*Ví dụ 7: CMR trong 8 số tự nhiên mỗi số có ba chữ số bao giờ cũng chọn được hai số mà khi viết liền nhau ta được một số có sáu chữa số chia hết cho 7.. Kế hoạch bồi dưỡng học sinh giỏ[r]
(1)@ Trường THCS Thạnh Tân GV: Di Thanh Tuấn Chuyên đề 1: PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN CHIA HẾT TRONG Z I Kiến thức bản: 1/ Định lý phép chia có dư: Với a, b Î Z , b ¹ 0, $ ! q, r Î Z :a = bq + r với r b Khi r = ta nói a M b b Û $q Î Z :a = bq Tóm lại : a M 2/ Tính chất: ìï a M b i) ïí Þ a Mc ïï bMc î ìï a M ïï b iii) ïí a Mc Þ aM bc ïï ïï (b, c) = î ìï a M b ii) ïí Þ a = ±b ïï bMa î ìï abMc iv) ïí Þ a Mc ïï (b, c) = ïî II Một số phương pháp chứng minh chia hết: 1/ Phương pháp 1: Sử dụng tính chất : “Trong n số nguyên liên tiếp (n ³ 1) có và số chia hết cho n ” Chứng minh: Lấy n số nguyên liên tiếp : a; a + 1; a + 2; ; a + n - chia cho n ta có n số dư là , ,… n -1 đôi khác nhau, chắn có số chia cho n có số dư là đpcm *Ví dụ 1: a/ CMR: Tích hai số chắn liên tiếp thì chia hết cho b/ CMR: Tích số nguyên liên tiếp thì chia hết cho 120 Giải: a/ Giả sử hai số chẵn liên tiếp là 2k và 2k + Ta có : 2k (2k + 2) = (k + 1)k M8 (vì k (k + 1)M2 ) b/ Giả sứ tích cố nguyên liên tiếp là P Ta có: P M3 (vì P có tích ba số nguyên liên tiếp) P M8 (vì P có tích hai số chẵn liên tiếp) P M5 (vì P có tích số nguyên liên tiếp) Mà (3, 5) = (3, 8) = (5, 8) = Þ P M3.5.8 Hay P M120 *Ví dụ 2: CM 1900 số tự nhiên liên tiếp có số có tổng các chữ số chia hết cho 27 Giải: Giả sử 1900 số tự nhiên liên tiếp là : n, n + 1, , n + 1899 (1) Xét 1000 số tự nhiên từ : n, n + 1, n + 999 (2) thuôc dãy số 1 Suy có số chia hết cho 1000 Giả sử số đó là n và giả sử n có tổng các chữ số là m Khi đó ta xét 27 số tự nhiên gồm: n 0, n + 1, n + 2, , n + 9, n + 19, n + 29, , n + 99, n + 199, n + 299, , n + 999 (3) Sẽ có tổng các chữ số gồm 27 số tự nhiên liên tiếp là: m, m + 1, m + 2, , m + 26 đpcm (Trong dãy 3 có số tự nhiên có tổng các chữ số chia hết cho 27 ) cho (p, q) = 2/ Phương pháp 2: Muốn chứng minh A (n )Mm ta phân tích m = pq Sử dụng đẳng thức : + n chẵn: an - bn = (a - b) an - + an - 2b + + bn - ( ) Kế hoạch bồi dưỡng học sinh giỏi – Phần Đại số Lop10.com -1- (2) @ Trường THCS Thạnh Tân GV: Di Thanh Tuấn ( = (a + b) an - - an - 2b + - bn - ) ( + n tuỳ ý: an - bn = (a - b) an - + an - 2b + + bn - ) *Ví dụ 3: CMR: với n chẵn thì 20n + 16n - 3n - 1M323 Giải: Ta thấy: 323 = 17.19 Ta có: 20n - 3n = (20 - 3) 20n - + 20n - 2.3 + + 3n - ( ( = 17 (16 ) ) = 17 20n - + 3.20n - + + 3n - M17 16n - n- ) - 16n - + - M17 Þ 20n - + 16n - 1M17 ( ) Tương tự : 20n - = 19 20n - + 20n - + + M19 ( ) 16n - 3n = 19 16n - - 16n - 2.3 + - 3n - M19 Þ 20n - + 16n - 3n M19 Mà (17,19) = 20n 16n 3n 1 323 *Ví dụ 4: CMR: 11n + + 122n + M133 Giải: Ta có: 11n + + 122n + = 121.11n + 12.122n = 121.11n + 144n (133 - 121) ( ) 11)(144 = 121 11n - 144n + 133.144n = - 121(144 - n- ) + 144n - 2.11 + + 11n - + 133.144n ( ) = é - 121.133 144n - + 144n - 1.11 + + 11n - + 133.144n ù M133 ê ú ë û 3/ Phương pháp 3: Dùng định lý phép chia có dư: Để chứng minh A (n )Mp " n Î N Xét các trường hợp chia n cho p + r với r = 0,1, p - Ta có n = pq Từ đây, xét các trường hợp Þ A (n )Mp ( )( ) *Ví dụ 5: CMR: " n Î Z , n n + n + M5 Giải: Đặt A (n ) = n n + n + ( )( ) Lấy n chia cho ta n = 5k, n = 5k ± 1, n = 5k ± (k Î Z ) + Với n = 5k Þ A (n )M5 ( ± 20k + + = 5(5k ) ± 4k + 1)M5 Þ A (n )M5 + Với n = 5k ± 1Þ n + = 25k ± 10k + + = 5k ± 2k + M5 Þ A (n )M5 + Với n = 5k ± Þ n + = 25k ( )( ) Vậy A (n ) = n n + n + M5 " n Î Z ( ) *Ví dụ 6: Chứng minh : " m, n Î Z , m.n m - n M3 Giải: Đặt A (n ) = m.n m - n ( ) Kế hoạch bồi dưỡng học sinh giỏi – Phần Đại số Lop10.com -2- (3) @ Trường THCS Thạnh Tân GV: Di Thanh Tuấn Lấy m, n chia cho ta được: m = 3p, m = 3p ± 1; n = 3q, n = 3q ± ém = 3p + Với ê ên = 3q Þ A (n )M3 ê ë ém = 3p ± 2 + Với ê ên = 3q ± Þ m - n M3 Þ A (n )M3 ê ë Vậy A (n ) = m.n m - n M3 " m, n Î Z ( ( ) ) 4/ Phương pháp 4: Nguyên tắc Drichlet: “ Có n + thỏ nhốt vào n chuồng thì có ít chuồng có hai thỏ trở lên (nhiều thỏ) Trong toán học: “Có n + số nguyên đem chia cho n thì có ít hai số nguyên có cùng số dư” *Ví dụ 7: CMR số tự nhiên (mỗi số có ba chữ số) chọn hai số mà viết liền ta số có sáu chữa số chia hết cho Giải: Ta có: Trong số tự nhiên (mỗi số có ba chữ số) chia cho , ta ít hai số có cùng số dư r Giả sử: abc = 7p + r ; def = 7q + r ( ) ( ) ( ) 103 p + q + 1001.r ù M7 Ta có: abc.def = 103 (7p + r ) + 7q + r = 103 p + q + 103 + r = é ê ú ë û đpcm Kế hoạch bồi dưỡng học sinh giỏi – Phần Đại số Lop10.com -3- (4)