Hàm số bậc nhất – Chuyên đề đại số 10 - Tài liệu học tập - Hoc360.net

➢ DẠNG TOÁN 4: ỨNG DỤNG CỦA HÀM SỐ BẬC NHẤT TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC VÀ TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT, LỚN NHẤT.. Phương pháp giải1[r]

§2: HÀM SỐ BẬC NHẤT A TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1 Định nghĩa: Hàm số bậc hàm số có dạng y ax b (a 0)

2 Sự biến thiên

TXĐ: D

Hàm số số đồng biến a nghịch biến a Bảng biến thiên

x

y ax b

(a )

3 Đồ thị

Đồ thị hàm số y ax b (a 0) đường thẳng có hệ số góc a, cắt trục hồnh

; b A

a trục tung B 0;b Chú ý:

Nếu a y b hàm số hằng, đồ thị đường thẳng song song trùng với trục hồnh

Phương trình x a đường thẳng(nhưng hàm số) vng góc với trục tọa độ cắt điểm có hồnh độ a

Cho đường thẳng d có hệ số góc k , d qua điểm M x y0; 0 , phương trình đường thẳng d là: y y0 a x x0

B CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

➢ DẠNG TOÁN 1: XÁC ĐỊNH HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ SỰ TƯƠNG GIAO GIỮA ĐỒ THỊ CÁC HÀM SỐ

1 Phương pháp giải

Để xác định hàm số bậc ta sau

Gọi hàm số cần tìm lày ax b a, Căn theo giả thiết toán để thiết lập giải hệ phương trình với ẩn a b, , từ suy hàm số cần tìm

Cho hai đường thẳng d1 :y a x1 b1 d2 :y a x2 b2 Khi đó: a) d1 d2 trùng

1

;

a a

b b

b) d1 d2 song song

1

;

a a

b b

c) d1 d2 cắt a1 a2 Và tọa độ giao điểm nghiệm hệ phương trình 1

2

y a x b y a x b

d) d1 d2 vng góc a a1 2

2 Các ví dụ minh họa.

Ví dụ Cho hàm số bậc có đồ thị đường thẳng d Tìm hàm số biết: x

y ax b

(a )

a) d qua A(1; 3), (2; 1)B

b) d qua C(3; 2) song song với : 3x 2y

c) d qua M(1;2) cắt hai tia Ox Oy, P Q, cho S OPQ nhỏ d) d qua N 2; d d' với d' :y 4x

Lời giải

Gọi hàm số cần tìm y ax b a,

a) Vì A d B d nên ta có hệ phương trình

3

1

a b a

a b b

Vậy hàm số cần tìm y 4x

b) Ta có :

2

y x Vì d / / nên

3 2

a b

(1)

Mặt khác C d 3a b (2) Từ (1) (2) suy

3 13

2

a b

Vậy hàm số cần tìm 13

2

y x

c) Đường thẳng d cắt trục Ox P b;0

a cắt Oy Q 0;b với a 0,b

Suy

2

1

2 2

OPQ

b b

S OP OQ b

a a (3)

Ta có M d a b b a thay vào (3) ta

2

2 2

2

2

OPQ

a a

S

a a

Áp dụng bất đẳng thức cơsi ta có

2

2

2 OPQ

a a

S

a a

Đẳng thức xảy

2

2

2

a

a b

a a

Vậy hàm số cần tìm y 2x

d) Đường thẳng d qua N 2; nên 2a b (4)

Và ' 1

4

d d a a thay vào (4) ta

2

Vậy hàm số cần tìm 1

4

y x

Ví dụ 2: Cho hai đường thẳng d y: x , ' :m d y 3x 2(m tham số) a) Chứng minh hai đường thẳng d d, ' cắt tìm tọa độ giao điểm chúng b) Tìm m để ba đường thẳng d d, ' d" :y mx phân biệt đồng quy

Lời giải

a) Ta có ad ad' suy hai đường thẳng d d, 'cắt

Tọa độ giao điểm hai đường thẳng d d, ' nghiệm hệ phương trình

3

y x m x m

y x y m

suy d d, ' cắt tạiM m 1;3m

b) Vì ba đường thẳng d d d, ', " đồng quy nên M d" ta có

2

3 1 2

3 m

m m m m m

m

Với m ta có ba đường thẳng d y: x 2, ' :d y 3x 2, " :d y x 2, phân biệt đồng quy M 0;2

Với m ta có d' d" suy m khơng thỏa mãn Vậy m giá trị cần tìm

Ví dụ 3: Cho đường thẳng d y: m x m d' :y m2 x a) Tìm m để hai đường thẳng d d, ' song song với

b) Tìm m để đường thẳng d cắt trục tung A, d' cắt trục hoành B cho tam giác OAB cân O Lời giải

a) Với m ta có d y: 1, ' :d y hai đường thẳng song song với

Với m ta có d y: 2x 1, ' :d y suy hai đường thẳng cắt 7;6

2

M

Với m hai đường thẳng đồ thị hàm số bậc nên song song với

khi

2 1

1

0

0

6 m

m

m m

m

m m

m

Đối chiếu với điều kiện m suy m Vậy m m giá trị cần tìm

b) Ta có tọa độ điểm A nghiệm hệ 0;

0

y m x m x

A m

x y m

Tọa độ điểm B nghiệm hệ

2 1 6 1 6 0

0

y m x m x

y y (*)

Với m ta có (*)

2

6

6 ;

1

x

B m

m y

Do tam giác OAB cân 2

1

O m

m

3

3 6

6

m m

m m

m m

3

3

6

2

6

m m m

m

m m (thỏa mãn)

Vậy m giá trị cần tìm

3 Bài tập luyện tập

Bài 2.16: Cho hàm số bậc có đồ thị đường thẳng d Tìm hàm số biết:

a) d qua A(1;1), (3; 2)B

b) d qua C(2; 2) song song với :x y

c) d qua M(1;2) cắt hai tia Ox Oy, P Q, cho OPQ cân O d) d qua N 1; d d' với d' :y x

Bài 2.17: Tìm m để ba đường thẳng d y: , ' :x d y x 6, '' :d y m x2 5m phân biệt đồng quy

➢ DẠNG TOÁN 2: XÉT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SÔ BẬC NHẤT 1 Các ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Lập bảng biến thiên vẽ đồ thị hàm số sau

a) y 3x

2

y x

Lời giải

a) TXĐ: D , a suy hàm số đồng biến Bảng biến thiên

Đồ thị hàm số y 3x qua A 2;0 , B 1;3

x

3

y x

x y

3

-1

b) TXĐ: D ,

2

a suy hàm số nghịch biến Bảng biến thiên

Đồ thị hàm số

2

y x qua 3;0 , 0;3

2

A B

Ví dụ 2. Cho hàm số : y 2x 3,y x 3,y a) Vẽ đồ thị hàm số

b) Dựa vào đồ thị xác định giao điểm đồ thị hàm số

Lời giải

a) Đường thẳng y 2x qua điểm

3

0; , ;0

2

A B

Đường thẳng y x qua điểm

0; , 3;0

A C

Đường thẳng y song song với trục hoành cắt trục

tung điểm có tung độ -2

b) Đường thẳng y 2x 3,y x cắt

0;

A , Đường thẳng y x 3,y cắt

' 1;

A , Đường thẳng y 2x 3,y cắt " 1;

2

A

Ví dụ 3: Cho đồ thị hàm số có đồ thị C (hình vẽ) a) Hãy lập bảng biến thiên hàm số 3;3 b) Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số

4;2 Lời giải

a) Bảng biến thiên hàm số 3;3

b) Dựa vào đồ thị hàm số cho ta có

4;2

max khix

x

1

2

y x

x

y

x y

3

O 1

3/2

x y

-3 -1

-2 -3

O 1

3

x y

4

-3

-3 -1 2

-1 -2 3

1 2

3 -2

4;2

min x

2 Bài tập luyện tập

Bài 2.18: Cho hàm số : 3, 2,

y x y x y

a) Vẽ đồ thị hàm số

b) Dựa vào đồ thị xác định giao điểm đồ thị hàm số

Bài 2.19: Cho đồ thị hàm số có đồ thị C (hình vẽ) a) Hãy lập bảng biến thiên hàm số 3;3

b) Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số 2;2

➢ DẠNG TOÁN 3: ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ CHỨA DẤU TRỊ TUYỆT ĐỐI y ax b

1 Phương pháp giải

Vẽ đồ thị C hàm số y ax b ta làm sau

Cách 1: Vẽ C1 đường thẳng y ax b với phần đồ thị cho hoành độx thỏa mãn x b

a , Vẽ

C đường thẳng y ax b lấy phần đồ thị cho x b

a Khi C hợp hai đồ thị C1

và C2

Cách 2: Vẽ đường thẳng y ax b y ax b xóa phần đường thẳng nằm trục hoành

Phần đường thẳng nằm trục hồnh C

Chú ý:

Biết trước đồ thị C :y f x đồ thị C1 :y f x gồm phần : - Giữ nguyên đồ thị C bên phải trục tung;

- Lấy đối xứng đồ thị C bên phải trục tung qua trục tung

Biết trước đồ thị C :y f x đồ thị C2 :y f x gồm phần: - Giữ nguyên đồ thị C phía trục hoành

- Lấy đối xứng đồ thị C trục hoành lấy đối xứng qua trục hồnh

2 Các ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Vẽ đồ thị hàm số sau

a)

0 x khi x y

x khi x b)y 3x

x y

3 2

-3

-2 3

Lời giải

a) Với x đồ thị hàm số y 2x phần đường thẳng qua hai điểm

0;0 , 1;2

O A nằm bên phải đường thẳng x

Với x đồ thị hàm số y x phần đường thẳng qua hai điểm

1;1 , 2;2

B C nằm bên trái đường thẳng x

b) Vẽ hai đường thẳng y 3x y 3x lấy phần đường thẳng nằm trục hồnh

Ví dụ 2: Vẽ đồ thị hàm số sau

a) y x b) y x

Lời giải

a) Cách 1: Ta có

2

x khi x y

x khi x

Vẽ đường thẳng y x qua hai điểm

A 0; , B 2;0 lấy phần đường thẳng bên phải

trục tung

Vẽ đường thẳng y x qua hai điểm

0; , 2;0

A C lấy phần đường thẳng bên trái

trục tung

Cách 2: Đường thẳng d y: x qua

A 0; , B 2;0

Khi đồ thị hàm số y x phần đường thẳng d nằm bên phải trục tung phần đối xứng qua trục tung

b) Đồ thị y x gồm phần:

- Giữ nguyên đồ thị hàm số y x phía trục hồnh

- Lấy đối xứng phần đồ thị hàm số y x phía trục hồnh lấy đối xứng qua trục hồnh

Ví dụ 3: Cho đồ thị ( ) :C y x 2x a) Vẽ ( )C

b) Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số với x 3;4 Lời giải

x y

-2 2

O 1 x

y

O 1

x y

-2

2 -2 O 1

x y

2

2

a) Ta có

3

5 12

2

x khi x

y x khi x

x khi x

Vẽ đường thẳng y x qua hai điểm O 0;0 ,A 1;1 lấy phần đường thẳng bên phải đường thẳng x

Vẽ đường thẳng y 5x 12 qua hai điểm

3;3 , 2;

B C lấy phần đường thẳng nằm hai

đường thẳng x 2,x

Vẽ đường thẳng y x qua hai điểm

0;0 , 1;

O D lấy phần đường thẳng bên trái đường

thẳng x

b) Dựa vào đồ thị hàm số ta có

3;4

maxy x

3;4

miny x

Ví dụ 4: Lập bảng biến thiêncủa hàm số sau

a) y x2 x2 2x b) y x2 4x x Từ tìm giá trị nhỏ lớn hàm số 2;2 Lời giải

a) Ta có

2 1

1 1

1

x khi x

y x x khi x

x x

Bảng biến thiên

x

y

Ta có y 5,y

Dựa vào bảng biến thiên ta có

2;2

maxy x

2;2

miny x 0;1

b) Ta có

1

2

1

khi x

y x x x khi x

khi x

x y

1 -1

3 2

-3 -2

-1 2 3

x

y 1

Ta có y 1,y Dựa vào bảng biến thiên ta có

2;2

maxy x

2;2

miny x

3 Bài tập luyện tập

Bài 2.20: Vẽ đồ thị hàm số y 2x Từ suy đồ thị của:

1 : 3,

C y x C2 :y 2x , C3 :y x

Bài 2.21: Lập bảng biến thiênvà vẽ đồ thị hàm số sau

2 4 4 3 2 1

y x x x x

Từ tìm giá trị nhỏ lớn hàm số 0;2

Bài 2.22: a)Lập bảng biến thiêncủa hàm số

2 4 4

2

x x

y x

x

b) Biện luận số giao điểm đồ thị hàm số với đường thẳng y m theo m

➢ DẠNG TOÁN 4:ỨNG DỤNG CỦA HÀM SỐ BẬC NHẤT TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC VÀ TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT, LỚN NHẤT

1 Phương pháp giải

Cho hàm số f x ax b đoạn ; Khi đó, đồ thị hàm số y = f(x) [ ; ] đoạn thẳng nên ta có số tính chất:

 ,

maxf(x) = max{f(); f(},

 ,

minf(x) = min{f(); f(},

 ,

max ( )f x max f( ) ; ( )f

Áp dụng tính chất đơn giản cho

cách giải nhiều toán cách thú vị, ngắn gọn, hiệu

2 Các ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hàm số f x 2x m Tìm m để giá trị lớn

f x 1;2 đạt giá trị nhỏ Lời giải

Dựa vào nhận xét ta thấy

[1;2]

max ( )f x đạt x x



f() f()

Như đặt M =

[1;2]

max ( )f x M f m M f m Ta có

2 (2 ) ( 4)

(1) (2)

1

2 2

m m

M f f m m

Đẳng thức xảy (2 )( 4)

m m

m

m m

Vậy giá trị nhỏ M 1, đạt m =

Ví dụ 2: Cho hàm số y 2x x2 3m Tìm m để giá trị lớn hàm số y nhỏ Lời giải

Gọi A maxy Ta đặt t 2x x2 t 1 x 1

t Khi hàm số viết lại y t 3m với t 0;1 suy

[0,1]

3

max max ,

2

m m

A t m m m

Áp dụng BĐT trị tuyệt đối ta có

3m 3m 3m 3m

Do

2

A Đẳng thức xảy

2 m Vậy giá trị cần tìm

2 m

Ví dụ 3: Cho a b c, , thuộc 0;2 Chứng minh rằng: a b c ab bc ca Lời giải

Viết bất đẳng thức lại thành b c a b c bc

Xét hàm số bậc f a b c a b c bc với ẩn a 0;2 Ta có: f b c bc b c

2 2

f b c b c bc bc

Suy f a max f ;f đpcm

Ví dụ 4: Cho số thực khơng âm x y z, , thoả mãn x y z Chứng minh x2 y2 z2 xyz 4

Lời giải

Bất đẳng thức t\ưng đương với (y z)2 2yz x2 xyz 4

2

(3 x) x yz x yz x( 2) 2x2 6x 5 0

Đặt t yz, yz yz ≤

2 2

(3 )

2

y z x

nên

2

(3 )

0;

x

t

Để chứng minh bất đẳng thức (2) ta chứng minh f 0

2

3

0

x

f

Thật vậy, ta có

2

2

0

2

f x x x

2

2

3 1

1

4

x

f x x

nên bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy x y z

3 Bài tập luyện tập Bài 2.23: Cho , ,

1

x y z

x y z Chứng minh

7

0

27 xy yz zx xyz

Bài 2.24: Cho , ,

3 x y z

x y z Chứng minh x2 y2 z2 xyz

Bài 2.25: Cho , ,

1 x y z

x y z Chứng minh

3 3 6

4

x y z xyz

Bài 2.26: Cho a b c, , Chứng minh a2 b2 c2 a b2 b c2 c a2

Bài 2.27: Cho , ,

1 x y z

x y z Chứng minh

2 2

27 x y y z z x

oup: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/