Mục tiêu: Về kiến thức: Biết phát biểu định lý dưới dạng “điều kiện cần”, “điều kiện đủ”, “điều kiện cần và đủ”, phân biệt đâu là giả thiết, đâu là kết luận của định lý, và đặc biệt bi[r]
(1)Trường THPT Phạm Thái Bường Tuần Tiết Ngày soạn: 30/08/2006 Ngày dạy: 07/09/2006 Tổ: Toán – Tin Bài 2: ÁP DỤNG MỆNH ĐỀ VÀO SUY LUẬN TOÁN HỌC I Mục tiêu: Về kiến thức: – Phân biệt giả thiết, kết luận định lý – Biết sử dụng thuật ngữ: điều kiện cần, điều kiện đủ, điều kiện cần và đủ – Biết cách chứng minh phản chứng Về kỹ năng: – Chỉ rõ giả thiết, kết luận định lý – Thành thạo cách phát biểu điều kiện cần, điều kiện đủ, điều kiện cần và đủ – Vận dụng cách chứng minh phản chứng Về tư và thái độ: – Tư logic – Hiểu rõ các định lý, mệnh đề phát biểu theo dạng nào II Chuẩn bị phương tiện dạy học: Bảng phụ – Kết hoạt động III Phương pháp dạy học: Gợi mở, vấn đáp thông qua các hoạt động điều kiển tư IV Tiến trình bài học và các hoạt động: Ổn định lớp Kiểm tra bài cũ Hoạt động thầy Hoạt động trò Gọi học sinh lên bảng Hs lên bảng trả bài Nêu khái niệm mệnh đề, mệnh đề kéo Mệnh đề (1,5đ) Mệnh đề kéo theo (1,5đ) theo và mệnh đề tương đương Áp dụng: Cho hai mệnh đề: Mệnh đề tương đương (1,5đ) P: “ ∆ABC cân” a) Phát biểu P Q: “Nếu ∆ABC cân Q: “ ∆ABC có hai trung tuyến nhau” thì tam giác đó có trung tuyến a) Phát biểu mệnh đề P Q; P Q nhau” (1,5đ) b) Mệnh đề P Q có đúng không? P Q: “∆ABC cân và tam giác đó có trung tuyến nhau” (1đ) b) Mệnh đề đúng (1đ) Trong trường hợp mệnh đề P Q đúng thì ta nói nó là định lý, P gọi là giả thiết và Q gọi là kết luận định lý Và ta có thể phát biểu mệnh đề này theo cách khác, cụ thể ta nghiên cứu bài sau: Giảng bài Hoạt động thầy Hoạt động trò HĐ 1: Nhắc lại khái Nội dung Định lý và chứng minh định lý: Trong toán học, định lý là mệnh đề đúng Nhiều định lý phát biểu dạng: niệm định lý và cách chứng minh Lop10.com (2) Trường THPT Phạm Thái Bường Hoạt động thầy Từ việc kiểm tra bài cũ, GV hình thành cho hs biết định lý và rõ đâu là giả thiết, đâu là kết luận định lý Để chứng minh định lý ta có thể chứng minh trực tiếp gián tiếp Chứng minh trực tiếp nghĩa là từ giả thiết và các kiến thức chứng minh điều kết luận Theo ví dụ trên ta sử dụng giả thiết để chứng minh kết luận GV cần để hs chọn vài giá trị n để xem kết đúng không Thử nhiều khó nên ta cần chứng minh, cần phân tích n thành biểu thức để tính n2 –1 Tổ: Toán – Tin Hoạt động trò Nội dung Cho số ví dụ “x ∈ X, P(x) Q(x)” (1) mệnh đề P(x) Q(x) và Trong đó P(x) và Q(x) là nhận xét tính đúng sai mệnh đề chứa biến, X là các mệnh đề đó tập hợp nào đó Chứng minh định lý dạng (1) Nếu mệnh đề đúng thì là dùng suy luận và kiến ta chứng minh nào, thức đã biết để khẳng định và nhắc lại đâu là giả mệnh đề (1) là đúng, tức là cần thiết, kết luận định chứng tỏ x ∈ X mà P(x) lý đúng thì Q(x) đúng Phép chứng minh trực tiếp: + Lấy x tuỳ ý thuộc X mà P(x) đúng + Dùng suy luận và các kiến thức toán học đã biết để Q(x) đúng Thử vài giá trị VD1: Chứng minh định lý sau: “Với n ∈ A , n lẻ thì n2 –1 n chia hết cho 4” Giải: Nếu n chẵn thì ta phân tích nào? (n = 2k), Ta có n lẻ n = 2k + 1, k ∈ A sau đó phân tích n lẻ n2 –1 = 4k2 + 4k + –1 = 4k(k +1) n –1 chia hết cho Đôi ta dùng giả thiết để chứng minh phần Học sinh nhà chép Phép chứng minh phản chứng: kết luận gặp khó khăn Vì cách chứng minh trực + Giả sử x0 ∈ X cho P(x0) có cách chứng minh tiếp SGK đúng và Q(x0) sai, tức là mệnh gián tiếp nhờ phản đề (1) là mệnh đề sai chứng, nghĩa là phủ định + Dùng suy luận và điều kết luận Cụ thể: kiến thức toán học đã biết để đến mâu thuẫn Hướng dẫn hs phủ định phần kết luận Cần lưu ý cho hs phần giả sử, hs không hiểu mà giả sử giả thiết sai trước Hãy phủ định lại điều VD2: Chứng minh phản chứng: “Nếu a + b < thì số kết luận trên a ≥ b ≥ (sai, a và b nhỏ 1” Giải: cần dùng từ “và” ) Giả sử a ≥ và b ≥ Nhận xét: trái giả thiết Ta có: a + b ≥ (trái giả thiết) thì điều giả sử có đúng Vậy số a và b phải không nhỏ Điều kiện cần, điều kiện đủ: Cho định lý dạng: “x ∈ X, P(x) Q(x)” (1) P(x) gọi là giả thiết và Q(x) là kết luận định lý HĐ2: Từ định lý “x∈X, P(x) Q(x)”, phát biểu theo điều cần, điều kiện đủ 10 Lop10.com (3) Trường THPT Phạm Thái Bường Hoạt động thầy Có thể phát biểu định lý P Q theo cách sau: Điều kiện đủ để có Q là có P, và điều kiện cần để có P là có Q Tổ: Toán – Tin Hoạt động trò Hs sử dụng các thuật ngữ trên phát biểu định lý đã cho Phát biểu: điều kiện cần, điều kiện đủ theo cách đặt các từ này vị Cho số ví dụ để hs trí đầu câu áp dụng: “Nếu ∆ABC vuông thì nó có góc Cho số ví dụ khác tổng hai góc việc áp dụng các còn lại” Hoặc: “Nếu tứ thuật ngữ này giác có tổng góc 1800 thì nó nội tiếp đường tròn” Nội dung Chú ý: (1) còn phát biểu: P(x) là điều kiện đủ để có Q(x) Hoặc Q(x) là điều kiện cần để có P(x) VD3: Xét định lý: “Với số tự nhiên n, n chia hết cho 24 thì nó chia hết cho 8” “n chia hết cho 24 là điều kiện đủ để n chia hết cho 8” “n chia hết cho là điều kiện cần để n chia hết cho 24” Định lý đảo, điều kiện cần Hs phát biểu mệnh đề và đủ: Các em đã học mệnh Xét mệnh đề đảo định lý đề P Q và mệnh đề Q(x) P(x), và nhận xét dạng (1): “x ∈ X, Q(x) P(x)” đảo Q P, định nó đúng hay sai lý tương tự, nó Mệnh đề trên có thể đúng hay có định lý thuận và Nếu mệnh đề đảo trên sai Nếu nó đúng thì ta gọi nó là đúng thì nó có phải là định lý đảo định lý thuận(1) đảo Cụ thể: định lý không? Định lý thuận và đảo gộp lại Cần lưu ý các kí hiệu: thành định lý: “ “ phát biểu là “Nếu Phát biểu định lý ví “x ∈ X, P(x) Q(x)” thì ”, “điều kiện dụ đặt “điều kiện cần Khi đó ta nói: P(x) là điều kiện cần”, “điều kiện đủ”, và đủ” vị trí đầu câu cần và đủ để có Q(x) còn kí hiệu “ “ phát biểu “khi và khi”, “điều VD4: Theo em hs trả bài: “ kiện cần và đủ”, ∆ABC cân là điều kiện cần và đủ để tam giác đó có đường trung tuyến nhau” Củng cố: Các em cần biết đâu là giả thiết, đâu là kết luận định lý, và biết phát biểu định lý trên thuật ngữ: điều kiện cần, điều kiện đủ, điều kiện cần và đủ Trong đó có cách chứng minh mới, là chứng minh phản chứng, nghĩa là ta giả sử kết luận sai và chứng minh điều mâu thuẫn giả thiết Dặn dò: Làm bài tập trang 12 và phần luyện tập trang 13, 14 Lop10.com 11 (4) Trường THPT Phạm Thái Bường Tổ: Toán – Tin BÀI TẬP ÁP DỤNG MỆNH ĐỀ VÀO SUY LUẬN TOÁN HỌC Tuần Tiết Ngày soạn: 30/08/2006 Ngày dạy: 07/09/2006 I Mục tiêu: Về kiến thức: Biết phát biểu định lý dạng “điều kiện cần”, “điều kiện đủ”, “điều kiện cần và đủ”, phân biệt đâu là giả thiết, đâu là kết luận định lý, và đặc biệt biết cách chứng minh phản chứng Về kỹ năng: – Thành thạo cách phát biểu điều kiện cần, điều kiện đủ, điều kiện cần và đủ – Thành thạo cách chứng minh phản chứng Về tư duy: – Tư logic – Hiểu rõ các định lý, mệnh đề phát biểu theo dạng nào Về thái độ: cẩn thận, chính xác các cách phát biểu II Chuẩn bị phương tiện dạy học: Phiếu trả lời ngắn – Kết hoạt động III Phương pháp dạy học: Gợi mở, vấn đáp đan xen hoạt động nhóm IV Tiến trình bài học và các hoạt động: Ổn định lớp Kiểm tra bài cũ Hoạt động thầy Hoạt động trò Cho hs lên trả bài theo câu hỏi: Hs làm trên bảng: a) Phát biểu cách chứng minh a) Cách chứng minh trực tiếp (2đ) Cách chứng minh gián tiếp (2đ) định lý (trực tiếp và gián tiếp) b) Áp dụng: Dùng phản chứng, chứng b) Giả sử n lẻ thì n = 2k + 1, k ∈ A minh định lý sau: “n ∈ A *, n2 n2 = (2k + 1)2 = 4k2 + 4k + chẵn thì n chẵn” n2 lẻ vì (4k2 + 4k) chẵn và là lẻ, nên trái giả thiết Để hiểu rõ cách chứng minh này, và sử Vậy n lẻ (4đ) dụng đúng các thuật ngữ: điều kiên cần, điều kiện đủ, điều kiện cần và đủ, ta xét số bài sau: Giảng bài tập Hoạt động thầy Hoạt động trò Nội dung Đây là định lý, có dạng P(x) Q(x), xét mệnh đề đảo thì chưa biết đúng hay sai, nên chưa khẳng định là định lý đảo Hs tự phát biểu mệnh đề trên Hãy giải thích không gọi là định lý đảo 6/ Phát biểu mệnh đề đảo định lý: “Trong tam giác cân, hai đường cao ứng với hai cạnh bên thì nhau” Mệnh đề đảo đó đúng hay sai? 12 Lop10.com (5) Trường THPT Phạm Thái Bường Hoạt động thầy Tổ: Toán – Tin Hoạt động trò Hs vẽ tam giác có hai đường cao và xét tam giác đó nào Nhắc lại cách chứng minh phản chứng là giả sử kết luận sai, chứng minh điều trái giả thiết Nhắc nhở hs dễ sai phủ định dấu “≥ “ là “≤ “ Hỏi hs thấy biểu thức trên giống đẳng thức nào? Nhắc lại mệnh đề: P(x) Q(x) có thể phát biểu: Điều kiện đủ để có Q(x) là có P(x) Chú ý: điều kiện này chưa phải là điều kiện cần Chẳng hạn: cho a 1; b thì a + b = là số hữu tỉ a và b là số vô tỉ Nội dung Mệnh đề đảo:”Nếu tam giác có hai đường cao thì tam giác đó cân” Mệnh đề đảo trên đúng Nêu lại cách chứng 7/ Chứng minh định lý sau minh phản chứng phản chứng: “Nếu a, b là số dương thì Hs có thể thấy bậc a + b ≥ ab ” hai bình phương cho dễ: Giải: (a + b)2 < 4ab Giả sử a + b < ab (a –b)2 < (sai) a – ab + b < ( a b )2 < (sai) Vậy a + b ≥ ab Hs có thể phát biểu: “a và b là hai số hữu tỉ là điều kiện đủ để tổng a+b là số hữu tỉ (phát biểu đúng) Hãy so sánh cách phát biểu điều cần và Hỏi hs xét điều kiện đủ điều kiện đủ có đúng không? Ta thấy 10 chia hết Hs có thể phát biểu: không chia hết “Một số tự nhiên chia hết cho là điều kiện cần 15 nó chia hết cho 15” 8/ Sử dụng thuật ngữ “điều kiện đủ” để phát biểu định lý: “Nếu a và b là hai số hữu tỉ thì tổng a + b là số hữu tỉ” Điều kiện đủ để tổng a + b là số hữu tỉ là hai số a và b là số hữu tỉ 9/ Sử dụng thuật ngữ “điều kiện cần” để phát biểu định lý: “Nếu số tự nhiên chia hết cho 15 thì nó chia hết cho 5” Điều kiện cần để số tự nhiên chia hết cho 15 là nó chia hết cho 10/ Sử dụng thuật ngữ “điều kiện cần và đủ” để phát biểu Hs hãy phát biểu định định lý: “Một tứ giác nội tiếp lý trên “điều kiện đường tròn cần và đủ” đặt đầu và tổng góc đối diện câu và cuối câu nó là 1800 “ Đây là định lý nên sử dụng thuật ngữ trên hiển nhiên là mệnh đề đúng giải thích cho hs biết định Xét mệnh đề đúng hay lý này Điều kiện cần và đủ để tứ sai (có thể giải thích) giác nội tiếp đường tròn là tổng góc đối diện nó là 1800 11/ Chứng minh định lý sau Nhắc lại cách chứng phản chứng: minh phản chứng “Nếu n là số tự nhiên và n2 chia hết cho thì n chia hết cho 5” Giải: Lop10.com 13 (6) Trường THPT Phạm Thái Bường Hoạt động thầy Nhắc nhở hs dễ sai giả sử n2 không chia hết cho chứng minh ngược lại Tổ: Toán – Tin Hoạt động trò Nội dung Hãy cho biết số không Giả sử n không chia hết cho chia hết cho 5, thì Ta có: n = 5k 1, chia cho dư bao nhiêu n = 5k 2, k ∈ A (dư 1, 2, 3, 4) Nếu n = 5k n2 = 25k2 10k +1 Trong trường hợp Hs có thể xét trường trên có thể gom trường hợp n bình n = 5k(5k 2) + n không chia hết cho (trái hợp chính là n = 5k phương lên giả thiết n2 chia hết cho 5) và n = 5k 2, bình phương lên xem n2 có Hãy nêu cách khai chia hết cho hay không triển đẳng thức Nếu2n = 5k2 n = 25k 20k +4 (a – b)2 = ? n2 = 5k(5k 4) + n2 không chia hết cho (trái giả thiết n2 chia hết cho 5) Vậy n chia hết cho (đpcm) Củng cố: Các em cần nắm vững các cách phát biểu: điều kiện cần, điều kiện đủ, điều kiện cần và đủ (rất hay dễ nhầm lẫn) và tính đúng sai nó Nhớ cách chứng minh phản chứng là ta phủ định kết luận và chứng minh điều mâu thuẫn giả thiết Dặn dò: Làm các bài luyện tập trang 13, 14, 15 14 Lop10.com (7)