Đạo hàm của hàm số trên một khoảng..a[r]
(1)ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ I KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM
1 Đạo hàm hàm số điểm
a Khái niệm đạo hàm hàm số điểm.
Cho hàm số y= f(x) xác định khoảng (a:b) xo (a;b)
Đạo hàm hàm số điểm xo, ký hiệu f’(xo) y’(xo) Ta có:
f’(xo) = x → x0lim
f(x)− f(x0)
x − x0
Đặt Δ x = x – xo (gọi số gia biến số điểm xo)
Δ y = f(x) – f(xo) = f(xo + Δ x) – f(xo) (gọi số gia hàm số ứng với số gia
Δ x điểm xo)
Ta có: f’(xo) = lim Δx →0
f(x0+Δx)− f(x0)
Δx =Δx →lim0
Δy Δx
Chú ý: Δx , Δy ký hiệu, không thiết mang dấu dương, khơng hiểu Δx=Δ.x
b Quy tắc tính đạo hàm theo định nghĩa: Cách 1: Tính trực tiếp f’(xo) = lim
x → x0
f(x)− f(x0)
x − x0
Cách 2: Để tính đạo hàm hàm số f điểm xo, ta thực bước:
Bước 1: Tính Δy=f(x0+Δx)− f(x0) , ( Δx số gia biến xo)
Bước 2: Tìm lim
Δx →0
Δy
Δx kết luận
◦ Nhận xét : Nếu hàm số f(x) có đạo hàm xo f(x) liên tục xo Ý nghĩa hình học đạo hàm
Ý nghĩa hình học: Đạo hàm hàm số y = f(x) điểm xo hệ số góc
tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm Mo (xo; f(xo))
Phương trình tiếp tuyến đường cong
Cho đường cong (C) : y = f(x) (f(x) có đạo hàm điểm xo)
Tiếp tuyến đồ thị (C) điểm Mo(xo;f(xo)) (C) có phương trình:
y − y0=f '(x)(x − x0)⇔ y=f '(x0)(x − x0)+f(x0)
(2)a Khái niệm: Cho hàm số y = f(x) xác định tập J, J khoảng hay hợp nhiều khoảng
* Định nghĩa:
+ Hàm số f gọi có đạo hàm tập J có đạo hàm điểm thuộc J
+ Đạo hàm hàm số f ký hiệu f’(x) y’
Chú ý: Tính đạo hàm hàm số mà khơng nói rõ tính điểm nào, ta hiểu tính tồn TXĐ
* Quy tắc tính đạo hàm theo định nghĩa: Để tính đạo hàm hàm số f Ta thực hiện: Bước 1: Tính Δy=f(x+Δx)− f(x)
Bước 2: Tìm lim
Δx →0
Δy
Δx kết luận: y’ = …
b Đạo hàm hàm số thường gặp.
(C)’ = (C số) (un)’ = nnn-1.u’
(x)’ =
(
1u)
’ = - u 'u2 (x 0)
(xn)’ = nxn-1 (n N, n 2)
(
1x)
’ = -
x2 (x 0) ( √u )’ = u '
2√u (u >
0)
( √x )’ =
2√x (x > 0)
II. CÁC QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM
◦ (u + v)’ = u’ + v’ ◦ (u – v)’ = u’ – v’
◦ (u.v)’ = u’v + uv’ ◦ (c.u)’ = c u’ (c số)
◦
(
uv
)
’ = u ' v −uv'
v2 (v
0)
◦ g’x = f’ u u’ x
Mở rộng : (u1 ± u2 ± … ± un)’ = u1’ ± u2’ ± ± un’
(uvw)’ = u’vw + uv’w + uvw’; III ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
Hàm số y = tanx xác định khoảng ( - −π 2+kπ ;
π
2+kπ¿ (k Z) hàm số y =
cotx xác định khoảng ( kπ ; π+kπ ) (k Z)
(sinx)’ = cosx * (sinu)’ = (cosu).u’ = u’.cosu (cosx)’ = - sinx * (cosu)’ = (-sinu).u’ = -u’.sinu (tanx)’ =
cos2x * (tanu)’ =
u ' cos2u (cotx)’ = -
sin2x * (cotu)’ = -