➢ DẠNG TOÁN 4: ỨNG DỤNG CỦA HÀM SỐ BẬC NHẤT TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC VÀ TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT, LỚN NHẤT.. Phương pháp giải1[r]
(1)§2: HÀM SỐ BẬC NHẤT A TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1 Định nghĩa: Hàm số bậc hàm số có dạng y ax b (a 0)
2 Sự biến thiên
TXĐ: D
Hàm số số đồng biến a nghịch biến a Bảng biến thiên
x
y ax b
(a )
3 Đồ thị
Đồ thị hàm số y ax b (a 0) đường thẳng có hệ số góc a, cắt trục hồnh
; b A
a trục tung B 0;b Chú ý:
Nếu a y b hàm số hằng, đồ thị đường thẳng song song trùng với trục hồnh
Phương trình x a đường thẳng(nhưng hàm số) vng góc với trục tọa độ cắt điểm có hồnh độ a
Cho đường thẳng d có hệ số góc k , d qua điểm M x y0; 0 , phương trình đường thẳng d là: y y0 a x x0
B CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
➢ DẠNG TOÁN 1: XÁC ĐỊNH HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ SỰ TƯƠNG GIAO GIỮA ĐỒ THỊ CÁC HÀM SỐ
1 Phương pháp giải
Để xác định hàm số bậc ta sau
Gọi hàm số cần tìm lày ax b a, Căn theo giả thiết toán để thiết lập giải hệ phương trình với ẩn a b, , từ suy hàm số cần tìm
Cho hai đường thẳng d1 :y a x1 b1 d2 :y a x2 b2 Khi đó: a) d1 d2 trùng
1
;
a a
b b
b) d1 d2 song song
1
;
a a
b b
c) d1 d2 cắt a1 a2 Và tọa độ giao điểm nghiệm hệ phương trình 1
2
y a x b y a x b
d) d1 d2 vng góc a a1 2
2 Các ví dụ minh họa.
Ví dụ Cho hàm số bậc có đồ thị đường thẳng d Tìm hàm số biết: x
y ax b
(a )
(2)a) d qua A(1; 3), (2; 1)B
b) d qua C(3; 2) song song với : 3x 2y
c) d qua M(1;2) cắt hai tia Ox Oy, P Q, cho S OPQ nhỏ d) d qua N 2; d d' với d' :y 4x
Lời giải
Gọi hàm số cần tìm y ax b a,
a) Vì A d B d nên ta có hệ phương trình
3
1
a b a
a b b
Vậy hàm số cần tìm y 4x
b) Ta có :
2
y x Vì d / / nên
3 2
a b
(1)
Mặt khác C d 3a b (2) Từ (1) (2) suy
3 13
2
a b
Vậy hàm số cần tìm 13
2
y x
c) Đường thẳng d cắt trục Ox P b;0
a cắt Oy Q 0;b với a 0,b
Suy
2
1
2 2
OPQ
b b
S OP OQ b
a a (3)
Ta có M d a b b a thay vào (3) ta
2
2 2
2
2
OPQ
a a
S
a a
Áp dụng bất đẳng thức cơsi ta có
2
2
2 OPQ
a a
S
a a
Đẳng thức xảy
2
2
2
a
a b
a a
Vậy hàm số cần tìm y 2x
d) Đường thẳng d qua N 2; nên 2a b (4)
Và ' 1
4
d d a a thay vào (4) ta
2
(3)Vậy hàm số cần tìm 1
4
y x
Ví dụ 2: Cho hai đường thẳng d y: x , ' :m d y 3x 2(m tham số) a) Chứng minh hai đường thẳng d d, ' cắt tìm tọa độ giao điểm chúng b) Tìm m để ba đường thẳng d d, ' d" :y mx phân biệt đồng quy
Lời giải
a) Ta có ad ad' suy hai đường thẳng d d, 'cắt
Tọa độ giao điểm hai đường thẳng d d, ' nghiệm hệ phương trình
3
y x m x m
y x y m
suy d d, ' cắt tạiM m 1;3m
b) Vì ba đường thẳng d d d, ', " đồng quy nên M d" ta có
2
3 1 2
3 m
m m m m m
m
Với m ta có ba đường thẳng d y: x 2, ' :d y 3x 2, " :d y x 2, phân biệt đồng quy M 0;2
Với m ta có d' d" suy m khơng thỏa mãn Vậy m giá trị cần tìm
Ví dụ 3: Cho đường thẳng d y: m x m d' :y m2 x a) Tìm m để hai đường thẳng d d, ' song song với
b) Tìm m để đường thẳng d cắt trục tung A, d' cắt trục hoành B cho tam giác OAB cân O Lời giải
a) Với m ta có d y: 1, ' :d y hai đường thẳng song song với
Với m ta có d y: 2x 1, ' :d y suy hai đường thẳng cắt 7;6
2
M
Với m hai đường thẳng đồ thị hàm số bậc nên song song với
khi
2 1
1
0
0
6 m
m
m m
m
m m
m
Đối chiếu với điều kiện m suy m Vậy m m giá trị cần tìm
b) Ta có tọa độ điểm A nghiệm hệ 0;
0
y m x m x
A m
x y m
Tọa độ điểm B nghiệm hệ
2 1 6 1 6 0
0
y m x m x
y y (*)
(4)Với m ta có (*)
2
6
6 ;
1
x
B m
m y
Do tam giác OAB cân 2
1
O m
m
3
3 6
6
m m
m m
m m
3
3
6
2
6
m m m
m
m m (thỏa mãn)
Vậy m giá trị cần tìm
3 Bài tập luyện tập
Bài 2.16: Cho hàm số bậc có đồ thị đường thẳng d Tìm hàm số biết:
a) d qua A(1;1), (3; 2)B
b) d qua C(2; 2) song song với :x y
c) d qua M(1;2) cắt hai tia Ox Oy, P Q, cho OPQ cân O d) d qua N 1; d d' với d' :y x
Bài 2.17: Tìm m để ba đường thẳng d y: , ' :x d y x 6, '' :d y m x2 5m phân biệt đồng quy
➢ DẠNG TOÁN 2: XÉT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SÔ BẬC NHẤT 1 Các ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Lập bảng biến thiên vẽ đồ thị hàm số sau
a) y 3x
2
y x
Lời giải
a) TXĐ: D , a suy hàm số đồng biến Bảng biến thiên
Đồ thị hàm số y 3x qua A 2;0 , B 1;3
x
3
y x
x y
3
-1
(5)b) TXĐ: D ,
2
a suy hàm số nghịch biến Bảng biến thiên
Đồ thị hàm số
2
y x qua 3;0 , 0;3
2
A B
Ví dụ 2. Cho hàm số : y 2x 3,y x 3,y a) Vẽ đồ thị hàm số
b) Dựa vào đồ thị xác định giao điểm đồ thị hàm số
Lời giải
a) Đường thẳng y 2x qua điểm
3
0; , ;0
2
A B
Đường thẳng y x qua điểm
0; , 3;0
A C
Đường thẳng y song song với trục hoành cắt trục
tung điểm có tung độ -2
b) Đường thẳng y 2x 3,y x cắt
0;
A , Đường thẳng y x 3,y cắt
' 1;
A , Đường thẳng y 2x 3,y cắt " 1;
2
A
Ví dụ 3: Cho đồ thị hàm số có đồ thị C (hình vẽ) a) Hãy lập bảng biến thiên hàm số 3;3 b) Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số
4;2 Lời giải
a) Bảng biến thiên hàm số 3;3
b) Dựa vào đồ thị hàm số cho ta có
4;2
max khix
x
1
2
y x
x
y
x y
3
O 1
3/2
x y
-3 -1
-2 -3
O 1
3
x y
4
-3
-3 -1 2
-1 -2 3
1 2
3 -2
(6)4;2
min x
2 Bài tập luyện tập
Bài 2.18: Cho hàm số : 3, 2,
y x y x y
a) Vẽ đồ thị hàm số
b) Dựa vào đồ thị xác định giao điểm đồ thị hàm số
Bài 2.19: Cho đồ thị hàm số có đồ thị C (hình vẽ) a) Hãy lập bảng biến thiên hàm số 3;3
b) Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số 2;2
➢ DẠNG TOÁN 3: ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ CHỨA DẤU TRỊ TUYỆT ĐỐI y ax b
1 Phương pháp giải
Vẽ đồ thị C hàm số y ax b ta làm sau
Cách 1: Vẽ C1 đường thẳng y ax b với phần đồ thị cho hoành độx thỏa mãn x b
a , Vẽ
C đường thẳng y ax b lấy phần đồ thị cho x b
a Khi C hợp hai đồ thị C1
và C2
Cách 2: Vẽ đường thẳng y ax b y ax b xóa phần đường thẳng nằm trục hoành
Phần đường thẳng nằm trục hồnh C
Chú ý:
Biết trước đồ thị C :y f x đồ thị C1 :y f x gồm phần : - Giữ nguyên đồ thị C bên phải trục tung;
- Lấy đối xứng đồ thị C bên phải trục tung qua trục tung
Biết trước đồ thị C :y f x đồ thị C2 :y f x gồm phần: - Giữ nguyên đồ thị C phía trục hoành
- Lấy đối xứng đồ thị C trục hoành lấy đối xứng qua trục hồnh
2 Các ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Vẽ đồ thị hàm số sau
a)
0 x khi x y
x khi x b)y 3x
x y
3 2
-3
-2 3
(7)Lời giải
a) Với x đồ thị hàm số y 2x phần đường thẳng qua hai điểm
0;0 , 1;2
O A nằm bên phải đường thẳng x
Với x đồ thị hàm số y x phần đường thẳng qua hai điểm
1;1 , 2;2
B C nằm bên trái đường thẳng x
b) Vẽ hai đường thẳng y 3x y 3x lấy phần đường thẳng nằm trục hồnh
Ví dụ 2: Vẽ đồ thị hàm số sau
a) y x b) y x
Lời giải
a) Cách 1: Ta có
2
x khi x y
x khi x
Vẽ đường thẳng y x qua hai điểm
A 0; , B 2;0 lấy phần đường thẳng bên phải
trục tung
Vẽ đường thẳng y x qua hai điểm
0; , 2;0
A C lấy phần đường thẳng bên trái
trục tung
Cách 2: Đường thẳng d y: x qua
A 0; , B 2;0
Khi đồ thị hàm số y x phần đường thẳng d nằm bên phải trục tung phần đối xứng qua trục tung
b) Đồ thị y x gồm phần:
- Giữ nguyên đồ thị hàm số y x phía trục hồnh
- Lấy đối xứng phần đồ thị hàm số y x phía trục hồnh lấy đối xứng qua trục hồnh
Ví dụ 3: Cho đồ thị ( ) :C y x 2x a) Vẽ ( )C
b) Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số với x 3;4 Lời giải
x y
-2 2
O 1 x
y
O 1
x y
-2
2 -2 O 1
x y
2
2
(8)a) Ta có
3
5 12
2
x khi x
y x khi x
x khi x
Vẽ đường thẳng y x qua hai điểm O 0;0 ,A 1;1 lấy phần đường thẳng bên phải đường thẳng x
Vẽ đường thẳng y 5x 12 qua hai điểm
3;3 , 2;
B C lấy phần đường thẳng nằm hai
đường thẳng x 2,x
Vẽ đường thẳng y x qua hai điểm
0;0 , 1;
O D lấy phần đường thẳng bên trái đường
thẳng x
b) Dựa vào đồ thị hàm số ta có
3;4
maxy x
3;4
miny x
Ví dụ 4: Lập bảng biến thiêncủa hàm số sau
a) y x2 x2 2x b) y x2 4x x Từ tìm giá trị nhỏ lớn hàm số 2;2 Lời giải
a) Ta có
2 1
1 1
1
x khi x
y x x khi x
x x
Bảng biến thiên
x
y
Ta có y 5,y
Dựa vào bảng biến thiên ta có
2;2
maxy x
2;2
miny x 0;1
b) Ta có
1
2
1
khi x
y x x x khi x
khi x
x y
1 -1
3 2
-3 -2
-1 2 3
(9)x
y 1
Ta có y 1,y Dựa vào bảng biến thiên ta có
2;2
maxy x
2;2
miny x
3 Bài tập luyện tập
Bài 2.20: Vẽ đồ thị hàm số y 2x Từ suy đồ thị của:
1 : 3,
C y x C2 :y 2x , C3 :y x
Bài 2.21: Lập bảng biến thiênvà vẽ đồ thị hàm số sau
2 4 4 3 2 1
y x x x x
Từ tìm giá trị nhỏ lớn hàm số 0;2
Bài 2.22: a)Lập bảng biến thiêncủa hàm số
2 4 4
2
x x
y x
x
b) Biện luận số giao điểm đồ thị hàm số với đường thẳng y m theo m
➢ DẠNG TOÁN 4:ỨNG DỤNG CỦA HÀM SỐ BẬC NHẤT TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC VÀ TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT, LỚN NHẤT
1 Phương pháp giải
Cho hàm số f x ax b đoạn ; Khi đó, đồ thị hàm số y = f(x) [ ; ] đoạn thẳng nên ta có số tính chất:
,
maxf(x) = max{f(); f(},
,
minf(x) = min{f(); f(},
,
max ( )f x max f( ) ; ( )f
Áp dụng tính chất đơn giản cho
cách giải nhiều toán cách thú vị, ngắn gọn, hiệu
2 Các ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho hàm số f x 2x m Tìm m để giá trị lớn
f x 1;2 đạt giá trị nhỏ Lời giải
Dựa vào nhận xét ta thấy
[1;2]
max ( )f x đạt x x
f() f()
(10)Như đặt M =
[1;2]
max ( )f x M f m M f m Ta có
2 (2 ) ( 4)
(1) (2)
1
2 2
m m
M f f m m
Đẳng thức xảy (2 )( 4)
m m
m
m m
Vậy giá trị nhỏ M 1, đạt m =
Ví dụ 2: Cho hàm số y 2x x2 3m Tìm m để giá trị lớn hàm số y nhỏ Lời giải
Gọi A maxy Ta đặt t 2x x2 t 1 x 1
t Khi hàm số viết lại y t 3m với t 0;1 suy
[0,1]
3
max max ,
2
m m
A t m m m
Áp dụng BĐT trị tuyệt đối ta có
3m 3m 3m 3m
Do
2
A Đẳng thức xảy
2 m Vậy giá trị cần tìm
2 m
Ví dụ 3: Cho a b c, , thuộc 0;2 Chứng minh rằng: a b c ab bc ca Lời giải
Viết bất đẳng thức lại thành b c a b c bc
Xét hàm số bậc f a b c a b c bc với ẩn a 0;2 Ta có: f b c bc b c
2 2
f b c b c bc bc
Suy f a max f ;f đpcm
Ví dụ 4: Cho số thực khơng âm x y z, , thoả mãn x y z Chứng minh x2 y2 z2 xyz 4
Lời giải
Bất đẳng thức t\ưng đương với (y z)2 2yz x2 xyz 4
2
(3 x) x yz x yz x( 2) 2x2 6x 5 0
Đặt t yz, yz yz ≤
2 2
(3 )
2
y z x
nên
2
(3 )
0;
x
t
(11)Để chứng minh bất đẳng thức (2) ta chứng minh f 0
2
3
0
x
f
Thật vậy, ta có
2
2
0
2
f x x x
2
2
3 1
1
4
x
f x x
nên bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy x y z
3 Bài tập luyện tập Bài 2.23: Cho , ,
1
x y z
x y z Chứng minh
7
0
27 xy yz zx xyz
Bài 2.24: Cho , ,
3 x y z
x y z Chứng minh x2 y2 z2 xyz
Bài 2.25: Cho , ,
1 x y z
x y z Chứng minh
3 3 6
4
x y z xyz
Bài 2.26: Cho a b c, , Chứng minh a2 b2 c2 a b2 b c2 c a2
Bài 2.27: Cho , ,
1 x y z
x y z Chứng minh
2 2
27 x y y z z x
oup: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/