Đang tải... (xem toàn văn)
Số nghiệm của hệ tuỳ theo số nghiệm của phương trình bậc hai này.. Hệ đối xứng loại 2..[r]
(1)CHƯƠNG I: TẬP HỢP -MỆNH ĐỀ §1: Mệnh đề mệnh đề chứa biến A: TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1.Định nghóa :
Mệnh đề câu khẳng định Đúng Sai Một mệnh đề vừa vừa sai
2.Mệnh đề phủ định:
Cho mệnh đề P.Mệnh đề “Không phải P ” gọi mệnh đề phủ định P Ký hiệu P Nếu P P sai, P sai P
Ví dụ: P: “ > ” P: “ ”
3 Mệnh đề kéo theo mệnh đề đảo :
Cho mệnh đề P Q Mệnh đề “nếu P Q” gọi mệnh đề kéo theo Ký hiệu P Q Mệnh đề P Q sai P Q sai
Cho mệnh đề P Q Khi mệnh đề Q P gọi mệnh đề đảo P Q
4 Mệnh đề tương đương
Cho mệnh đề P Q Mệnh đề “P Q” gọi mệnh đề tương đương, ký hiệu P Q.Mệnh đề P Q P Q
5 Phủ định mệnh đề “ x X, P(x) ” mệnh đề “xX, P(x)”
Phủ định mệnh đề “ x X, P(x) ” mệnh đề “xX, P(x)”
Ví dụ:
Cho x số nguyên dương ;P(x) : “ x chia hết cho 6” ; Q(x): “ x chia hết cho 3” Ta có : P(10) mệnh đề sai ; Q(6) mệnh đề
P x( ): “ x không chia hết cho 6”
Mệnh đề kéo theo P(x) Q(x) mệmh đề
“x N*, P(x)” có phủ định “x N*, P(x)” có tính sai
B: BÀI TẬP
Bài 1: Các câu sau đây, câu mệnh đề, mệnh đề hay sai : a) Ở nơi ? b) Phương trình x2 + x – = vô nghiệm
c) x + = d) 16 không số nguyên tố Bài 2: Nêu mệnh đề phủ định mệnh đề sau :
a) “Phương trình x2 –x – = vô nghiệm ”
b) b) “ số nguyên tố ” c) c) “nN ; n2 – số lẻ ”
Bài 3: Xác định tính sai mệnh đề A , B tìm phủ định :
A = “ x R : x3 > x2 ” B = “ x N , : x chia heát cho x +1”
Bài 4: Phát biểu mệnh đề P Q xét tính sai phát biểu mệnh đề
đảo :
(2)b) P: “ > 5” vaø Q : “7 > 10”
c) P: “Tam giaùc ABC tam giác vuông cân A” Q :“ Goùc B = 450 ”
Bài 5: Phát biểu mệnh đề P Q cách và xét tính sai
a) P : “ABCD hình bình hành ” Q : “AC BD cắt trung điểm đường”
b) P : “9 số nguyên tố ” Q: “ 92 + số nguyên tố ”
Bài 6:Cho mệnh đề sau
a) P: “ Hình thoi ABCD có đường chéo AC vng góc với BD” b) Q: “ Tam giác cân có góc = 600 tam giác đều”
c) R : “13 chia hết 13 chia hết cho 10 ”
- Xét tính sai mệnh đề phát biểu mệnh đề đảo : - Biểu diễn mệnh đề dạng A B
Bài 7: Cho mệnh đề chứa biến P(x) : “ x > x2” , xét tính sai mệnh đề
sau:
a) P(1) b) P(
1
3) c) xN ; P(x) d) x N ; P(x) Bài 8: Phát biểu mệnh đề A B A B cặp mệnh đề sau xét tính
sai
a) A : “Tứ giác T hình bình hành ” B: “Hai cạnh đối diện nhau”
b) A: “Tứ giác ABCD hình vng ” B: “ tứ giác có góc vuông” c) A: “ x > y ” B: “ x2 > y2” ( Với x y số thực )
d) A: “Điểm M cách cạnh góc xOy ” B: “Điểm M nằm đường phân giác góc xOy”
Bài 9: Hãy xem xét mệnh đề sau hay sai lập phủ định :
a) xN : x2 2x b) x N : x2 + x không chia hết cho
c) xZ : x2 –x – =
Bài 10 : Trong mệnh đề sau, mệnh đề có mệnh đề đảo đúng a) A : “Một số tự nhiên tận số chia hết cho 2” b) B: “ Tam giác cân có góc = 600 tam giác ”
c) C: “ Nếu tích số số dương số số dương ” d) D : “Hình thoi có góc vng hình vng”
Bài 11:Phát biểu thành lời mệnh đề x: P(x) x : P(x) xét tính sai
của chúng :
a) P(x) : “x2 < 0” b)P(x) :“
x > x + 1” c) P(x) : “
2
x
x
= x+ 2”
(3)§2: ÁP DỤNG MỆNH ĐỀ VÀO PHÉP SUY LUẬN TỐN HỌC A:
TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1:Trong toán học định lý mệnh đề
Nhiều định lý phát biểu dạng “xX , P(x) Q(x)”
2: Chứng minh phản chứng đinh lý “xX , P(x) Q(x)” gồm bước sau:
- Giả sử tồn x0 thỏa P(x0)đúng Q(x0) sai
- Dùng suy luận kiến thức toán học để đến mâu thuẫn 3: Cho định lý “xX , P(x) Q(x)” Khi
P(x) điều kiện đủ để có Q(x) Q(x) điều kiện cần để có P(x)
4: Cho định lý “xX , P(x) Q(x)” (1)
Nếu mệnh đề đảo “xX , Q(x) P(x)” gọi dịnh lý đảo
của (1)
Lúc (1) gọi định lý thuận gộp lại
“xX , P(x) Q(x)” Gọi P(x) điều kiện cần đủ để có
Q(x)
B: BÀI TẬP :
Bài 1: Phát biểu mệnh đề sau với thuật ngữ “Điều kiện cần”, “Điều kiện đủ ” a) Nếu tam giác chúng có diện tích
b) Số nguyên dương chia hết cho chia hết cho
c) Một hình thang có đường chéo hình thang cân Bài 2: Dùng phương pháp chứng minh phản chứng để chứng minh :
a) Với n số nguyên dương, n2 chia hết cho n chia hết cho 3
b) Chứng minh số vô tỷ c) Với n số nguyên dương , n2 số lẻ n số lẻ
Bài 3: Phát biểu định lý sau cách sử dụng khái niệm “Điều kiện đủ ” a)Nếu mặt phẳng,2 đường thẳng vng góc với đường thẳng thứ đường thẳng // với
b)Nếu tam giác chúng có diện tích c)Nếu số nguyên dương a tận chia hết cho d)Nếu tứ giác hình thoi đường chéo vng góc với
Bài 4: Phát biểu định lý sau cách sử dụng khái niệm“Điều kiện cần ” a)Nếu mặt phẳng, hai đường thẳng song song với đường thẳng thứ hai đường thẳng song song với
b) Nếu tam giác chúng có góc tương ứng c) số nguyên dương a chia hết cho 24 chia hết cho
(4)a) Nếu abc a2 +b2 + c2 > ab + bc + ca b) Neáu a.b chia hết cho
thì a b chia hết cho
c) Neáu x2 + y2 = x = y = 0
Bài :Cho đinh lý sau, định lý có định lý đảo, phát biểu : a) “Nếu số tự nhiên chia hết cho chia hết cho 12”
b) “Một tam giác vuông có trung tuyến tương ứng nửa cạnh huyền ” c) “Hai tam giác đồng dạng có cạnh hai tam giác
nhau”
(5)§3: Tập hợp phép tốn tập hợp A.TĨM TẮT LÝ THUYẾT :
1 Tập hợp khái niệm toán học Có cách trình bày tập hợp
a) Liệt kê phần tử : VD : A = a; 1; 3; 4; b N = ; 1; 2; ; n ;
b) Chỉ rõ tính chất đặc trưng phần tử tập hợp ; dạng A = {x/ P(x)
VD : A = x N/ x lẻ x < 6 A = 1 ; 3; 5
* Taäp : A B (x, xA xB) Cho A ≠ có tập A
2 Các phép toán tập hợp :
Phép giao Phép hợp Hiệu tập hợp
AB = x /xA xB AB = x /xA xB A\ B = x /xA xB
Chú ý: Nếu A E CEA = A\ B = x /xE vaø xA
3 tập tập hợp số thực
Tên gọi, ký hiệu Tập hợp Hình biểu diễn
Đoạn [a ; b] xR/ a x b
Khoảng (a ; b ) Khoảng (- ; a)
Khoảng(a ; + )
xR/ a < x < b
xR/ x < a xR/ a< x
Nửa khoảng [a ; b) Nửa khoảng (a ; b] Nửa khoảng (- ; a]
Nửa khoảng [a ; )
R/ a x < b xR/ a < x b
xR/ x a xR/ a x
B: BÀI TẬP :
Bài 1.Viết tập hợp sau cách tính chất đặc trưng cho phần tử a/ A={0,2, 4, 6, 8,10,12}
b/ B={1, 3,5, 7, 9,11,13,15} c/ C={0 , , , 15 , 24 , 35 , 63} d/ D={1
2 , ,
1 12 ,
1 20 ,
1 30}
Bài 2. Liệt kê phần tử tập hợp sau :
///////////// [ ] ///
)///////////////////// ////////////( )//////
///////////////////( ////////////[ ) ////// ////////////( ] //////
(6)a/ A={3k −1 ∨k∈Z ,−5≤ k ≤3} b/ B={x∈Z ∨ |x|<9}
c/ C={x∈Z ∨ <|x|≤17
2 }
d/ D={x∈Q∨(x2−5x −6)(x2−7)=0}
e/ E={x∈R∨2x2−7x+5=0 va x < 2,4} f/ F={x∈(−1;3)∨ x2− x −2=0}
g/ G={x∈(−7;8,3) ∨(x2−64)(x2−8x+7)=0}
Bài 3: Cho tập hợp A = {x N / x2 – 10 x +21 = hay x3 – x = 0} Hãy liệt kê tất
cả tập A chứa phần tử
Bài 4.Cho ba tập hợp : A={1 , , , , , 7} , B={-1, , , , , , , 9} C={ , , , -2 , 7}
a/ Xác đinh tập hợp : A ∩B , A∩C , B∩C , A\ B , B \ C , A∪C , A∪B b/ Chứng minh :
A
¿
B=A∪B
¿ ¿(A ∩ B)∪¿
c/ Chứng minh : (A∪B)∩C=(A ∩C)∪(B ∩C)
Bài 5.Cho ba tập hợp : A={1 , , , , , 7} , B={-1, , , , , , , 9} C={ , , , -2 , 7}
a/ Xác đinh tập hợp : A ∩B , A∩C , B∩C , A\ B , B \ C , A∪C , A∪B b/ Chứng minh :
A
¿
B=A∪B
¿ ¿(A ∩ B)∪¿
c/ Chứng minh : (A∪B)∩C=(A ∩C)∪(B ∩C)
Baøi6 : Cho A = {x R/ x2 +x – 12 = vaø 2x2 – 7x + = 0} ; B = {x R / 3x2
-13x +12 =0 hay x2 – 3x = 0}
Xác định tập hợp sau A B ; A \ B ; B \ A ; AB
Baøi 7: Cho A = {xN / x < 7} vaø B = {1 ; ;3 ; 6; 7; 8}
a) Xác định AUB ; AB ; A\B ; B\ A b) CMR : (AUB)\ (AB) =
(A\B)U(B\ A)
Bài 8: Cho A = {2 ; 5} ; B = {5 ; x} C = {x; y; 5} Tìm giá trị cặp số (x ; y) để tập hợp A = B = C
Bài 9: Xác định tập hợp sau bẳng cách nêu tính chất đặc trưng
A = {0 ; 1; 2; 3; 4} B = {0 ; 4; 8; 12;16} C = Đường trung trực đoạn thẳng AB
D = {9 ; 36; 81; 144} E= {-3 ; 9; -27; 81} F = Đường tròn tâm I cố định có bán kính = cm
Bài 10: Biểu diễn hình ảnh tập hợp A ; B ; C biểu đồ Ven
A = {0 ; 1; 2; 3} B = {0 ; 2; 4; 6} C = {0 ; 3; 4; 5} Baøi 11: Cho A = {x R/ x 4} ; B = {x R / -5 < x -1 }
Viết tập hợp sau dạng khoảng – đoạn – nửa khoảng A B ;
(7)Baøi 12: Cho A = {x R/ x2 4} ; B = {x R / -2 x +1 < }
Viết tập hợp sau dạng khoảng – đoạn – nửa khoảng A B ; A \ B ; B
\ A ; R \ ( AB)
Bài 13: a) Xác định tập hợp X cho {a ; b} X {a ; b ;c ;d ; e}
b)Cho A = (1 ; 2} ; B = {1 ; ; 3; 4; 5} Xác định tập hợp X cho A X = B
c) Tìm A; B bietá A B = {0;1;2;3;4}; A\B = {-3 ; -2} ; B\A = {6 ;
9;10}
Bài 14: Cho A = {xR/ x -3 x >6 }; B={xR / x2 – 25 0}
a) Tìm khoảng , doạn, nửa khoảng sau : A\B ; B\ A ; R \ ( AB); R \
(AB) ; R \(A\B)
b)Cho C={xR / x a} ; D={xR / x b } Xác định a b biết
CB DB đoạn có chiều dài Tìm CD
Baøi 15: Cho A = {x R/ x2 4} ; B = {x R / -3 x < }
Viết tập hợp sau dạng khoảng – đoạn – nửa khoảng A B ;
A \ B ; B \ A ; R \ ( AB)
Bài 16: Viết phần bù R tập hợp sau :
A= {xR / – x < 0} B= {xR / x> 2} C =
{xR / -4 < x + 5}
Bài 17: Cho Tv = tập hợp tất tam giác vuông T = tập hợp tất tam giác
Tc = tập hợp tất tam giác cân Tđ = tập hợp tất tam giác
Tvc= tập hợp tất tam giác vuông cân Xác định tất quan hệ bao hàm tập hợp Bài 18: Xác định tập hợp sau cách liệt kê
A= { xQ / (2x + 1)(x2 + x - 1)(2x2 -3x + 1) =0}
B= { xN / (2x + x2)(x2 + x - 2)(x2 -x - 12) =0}
C= { xZ / 6x2 -5x + =0}
D= { xN / x2 > vaø x < 4}
E= { xZ / √x vaø x > -2}
Baøi 19:Cho A = {x Z / x2 < 4} ; B = { xZ / (5x - 3x2)(x2 -2 x - 3) = 0}
a) Lieät keâ A ; B
b) CMR (A B) \ (A B) = (A \ B) (B \ A)
Baøi 20: Cho E = {xN/1 x < 7}
A= {xN / (x2-9)(x2 – 5x – 6) = 0}
B = {xN/x số nguyên tố 5}
a) Chứng minh A E B E
(8)c) Chứng minh : E \ (A B)= (E \A) ( E \B)
E \ (AB) = ( E \A) ( E \ B)
Bài 21 : Cho A C B D , chứng minh (AB) (CD)
A)CMR : A \(B C) = (A\B)(A\C)
B) CMR : A \(B C) = (A\B)(A\C)
Bài22 Mỗi học sinh lớp 10E chơi bóng đá bóng chuyền Biết có 25 chơi bóng đá ,20 bạn chơi bóng chuyền 10 bạn chơi hai môn thể thao Hỏi lớp 10E có học sinh
Bài 23.Cho tập hợp
A={x∈R∨ -3 ≤ x ≤2} , B={x∈R∨0<x ≤8} C={x∈R ∨ x < -1} , D={x∈R ∨ x≥ 6}
a/ Dùng kí hiệu đoạn , khoảng , nửa khoảng để viết lại tập hợp b/ Biểu diễn tập hợp A , B , C , D trục số
c/ Xác định tập hợp sau :
A ∩B , A∩ C , A∩D , B∩C , B∩D , C∩D , A∪B , A∪C , A∪D , B∪C , B∪D , D∪C d/ Xác định tập hợp :
D
¿ ¿
¿A∪(B ∩C);(A ∩ B)∪C ; (A ∩C)\B ; ¿
Bài 24. Xác định tập hợp số sau :
a/ (-5 ; 3)∩(0 ; 7) b/ (-1 ; )∪(3 ; 7) ; ¿c/R(0;+∞) d/ (−∞ ; 3)∩(- ; +∞) e/ (- ; 3)∩(1 ; +∞)∪(-2 ; 1)
f/ (− ∞ ; 2)∩(-1 ; )∩(❑ √2;7) (¿− ∞; - 3)∩{ -1 ; - ; ; -❑√3 ; 5}
g/¿
¿
¿h/(¿- ; +∞)(-1 ; 5)
Bài 25
Cho hai tập hợp A={x∈ R ∨ 2x - > 0} B={x∈ R ∨|x- 2|>4} C={ x∈R ∨
-x+ 2>0}
(9)CHƯƠNG II: HÀM SỐ Dạng 1: Tìm tập xác định hàm số
Phương pháp: Cho hàm số y=f(x)
*Ta tìm đk xác định biểu thức f(x)rồi suy tập xác định hàm số
Chú ý:
1 f(x)= xác định với đk A(x)≠ 0 2 f(x)= xác định với đk A(x) 0
3 f(x)= xác định với đk A(x)>0
Nếu biểu thức f(x) có nhiều đk phải lấy giao đk đó
Nếu hàm số f(x) cho nhiều biểu thức miền khác , ta phải lấy hợp
của miền
Điều kiện để hàm số xác định tập A A D
Bài Tìm tập xác định hàm số sau:
)
2 x a y
x
2
3 )
4
x b y
x x
2
1 )
2 x c y
x x
3 )
1 x d y
x
e y) x 1 2 x
2
1 )
5 x g y
x x
h)
2
1 x x y
x x
i) y= x- 5+ 9- x2
k) y=
2x+3
x2+4x+3 l)
2
2
4 y x
x
= - +
-Bài Tìm tập xác định hàm số sau:
a) y = + b) y = + c) y = - d) y = e) y = f) y =
m) y = + n) y = o) y = p)
2 x y
x x
q)
4
y x
4 x
t) y = s) y = u) y =
Bài 3: Tìm a để hàm số xác định tập K ra:
a) y = với K= R b) y = với K = R
(10)4: Cho hàm số y = +
Tìm a để tập xác định hàm số đoạn thẳng có độ dài đơn vị
Bài 5: Cho hàm số
x ;x x f(x)
x ; x x
a) Tìm tập xác định hàm số b) Tính f(1); f(-3);f(-1); f(2)
Bài 6: Tìm tập xác định hàm số sau:
a)
y x
x
4
4
b)
x x
y
x
1 1
c)
x x
y
x x x
2
3
1
d)
x x
y
x
2 2 3
2
e)
x x
y
x
2
1
f)
x y
x x
2
4
Dạng 2: Xét biến thiên đồ thị hàm số
Phương pháp: Cho hàm số y=f(x )có tập xđ D; K D
B1: Lấy x ; x K x ≠ x
B2: Lập tỉ số T=
B3: Xét dấu T Nếu :
-T > hàm số đồng biến K - T < hàm số nghịch biến K
Bài tập 1:
Xét biến thiên các hàm số : a) y=x2−4x −1 (- ∞ ;2)
b) y=
x −3 khoảng (3;+ ∞ )
c) y=x+1
x −1 khoảng xác định
d) y= khoảng (- ; 5) e) y = x + khoảng (2;+ ) f) y = khoảng (1; + ) g) y = + trrn khoảng (4; + ) h) y = x +2x-7 (- ∞ ; 1) i) y = khoảng (- ∞ ; ) k) y = x khoảng (0;4)
B i 2à Xét biến thiên hàm số sau khoảng ra:
a) y2x3; R. b) y x5; R.
c) y x 2 4x; (–; 2), (2; +). d) y2x24x1; (–; 1), (1; +). e) y x
4
; (–; –1), (–1; +). f) y x
3
; (–; 2), (2; +)
B i 3:à Với giá trị m hàm số sau đồng biến nghịch biến tập xác định (hoặc khoảng xác định):
(11)c)
m y
x
d)
m y
x
1
Dạng 3: Xét tính chẵn lẻ hàm số Phương pháp: Cho hàm số y=f(x )có tập xđ D
Để xét tính chẵn lẻ hàm số y = f(x) ta tiến hành bước sau:
Tìm tập xác định D hàm số xét xem D có tập đối xứng hay không. Nếu D tập đối xứng so sánh f(–x) với f(x) (x thuộc D).
+ Nếu f(–x) = f(x), x D f hàm số chẵn.
+ Nếu f(–x) = –f(x), x D f hàm số lẻ.
Chú ý: + Tập đối xứng tập thoả mãn điều kiện: Với x D –x D.
+ Nếu x D mà f(–x) f(x) f hàm số
khơng chẵn khơng lẻ.
Bài 1Xét tính chẵn lẻ hàm số sau:
a) y x 4 4x22 b) y2x33x c) y x x d) y2x 1 2x e) y (x 1)2 f) y x x
g) x y
x
4
4
h)
x x
y
x x
1
1
i) y 2x2 x Bài 2: Xét tính chẵn lẻ hàm số sau:
a)
x x y
x
4
2
2
b) y 3x 3 x c) y x x + x ( 2 )
d)
3
3
x x
y
x x e)
x x y
x
3 1
f) y x 2
Hàm số bậc nhất 1 Hàm số bậc y = ax + b (a 0)
Tập xác định: D = R
Sự biến thiên:+ Khi a > 0, hàm số đồng biến R
+ Khi
a < 0, hàm số nghịch biến R
Đồ thị đường thẳng có hệ số góc a, cắt trục tung điểm B(0; b)
Chú ý: Cho hai đường thẳng (d): y = ax + b (d): y = ax + b:
+ (d) song song với (d) a = a b b.
+ (d) trùng với (d) a = a b = b.
+ (d) cắt (d) a a.
(12)b ax b khi x
a
y ax b b
ax b khi x a
( )
Chú ý: Để vẽ đồ thị hàm số y ax b ta vẽ hai đường thẳng y = ax + b và
y = –ax – b, xố hai phần đường thẳng nằm phía trục hồnh. Bài 1.Vẽ đồ thị hàm số sau:
a) y 2x b) y 3x5 c)
x
y
2
d)
x
y
3
Bài 2.Tìm toạ độ giao điểm cặp đường thẳng sau:
a) y 3x 2; y2x3 b) y 3x2; y4(x 3)
c) y2 ;x y x d)
x x
y 3; y
2
Bài 3.Trong trường hợp sau, tìm giá trị k để đồ thị hàm số y2x k x ( 1):
a) Đi qua gốc tọa độ O b) Đi qua điểm M(–2 ; 3)
c) Song song với đường thẳng y 2.x
Baøi 4.Xác định a b để đồ thị hàm số y ax b :
a) Đi qua hai điểm A(–1; –20), B(3; 8)
b) Đi qua điểm M(4; –3) song song với đường thẳng d: y x
2 1
c) Cắt đường thẳng d1: 2y x5 điểm có hồnh độ –2 cắt đường thẳng
d2: y–3x4 điểm có tung độ –2
d) Song song với đường thẳng y x
1
qua giao điểm hai đường thẳng y 1x
2
y 3x5
e) Đi qua điểm: M(4; -3) song song với đường thẳng y = 2x - 2004 g) Đi qua điểm: N(1; -1) vng góc với đường thẳng y = -2x +
Baøi 5.Trong trường hợp sau, tìm giá trị m cho ba đường thẳng sau phân
biệt đồng qui:
a) y 2 ;x y x 3; y mx 5 b) y–5( 1);x y mx 3; y3x m c) y2x 1; y 8 x y; (3 ) m x2
d) y(5 ) m x m 2; y x11; y x 3 e) yx5; y2x 7; y (m 2)x m 24
Bài 6.Tìm điểm cho đường thẳng sau qua dù m lấy giá trị nào:
(13)c) y(2m5)x m 3 d) y m x ( 2)
e) y (2m 3)x2 f) y (m 1)x 2m
Bài 7.Với giá trị m hàm số sau đồng biến? nghịch biến?
a) y(2m3)x m 1 b) y(2m5)x m 3 c) y mx 3 x d) y m x ( 2)
Baøi 8.Tìm cặp đường thẳng song song đường thẳng cho sau đây:
a) 3y 6x 1 b) y0,5x c)
x y
2
d) 2y x 6 e) 2x y 1 f) y0,5x1
Baøi 9.Với giá trị m đồ thị cặp hàm số sau song song với nhau:
a) y(3m1)x m 3; y2x1 b)
m m m m
y x y x
m m m m
2( 2);
1 3
c) y m x ( 2); y(2m3)x m 1
Baøi 10. Vẽ đồ thị hàm số sau:
a)
x khi x
y khi x
x khi x
1
1
1
b)
x khi x
y khi x
x khi x
2
0
2
c) y3x5 d) y2 x1 e) y x
1 2 3
2
f) y x 1 x g) y x x1
Bài 11:Vẽ đồ thị hàm số: f(x) = x + |x - 1| + |x + 1|
⇒ biÖn luËn sè nghiÖm pt: f(x) = m
Bài 12:Cho hµm sè:
y = (5 - 3m)x + m - (dm)
a) Tuỳ theo m, xét biến thiên hàm số b) CMR đths qua điểm cố định
c) Tìm m để (dm) đờng thẳng sau đồng quy: y = -x + 11, y = x +
Hàm số bậc hai
y ax 2bx c (a 0) Tập xác định: D = R
(14) Đồ thị parabol có đỉnh b I
a; a
2
, nhận đường thẳng
b x
a
2
làm trục đối xứng, hướng bề lõm lên a > 0, xuông a < 0
Chú ý: Để vẽ đường parabol ta thực bước sau: – Xác định toạ độ đỉnh
b I
a; a
2
.
– Xác định trục đối xứng
b x
a
2
hướng bề lõm parabol.
– Xác định số điểm cụ thể parabol (chẳng hạn, giao điểm parabol với các trục toạ độ điểm đối xứng với chúng qua trục trục đối xứng).
– Căn vào tính đối xứng, bề lõm hình dáng parabol để vẽ parabol.
Baøi 1.Xét biến thiên vẽ đồ thị hàm số sau:
a) y x 2 2x b) y x22x3 c) y x22x
d) y x x
2
1 2 2
2
e) y x 2 4x4 f) y x2 4x1
Bài 2.Tìm toạ độ giao điểm cặp đồ thị hàm số sau:
a) y x 1; y x 2 2x1 b) y x3; y x2 4x1 c) y2x 5; y x 4x4 d) y x 2x 1; y x 2 4x4
e) y 3x2 4x1; y3x2 2x f) y 2x2 x 1; y x2 x 1
Baøi 3.Xác định parabol (P) biết:
a) (P): y ax 2bx2 qua điểm A(1; 0) có trục đối xứng x
3
b) (P): y ax bx3 qua điểm A(–1; 9) có trục đối xứng x2. c) (P): y ax 2bx c qua điểm A(0; 5) có đỉnh I(3; –4).
d) (P): y ax 2bx c qua điểm A(2; –3) có đỉnh I(1; –4). e) (P): y ax 2bx c qua điểm A(1; 1), B(–1; –3), O(0; 0)
f) (P): y x bx c qua điểm A(1; 0) đỉnh I có tung độ –1
Baøi 4.Chứng minh với m, đồ thị hàm số sau cắt trục hoành hai
điểm phân biệt đỉnh I đồ thị chạy đường thẳng cố định: a)
m
y x2 mx
4
b) yxmxm2221
Baøi 5.Vẽ đồ thị hàm số y x x
2 5 6
(15)Baøi 6.Vẽ đồ thị hàm số sau:
a) y x 2 x 1 b) y x x 2 c) y x 2 2x d)
x neáu x y
x x neáu x
2
2
2
e)
x neáu x y
x2 x neáu x
2
4
f)
x khi x y
x2 x x
2
0
Baứi 7.Vẽ đồ thị hàm số: y = x2 - 4x +
Từ suy đờng sau: a) y = x2 - 4|x| -
b) |y| = x2 - 4x + 3 c) y = | x2 - 4x + 3|
Bài 8:Cho (P): y = -x2 + 2x + 3
LËp pt tiÕp tuyÕn víi (P) biÕt tiÕp tuyÕn: a) cã hÖ sè gãc a =
b) qua A(1; -1)
c) tiÕp xóc t¹i M(2; 3)
Bài 9: Cho Parabol: y = x2 + 2x - (P) đờng thẳng: y = 2mx - m2 (d)
a) Tìm m để (d) (P):
+ kh«ng giao nhau; + tiÕp xóc ; + cắt điểm phân biệt
b) Trờng hợp tiếp xúc, tìm h.độ tiếp điểm
Bài 10:.Cho hµm sè:
y = x2 - 2mx + m2 - (P)
a) Khảo sát biến thiên hàm số b) CMR đồ thị cắt trục hoành
c) CMR m thay đổi, đỉnh (P) chạy đờng thẳng cố định
Bài 11Cho Parabol: y = x2 - 3x + 2 (P)
Viết phương trình tiếp tuyến với (P) biết:
a) Tiếp tuyến qua M(1; -4) ;Tiếp tuyến // đường thẳng y = 2x - b) Tiếp tuyến vng góc đt 3y + x - 15 =
c) Tiếp tuyến tiếp xúc (P): y = -x2 + 7x – 11
Bài 12.Cho họ Parabol (Pm):
y = x2 + (2m + 1)x + m2 - 1
a) Tìm tập hợp đỉnh (Pm) m thay đổi
b) CMR: ∀ m, đt y = m cắt (Pm) điểm phân biệt A, B độ dài AB không
phụ thuộc m.; CMR: (Pm) tiếp xúc với đt cố định
30.Cho hàm số: y = x2 có đồ thị (P)
a) CMR: ∀ m, y = mx + cắt (P) điểm phân biệt A, B Tìm quĩ tích trung điểm I AB m thay đổi
b) CMR: OA OB ∀ m
c) Tìm m để diện tích Δ AOB 31.Cho hàm số:
y = x2 + 2(m - 1)x + 3m - (P m)
a) Tìm tập hợp đỉnh (Pm); Tìm m để giá trị Min hs đạt Max
32 Cho hàm số:
y = 4x2 - (4m - 1)x + 4m - (P
m) Tìm m để giá trị Min(Pm) [-2; 0]
CHƯƠNG II: PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Phần 1: Hệ phương Trình bậc ẩn Hệ phương trình bậc hai ẩn
a x b y c a b a b
a x b y c1 1 12 12 22 22
2 2 ( 0, 0)
(16)Giải biện luận:
– Tính định thức:
a b D a b 1 2 , x c b D c b 1 2
, y
a c D a c 1 2
Chú ý: Để giải hệ phương trình bậc hai ẩn ta dùng cách giải biết như: phương pháp thế, phương pháp cộng đại số.
Bài 1. Giải hệ phương trình sau:
a)
x y x y
5
b) x y x y 11
c) x y x y
6
d) x y x y
2
2 2
e) x y x y
3 16 11 f) x y y
5x
Bài 2. Giải hệ phương trình sau:
a) x y x y
1 18 51
b) x y x y
10 1 25 2
1 c)
x y x y x y x y
27 32 7
2
45 48 1
2 d) x y x y
2 5 1
e)
x y x y x y x y
2
3 17
f)
x y x y x y x y
4
3
Bài 3. Giải biện luận hệ phương trình sau:
a)
( 1)
2
mx m y m
x my b) (mmx m2)x m(( 2)1)yy25 c)
m x y m
m x y m
( 1) ( 2)
d)
m x m y
m x m y m
( 4) ( 2) (2 1) ( 4)
e) 2
( 1) 2
m x y m
m x y m m f) 2mxx my2y m 2m15 Bài 4Cho hÖ PT
1
2
m x my m
x y m
a,Gi¶i hƯ PT m=-1
b, Tìm m để hệ PT có nghiệm x,y thoả mãn ĐK x2 +2y =0
Bài 5 Cho hÖ PT
1
1
m x y
mx y m
a, Gi¶i hƯ PT m=2
b, CMR với giá trị m hƯ PT luận cã nghiƯm nhÊt x,y to¶ m·n §K
Xét D Kết quả
D 0
Hệ có nghiệm
y
x D
D
x y
D ; D
D = 0 Dx Dy 0 Hệ vô nghiệm
(17)2x+y3
Bài 6 Cho hÖ PT
2
2
x my
mx y
a, Gi¶i hƯ PT m=2
b, tìm m nguyên để hệ PT có nghiệm x,y nguyên
Bài 7 Cho hÖ PT
1 334
2
mx y x y
a, Gi¶i hƯ PT m=1
b, Gi¶i vµ biƯn ln hƯ PT theo m
c, Tìm giá trị m để hệ PT có nghiệm x, y thoả mãn Đk x+ 3y=-1
Bài 8 Cho hÖ PT
nx y m x y
a, gi¶i hƯ PT m=-2, n=1
b, tìm m để hệ PT có nghiệm với giá trị n
Bài 9 cho hÖ PT
1 x my
mx y m
a, giải hệ PT m=3
b, Giải biƯn ln hƯ PT theo m
c, tìm hệ thức độc lập hai nghiệm không phụ thuộc vào m
Bài 10 Cho hÖ PT
2
5
x y m
x y
a, Gi¶i hƯ PT m=3
b, Tìm m để hệ PT có nghiệm x > , y >
Bài 11 Cho hÖ PT
2 x y mx y m
a, Gi¶i hƯ PT m=-2
b, Tìm giá trị nguyên m để hệ PT có nghiệm nguyên
Bài 12 cho hÖ PT
1
4
2
1
x y
a x ay
a, Giải hệ PT a=-2 b, tìm a để hệ pt có nghiệm
c, Tìm a để hệ có nghiệm thoả mãn Đk x=2y
Bài 13 Cho hÖ PT
1
1
m x y m
x m y
Gäi ( x; y) lµ nghiƯm cđa hƯ
a, Tìm đẳng thức liên hệ nghiệm x, y không phụ thuộc vào m
b, Tìm m để hệ PT có nghiệm thoả mãn 2x2-7y=1
c, Tìm m để hệ PT có nghiệm TM Đk
2x 3y y x
(18)Bài 14 Cho hÖ PT
1
2
m x my
mx m y
a, Gi¶i hƯ PT m=-4
b, Tìm giá trị m để hệ PT có nghiệm thoả mãn x2y2
Bài 15 , Cho hệ phơng trình
x+my=2
mx+y=m+1
{
a) Giải hệ phơng tr×nh m =
b) Chøng tá r»ng ∀ m ±1 hƯ lu«n cã nghiƯm nhÊt
c) Tìm giá trị m để hệ có nghiệm (x;y) thỏa mãn x + y < d) Với giá trị ngun m hệ có nghiệm nguyên
B i 16à : Cho hệ phương trình :
2 ) (
1 )
1 (
y m x
m y x m
với m tham số a, Giải hệ phương tr×nh với m =
b, Với giá trị m th× hệ phương trình có nghiệm
c T×m giá trị m để hệ phương tr×nh cã nghiệm (x,y) cho tổng x+ y đạt giá trị
nhỏ
Bài 17 : Cho hệ phơng trình
2
3
mx y x my
a, Giải biện luận hệ PT cho
b, Tìm ĐK m để hệ có nghiệm ( x; y ) thoả5 mãn ĐK
2
2
3 m x y
m
Bµi 18 : Cho hÖ PT
2
1
mx my m
x m y
a, Gi¶i hƯ PT m=-1
b, CMR hệ có nghiệm ( x; y ) điểm M ( x; y ) ln ln thuộc đờng thẳng cố định m thay đổi
c, Xác định m để điểm M thuộc góc phần t thứ
d, xác định m để điểm M thuộc đờng trịn tâm O bán kính Bài 19 : Cho hệ PT
2
2
x my
mx y
a, Giải biện luận hệ theo m
b, Tìm m ngun để hệ có nghiệm ( x; y ) với x; y số nguyên
c, CMR hệ có nghiệm ( x; y ) điểm M ( x ; y ) luôn chạy đ-ờng thẳng cố định
d, Xác định m để điểm M thuộc đờng trũn tâm gốc toạ độvà bán kính
2
bµi 20 : Cho HƯ pt
1
2
m x my m
x y m
(19)a, xác định tất giá trị m để hệ có nghiệm mà s=
2
x y đạt giá trị
nhá nhÊt
Bµi 21
Trong hệ phương trình sau hãy: i) Giải biện luận
ii) Tìm m Z để hệ có nghiệm nghiệm nguyên
a) 2
( 1) 2
m x y m
m x y m m b) x 4(mmx y1) y14m
c)
mx y
x my 32m
Bµi 22
Trong hệ phương trình sau hãy: i) Giải biện luận
ii) Khi hệ có nghiệm (x; y), tìm hệ thức x, y độc lập m a)
mx y m x my2 m
2
b)
mx m y
m x my
6 (2 )
( 1)
c)
mx m y m
x my
( 1)
2
Phần 2: Hệ phương Trình bậc hai ẩn
1 Hệ gồm phương trình bậc phương trình bậc hai Từ phương trình bậc rút ẩn theo ẩn
Thế vào phương trình bậc hai để đưa phương trình bậc hai ẩn Số nghiệm hệ tuỳ theo số nghiệm phương trình bậc hai
2 Hệ đối xứng loại 1
Hệ có dạng: (I)
f x y g x y( , ) 0( , )
(với f(x, y) = f(y, x) và g(x, y) = g(y, x)). (Có nghĩa ta hốn vị x y f(x, y) g(x, y) khơng thay đổi)
Đặt S = x + y, P = xy
Đưa hệ phương trình (I) hệ (II) với ẩn S P Giải hệ (II) ta tìm S P
Tìm nghiệm (x, y) cách giải phương trình: X2 SX P 0.
(20)Hệ có dạng: (I)
f x y
f y x( , ) 0( , ) (1)(2)
(Có nghĩa hốn vị x y (1) biến thành (2) ngược lại) Trừ (1) (2) vế theo vế ta được:
(I) f x y f y x
f x y( , )( , ) 0( , ) (3)(1)
Biến đổi (3) phương trình tích:
(3) x y g x y
( ) ( , ) 0 x y g x y( , )
.
Như vậy, (I)
f x y x y
f x y g x y
( , ) ( , ) ( , )
.
Giải hệ ta tìm nghiệm hệ (I)
4 Hệ đẳng cấp bậc hai
Hệ có dạng: (I)
a x b xy c y d a x b xy c y d
2
1 1
2
2 2
.
Giải hệ x = 0 (hoặc y = 0)
Khi x 0, đặt y kx Thế vào hệ (I) ta hệ theo k x Khử x ta tìm phương trình bậc hai theo k Giải phương trình ta tìm k, từ tìm (x; y)
Chú ý: – Ngồi cách giải thơng thường ta cịn sử dụng phương pháp hàm số để giải (sẽ học lớp 12).
– Với hệ phương trình đối xứng, hệ có nghiệm ( ; )x y0 ( ; )y x0 cũng nghiệm hệ Do hệ có nghiệm
duy x0 y0.
Bài 1. Giải hệ phương trình sau: a)
x y
x y
2 4 8
2 b) x xy x y 24
2
c) x y x y
( ) 49 84
d)
x xy y x y
x y
2 3 2 3 6 0
2
e)
x y xy x y
3 3( )
f)
x y xy x y
2 g)
y x x
x y
2 4
2
h)
x y x2 y2 y
2
3
i)
x y x2 xy y2
2 Bài 2. Giải biện luận hệ phương trình sau:
a)
x y x2 y2 m
6
b)
x y m x2 y2 2x
c)
x y x2 y2 m
3
(21)a)
x xy y
x2 y2 xy x y
11
2( ) 31
b)
x y x2 xy y2
4 13 c)
xy x y x2 y2 x y
5 d) x y y x x y 13 6 e)
x x y y x y xy
3 3 17
5
f)
x x y y x xy y
4 2
2 37481
Bài 4. Giải biện luận hệ phương trình sau:
a)
x y xy m x2 y2 2m
b)
x y m
x y xy2 m2 m
1 c)
x y m
xy x y m
( 1)( 1) ( )
Bài 5. Giải hệ phương trình sau: a)
x x y
y y x
2
2 33 22
b)
x y x y
y x y x
2
2 22 22
c)
x x y
y y x
3 22
d) y x y x x y x y 4 e) y y x x x y 2 2 3 f) x y y y x x 2 2 Bài 6. Giải biện luận hệ phương trình sau:
a)
x x my y y mx
2 33
b)
x y m m
y x m m
2
2
(3 ) (3 ) (3 ) (3 )
c)
xy x m y xy y m x
2
2 (( 1)1)
Bài 7. Giải hệ phương trình sau:
a)
x xy y x xy y
2
2
3 13
b)
x xy y x xy y
2
2
2
3 2
c) y xy x xy y
2
2 34 42 1
d)
x xy y x xy y
2
2
3 38 15
e)
x xy y x xy y
2
2 24 35 95
f)
x xy y x xy y
2
2
3
5
Bài 8. Giải biện luận hệ phương trình sau:
a)
x mxy y m
x m xy my m
2
2 ( 1)
b) xy y x xy m
2
2 12 26
c)
x xy y m
y xy
2
2 34 4
Hệ phương trình đại số đề thi đại học
Giải hệ phơng trình sau :
2
1
( 99)
x xy y
MTCN
x y y x
2
4 2
( 98) 13
x y
NT x x y y
2 3 30 ( 93) 35
x y y x
BK
x y 4.
3
5 2
( 97)
x y
AN x y x y
2
4 2
( 2000) 21
x y xy
SP
x y x y 6.
2
11
( 2000) 3( ) 28
x y xy
(22)
( 2)(2 )
( 2001)
x x x y
AN