Chuyên đề Tích phân (Lê Minh Đạt)

Chuyên đề tích phân LTĐH 2012-2013 Muốn chứng minh đẳng thức trong tích phân ta thường dùng cách đổi biến số và nhận xét một số đặc điểm sau.. Chúng ta cần phải nhớ những đẳng thức nầy v[r]

Chuyên đề tích phân LTĐH 2012-2013 CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN Bảng công thức tích phân bất định :  0dx  C n  x dx   dx  x  C x n 1 C n 1  x dx  ln x  C n  1 ax  a dx  ln a C  cos xdx  sin x  C  e dx  e  C  sin xdx   cos x  C x x x  cos x  sin dx  tan x  C x dx   cot x  C u( x)  u ( x) dx  ln u ( x)  C  x  a dx  x a x  a  ln x  x  a  C 2 x 1 xa dx  ln C 2a x  a a Phương pháp biến số phụ : Cho hàm số f (x) liên tục trên đoạn a; b có nguyên hàm là F (x) Giả sử u (x) là hàm số có đạo hàm và liên tục trên đoạn  ,   và có miền giá trị là a; b thì ta có :  f u ( x).u ' ( x)dx  F ( x)u ( x)  C BÀI TẬP Tính các tích phân sau : a) I1   xdx x2  1 e e x dx ex  b) I   c) I   1  ln x dx x Bài làm : a) Đặt t  x   dt  xdx  xdx  dt x   t  x   t  Đổi cận :  BIÊN SOẠN: LÊ MINH ĐẠT – ĐT: 0918 344 200 Lop12.net Trang Chuyên đề tích phân LTĐH 2012-2013 2 xdx dt 1 Vậy : I1      ln t  ln x 1 t 2 1 b) Đặt t  e x   dt  e x dx x   t  e  Đổi cận :  x   t  e  1 e x dx Vậy : I   x  e 1 e 1  e1 e 1 dt  ln t  ln(e  1) t e1 x c) Đặt t   ln x  tdt  dx x   t  x  e  t  Đổi cận :  e I3    ln x dx 2   t dt  t  (2  1) x 3 Tích phân lượng giác :  Dạng : I   sin mx cos nxdx  Cách làm: biến đổi tích sang tổng  Dạng : I   sin m x cos n x.dx  Cách làm : Nếu m, n chẵn Đặt t  tan x Nếu m chẵn n lẻ Đặt t  sin x (trường hợp còn lại thì ngược lại)  Dạng : I    dx a sin x  b cos x  c Cách làm : 2t  sin x   x 1 t2 Đặt : t  tan   2 cos x   t  1 t2  a sin x  b cos x dx Dạng : I    c sin x  d cos x Cách làm : Đặt : a sin x  b cos x B (c cos x  d sin x)  A c sin x  d cos x c sin x  d cos x Sau đó dùng đồng thức BIÊN SOẠN: LÊ MINH ĐẠT – ĐT: 0918 344 200 Lop12.net Trang Chuyên đề tích phân LTĐH 2012-2013  Dạng 5: I    a sin x  b cos x  m dx c sin x  d cos x  n Cách làm : Đặt : a sin x  b cos x  m B (c cos x  d sin x) C  A  c sin x  d cos x  n c sin x  d cos x  n c sin x  d cos x  n Sau đó dùng đồng thức BÀI TẬP Tính tích phân :   2 cos xdx (sin x  1) a) I1    b) I   cos xdx c) I   tan xdx 0 Bài làm : a) Đặt : t  sin x   dt  cos xdx x   t  Đổi cận :    x   t   2 cos xdx dt   Vậy : I   3t (sin x  1) t  24 b) Đặt : t  sin x  dt  cos xdx x   t  Đổi cận :    x   t   Vậy : 0     I   cos xdx    t dt    t  2t dt  t5      t  t    15 0 c) Đặt : t  tan x  dt  (tan x  1)dx x   t  Đổi cận :    x   t  BIÊN SOẠN: LÊ MINH ĐẠT – ĐT: 0918 344 200 Lop12.net Trang Chuyên đề tích phân LTĐH 2012-2013  t dt     t  t 1 dt t 1 t 1 0 I   tan xdx   Vậy :  t  t 13      t    du   15 5 0 Tính các tích phân sau :   a) I1   sin x cos x a sin x  b cos x 2 2 b) I   dx cos x  cos x dx Bài làm : a) Đặt : t  a sin x  b cos x  dt  2(b  a ) sin x cos xdx x   t  a Đổi cận :   x   t  b  Nếu a  b  Vậy : sin x cos x dx  2 b  a2 a sin x  b cos x I1    t b  a2 b  a2  ab b a 2  b2  a2 dt t ab Nếu a  b  I1   sin x cos x  a sin x  b cos x Vậy :   sin x cos xdx a dx    2 1 sin xdx   cos x   2a 4a 2a b) Đặt : t  sin x  dt  cos xdx x   t  Đổi cận :   x   t   BIÊN SOẠN: LÊ MINH ĐẠT – ĐT: 0918 344 200 Lop12.net Trang Chuyên đề tích phân LTĐH 2012-2013  cos x Vậy : I    cos x dx   dt  2t  dt  t 3 cos u  dt   sin udu 2   t   u  Đổi cận :  t   u     sin udu 2 dt I2     2  t  cos u  2 Đặt : t  Vậy :     du  2  u   4 Tính các tích phân sau :   a) I   dx sin x  cos x  b) I   sin x  cos x  dx sin x  cos x  Bài làm : x  2dt   dt   tan  1dx  dx  2  t 1  x   t  Đổi cận :    x   t  1 dt 1 t2 I1   dt  2  2t 1 t 0 t  1 3 5 Vậy : 1 t2 1 t2 a) Đặt : t  tan x 1   t2 sin x  cos x  cos x  sin x C  A B  sin x  cos x  sin x  cos x  sin x  cos x  Dùng đồng thức ta được: A  , B  , C  b)Đặt : BIÊN SOẠN: LÊ MINH ĐẠT – ĐT: 0918 344 200 Lop12.net Trang Chuyên đề tích phân LTĐH 2012-2013  Vậy : I2   sin x  cos x  cos x  sin x   dx  0 sin x  cos x  0 1  sin x  cos x   sin x  cos x  dx   x  ln sin x  cos x   02  I1    ln  Bạn đọc tự làm :   a) I1     cos x dx sin 2x dx sin x  b) I   cos3 x sin xdx c) I     sin x dx cos x  c) I    sin x  cos x  dx d) I   dx sin x  cos x  sin x  cos x  0 d) I   Tính nguyên hàm,tích phân các hàm hữu tỷ dx 1   C với a, n   C   N  0,1 ta có : n n   x  a n1 x  a  dx Nếu n  , a  R ta có : I    ln x  C xa  ,  , a, b, c  R x   dx Dạng : I   đó :  n ax  bx  c   b  4ac  Dạng : I     * Giai đoạn :   ,làm xuất tử thức đạo hàm tam thức ax  bx  c , sai khác số : I  a 2ax  b  2a  ax   bx  c b  n dx   2a  ax 2ax  b  bx  c  n dx    a dx   b   n 2a    ax  bx  c  * Giai đoạn : Tính I   dt  4a    dx    n      2a ax  b  t ax  bx  c t dx  n    n  * Giai đoạn : Tính I   Dạng : I   t  1 Pm  x  dx Qn  x  n dt có thể tính hai phương pháp , truy hồi đặt t  tan  Pm  x  am x m   a1 x  a0 Ta có :  Qn  x  bn x n   b1 x  b0 BIÊN SOẠN: LÊ MINH ĐẠT – ĐT: 0918 344 200 Lop12.net Trang Chuyên đề tích phân LTĐH 2012-2013 Nếu : degP   degQ  thì ta thực phép chia phân số Rr  x  có degR   degQ  Qn  x  Pm  x  R x  đó  Am  n   x   r Qn  x  Qn  x  Nếu : degP   degQ  ta có các qui tắc sau : Pm  x  A1 An 1 An    n 1 x  a  x  a  x  a  x  a n n P x  Ai  Vdụ 1a : n m i x  i  x   i1 *Qt 1: n  i 1 Vdụ 1b : Pm  x  A B C D     ( x  a )( x  b)( x  c) x  a x  b x  c  x  c 2 Pm  x  An1 x  Bn1 An x  Bn A1 x  B1    n 1 2 ax  bx  c ax  bx  c ax  bx  c ax  bx  c m n Pt  x  Ai Ai x  B1   *Qt 3:   n i m x    ax  bx  c i 1 x    k 1 ax  bx  c i Pt  x  A Bx  C Vdụ :   ( x   ) ax  bx  c x   ax  bx  c Pt  x  B1 x  C1 B2 x  C A Vdụ :    2 x    ax  bx  c x    ax  bx  c ax  bx  c *Qt 2':     n             n với          BÀI TẬP Tính các tích phân sau : a) I   dx x  3x  b) I   x dx  3x   Bài làm : a) I   dx dx       dx x  x   x  1 x    x  x   1  ln x   ln x  0  ln 1   dx b) I   dx     0  x  12 x  22 x  1x  2dx x  x   1       2ln x   ln x    OK  x 1 x  0 BIÊN SOẠN: LÊ MINH ĐẠT – ĐT: 0918 344 200 Lop12.net Trang Chuyên đề tích phân LTĐH 2012-2013 Tính các tích phân sau : 1 dx a) I1   x  3x  b) I   4x  dx x  x  2   Bài làm : dx x  arctan  C với a  x a a a dx  1     dx 2 x 1 x   x 1 x   a)* Bạn đọc dễ dàng chứng minh I   I1   dx  x  x  0     1 x     arctan x  arctan   92 2 30  4x  A Bx  C x  A  B   x2 B  C   2C  A b) Đặt :    x  2 x  x  x  x  2 x  A  B   A  2  Do đó ta có hệ : 2 B  C    B  2C  A  C     Vậy : I       4x  2 2x   dx      dx x  x 1 x  x  2 0      ln x   ln x   2 ln  ln  ln  ln  ln Bạn đọc tự làm : a) I1   x 1 dx x  x  1 b) I   c) I   x 1 dx 4x3  x d) I  2 2 dx x  2x  x x dx  3x  HD: A B x 1 A B C b)     2 x 1 x  2x  x 1 x  x  x  1 x x  x 1  x4 x A B C D  d) c)  1      x  x  x2 x  12 x  1  x  3x  x  x  x  x  a) Đẳng thức tích phân : BIÊN SOẠN: LÊ MINH ĐẠT – ĐT: 0918 344 200 Lop12.net Trang Chuyên đề tích phân LTĐH 2012-2013 Muốn chứng minh đẳng thức tích phân ta thường dùng cách đổi biến số và nhận xét số đặc điểm sau * Cận tích phân , chẵn lẻ , tuần hoàn , cận trên + cận dưới, … Chúng ta cần phải nhớ đẳng thức nầy và xem nó bổ đề áp dụng BÀI TẬP 1 0 Chứng minh :  x m 1  x n dx   x n 1  x m dx Bài làm : Xét I   x m 1  x n dx Đặt : t   x  dt  dx  dx  dt x   t  x   t  Đổi cận :  1 Vậy : I   x m 1  x n dx    1  t m t n dt   1  t m t n dt (đpcm) Chứng minh f (x) là hàm lẻ và liên tục trên đoạn  a, a  thì : a  f x dx  I a Bài làm : a I  f ( x)dx  a  a a f  x dx   f  x dx 1 0 Xét  f x dx Đặt t   x  dt  dx  dx  dt a  x  a  t  a x   t  Đổi cận :  V ậy :  a a a 0 f  x dx   f  t dt    f t dt Thế vào (1) ta : I  (đpcm) Tương tự bạn đọc có thể chứng minh : Nếu f (x) là hàm chẳn và liên tục trên đoạn  a, a  thì a I  a a f  x dx   f  x dx Cho a  và f x  là hàm chẵn , liên tục và xác định trên R BIÊN SOẠN: LÊ MINH ĐẠT – ĐT: 0918 344 200 Lop12.net Trang Chuyên đề tích phân LTĐH 2012-2013 f x   a x  dx  0 f x dx  Chứng minh :  f x  f x  f x  dx   x dx   x dx x 1 a 1 a 1    a   f x  dx Đặt t   x  x 1 Xét  a  Bài làm : 1 dt   dx  dx   dt  x    t   x   t  Đổi cận :  f x  f  t  a t f t  dx  dt   a x  0 a t  0 at    Vậy :  f x  a x f x  f x  dx   x dx   f  x dx (đpcm) Thế vào (1) ta :  x dx   x a 1 a 1 a 1   0    Cho hàm số f x  liên tục trên 0,1 Chứng minh :   x f sin x dx     f sin x dx Bài làm :  Xét  x f sin x dx Đặt t    x  dt   dx  dx   dt x   t   x    t  Đổi cận :     Vậy :  x f sin x dx     t  f sin   t dt     t  f sin t dt 0   0    f sin t dt   t f sin t dt     x f sin x dx    f sin x dx      x f sin x dx   f sin x dx 0 Từ bài toán trên , bạn đọc có thể mở rộng bài toán sau Nếu hàm số f x  liên tục trên a, b và f a  b  x   f x  Thì ta luôn có : BIÊN SOẠN: LÊ MINH ĐẠT – ĐT: 0918 344 200 Lop12.net Trang 10 Chuyên đề tích phân LTĐH 2012-2013  ab a x f x dx  0 f x dx b Cho hàm số f x  liên tục,xác định , tuần hoàn trên R và có chu kì T a T T f  x dx   f  x dx  Chứng minh : a Bài làm : a T  a T a T a T f  x dx   f  x dx   T a T a T f  x dx   f  x dx   f  x dx  Vậy ta cần chứng minh a a T T  f x dx  f x dx   f x dx a Xét  f x dx Đặt t  x T  dt  dx x   t  T x  a  t  a  T Đổi cận :  a T a T  f t  T dt   f t dt Vậy : T a T T T a  f x dx   f x dx Hay : (đpcm) Từ bài toán trên , ta có hệ sau : Nếu hàm số f x  liên tục,xác định , tuần hoàn trên R và có chu kì T , thì ta luôn T T có :  f x dx   f x dx  T Bạn đọc tự làm : a) I1   x1  x  dx  x sin x dx  cos x c) I     b) I   sin x cos x ln x  x  dx 1  x.sin x dx  cos x d) I    e) I    x sin x 1 2x x  sin x dx 1 x2 1 dx f) I   BIÊN SOẠN: LÊ MINH ĐẠT – ĐT: 0918 344 200 Lop12.net Trang 11 Chuyên đề tích phân LTĐH 2012-2013   2 g) I 7   ln sin x   sin x dx h) I 8  2009   cos x dx Tích phân phần : Cho hai hàm số u và v có đạo hàm liên tục trên đoạn a, b , thì ta có : b b  udv  uv   vdu b a a a Trong lúc tính tính tích phân phần ta có ưu tiên sau : *ưu tiên1: Nếu có hàm ln hay logarit thì phải đặt u  ln x hay u  log a x *ưu tiên : Đặt u  ?? mà có thể hạ bậc BÀI TẬP Tính các tích phân sau :  e a) I1   x.e x dx b) I   x cos xdx c) I   ln xdx Bài làm : u  x  du  dx a) Đặt :  x x dv  e dx  v  e Vậy : I1   x.e dx  x.e x u  x b) Đặt :  x 1   e x dx  e  e x  e  e  1  1 0  du  xdx dv  cos xdx  v  sin x    Vậy : I1   x.e x dx   x cos x 02   x sin xdx  0    x sin xdx 1  Ta tính tích phân  x sin xdx u  x  du  dx dv  sin xdx  v   cos x Đặt :   Vậy :      x sin xdx   x cos x 02   cos xdx   x cos x 02  sin 02  0 BIÊN SOẠN: LÊ MINH ĐẠT – ĐT: 0918 344 200 Lop12.net Trang 12 Chuyên đề tích phân LTĐH 2012-2013 Thế vào (1) ta : I1   x.e x dx   8  u  ln x  du  dx c) Đặt :  x dv  dx  v  x e e Vậy : I   ln xdx  x ln x   dx  x ln x  x  e e e Tính các tích phân sau :   a) I1   e sin xdx x e c) I   cosln x dx x b) I   dx cos x Bài làm : u  e x  du  e x dx a) Đặt :  dv  sin xdx  v   cos x    Vậy : I1   e x sin xdx   e x cos x   e x cos xdx  e   J 1 0 u  e  du  e dx dv  cos xdx  v  sin x x x Đặt :     Vậy : J   e x cos xdx  e x sin x   e x sin xdx   I 0 e  I1   Thế vào (1) ta : I1  e   u  x  du  dx b) Đặt :  dv  cos x dx  v  tan x  Vậy : I     x    tan xdx     dx  x tan x  ln cos x  ln  0 cos x 4   u  cosln x   du   sin ln x dx c) Đặt :  x dv  dx  v  x e e Vậy : I   cosln x dx  x cosln x    sin ln x dx  e  1  J e 1  u  sin ln x   du  cosln x dx Đặt :  x dv  dx  v  x BIÊN SOẠN: LÊ MINH ĐẠT – ĐT: 0918 344 200 Lop12.net Trang 13 Chuyên đề tích phân LTĐH 2012-2013 e e Vậy : I   sin ln x dx  x sin ln x    cosln x dx   I e 1 Thế vào (1) ta : I  e  1  I   e  Bạn đọc tự làm : ln e b) I   1  ln x 2 dx a) I1   x.e  x dx c) I    1   dx ln x ln x   e   d) I   ln x   x dx  e e) I   sin x lntan x dx f) I   cos ln x dx     sin x x e dx  cos x g) I    x cos x h) I    Tích phân hàm trị tuyệt đối, , max : b Muốn tính I   f x  dx ta xét dấu f x  trên đoạn a, b , khử trị tuyệt đối a b Muốn tính I   max f x , g x dx ta xét dấu f x   g x  trên đoạn a, b a b Muốn tính I   min f x , g x dx ta xét dấu f x   g x  trên đoạn a, b a Tính các tích phân sau : b) I1   x  x  dx a) I1   x  dx Bài làm : x a) x-2 Vậy : I1   +   x2   x2 x  dx   2  x dx    x  dx  2 x      x  1   2 2 BIÊN SOẠN: LÊ MINH ĐẠT – ĐT: 0918 344 200 Lop12.net Trang 14 Chuyên đề tích phân LTĐH 2012-2013     4        8  8  2       b) Lập bảng xét dấu x  x  , x  0,2 tương tự ta 2 0     I1   x  x  dx    x  x  dx   x  x  dx  x   x  I  3 x  x      x  x    0  1  3 Tính I a   x x  a dx với a là tham số : Bài làm : x x-a   a - + (Từ bảng xét dấu trên ta có thể đánh giá ) Nếu a  1 I a   x x  a dx   0  x ax  a x  ax dx       0 3   Nếu  a  a     I a   x x  a dx    x  ax dx   x  ax dx 0 a a  ax x   ax x  a a3           0  a 2  Nếu a  3  x ax  a I a   x x  a dx    x  ax dx        0 3 0 1   Tính : a) I1   1, x dx   I   max x , x dx 0 Bài làm : a) Xét hiệu số : 1  x  x  0,2   2 x3  x1  Vậy : I1   1, x dx   x dx   dx  3 0 2 b) Xét hiệu số : xx  1 x  0,3 tương tự trên ta có BIÊN SOẠN: LÊ MINH ĐẠT – ĐT: 0918 344 200 Lop12.net Trang 15 Chuyên đề tích phân LTĐH 2012-2013   1 3 x2 x3 55 I   max x , x dx   xdx   x dx    0 2 Bạn đọc tự làm :  3 a) I1   x, x  3dx b) I   maxsin x, cos x dx c) I   sin x  cos x dx 2 0 d) I   max x ,4 x  3dx d) I     x  x   x  x  dx 2   Nguyên hàm , tích phân hàm số vô tỷ : Trong phần nầy ta nghiên cứu trường hợp đơn giản tích phân Abel   Dạng 1:  R x, ax  bx  c dx đây ta xét dạng hữu tỷ a      2ax  b    ax  bx  c    1    4a          Rx,    S t , ax  bx  c dx   t dt Tới đây , đặt t  tan u ax b t  a      2ax  b   Dạng 2:   ax  bx  c    1   4a          Rx,   S t , ax  bx  c dx  t   t dt Tới đây , đặt t  sin u ax  b   a    2ax  b  Dạng 3:   ax  bx  c    1  4a          Rx, t Dạng (dạng đặc biệt) :   S t , ax  bx  c dx  t  dt Tới đây, đặt t  ax  b   x    dx Một số cách đặt thường gặp : 2 đặt x  a cos t  S x, a  x dx   S x,  S x, a2 x2   x dx  a dx 2 sin u đặt x  a tan t a đặt x  cos t ax  bx  c   t x   dt t  t   0t   t   t    k BIÊN SOẠN: LÊ MINH ĐẠT – ĐT: 0918 344 200 Lop12.net Trang 16 Chuyên đề tích phân LTĐH 2012-2013  ax  bx  c  xt  c ; c   đặt  ax  bx  c  t x  x0  ; ax0  bx0  c    ax  bx  c   a x  t ; a0    S x, ax  bx  c dx   S  x, m ax  b   cx  d  Tính : I   ax  b cx  d đặt t  m x dx  4x  ; ad  cb   Bài làm :  x dx  4x     t t  x2 dt  3 Đặt : t  tan u  dt  tan u  1du   tan u  du   cos udu tan u 3 tan u  1 t x2  sin u  C  C  C 2 3 t 1 x  4x  Ta có I  tan u Tính : a) I      xdx b) I   x  x 1 dx x x  2x  Bài làm : xdx a)  I x2  x  1  x 1 t  3t  t 1 xdx 1  x   2  dt    x 1 t  3t  t2 1 dt  t   ln t  t   C 2 1    ln x   x  x    C 2   dt b)Đặt : x   dx   t t dx dt t 1 I      arcsin C 2 x x2  2x 1    t  x  x2  x   t BIÊN SOẠN: LÊ MINH ĐẠT – ĐT: 0918 344 200 Lop12.net Trang 17 Chuyên đề tích phân LTĐH 2012-2013 1 x 1 x   arcsin  C   arcsin C 2 Tìm các nguyên hàm sau dx 1 x  1 x a) I   b) I   dx x 1 x 1 Bài làm : a)Đặt : t   x  t   x  6t dt  dx Vậy : I   dx t dt     t  t   dt     t  t  t 1 x  1 x 6   t  1 x t  1 x  2t  3t  6t  ln t   C   x  33  x  66  x  ln  x   C  dx 1 x  x 1  2 x 1   dx    x  1dx   dx  x x 1 x 1 x  b) I    Xét x 1 dx x  Vậy : 1 x 1 x x   dx 2 x  Đặt : t  x 1 dx  2 x t x 1 x 1  x 2t  dx   dt t 1 t 1   t dt  t  12  OK x 1 x Tìm các nguyên hàm sau : a) I   x x  9dx b) I  16  x x  4dx Bài làm : a)Đặt : x2   x  t  x t2  2t  dx  t2  dt 2t BIÊN SOẠN: LÊ MINH ĐẠT – ĐT: 0918 344 200 Lop12.net Trang 18 Chuyên đề tích phân LTĐH 2012-2013      t2     t2   t2  t  81    I1    dt   dt   4t 16  t5  2t   2t   Vậy :  162 6561   t4 6561    162 ln t    C t   dt      16  t t  16  4t    x  x2    16   x2   x  t b)Đặt :   162 ln x   x  x2   t2  2t t2  4  t2  4 t2  .  I  16     2t   2t  4t   C  x x 9   dx  dt    t 6561   t2  dt 2t   16 dt t5 t4 36 256  64      t   dt     36 ln t    C t t  t   4   x  x2        36 ln x  x    C  x  x2    64  Tính các tích phân sau : 8 dx dx x  x 3 a) I1   x  x dx b) I   Bài làm : I1   1 x  x dx    2 x  1 dx 21 2 Đặt : x   sin t  dx  cos tdt   x   t  Đổi cận :  x   t       12 1 Vậy : I1   cos tdt   1  cos 2t dt  1  sin 2t  40 80 8 0           0        16 BIÊN SOẠN: LÊ MINH ĐẠT – ĐT: 0918 344 200 Lop12.net Trang 19 Chuyên đề tích phân LTĐH 2012-2013 b) Đặt : t   x   2tdt  dx  x  3  t   x  8  t  Đổi cận :  8 3 dx tdt dt dx    2 Vậy : I   1 t t 1 t 3 x  x 2   t 1     ln   ln  ln 1  ln t 1   Bạn đọc tự làm : a) I1   dx b) I   x  x dx x x 1 d) I   d) I    x dx   x2  1 x 1 c) I   dx d) I   x dx 4  1  x2  dx Bất đẳng thức tích phân : b Nếu f x   x a, b   f x dx  a b b Nếu f x   g x  x a, b   f x dx   g x dx a a b Nếu m  f x   x a, b  mb  a    f x dx  M b  a  a Trong các trường hợp nầy ta thường dùng khảo sát , Bunhiacopxki, AM-GM Và các bước chặn sinx,cosx BÀI TẬP Chứng minh các bất đẳng thức sau : a)  x1  x dx  b)   x dx  x 1 c)    x   x dx  Bài làm: a)Áp dụng AM-GM ta có :  x  1  x   x1  x       x  0,1 BIÊN SOẠN: LÊ MINH ĐẠT – ĐT: 0918 344 200 Lop12.net Trang 20