Đang tải... (xem toàn văn)
GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ A.KIẾN THỨC CƠ BẢN 1... CHUYÊN ĐỀ GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ.[r]
(1)CHUYÊN ĐỀ GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ A.KIẾN THỨC CƠ BẢN Các định nghĩa: + lim f ( x ) L ( x n ) : x n x ; lim x n x lim f ( x n ) L x x0 + Tương tự ta có các định nghĩa: lim f ( x ) L ; lim f ( x ) L ; lim f ( x ) ; lim f ( x ) x x x0 x x x0 Một số định lý giới hạn hàm số: a) Định lý 1: Nếu các giới hạn: lim f ( x ) L ; lim g( x ) M thì: x x0 x x0 +) lim [ f ( x ) g( x )] lim f ( x ) lim g( x ) x x0 x x0 x x0 + ) lim f ( x ).g( x ) lim f ( x ) lim g( x ) x x0 x x0 x x0 f ( x) f ( x ) xlim x0 (với lim g( x ) M ) x x0 g( x ) x x0 lim g( x ) +) lim x x0 +) lim f ( x ) lim f ( x ) x x0 x x0 +) lim f ( x ) lim f ( x ) x x0 x x0 +) lim f ( x ) x x0 lim f ( x ) (với f ( x ) ) x x0 b) Định lý 2: (Nguyên lý kẹp giữa) Cho f(x), h(x) và g(x) xác định trên khoảng K chứa điểm x (có thể trừ g( x ) f ( x ) h( x ); x K \ x điểm x ) Nếu thì lim f ( x ) L g( x ) lim h( x ) L x x0 xlim x0 x x0 c) Định lý lim f ( x ) L lim f ( x ) lim f ( x ) L x x0 x x0 x x0 d) Định lý Nếu lim f ( x ) thì lim x x0 x x0 0 f ( x) 3) Các giới hạn +) lim C C ; lim C C ; lim C C x x0 x x0 x +) lim x k x k0 ; lim a.x k a.x k0 (với a 0) x x0 x x0 +) lim x k ; lim x 2k ; lim x 2k 1 x x x 1 ; lim 0 x x k x x k + ) lim +) lim x 0 1 sin x ; lim 2k ; lim 2k 1 và lim 1 k x 0 x 0 x x 0 x x x Lop11.com (2) CHUYÊN ĐỀ GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ II) CÁC DẠNG TOÁN GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ ▲DẠNG lim f ( x ) (với f(x) xác định x0) x x0 ◘ Phương pháp: + Nếu f(x) cho công thức thì lim f ( x ) f ( x ) x x0 + Nếu f(x) cho đa công thức thì ta tính lim f ( x ) lim f ( x ) ■ x x0 x x0 ►BÀI 1.1 Tính các giới hạn sau: 1) lim (2x x 1) x3 x x 1 3) lim x 3 x x 2) lim( x x 2) x 5.3 x x 2 4) lim x 1 x3 x 4 3x x 2 ►BÀI 1.2 Cho hàm số sau: f ( x ) x x 2 Tính lim f ( x ) ; lim f ( x ) ; lim f ( x ) x 2 x 2 x 2 x cos x x x ►BÀI 1.3 Cho hàm số sau: f ( x ) x 1 x x .khi x a) Tính lim f ( x ) b) Tính lim f ( x ) x 0 x 1 ▲DẠNG lim f ( x ).g( x ) L ( ) với L x x0 ◘ Phương pháp: lim f ( x ) L lim g( x ) x x0 L>0 L>0 L<0 L<0 ►BÀI 2.1 Tính các giới hạn sau: 2x 1) lim x 1 ( x 1) 2x x 3x 2x 4x 2) lim x 2 ( x ) 4x 4) lim ( x x 5) x 6) lim ( x k x k 1 x 1) , k N* x 7) lim x x0 6x 3) lim x 3 ( x ) 7x 5) lim (2x x 1) lim f ( x ).g( x ) x x0 x 8) lim x Lop11.com 2x 3x (3) CHUYÊN ĐỀ GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ 9) lim x 10) lim x 2x x f (x) L với L x x g( x ) 0 ◘ Phương pháp: lim f ( x ) L lim g( x ) 2 2x x ▲DẠNG lim x x0 x x0 f (x) x x g( x ) lim L>0 g(x) > L>0 g(x) < L<0 g(x) > L<0 g(x) < ►BÀI 3.1 Tính các giới hạn sau: x2 x x 2x 1) lim 2) lim x 3 x 3 x 3 x3 2x 4x 3) lim 4) lim x 2 ( x 2) x 1 ( x 1) 3x x 1 5) lim 6) lim x 2 ( x 2)( x 8) x 3 ( x )( x x ) 2x 7) lim x 1 x x f (x) ▲DẠNG lim x x g( x ) ◘ Phương pháp: + Chia tử và mẫu cho xk (với k thích hợp) 1 + Áp dụng lim k ; lim k ■ x x x x + Chú ý: A B A 2B với A 0; B A B A 2B với A 0; B ►BÀI 4.1 Tính các giới hạn sau: 3x 2x 1) lim x x x 5x x x 3) lim x 10 x x x x 3x 5) lim x ( x 1)(3x 1) x 2x 2) lim x x2 x (2x 5)(1 x )2 4) lim x 3x x 2x 6) lim x x 4x x 3 Lop11.com (4) CHUYÊN ĐỀ GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ (2x 1) x 8) lim x x 5x x 4x x 10) lim x 3x x x 2x 12) lim x x2 x 1 7) lim (1 x ) x x x2 9) lim (1 x ) x 2x x x2 x 2x x 11) lim x 2x f (x) 0 ▲DẠNG lim x x g( x ) 0 ◘ Phương pháp: + Phân tích tử và mẫu dạng tích để rút gọn thừa số chung + Nhân thêm đại lượng liên hợp với A B và A B ■ ►BÀI 5.1 Tính các giới hạn sau: x4 x 27 2) lim 1) lim x x ( 1)x x 3 18 2x 2 x 2x 3) lim x 2 x x x 27 x 5) lim x 3 3x x 1 x 7) lim x 1 x x ►BÀI 5.2 Tính các giới hạn sau: x32 1) lim x 1 x2 1 x 1 x 3) lim [ĐHĐĐ.00] x 0 1 x 1 x 3x 5) lim x 2 x x 18 x 1 x 7) lim x 1 x x ►BÀI 5.3 Tính các giới hạn sau: x5 2 1) lim x 3 x2 x 1 3) lim x 1 4x x x 3 x x3 6) lim x 2 x x x3 3 7) lim x 3 x2 4) lim x2 2 x 2 x7 3 x x x 2x 4) lim x 3 x 4x x3 6) lim x 2 x x x2 x 1 x 8) lim x x4 x 2) lim x 3x 2) lim x x 2x 2x x 4) lim [ĐHTL.2001] x 0 x2 2x x 5) lim [ĐHQG.01] x 0 x Lop11.com x x2 6) lim [ĐHTCKT.01] x 1 x2 (5) CHUYÊN ĐỀ GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ 2x x x x2 8) lim [ĐHSPII.00] 7) lim [ĐHSPHN.01] x 1 x 1 x 1 x 1 1 x x x 2x 9) lim [ĐHQG.97] 10) lim x 0 x 1 x x 1 3 x 8x x3 9x 5 11) lim [ĐHQG.97] 12) lim x 1 x 0 x 1 x ▲DẠNG lim f ( x ).g( x ) 0 ( ) x x ◘ Phương pháp: f (x) 0 xx0 xx0 0 g( x ) g( x ) + Ta viết lim f ( x ).g( x ) lim ■ x x0 x x0 f (x) ►BÀI 6.1 Tính các giới hạn sau: 1 x 2) lim 1) lim ( x 3) x 5 x ( x 5) x 3 x 9 2x 2x 3) lim x x 1 4) lim x 4x 2 x x x x x 3 ▲DẠNG lim f ( x ) g( x ) + Ta viết lim f ( x ).g( x ) lim x x0 ◘ Phương pháp: L + Rút gọn tổng [f(x) + g(x)] để đưa dạng L.( ) dạng ■ 0 + Chú ý: A B A 2B với A 0; B A B A 2B với A 0; B ►BÀI 7.1 Tính các giới hạn sau: 1) lim x 1 x x 1 3) lim x 2x 5) lim 5x x x 1 2) lim x 3 x x x x x 8x 4) lim x x x 3x 7 6) lim 3 64 x 3x 2x x x 1 7) lim x 0 x x Lop11.com (6) CHUYÊN ĐỀ GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ ▲DẠNG lim f ( x ) g( x ) x x0 ◘ Phương pháp: + Nhân thêm đại lượng liên hợp để đưa dạng quen thuộc ■ ►BÀI 8.1 Tính các giới hạn sau: x x x 3) lim x x x 5) lim x x x 8x 7) lim x x x 1) lim 2) lim x x 3 x x2 x 5x x x lim x x x x 6) x 4) lim x x 3 x x sin x (giới hạn các hàm số lượng giác) x 0 x ◘ Phương pháp: + Sử dụng các công thức lượng giác: cos a sin2 a ,… để đưa giới hạn sin x sin f ( x ) dạng: lim lim 1 ■ x 0 f ( x )0 x f (x) ►BÀI 9.1 Tính các giới hạn sau: sin x sin 3x 2) lim 1) lim x sin x x 0 x tan x cos 5x 3) lim 4) lim x sin x x 0 x2 cos x cos 3x cos x cos x 6) lim 5) lim x 0 x 0 sin2 x x tan x sin x cos x cos 2x 7) lim 8) lim x 0 x 0 x x2 cos x cos 2x cos x cos x cos 2x cos nx 9) lim 10) lim ; n N* 2 x 0 x 0 x x sin x cos x cos 7x 11) lim [CĐBN.98] 12) lim [ĐHĐĐ.00] x sin x cos x x sin2 11x x3 13) lim x 1 sin( x 1) ►BÀI 9.2 Tính các giới hạn sau: cos 2x 1 cos x 2) lim 1) lim x 0 x 0 1 x2 x2 cos x cos x 3) lim [ĐHQG.96] 4) lim [CĐBN.99] x 0 x 0 1 1 x x2 ▲DẠNG lim Lop11.com (7) CHUYÊN ĐỀ GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ x cos x 5) lim [ĐHTM.99] x 0 x2 tan x sin x 7) lim x 0 x3 cos 2x 2x x x 0 x2 2x x 8) lim [ĐHLN.00] x 0 sin x cos 2x 2x 3x 10) lim 9) lim x 0 x 0 x2 cos x cos x cos 2x cos x cos 2x 11) lim 12) lim x 0 x 0 x2 x2 x2 cos( x ) 13) lim 14) lim x x sin x cos x x 0 cos x ►BÀI 9.3 Tính các giới hạn sau (bằng phương pháp đổi biến) 2) lim x tan x 1) lim x sin x x x 6) lim cos x x sin x 4 sin 3x 6) lim x cos x 6 3) lim tan 2x tan x x 4 4) lim 5) lim tan x x cos x cos cos x 2 7)* lim x 0 costan x cos cos 2x 9)* lim x 1 x2 x sin x cos x 11) lim x x2 x 1 cos x cos 2x cos x x 0 x2 8)* lim x 1 x2 10) lim sin x x x x x sin x 12) lim [HVBCVT.99] x x sin x ====================================================== Lop11.com (8)