1. Trang chủ
  2. » Trung học cơ sở - phổ thông

Hàm số bậc nhất – Chuyên đề đại số 10 - Tài liệu học tập - Hoc360.net

11 32 0

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 11
Dung lượng 865,48 KB

Nội dung

➢ DẠNG TOÁN 4: ỨNG DỤNG CỦA HÀM SỐ BẬC NHẤT TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC VÀ TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT, LỚN NHẤT.. Phương pháp giải1[r]

(1)

§2: HÀM SỐ BẬC NHẤT A TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1 Định nghĩa: Hàm số bậc hàm số có dạng y ax b (a 0)

2 Sự biến thiên

TXĐ: D

Hàm số số đồng biến a nghịch biến a Bảng biến thiên

x

y ax b

(a )

3 Đồ thị

Đồ thị hàm số y ax b (a 0) đường thẳng có hệ số góc a, cắt trục hồnh

; b A

a trục tung B 0;b Chú ý:

Nếu a y b hàm số hằng, đồ thị đường thẳng song song trùng với trục hồnh

Phương trình x a đường thẳng(nhưng hàm số) vng góc với trục tọa độ cắt điểm có hồnh độ a

Cho đường thẳng d có hệ số góc k , d qua điểm M x y0; 0 , phương trình đường thẳng d là: y y0 a x x0

B CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

DẠNG TOÁN 1: XÁC ĐỊNH HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ SỰ TƯƠNG GIAO GIỮA ĐỒ THỊ CÁC HÀM SỐ

1 Phương pháp giải

Để xác định hàm số bậc ta sau

Gọi hàm số cần tìm lày ax b a, Căn theo giả thiết toán để thiết lập giải hệ phương trình với ẩn a b, , từ suy hàm số cần tìm

Cho hai đường thẳng d1 :y a x1 b1 d2 :y a x2 b2 Khi đó: a) d1 d2 trùng

1

;

a a

b b

b) d1 d2 song song

1

;

a a

b b

c) d1 d2 cắt a1 a2 Và tọa độ giao điểm nghiệm hệ phương trình 1

2

y a x b y a x b

d) d1 d2 vng góc a a1 2

2 Các ví dụ minh họa.

Ví dụ Cho hàm số bậc có đồ thị đường thẳng d Tìm hàm số biết: x

y ax b

(a )

(2)

a) d qua A(1; 3), (2; 1)B

b) d qua C(3; 2) song song với : 3x 2y

c) d qua M(1;2) cắt hai tia Ox Oy, P Q, cho S OPQ nhỏ d) d qua N 2; d d' với d' :y 4x

Lời giải

Gọi hàm số cần tìm y ax b a,

a) Vì A d B d nên ta có hệ phương trình

3

1

a b a

a b b

Vậy hàm số cần tìm y 4x

b) Ta có :

2

y x Vì d / / nên

3 2

a b

(1)

Mặt khác C d 3a b (2) Từ (1) (2) suy

3 13

2

a b

Vậy hàm số cần tìm 13

2

y x

c) Đường thẳng d cắt trục Ox P b;0

a cắt Oy Q 0;b với a 0,b

Suy

2

1

2 2

OPQ

b b

S OP OQ b

a a (3)

Ta có M d a b b a thay vào (3) ta

2

2 2

2

2

OPQ

a a

S

a a

Áp dụng bất đẳng thức cơsi ta có

2

2

2 OPQ

a a

S

a a

Đẳng thức xảy

2

2

2

a

a b

a a

Vậy hàm số cần tìm y 2x

d) Đường thẳng d qua N 2; nên 2a b (4)

Và ' 1

4

d d a a thay vào (4) ta

2

(3)

Vậy hàm số cần tìm 1

4

y x

Ví dụ 2: Cho hai đường thẳng d y: x , ' :m d y 3x 2(m tham số) a) Chứng minh hai đường thẳng d d, ' cắt tìm tọa độ giao điểm chúng b) Tìm m để ba đường thẳng d d, ' d" :y mx phân biệt đồng quy

Lời giải

a) Ta có ad ad' suy hai đường thẳng d d, 'cắt

Tọa độ giao điểm hai đường thẳng d d, ' nghiệm hệ phương trình

3

y x m x m

y x y m

suy d d, ' cắt tạiM m 1;3m

b) Vì ba đường thẳng d d d, ', " đồng quy nên M d" ta có

2

3 1 2

3 m

m m m m m

m

Với m ta có ba đường thẳng d y: x 2, ' :d y 3x 2, " :d y x 2, phân biệt đồng quy M 0;2

Với m ta có d' d" suy m khơng thỏa mãn Vậy m giá trị cần tìm

Ví dụ 3: Cho đường thẳng d y: m x m d' :y m2 x a) Tìm m để hai đường thẳng d d, ' song song với

b) Tìm m để đường thẳng d cắt trục tung A, d' cắt trục hoành B cho tam giác OAB cân O Lời giải

a) Với m ta có d y: 1, ' :d y hai đường thẳng song song với

Với m ta có d y: 2x 1, ' :d y suy hai đường thẳng cắt 7;6

2

M

Với m hai đường thẳng đồ thị hàm số bậc nên song song với

khi

2 1

1

0

0

6 m

m

m m

m

m m

m

Đối chiếu với điều kiện m suy m Vậy m m giá trị cần tìm

b) Ta có tọa độ điểm A nghiệm hệ 0;

0

y m x m x

A m

x y m

Tọa độ điểm B nghiệm hệ

2 1 6 1 6 0

0

y m x m x

y y (*)

(4)

Với m ta có (*)

2

6

6 ;

1

x

B m

m y

Do tam giác OAB cân 2

1

O m

m

3

3 6

6

m m

m m

m m

3

3

6

2

6

m m m

m

m m (thỏa mãn)

Vậy m giá trị cần tìm

3 Bài tập luyện tập

Bài 2.16: Cho hàm số bậc có đồ thị đường thẳng d Tìm hàm số biết:

a) d qua A(1;1), (3; 2)B

b) d qua C(2; 2) song song với :x y

c) d qua M(1;2) cắt hai tia Ox Oy, P Q, cho OPQ cân O d) d qua N 1; d d' với d' :y x

Bài 2.17: Tìm m để ba đường thẳng d y: , ' :x d y x 6, '' :d y m x2 5m phân biệt đồng quy

DẠNG TOÁN 2: XÉT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SÔ BẬC NHẤT 1 Các ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Lập bảng biến thiên vẽ đồ thị hàm số sau

a) y 3x

2

y x

Lời giải

a) TXĐ: D , a suy hàm số đồng biến Bảng biến thiên

Đồ thị hàm số y 3x qua A 2;0 , B 1;3

x

3

y x

x y

3

-1

(5)

b) TXĐ: D ,

2

a suy hàm số nghịch biến Bảng biến thiên

Đồ thị hàm số

2

y x qua 3;0 , 0;3

2

A B

Ví dụ 2. Cho hàm số : y 2x 3,y x 3,y a) Vẽ đồ thị hàm số

b) Dựa vào đồ thị xác định giao điểm đồ thị hàm số

Lời giải

a) Đường thẳng y 2x qua điểm

3

0; , ;0

2

A B

Đường thẳng y x qua điểm

0; , 3;0

A C

Đường thẳng y song song với trục hoành cắt trục

tung điểm có tung độ -2

b) Đường thẳng y 2x 3,y x cắt

0;

A , Đường thẳng y x 3,y cắt

' 1;

A , Đường thẳng y 2x 3,y cắt " 1;

2

A

Ví dụ 3: Cho đồ thị hàm số có đồ thị C (hình vẽ) a) Hãy lập bảng biến thiên hàm số 3;3 b) Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số

4;2 Lời giải

a) Bảng biến thiên hàm số 3;3

b) Dựa vào đồ thị hàm số cho ta có

4;2

max khix

x

1

2

y x

x

y

x y

3

O 1

3/2

x y

-3 -1

-2 -3

O 1

3

x y

4

-3

-3 -1 2

-1 -2 3

1 2

3 -2

(6)

4;2

min x

2 Bài tập luyện tập

Bài 2.18: Cho hàm số : 3, 2,

y x y x y

a) Vẽ đồ thị hàm số

b) Dựa vào đồ thị xác định giao điểm đồ thị hàm số

Bài 2.19: Cho đồ thị hàm số có đồ thị C (hình vẽ) a) Hãy lập bảng biến thiên hàm số 3;3

b) Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số 2;2

DẠNG TOÁN 3: ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ CHỨA DẤU TRỊ TUYỆT ĐỐI y ax b

1 Phương pháp giải

Vẽ đồ thị C hàm số y ax b ta làm sau

Cách 1: Vẽ C1 đường thẳng y ax b với phần đồ thị cho hoành độx thỏa mãn x b

a , Vẽ

C đường thẳng y ax b lấy phần đồ thị cho x b

a Khi C hợp hai đồ thị C1

C2

Cách 2: Vẽ đường thẳng y ax b y ax b xóa phần đường thẳng nằm trục hoành

Phần đường thẳng nằm trục hồnh C

Chú ý:

Biết trước đồ thị C :y f x đồ thị C1 :y f x gồm phần : - Giữ nguyên đồ thị C bên phải trục tung;

- Lấy đối xứng đồ thị C bên phải trục tung qua trục tung

Biết trước đồ thị C :y f x đồ thị C2 :y f x gồm phần: - Giữ nguyên đồ thị C phía trục hoành

- Lấy đối xứng đồ thị C trục hoành lấy đối xứng qua trục hồnh

2 Các ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Vẽ đồ thị hàm số sau

a)

0 x khi x y

x khi x b)y 3x

x y

3 2

-3

-2 3

(7)

Lời giải

a) Với x đồ thị hàm số y 2x phần đường thẳng qua hai điểm

0;0 , 1;2

O A nằm bên phải đường thẳng x

Với x đồ thị hàm số y x phần đường thẳng qua hai điểm

1;1 , 2;2

B C nằm bên trái đường thẳng x

b) Vẽ hai đường thẳng y 3x y 3x lấy phần đường thẳng nằm trục hồnh

Ví dụ 2: Vẽ đồ thị hàm số sau

a) y x b) y x

Lời giải

a) Cách 1: Ta có

2

x khi x y

x khi x

Vẽ đường thẳng y x qua hai điểm

A 0; , B 2;0 lấy phần đường thẳng bên phải

trục tung

Vẽ đường thẳng y x qua hai điểm

0; , 2;0

A C lấy phần đường thẳng bên trái

trục tung

Cách 2: Đường thẳng d y: x qua

A 0; , B 2;0

Khi đồ thị hàm số y x phần đường thẳng d nằm bên phải trục tung phần đối xứng qua trục tung

b) Đồ thị y x gồm phần:

- Giữ nguyên đồ thị hàm số y x phía trục hồnh

- Lấy đối xứng phần đồ thị hàm số y x phía trục hồnh lấy đối xứng qua trục hồnh

Ví dụ 3: Cho đồ thị ( ) :C y x 2x a) Vẽ ( )C

b) Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số với x 3;4 Lời giải

x y

-2 2

O 1 x

y

O 1

x y

-2

2 -2 O 1

x y

2

2

(8)

a) Ta có

3

5 12

2

x khi x

y x khi x

x khi x

Vẽ đường thẳng y x qua hai điểm O 0;0 ,A 1;1 lấy phần đường thẳng bên phải đường thẳng x

Vẽ đường thẳng y 5x 12 qua hai điểm

3;3 , 2;

B C lấy phần đường thẳng nằm hai

đường thẳng x 2,x

Vẽ đường thẳng y x qua hai điểm

0;0 , 1;

O D lấy phần đường thẳng bên trái đường

thẳng x

b) Dựa vào đồ thị hàm số ta có

3;4

maxy x

3;4

miny x

Ví dụ 4: Lập bảng biến thiêncủa hàm số sau

a) y x2 x2 2x b) y x2 4x x Từ tìm giá trị nhỏ lớn hàm số 2;2 Lời giải

a) Ta có

2 1

1 1

1

x khi x

y x x khi x

x x

Bảng biến thiên

x

y

Ta có y 5,y

Dựa vào bảng biến thiên ta có

2;2

maxy x

2;2

miny x 0;1

b) Ta có

1

2

1

khi x

y x x x khi x

khi x

x y

1 -1

3 2

-3 -2

-1 2 3

(9)

x

y 1

Ta có y 1,y Dựa vào bảng biến thiên ta có

2;2

maxy x

2;2

miny x

3 Bài tập luyện tập

Bài 2.20: Vẽ đồ thị hàm số y 2x Từ suy đồ thị của:

1 : 3,

C y x C2 :y 2x , C3 :y x

Bài 2.21: Lập bảng biến thiênvà vẽ đồ thị hàm số sau

2 4 4 3 2 1

y x x x x

Từ tìm giá trị nhỏ lớn hàm số 0;2

Bài 2.22: a)Lập bảng biến thiêncủa hàm số

2 4 4

2

x x

y x

x

b) Biện luận số giao điểm đồ thị hàm số với đường thẳng y m theo m

DẠNG TOÁN 4:ỨNG DỤNG CỦA HÀM SỐ BẬC NHẤT TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC VÀ TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT, LỚN NHẤT

1 Phương pháp giải

Cho hàm số f x ax b đoạn ; Khi đó, đồ thị hàm số y = f(x) [ ; ] đoạn thẳng nên ta có số tính chất:

 ,

maxf(x) = max{f(); f(},

 ,

minf(x) = min{f(); f(},

 ,

max ( )f x max f( ) ; ( )f

Áp dụng tính chất đơn giản cho

cách giải nhiều toán cách thú vị, ngắn gọn, hiệu

2 Các ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hàm số f x 2x m Tìm m để giá trị lớn

f x 1;2 đạt giá trị nhỏ Lời giải

Dựa vào nhận xét ta thấy

[1;2]

max ( )f x đạt x x

f() f()

(10)

Như đặt M =

[1;2]

max ( )f x M f m M f m Ta có

2 (2 ) ( 4)

(1) (2)

1

2 2

m m

M f f m m

Đẳng thức xảy (2 )( 4)

m m

m

m m

Vậy giá trị nhỏ M 1, đạt m =

Ví dụ 2: Cho hàm số y 2x x2 3m Tìm m để giá trị lớn hàm số y nhỏ Lời giải

Gọi A maxy Ta đặt t 2x x2 t 1 x 1

t Khi hàm số viết lại y t 3m với t 0;1 suy

[0,1]

3

max max ,

2

m m

A t m m m

Áp dụng BĐT trị tuyệt đối ta có

3m 3m 3m 3m

Do

2

A Đẳng thức xảy

2 m Vậy giá trị cần tìm

2 m

Ví dụ 3: Cho a b c, , thuộc 0;2 Chứng minh rằng: a b c ab bc ca Lời giải

Viết bất đẳng thức lại thành b c a b c bc

Xét hàm số bậc f a b c a b c bc với ẩn a 0;2 Ta có: f b c bc b c

2 2

f b c b c bc bc

Suy f a max f ;f đpcm

Ví dụ 4: Cho số thực khơng âm x y z, , thoả mãn x y z Chứng minh x2 y2 z2 xyz 4

Lời giải

Bất đẳng thức t\ưng đương với (y z)2 2yz x2 xyz 4

2

(3 x) x yz x yz x( 2) 2x2 6x 5 0

Đặt t yz, yz yz ≤

2 2

(3 )

2

y z x

nên

2

(3 )

0;

x

t

(11)

Để chứng minh bất đẳng thức (2) ta chứng minh f 0

2

3

0

x

f

Thật vậy, ta có

2

2

0

2

f x x x

2

2

3 1

1

4

x

f x x

nên bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy x y z

3 Bài tập luyện tập Bài 2.23: Cho , ,

1

x y z

x y z Chứng minh

7

0

27 xy yz zx xyz

Bài 2.24: Cho , ,

3 x y z

x y z Chứng minh x2 y2 z2 xyz

Bài 2.25: Cho , ,

1 x y z

x y z Chứng minh

3 3 6

4

x y z xyz

Bài 2.26: Cho a b c, , Chứng minh a2 b2 c2 a b2 b c2 c a2

Bài 2.27: Cho , ,

1 x y z

x y z Chứng minh

2 2

27 x y y z z x

oup: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/

Ngày đăng: 04/04/2021, 17:36

TỪ KHÓA LIÊN QUAN

TÀI LIỆU CÙNG NGƯỜI DÙNG

TÀI LIỆU LIÊN QUAN

w