc Gia Header Page of 258 BÙI THẾ VIỆT Chuyên Đề CASIO Luyện Thi THPT Quốc Gia THỦ THUẬT CASIO TÌM HỆ SỐ TRONG KHAI TRIỂN NHỊ THỨC NEWTON Tác giả : Bùi Thế Việt – Chuyên gia thủ thuật CASIO A – GIỚI THIỆU : Như biết, kể từ kỳ thi THPT Quốc Gia năm 2017, môn Toán thi hình thức khác trắc nghiệm Với 50 câu hỏi 180 phút hàng chục nghìn câu hỏi trắc nghiệm lấy từ ngân hàng đề thi GD&ĐT, khó lường trước xảy kỳ thi tới Trong công cụ mang vào phòng thi CASIO máy tính cầm tay khác thiết bị thiếu kỳ thi Để đạt hiệu cao cần phải biết cách sử dụng tính CASIO cách tối đa Trong chuyên đề này, sử dụng CASIO việc giải nhanh toán liên quan tới việc yêu cầu tìm hệ số khai triển nhị thức Newton Lưu ý : Thủ thuật phù hợp với hình thức thi trắc nghiệm B – Ý TƯỞNG : Trước hết, cần biết công thức khai triển nhị thức Newton : a  b n n n n  n  n  a n  a n 1b    a n  b2    a n  b3     abn 1  b 1  2  3   n  1 n n n n n! k Với    Cn  Hoặc viết gọn lại :  a  b    a k bn  k   k! n  k  ! k 0 k k Vậy tìm hệ số x t khai triển biểu thức  x  a  , ta cần xét : n n x  a   x a n k 0 k nk n   k n Hệ số x t  x t   a n  t   t  Đây cách làm thường gặp làm thi tự luận Nhưng trắc nghiệm, không quan tâm tới việc trình bày nào, quan trọng để Footer Page of 258 BÙI THẾ VIỆT Trang Header Page of 258 GROUP : CASIO Luyện Thi THPT Quốc Gia đáp án xác nhanh Cách làm vô khó khăn xét biểu  thức lớn tìm hệ số x10 x  2x   Bắt kịp xu thế, (Bùi Thế Việt) mạnh dạn đưa phương pháp mà tự nghĩ chia sẻ cho bạn đọc để giải toán cách khoa học Bài toán : Tìm hệ số xm biểu thức :  f  x   a t x t  a t 1x t 1  a t  x t    a1x  a  n Hướng dẫn : Hệ số xm tính : n! xm    a kt a kt 1 a kt 2 a k1 a k0   k t !k t 1 !k t  ! k0! t t 1 t  Với k1 ,k ,k , ,k t  thỏa mãn : k  k1  k   k t  n  k1  2k  3k  tk t  m Nhận xét : Công thức gây khó hiểu cho bạn đọc nhìn lần Tuy nhiên, thử xem vài ví dụ để biết mang lại … Ví dụ : Tìm hệ số x7 sau khai triển biểu thức : f  x    2x   10 Hướng dẫn : Với k1 ,k  , ta có hệ phương trình sau : k0  k1  10 k0     k1   k1  Vậy  k1 ,k    7,3  k 10! 10!  k1  3     3   414720 Hệ số x7  x7   k1 !k ! 7!3! Kết luận : Hệ số x7  x7   414720 Ví dụ : Tìm hệ số x sau khai triển biểu thức :  f  x   3x  2x  Hướng dẫn : Với k ,k ,k   , ta có hệ phương trình sau :  k  k1  k   k1  2k  Vậy  k ,k1 ,k    0,6,3 ;  1,4,4 ;  2,2,5 ; 3,0,6 Hệ số x : Footer Page of 258 BÙI THẾ VIỆT Trang GROUP : CASIO Luyện Thi THPT Quốc Gia Header Page of 258 4 9! 9!  x6     0!6!3!   2   1  1!4!4!   2   1 9! 9!   32  2   1   33  2   1 2!2!5! 3!0!6!  5376  30240  27216  2268  84 Kết luận : Hệ số x  x6   84 Nhận xét : Lời giải loằng ngoằng phải không ? Nhưng so sánh với cách làm truyền thống, công thức dễ làm nhiều … Lời giải : [truyền thống] Ta có : 9 k9 f  x   3x  2x    39  k x18  2k  2x  1   k 0 k k i k  i   k    39  k x18  2k  2  xi  1    k 0 i 0  k  i  k i k  i   k    39  k  2   1    x18  2k  i k 0 i 0  k  i    Vậy 18  2k  i    k,i    6,0 ;  7,2 ;  8,4 ; 9,6 Thế vào ta :   2   1 i 9k k i  n  k      2268  27216  30240  5376  84  k  i  Hệ số x  x6   84 Nhận xét : Thử với toán khó hơn, liệu giải pháp có tối ưu không : Ví dụ : Tìm hệ số x sau khai triển biểu thức :  f  x   x  2x  x  Hướng dẫn : Với k ,k ,k ,k   12 , ta có hệ phương trình sau : k0  k1  k  k  12  k1  3k  4k  Khi : k4 0 0 1 Footer Page of 258 BÙI THẾ VIỆT k3 k1 k0 9  1760   354816  4055040    452320   901120  354816   3041280  337920 Trang Header Page of 258 GROUP : CASIO Luyện Thi THPT Quốc Gia Kết luận : Hệ số x  x9   452320 Nhận xét : Rất nhanh khoa học ! Chúng ta chẳng cần phải phá thành tổng n nhỏ hơn, tính   hay C kn Đơn giản công thức : k n! xm    a kt t a kt t 11 a kt t 22 a1k1 a 0k0   k t !k t 1 !k t  ! k0! Hy vọng bạn đọc hiểu ý tưởng làm mà muốn chia sẻ Có thể đầu lạ, làm nhiều thành quen … Tuy nhiên, áp dụng vào đề thi trắc nghiệm ? Để giải câu hỏi này, cần tới trợ giúp CASIO Sẽ có hai vấn đề lớn cần giải :  Làm để tìm hết giá trị k ,k1 ,k , ,k t giải HPT ?  Làm để tính  k !k t n! a kt t a kt t11 a kt t 22 a1k1 a 0k0 nhanh chóng ? !k t  ! k 0! t 1 Trước tiên, HPT đặc biệt :  Nghiệm số tự nhiên  PT(1) có hệ số  PT(2) có hệ số tăng dần số k tăng Vậy cách quét hết nghiệm HPT đơn giản Chỉ cần đặt bút lên nháp, giống bảng giá trị Ví dụ 3, lấy hết nghiệm HPT nhờ quy luật tự nhiên Ví dụ k  , k tăng dần từ đến k giảm    … Khá thú vị Còn việc tính tổng  k !k t n! a kt t a kt t11 a kt t 22 a1k1 a 0k0 ? !k t  ! k 0! t 1 Chắc hẳn bạn đọc biết tới phím chức CALC, STO, M+ để gán giá trị cách nhanh chóng Vậy :  Cách : Gõ biểu thức tổng quát (ví dụ B 12!   2   D Ví dụ 3) A!B!C!D! Sau ấn CALC, máy hỏi giá trị A, B, C, D cần gán Nhập giá trị A, B, C, D (ví dụ ấn = = = =), máy giá trị biểu thức ứng với A, B, C, D vừa gán (máy B 12!   2   D  1760 ) A!B!C!D! Lưu kết nháp sau cộng chúng lại, ta đáp án  Cách : Sau lần CALC xong, cộng dồn lưu giá trị vào biến nhớ Ví dụ vừa tính Footer Page of 258 BÙI THẾ VIỆT B 12!   2   D  1760 A!B!C!D! Trang GROUP : CASIO Luyện Thi THPT Quốc Gia Header Page of 258 Ta lưu vào X phím Shift + STO + X, sau tính giá trị biểu thức  B 12!   2   D  354816 , ta lấy X  Ans  X A!B!C!D! Cách : Đầu tiên ta gán cho M (  M ) Sau lần tính xong, ấn M+ máy tự động thêm vào M ( M  Ans  M ) Để làm quen với phương pháp mới, tập làm ví dụ C – THỰC HIỆN : Ví dụ : Tìm hệ số x sau khai triển biểu thức : f  x    2x   12 (THPT Nam Yên Thành – Nghệ An – Lần – 2015) Hướng dẫn : Với k1 ,k  , ta có hệ phương trình sau : k0  k1  12   k1 ,k    3,9    k1  12!    3   34642080 Vậy :  x   3!9! Kết luận : Hệ số x  x   34642080 Ví dụ : Cho n số tự nhiên thỏa mãn 2C1n  C 2n  n  Tìm hệ số x sau khai triển biểu thức :  2 f  x    x3   x  n (THPT Nguyễn Trung Thiên – Hà Tĩnh – Lần – 2015)  Hướng dẫn : Thử giá trị n TABLE, ta thấy n  Vậy f  x   x  2x 1 Với k ,k 1   , ta có hệ phương trình sau : k 1  k    k ,k 1    3,4   k 1  3k  7!    2   560 Vậy :  x   3!4! Kết luận : Hệ số x  x   560 Ví dụ : Cho n số nguyên dương thỏa mãn 4C 3n   2C n2  A n3 Tìm hệ số x7 sau khai triển biểu thức :  2 f  x    x2   x  n (THPT Bình Thạnh – Tây Ninh – 2015) Footer Page of 258 BÙI THẾ VIỆT (THPT Chuyên Đại học Vinh – Nghệ An – Khối A,A1 – Lần – 2013) Trang GROUP : CASIO Luyện Thi THPT Quốc Gia Header Page of 258 Hướng dẫn : Không giải trực tiếp phương trình 4C 3n   2C n2  A n3 mà thử  TABLE, ta thấy phương trình có nghiệm n  11 Vậy f  x   x  2x 1 Với k ,k 1   11 , ta có hệ phương trình sau : k 1  k  11   k ,k 1    6,5   2k  k 1  11! Vậy :  x7      2   14784 6!5! Kết luận : Hệ số x7  x7   14784 Ví dụ : Tìm số hạng không chứa x khai triển nhị thức Newton :   f  x    x   với x  x  (Đề thi Tuyển Sinh Đại Học, Cao Đẳng – khối D – 2004)   Hướng dẫn : Ta có f  x    x    x1/  x 1/ x  Với k1/ ,k 1/  , ta có hệ phương trình sau :   k 1/  k1/     k1/ ,k 1/    3,4  1 k  k   1/ 1/ 3 7!    35 Vậy :  x0   3!4! Kết luận : Hệ số x  x0   35 Ví dụ : Cho n số nguyên dương thỏa mãn C1n  C2n  C3n   C nn  255 Hãy tìm số hạng chứa x14 khai triển :  f  x    x  3x  n (THPT Chuyên Lê Hồng Phong – Nam Định – Lần – 2013) Hướng dẫn : Ta có C1n  C 2n  C 3n   C nn  255  n   255  n  Với k ,k ,k  , ta có hệ phương trình sau :  k  k1  k    k ,k1 ,k0    6,2,0  ;  7,0,1  k  2k  14  8! 8!  36   37  20412  17496  37908 Vậy :  x14   6!2!0! 7!0!1! Kết luận : Hệ số x14  x14   37908 Footer Page of 258 BÙI THẾ VIỆT Trang GROUP : CASIO Luyện Thi THPT Quốc Gia Header Page of 258 Ví dụ : Tìm hệ số x khai triển đa thức:  f  x    2x  3x  10 (Thử sức trước kỳ thi – Báo TH&TT – Đề số – 2011) Hướng dẫn : Với k ,k ,k  , ta có hệ phương trình sau : k2 k  k1  k  10   k1  2k  k1 k0  3360  4320  405    8085 Kết luận : Hệ số x  x   8085 Ví dụ 10 : Cho n số nguyên dương thỏa mãn A 2n  C nn 11  4n  Hãy tìm số hạng không chứa x khai triển nhị thức Newton :  1 f  x    2x   x  n (THPT Ngọc Tảo – Hà Nội – 2016)  Hướng dẫn : Thành thử ta thấy n  12 Khi f  x   2x  x 1 Với k ,k 1   12 , ta có hệ phương trình sau :  k 1  k  12   k ,k 1    3,9    k 1  3k  12!   1760 Vậy :  x0   3!9! Kết luận : Hệ số x  x0   1760 Ví dụ 11 : Tìm số hạng chứa x khai triển nhị thức Newton biểu thức :   f x   x   x   (THPT Lam Kinh – Thanh Hóa – Lần – 2016) Hướng dẫn : Với k1 ,k 2  , ta có hệ phương trình sau : k 2  k1    k1 ,k 2    7,2   2k 2  k1  9!   2   144 Vậy :  x   7!2! Kết luận : Hệ số x  x   144 Footer Page of 258 BÙI THẾ VIỆT Trang GROUP : CASIO Luyện Thi THPT Quốc Gia Header Page of 258 2n   C 2n   C 2n  1024 Ví dụ 12 : Cho n số nguyên dương thỏa mãn C12n   C 2n 1 1 1 Hãy tìm số hạng chứa x7 khai triển nhị thức Newton biểu thức : f  x     4x  n (THPT Chuyên Amsterdam – Hà Nội – Khối A – 2013) Hướng dẫn : Giả thiết cho ta 22n  1024  n  Khi f  x     4x  Với k1 ,k  , ta có hệ phương trình sau :  k  k1   không tồn k1 ,k    k1  Kết luận : Hệ số x7  x7   Ví dụ 13 : Tìm số hạng có giá trị tuyệt đối lớn khai triển đa thức: a  b 50 biết a  b (Thử sức trước kỳ thi – Báo TH&TT – Đề số – 2011) 50! Hướng dẫn : Chuẩn hóa b  a  x , ta tìm hệ số  x k    k! 50  k  ! Thành thử giá trị 50!  k! 50  k  !     k k TABLE, ta thấy : a k  max  7.77145  10 20  k  32   Kết luận : Hệ số có giá trị tuyệt đối lớn a 32 b18  Ví dụ 14 : Tìm số hạng chứa x khai triển nhị thức Newton biểu thức : f  x     2x  10 x x1  (THPT Trần Quốc Tuấn – Phú Yên – Khối A, B – 2013) Hướng dẫn : Lưu ý x  2x  1 x1 3 f  x     2x  10 x x1 Do :  14 12 10  2x     2x     2x   16 16 14! 12! 10!  2   2     12012  22176  7560  41748 Vậy :  x   16 6!8! 6!6! 16 6!4!  Kết luận : Hệ số x  x6   41748 Footer Page of 258 BÙI THẾ VIỆT Trang GROUP : CASIO Luyện Thi THPT Quốc Gia Header Page of 258 Ví dụ 15 : Cho n số nguyên dương thỏa mãn : n  5n  15   log n  5n  15   n  5n  15 log   Hãy tìm số hạng chứa x khai triển nhị thức Newton biểu thức :  f  x    x  x2  n (THPT Tứ Kỳ – Hải Dương – Khối A, B, D – Lần – 2011)   Hướng dẫn : Thành thử CASIO, ta mò n  Vậy f  x    x  x2 Với k ,k ,k  , ta có hệ phương trình sau : k2  k  k1  k    k1  2k  k1 k0  70  168  28    266 Kết luận : Hệ số x  x   266 Ví dụ 16 : Cho n số nguyên dương thỏa mãn n  5log4 n  nlog4 Hãy tìm số hạng chứa x khai triển nhị thức Newton biểu thức :  1 f  x     x4   x  3n (THPT Lương Ngọc Quyến – Thái Nguyên – Khối A, B, A1 – 2013) Hướng dẫn : Thành thử CASIO, ta mò n   Vậy f  x   x   x 1 Với k ,k ,k 1   12 , ta có hệ phương trình sau : k4 k 1  k  k  12   k 1  4k  k k 1 10  66  27720  495    27159 Kết luận : Hệ số x  x8   27159 Ví dụ 17 : Tìm số hạng chứa x khai triển nhị thức Newton biểu thức :  f  x    x2  x3  (THPT Số Tuy Phước – Bình Định – Khối A, A1 – Lần – 2013) Hướng dẫn : Với k ,k ,k  Footer Page of 258 BÙI THẾ VIỆT , ta có hệ phương trình sau : k3 k  k  k    2k  3k  k2 k0 70 168    238 Trang GROUP : CASIO Luyện Thi THPT Quốc Gia Header Page 10 of 258 Kết luận : Hệ số x  x8   238 Ví dụ 18 : Cho n số nguyên dương thỏa mãn C nn 1  C nn   36 Hãy tìm số hạng chứa x khai triển nhị thức Newton biểu thức :  f  x    2x  x  n (THPT Lương Ngọc Quyến – Thái Nguyên – Khối A, B, A1 – 2013) Hướng dẫn : Thành thử CASIO, ta mò n    Vậy f  x    2x  x Với k ,k ,k  , ta có hệ phương trình sau : k3 k  k  k    2k  3k  k2 k0 1120 336    1456 Kết luận : Hệ số x  x8   1456 Ví dụ 19 : Cho n số nguyên dương thỏa mãn C0n  C1n   C nn  2048 Hãy tìm số hạng chứa x19 khai triển nhị thức Newton biểu thức : f  x    2x  1  x   n (THPT Đức Thọ – Hà Tĩnh – Khối A – Lần – 2013) Hướng dẫn : Ta có C0n  C1n   C nn  n  n  11 Vậy f  x    2x  1  x   11 Giả sử  2x  1 có số hạng ax u  x   có số hạng bxv u  v  19 11 Từ ta tìm  u,v    9,10  ;  8,11  11! 11 9!       1  8960 Vậy  x19   29  10! 8! Kết luận : Hệ số x19  x19   8960 Ví dụ 19 : Cho n số nguyên dương thỏa mãn C nn  14  C nn    n   Hãy tìm số hạng chứa x khai triển nhị thức Newton biểu thức :   n f  x     x  3x    n2 (THPT Cù Huy Cận – Hà Tĩnh – Khối A, A1, B, D – Lần – 2013) Hướng dẫn : Thành thử CASIO, ta mò n  12  Vậy f  x    2x  3x Footer Page 10 of 258 BÙI THẾ VIỆT  10 Với k ,k ,k  , ta có hệ phương trình sau : Trang 10 GROUP : CASIO Luyện Thi THPT Quốc Gia Header Page 11 of 258 k2 k  k1  k  10   k1  2k  k1 k0  3360  4320  405    8085 Kết luận : Hệ số x  x   8085 Ví dụ 20 : Tìm số hạng chứa x2010 khai triển nhị thức Newton biểu thức :   f  x   x   x   2016 (THPT Lý Thái Tổ – Bắc Ninh – 2016) Hướng dẫn : Với k1 ,k 2  , ta có hệ phương trình sau : k 2  k1  2016   k1 ,k 2    2014,2    2k  k  2010 2  2016!  2  8124480 Vậy  x 2010   2014!2! Kết luận : Hệ số x2010  x 2010   8124480 Nhận xét : Bạn đọc thấy, đề thi thử yêu cầu khai triển mức  a  b   a  b  c  Vậy với khó  a  b  c  d  ? n n n D – MỞ RỘNG : Ví dụ 21 : Tìm hệ số x7 sau khai triển biểu thức :  f  x   2x  x  x  Hướng dẫn : Với k ,k ,k ,k   , ta có hệ phương trình sau : k3 0 k  k1  k  k    k1  2k  3k  1 k2 k1 k0 24 1512 15120  22680    193560 15120 136080 81648 163296 Kết luận : Hệ số x7  x7   193560 Ví dụ 22 : Tìm hệ số x sau khai triển biểu thức :  f  x   5x  x  2x  Footer Page 11 of 258 BÙI THẾ VIỆT  200 Trang 11 Header Page 12 of 258 GROUP : CASIO Luyện Thi THPT Quốc Gia Hướng dẫn : Với k ,k ,k ,k  , ta có hệ phương trình sau : k4 k  k  k  k  200   2k  3k  4k  k3 k2 k0 196 2069918400     1989801000 197 1313400 197 78804000 Kết luận : Hệ số x  x9   1989801000 Ví dụ 23 : Tìm hệ số sau khai triển biểu thức : x188 100   f  x    2x7  4x  3x   x   Hướng dẫn : Với k7 ,k ,k ,k 2  , ta có hệ phương trình sau : k7 k 2  k1  k  k7  100   2k 2  k1  5k  7k  188 Kết luận : Hệ số k5 0 k1 k 2 96  317619225    317559825 98 59400  x 188   317559825 188 x Ví dụ 24 : Tìm hệ số x58 sau khai triển biểu thức :  f  x   x  x  2x  x  2x  Hướng dẫn : Với k ,k ,k ,k ,k ,k   13 , ta có hệ phương trình sau : k  k1  k  k  k  k  13  k1  2k  3k  4k  5k  58 k k k k k1 k 0 0 1716 0 20592 0 51480 0 6435 0 22880 1 0 17160      19877 0 5720 10 0 3432 10 0 858 10 1 6864 10 0 858 11 0 1 312 11 0 312 Footer Page 12 of 258 BÙI THẾ VIỆT Trang 12 GROUP : CASIO Luyện Thi THPT Quốc Gia Header Page 13 of 258 Kết luận : Hệ số x58  x 58   19877 D – BÀI TẬP TỰ LUYỆN : Bài : Tìm hệ số x sau khai triển:  4x   12 10   Bài : Tìm hệ số x sau khai triển:  2x   x   10 18   Bài : Tìm hệ số không chứa x sau khai triển:  4x7   x       Bài : Tìm hệ số x sau khai triển: 3x  2x  Bài : Tìm hệ số x10 sau khai triển: x  4x  10 20 100 193 Bài : Tìm hệ số x   sau khai triển:  x    x x    Bài : Tìm hệ số x10 sau khai triển: x  2x  x    Bài : Tìm hệ số x2017 sau khai triển: x10  2x  x   204   Bài : Tìm hệ số không chứa x sau khai triển:  x     x x x    Bài 10 : Tìm hệ số x13 sau khai triển:  x  x  x   x13  13 E – ĐÁP ÁN : Bài : 10450944 Bài : 11520 Bài : 783360 Bài : 768000 Bài : 49807360 Bài : 19800 Bài : 316 Bài : 8365224 Bài : 220 Bài 10 : 5200300 P/s : Chia sẻ, chép vui lòng ghi rõ nguồn tác giả : Bùi Thế Việt Xin cám ơn Footer Page 13 of 258 BÙI THẾ VIỆT Trang 13 ... Tìm hệ số x sau khai triển:  2x   x   10 18   Bài : Tìm hệ số không chứa x sau khai triển:  4x7   x       Bài : Tìm hệ số x sau khai triển: 3x  2x  Bài : Tìm hệ số x10 sau khai. .. sau khai triển: x  4x  10 20 100 193 Bài : Tìm hệ số x   sau khai triển:  x    x x    Bài : Tìm hệ số x10 sau khai triển: x  2x  x    Bài : Tìm hệ số x2017 sau khai triển: x10... 12 of 258 BÙI THẾ VIỆT Trang 12 GROUP : CASIO Luyện Thi THPT Quốc Gia Header Page 13 of 258 Kết luận : Hệ số x58  x 58   19877 D – BÀI TẬP TỰ LUYỆN : Bài : Tìm hệ số x sau khai triển: 