Chuyên đề: Phương trình- Bất phương trình bậc hai và bậc cao

Muốn giải một bất phương trình bậc cao, về cơ bản chúng ta vẫn phải tìm c¸ch: a Đưa vế trái của bất phương trình vế phải của bất phương trình là 0 về dạng tích, thương của các nhị thức, [r]

Trường THPT Hàn Thuyên PT - BPT bËc - bËc cao Chuyên đề: Phương trình- Bất phương trình bậc hai vµ bËc cao Phương trình PhÇn I: A Phương trình không chứa tham số I.Một số dạng phương trình dùng phương pháp đặt ẩn phụ đưa phương tr×nh bËc hai Dạng 1: Phương trình trùng phương Phương trình C¸ch gi¶i: *PT (1) §Æt ax  bx  c  ( x  a )  ( x  b)  c x  t (t  0) (a  0) (1) (2) PT đã cho thành : at  bt  c  *PT (2) đưa PT trùng phương cách đặt t  x ab VÝ dô1: Giải phương trình : ( x  3)  ( x  5)  Lêi gi¶i §Æt t  x    x   x   t  1; x   t  PT đã cho thành: (t  1)4  9(t  1)4   2t  12t    t (t  6)   t  Từ đó x    x  4 VÝ dô 2: Giải phương trình: cos x  (1  cos x)  17 Lêi gi¶i Viết lại PT đã cho thành cos x  (cos x  1)  17 (1) §Æt t  cos x   (1)  cos x   cos x  t  ( cos x  1)    t  (*) 2 2 (1) trë thµnh : -1- Lop12.net Khi đó Trường THPT Hàn Thuyên PT - BPT bËc - bËc cao 15 2 t   4 1 t3 (t  )  (t  )  17  2t  3t   17  2t  3t   17    2 8 t   §k (*) VËy cos x  1  x  (2k  1) , (k  Z ) là nghiệm Pt đã cho Bài tập tương tự : Giải các phương trình và hệ phương trình sau: a) ( x  4)4  ( x  6)4  §¸p sè: x  5 b) x  y   4  x  y  81 §¸p sè: ( x; y )  (0;3);(3;0) D¹ng 2: PT d¹ng ( x  a)( x  b)( x  c)( x  d )  m (víi : C¸ch gi¶i : §Æt t  x   x (víi   a  b  c  d ) ab  cd ) VÝ dô : Giải phương trình : ( x  1)( x  3)( x  5)( x  7)  (3) Lêi gi¶i Ta cã      §Æt t  x  x  (3)  (t  7)(t  15)   t  22t  96   x  x  16  t  16   t  6  x  x   VËy PT(3) cã ba nghiÖm Bài tập tương tự: §¸p sè: x  4; x  4  10; x  4  10 Giải các phương trình sau: a ) ( x  1)( x  2)( x  3)( x  4)  b) ( x  4)( x  5)( x  6)( x  7)  1680 5  13 b) x  1; x  12 a) x  e a Dạng 3: Phương trình ax  bx3  cx  dx  e  ( với : abe  0;  -2- Lop12.net d2 ) b2 (do Trường THPT Hàn Thuyên PT - BPT bËc - bËc cao C¸ch gi¶i: Chia hai vÕ PT cho VÝ dô1: x2 đặt t  x d bx Giải phương trình x  21x3  74 x  105 x  50  (4) Lêi gi¶i Cã a  2; b  21; d  105; e  50  ThÊy x0 kh«ng lµ nghiÖm cña (4) , chia hai vÕ (4) cho x  (4)  2( x  §Æt t  x e d2   25 a b2 25 )  21( x  )  74  x x  (4) x thµnh 2(t  10)  21t  74   2t  21t  54  Gi¶i tiÕp hai PT t   t   5 x    0; x    x x ta ®­îc nghiÖm cña (4) lµ x  1; x  2; x  ; x  VÝ dô2: Gi¶i PT (2 x  x  18)(3 x  x  27)  41x3  10 x  369 x (4') Lêi gi¶i ThÊy x  kh«ng ph¶i lµ nghiÖm cña (4'), chia hai vÕ (4') cho x2 18 27 369 (2 x   )(3 x   )  41x  10  x x x 9      2( x  )  3 3( x  )    41( x  )  10 x x x    Đặt t  x  , Pt đã cho trở thành: x t  (2t  3)(3t  2)  41t  10  3t  23t     1 t   Thay t  ; t  1 vµo biÓu thøc t  x  vµ gi¶i x -3- Lop12.net ta ®­îc kÕt qu¶… ta ®­îc: Trường THPT Hàn Thuyên Vậy PT đã cho có nghiệm là: PT - BPT bËc - bËc cao x  1; x  9; x  1  325 Bài tập tương tự: Giải các phương trình sau a ) x  x3  x  12 x   1 b) ( x  x  )( x  x  )  12 x 4 Hướng dẫn: a) Bạn đọc tự giải b) thấy x  không là nghiệm pt đã cho, chia hai vế pt cho x , đặt t  x  ,… 4x Më réng : Tương tự cách giải trên, pt dạng đối xứng an x n  an 1 x n 1   a1 x  a0  (víi: an  a0 ; an 1  a1 ; ) C¸ch gi¶i: 1)Đối với pt đối xứng bậc chẵn 2k : Vì x  không là nghiệm pt đã cho, chia hai vế pt cho x k , đặt t  x  ,… x 2) Đối với pt bậc lẻ : Dễ thấy pt luôn có nghiệm là x  1 , đó luôn phân tích vế trái pt đã cho thành tích ( x  1) với đa thức đối xøng bËc ch½n VÝ dô: Gi¶i c¸c pt sau: 1)2 x  x3  16 x  x   2) x  x  x5  x  x3  x  x   Hướng dẫn: 1) §¸p sè: x  2  3; x  ; x  2 2) Dùng lược đồ Hoocne chia vế trái pt đã cho cho thµnh: ( x  1)( x  x5  x  x3  x  x  1)  x 1    x  x  x  x  x   (*) -4- Lop12.net x  Vậy PT đã cho Trường THPT Hàn Thuyên PT - BPT bËc - bËc cao Gi¶i(*) b»ng c¸ch chia hai vÕ cho §¸p sè: x3 , đặt t  x x ,… x  1 Dạng 4: Phương trình dạng a(ax  bx  c)2  b(ax  bx  c)  c  x C¸ch gi¶i: §Æt ax  bx  c  y ta cã hÖ ay  by  c  x  ax  bx  c  y (I) Hệ (I) là hệ đối xứng loại 2, trừ vế với vế hai PT hệ ta PT dạng tÝch … Ví dụ: Giải phương trình 2(2 x  x  5)2  x  3x   Lêi gi¶i §Æt y  x  x   4 x  3x   2 y  x  VËy (5) thµnh y  y   x VËy ta cã hÖ * Víi *Víi x y (5) x  y 2 x  x   y  ( x  y )(2 x  y  1)     x   y 2 y  y   x  ta cã  x  1 y  3y     x   1 1  y  y  y  11   y  x 4 (5) cã nghiÖm lµ: x  1; x  ; x   x VËy PT Bài tập tương tự: Gi¶i PT sau ( x  x  4)  3( x  x  4)   x Bạn đọc tự giải Dạng 5: Phương trình dạng C¸ch gi¶i: x  ax  bx  c -5- Lop12.net (*) Trường THPT Hàn Thuyên PT - BPT bËc - bËc cao T¸ch bËc ®­a vÒ d¹ng PT tÝch, dùa trªn c¬ së sau: Víi m  R ta lu«n cã (*)  ( x  m)2  (2m  a) x  bx  c  m2 (**) Gäi f ( x)  (2m  a) x  bx  c  m2 Ta tìm m cho f ( x) trở thành bình phương đủ    0; 2m  a  0 Khi đó f ( x)   g ( x)2 và (*)  x  m   g ( x) Ví dụ: Giải phương trình x  3x  10 x  Lêi gi¶i Víi m ta cã (6)  ( x  m)2  (3  2m) x  10 x   m2 Gäi f ( x)  (3  2m) x  10 x   m2 (6) (6')  ' f  25  (3  2m)(4  m )  (m  1)(2m  5m  13) Ta t×m m cho VËy  ' f    3  m  m    x   5( x  1) (6')  ( x  1)  x  10 x   ( x  1)  5( x  1)    x    5( x  1) 2 2 2 Gi¶i hai Pt trªn, ta ®­îc nghiÖm cña PT (6) lµ: x  1 Bài tập tương tự : Giải phương trình sau x  x  3x  §¸p sè: x  1 16 Dạng 6: Phương trình dạng (ax  b) (a ' x  b ')   (a  a ') x  (b  b ')   c  C¸ch gi¶i: §Æt t  (ax  b)(a ' x  b ') Ví dụ: Giải phương trình x ( x  1)  (2 x  1)  -6- Lop12.net (7) Trường THPT Hàn Thuyên PT - BPT bËc - bËc cao Lêi gi¶i (7)  x ( x  1)   x  ( x  1)   2  x ( x  1)   x  ( x  1)   x( x  1)  2  x ( x  1)  x( x  1)   §Æt t  x( x  1), t  1 KÕt hîp víi Pt(7)  t  Vậy pt đã cho trở thành t t  4t    t    x  x     x  nghiÖm cña pt 1  (7) Bài tập tương tự: Gi¶i PT sau 2( x  3) ( x  2)  (2 x  1)  Hướng dẫn: Đưa PT đã cho dạng: ( x  3) ( x  2)  2( x  3)( x  2)  ( x  3)( x  2)   ( x  3)( x  2)  2   41 x     17 x   Dạng7: Phương trình dạng 1  c 2  ( x )  a   ( x )  b  C¸ch gi¶i: §Æt t   VT(ptđã cho) trở thành:  ( x)  a  ( x)  b    1       ( x)  a  ( x)  b   ( x)  a  ( x)  b  b  a    2  ( x)  a   ( x)  b   ( x)  a  ( x)  b  -7- Lop12.net lµ Trường THPT Hàn Thuyên  PT - BPT bËc - bËc cao Pt đã cho đưa dạng bậc hai ẩn t Vídụ: Giải phương trình 2 1     13       x  x    x  x   36 Lêi gi¶i §Æt t x   x  x2  x  (7)  1    VT (7)      2  x  x  x  x   ( x  x  1)( x  x  2)   2 x  x  ( x  x  2) x2  x  x2  x       VËy pt(7)  t  2t  13 0 36  t   t  13  *víi t ta cã:  ( x  x  1)( x  x  2)  6  1   x2  x  x     x  x  4  x   *Với t  13  tương tự cách làm trên, VËy pt(7) cã hai nghiÖm lµ x  1  t pt v« nghiÖm L­u ý: Chúng ta hoàn toàn có thể giải phương trình trên cách đưa d¹ng ThËt vËy: -8- Lop12.net Trường THPT Hàn Thuyên §Æt t  x2  x   PT - BPT bËc - bËc cao PT(7) thµnh: 1 13   2 a (a  1) 36  36 (a  1)  a   13a (a  1)  36  (a  1)  a   13a (a  1)  72a (a  1)  36  13a (a  1)  72a (a  1) §Æt t  a (a  1) , Pt trªn thµnh 13t  72t  36  t    6 t   13  x   x  x   3  a  3   *Víi t   a(a  1)     x  1   x  x   a   6 *Víi t   a   13 Vậy pt đã cho có hai nghiệm là x  1  II.Phương pháp đưa phương trình tích 1.§o¸n nghiÖm h÷u tû C¬ së lÝ thuyÕt: Gi¶ sö f ( x)  a0 x n  a1 x n1   an1 x  an lµ ®a thøc víi hÖ sè nguyªn NÕu ®a thøc f ( x) cã nghiÖm h÷u tû x0  p q thì p là ước số (dương hay ©m ) cña an vµ q lµ mét ­íc sè cña a0 Khi đó dùng lược đồ Hoocne ta tìm nghiệm hữu tỷ đa thức (nÕu cã) vµ ph©n tÝch lu«n ®­îc f ( x)  a0 ( x  x0 ).g ( x) f ( x) Ví dụ 1: Giải phương trình 3x3  14 x  x   (8) Gi¶i: Trước hết ta kiểm tra xem pt đã cho có nghiệm hữu tỷ hay không? Bằng phương pháp tìm nghiệm hữu tỷ trên Thật vậy: -9- Lop12.net Trường THPT Hàn Thuyên PT - BPT bËc - bËc cao Sè h¹ng tù lµ cã c¸c ­íc sè (kÓ c¶ ©m) lµ 1; 3 HÖ sè cao nhÊt lµ cã c¸c ­íc sè lµ 1;3 VËy nghiÖm h÷u tû nÕu cã ph¶i lµ mét c¸c sè sau ®©y: Dùng lược đồ Hoocne ta tìm nghiệm pt là x 3( x  )( x  x  3)  Vậy pt đã cho có ba nghiệm là x  1 ; x   13 Bài tập tương tự : Giải các phương trình a) x  x  x  32 x   b) x  11x  11x   c) x  x  10 x   §¸p sè : a) x  2; x   15 1 , 1;  ;  pt đã cho viết dạng pt tích là : (9)  13 2 x  1; x  2; x   b) x  ; x c) Lưu ý: Không phải phương trình nào có nghiệm hữu tỷ nên phương pháp trên không thể làm gặp tình PT không có nghiÖm h÷u tû 2.Nhóm các số hạng cách thích hợp , dùng công thức đẳng thức để đưa pt đã cho dạng pt tích VÝ dô2: Gi¶i PT x  12 x3  32 x  x   (10) Gi¶i: Trước hết ta kiểm tra xem pt có nghiệm hữu tỷ hay không? Thật pt trªn cã nghiÖm h÷­ tû th× theo lý thuyÕt trªn nghiÖm h÷u tû chØ cã thÓ lµ 1;  2;  Dùng lược đồ Hoocne thấy pt không nhận các nghiệm trên Vậy ta tìm cách tách, nhóm các số hạng, dùng đẳng thức đưa (10) thµnh pt tÝch x  12 x3  32 x  x    ( x  12 x3  36 x )  (4 x  x  4)   ( x  x)  (2 x  2)   ( x  x  2)( x  x  2)  - 10 - Lop12.net Trường THPT Hàn Thuyên PT - BPT bËc - bËc cao Từ đó ta có nghiệm pt đã cho là Bài tập tương tự: Hướng dẫn: Gi¶i x  4  14; x  2  PT(9) (9)  x  x  x3  32 x  x    x ( x  4)  x( x  4)  ( x  4)  ……………… 3.Phân tích đa thức thành nhân tử nhờ phương pháp hệ số bất định Ví dụ3: Giải pt (9) cách phân tích thành nhân tử theo phương pháp hệ số bất định Gi¶i: Gi¶ sö x  x3  3x  32 x   ( x  mx  n)( x  px  q) *( v× hÖ sè cña Trong đó m, n, p, q là các hệ số nguyên ** ta cần tìm  x  x3  x  32 x  *  x  (m  n) x3  (mp  n  q) x  (np  mq) x  nq m  p  8 mp  n  q  3   np  mq  32 nq  4 Theo**  (n; p) chØ cã thÓ lµ KiÓm tra l¹i ta ®­îc (2; 2);(2; 2);(1; 4);(1; 4);(4; 1);(4;1) m  n     p  8 q  4 VËy: (9)  ( x  4)( x  x  1)   x2     x  x    x  2   x   15 - 11 - Lop12.net x4 lµ ) Trường THPT Hàn Thuyên PT - BPT bËc - bËc cao Bài tập tương tự: Giải pt(10) phương pháp hệ số bất định B.Phương trình chứa tham số I PT bậc cao chứa tham số ( vấn đề số nghiệm, giải và biện luận) C¸ch gi¶i: 1) §­a vÒ d¹ng PT tÝch 2) Dùng phương pháp tráo đổi vai trò ẩn và tham số  §­a bµi to¸n vÒ nghiªn cøu Pt bËc hai quen thuéc VÝ dô1: Cho PT x  (2m  1) x  (m  3m  2) x  2m  2m  Xác định m để PT có đúng hai nghiệm Gi¶i: DÔ thÊy x  2 (11) lµ mét nghiÖm cña PT, chia vÕ ph¶i cña PT cho x2  (11)  ( x  2)( x  (2m  1) x  m  m)   x  2  2  x  (2m  1) x  m  m  (*) PT(11) có đúng hai nghiệm và trường hợp sau xảy +HoÆc lµ PT(*) cã nghiÖm kÐp x  2 +Hoặc là PT(*) có hai nghiệm phân biệt đó có nghiệm x  2 Trường hợp 1: CÇn t×m m (2)  2(2m  1)  m  m  m  2; 3   m  để:  2 1    (2m  1)  4(m  m)  Trường hợp 2:  x1  m  2  m  2  x  m   2   m  3   Bài tập tương tự: Giải và biện luận PT theo tham số m x3  x  (m  1) x  m  Hướng dẫn: - 12 - Lop12.net Trường THPT Hàn Thuyên PT - BPT bËc - bËc cao NhÈm ®­îc mét nghiÖm cña PT lµ  pt đã cho trở thành: x 1, chia vÕ tr¸i pt cho x 1 ( x  1)( x  x  m)  x    x  x  m  (*) Ta gi¶i vµ biÖn luËn (*) råi kÕt luËn VÝ dô 2: Gi¶i vµ biÖn luËn theo a sè nghiÖm cña PT x  x3  (4  a ) x  (a  2) x  a  a  (12) Gi¶i: ViÕt l¹i (12)  a  ( x  x  1)a  x  x3  x  x  Xem (*) là pt ẩn a Ta có (*)  '  ( x  x  1)  4(2 x  x3  x  x)  (3 x  x  1)  C¸c nghiÖm cña (*) lµ : a  x2  x   x  x   a  (**)    a  2 x  x  x  x  a  (***) +XÐt pt(**) cã  '  4a  -NÕu a    '   (**) v« nghiÖm -NÕu a    '   (**) cã nghiÖm kÐp x  -NÕu a    '   (**) cã hai nghiÖm ph©n biÖt x   4a  ' +XÐt pt (***) cã    2a -NÕu a    '   (***) cã hai nghiÖm ph©n biÖt x    2a 2 -NÕu a    '   (***) cã nghiÖm kÐp x  2 -NÕu a    '   (***) v« nghiÖm KÕt luËn: NÕu NÕu   2a  (12) cã hai nghiÖm ph©n biÖt x  2 1 a   (12) cã mét nghiÖm kÐp x  2 a - 13 - Lop12.net Trường THPT Hàn Thuyên NÕu NÕu NÕu PT - BPT bËc - bËc cao  a   (12) v« nghiÖm a   (12) cã mét nghiÖm kÐp x   4a  3 a   (12) cã hai nghiÖm ph©n biÖt x  Bài tập tương tự: Giải và biện luận pt sau theo tham số a x  10 x3  2(a  11) x  2(5a  6) x  2a  a  (12 ') Hướng dẫn: ViÕt l¹i (12 ') thµnh: a  2(1  x  x )a  ( x  10 x3  22 x  12 x)    '  ( x  1) a  x2  x  x2  6x  a    2  a  x  x   x  x  a   Bạn đọc tự giải tiếp hai pt bậc hai trên và kết luận II)Vấn đề tính chất nghiệm phương trình Ví dụ1: Chứng minh phương trình bậc hai ax  bx  c  (1) víi hÖ sè nguyªn cã nghiÖm h÷u tû th× Ýt nhÊt mét c¸c hÖ sè a,b,c lµ sè ch½n Gi¶i: Theo môc A.II.1 nãi ë trªn ta cã: NÕu PT x n  a1 x n1   an1 x  an  (*) cã nghiÖm h÷u tû ThËt vËy kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t , gi¶ sö ( p, q)  Thay x  p vµo (*) ta cã p n  a1 p n1q   an1 pq n1  an q n  q  p  q mµ ( p, q )  1 q  xZ  1 n §Æt NÕu y x   (1) a x Q th× thµnh: a  y   b  y   c  a a  y  by  ac  y  ax  Q - 14 - Lop12.net (2) x p p  Z q q Trường THPT Hàn Thuyên PT - BPT bËc - bËc cao Theo trªn, pt bËc hai y  by  ac  víi c¸c hÖ sè nguyªn vµ hÖ sè cña sè h¹ng bËc hai b»ng , cã nghiÖm h÷u tû y1  y1  Z  y2  (b  y1 )  Z Ta l¹i cã: y1  y2  b; y1 y2  ac  ( y1  y2 ) y1 y2  abc MÆt kh¸c:Trong ba sè nguyªn đó abc chẵn  đpcm Bài tập tương tự: y1 ; y2 ; y1  y2 cã Ýt nhÊt mét sè lµ sè ch½n Do 1)Cho p, q là hai số nguyên lẻ Chứng minh phương tr×nh x  px  2q  kh«ng cã nghiÖm h÷u tû 2)Cho P ( x) lµ ®a thøc víi hÖ sè nguyªn vµ P (0); P (1) lÎ Chøng tá P ( x) v« nghiÖm trªn Z 3) Cho ®a thøc f ( x)  ax  bx  cx  d cã c¸c hÖ sè a, b, c, d nguyªn vµ ad lÎ, bc ch½n CMR f ( x) cã Ýt nhÊt mét nghiÖm v« tû Hướng dẫn: 1) Gi¶ sö pt cã nghiÖm x0  Q , theo VD1  x0  Z  x0  2k   x0  2k  NÕu x0  2k  x02  px0  2q  2(mod 4)  NÕu x0  2k   x02  px  2q  1(mod 2)   VËy ®iÒu gi¶ sö trªn lµ kh«ng x¶y ) Gi¶ sö P( x) cã nghiÖm x0  Z  P( x)  ( x  x0 )Q( x)  P(0)   x0 Q(0) (*) Do P(0) lÎ  x0 lÎ (**) MÆt kh¸c P(1)  (1  x0 ).Q(1) , còng P(1) lÎ  (1  x0 ) lÎ Tõ (*);(**)  §iÒu gi¶ sö trªn lµ sai  ®pcm ) Giả sử nghiệm xi pt đã cho là hữu tỷ , tương tự VD1 đặt yi  yi  axi (*)lµ nghiÖm nguyªn (do a; xi a g ( y )  y  by  acy  a d  yi lµ ­íc cña a d  yi xi  - 15 - Lop12.net nguyªn) cña ®a thøc lÎ  b, c lÎ, m©u thuÉn g/t Trường THPT Hàn Thuyên PT - BPT bËc - bËc cao VÝ dô 2: Chøng minh r»ng    lµ nghiÖm cña mét ®a thøc víi c¸c hÖ số nguyên Tìm đa thức đó Gi¶i: Ta cã:   2 2  5   2 5   24    10   VËy    lµ nghiÖm cña ®a thøc P( x)  x  10 x  Bài tập tương tự: Chứng minh    3 là nghiệm các đa thức có các hệ số nguyên Tìm đa thức đó §¸p sè: P( x)  x6  x  x3  12 x  36 x  (13) Ví dụ3: Cho phương trình x3  mx  x  m3  2 Tìm tất các giá trị tham số m để pt trên có ba nghiệm thực phân biệt lËp thµnh mét cÊp sè céng Gi¶i: * Gi¶ sö (13) cã ba nghiÖm ph©n biÖt sè céng Ta cã  x2  V× x2 x2  x1  x3 x1 ; x2 ; x3 theo thø tù lËp thµnh mét cÊp , mÆt kh¸c theo ViÐt th× x1  x2  x3  m m  x2  m 2 lµ mét nghiÖm cña (13) nªn m3 m3 m m3    0 2 m3  3m3  4m3 4m   0 8  2m3  4m   m   m   * Thö l¹i thÊy m  0; m   thoả mãn yêu cầu bài toán Bài tập tương tự: Tìm tất các giá trị tham số m để phương trình sau cã ba nghiÖm ph©n biÖt lËp thµnh mét cÊp sè céng - 16 - Lop12.net Trường THPT Hàn Thuyên PT - BPT bËc - bËc cao x3  (2m  1) x  x  §¸p sè: m  1 Ví dụ 4: Tìm tất các giá trị tham số m để PT sau có bốn nghiệm lập thµnh mét cÊp sè céng  x  2mx  2m   (14) Gi¶i: §Æt t  x   (14) thµnh t  2mt  2m   (14 ') PT (14) cã nghiÖm lËp thµnh mét cÊp sè céng  PT (14 ') cã hai nghiÖm dương t1  t2 cho:  t2   t1  t1  t2 theo thứ tự lập thành cấp số céng  t2  t1  t1  ( t1 )  t2  9t1 C¸ch1: Theo ViÐt  10t1  2m  t1  m (14 ') , ta cã t1  t2  2m lµ mét nghiÖm cña m m (14 ')     2m    2m   5 5  9m  50m  25  m   m   Thö l¹i thÊy m  5; m  C¸ch2: DÔ thÊy VËy ta cã: tho¶ m·n bµi to¸n (14 ') cã mét nghiÖm lµ  theo  m 1  9(2m  1)   2m   9.1    m  Bài tập tương tự: Cũng hỏi trên PT §¸p x4  5x2   m  sè: m  - 17 - Lop12.net ViÐt nghiÖm lµ 2m  Trường THPT Hàn Thuyên VÝ dô5: PT - BPT bËc - bËc cao Biết phương trình: x  ax  bx  ax   có nghiệm số thực, tìm giá trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: S  a  b Gi¶i: *Gäi x0 là nghiệm pt đã cho  x0  Chia hai vÕ cña pt cho x02 ta   1 1  x0    a  x0    b   x0  x0      §Æt: t   x0    t  x0   VËy pt trë thµnh: t  at  b    at  b   t  ®­îc:   (1*) * Theo bất đẳng thức Bunhiakôpxki:  at  b    a b 2  t  1  S  a  b 2 t   (do 1* ) 1 2 t2 t2  z   z  *§Æt VËy S , z   0;   z 5 z  10 z  16 f '( z )   0, z   0;    z  5 S *Ta cã  z  2 f ( z)   S  f ( z )  f (0)  nhá nhÊt b»ng , dÊu b»ng x¶y z0 hay x0  1 II.Bất phương trình II Giải bất phương trình không chứa tham số Muốn giải bất phương trình bậc cao, chúng ta phải tìm c¸ch: a) Đưa vế trái bất phương trình (vế phải bất phương trình là 0) dạng tích, thương các nhị thức, tam thức bậc hai (cách làm tương tự nh­ ë môcI) b) Dựa vào cách đặt ẩn phụ ( các dạng tương tự mục I) để đưa bất phương trình bậc hai quen thuộc Ví dụ 1: Giải các bất phương trình sau a)  x  x - 18 - Lop12.net Trường THPT Hàn Thuyên b) x  PT - BPT bËc - bËc cao 6 x Gi¶i: x2  x2  x  x  10   0  (*) a ) BPT   x x 2x XÐt x  x  10   x  2; x  2x   x  Ta cã b¶ng xÐt dÊu :  2x   *  *   x 2 x  x  10  *    VT (*)      x  (0; 2)  ( ; ) Xem b¶ng xÐt dÊu ta cã nghiÖm cña bpt lµ: x2  6x  0 (**) x x  x    x  1; x  b) BPT  XÐt MÉu x   x  Ta cã b¶ng xÐt dÊu: x x x2  5x  VT (**)     *  *   *         Xem b¶ng xÐt dÊu ,vËy nghiÖm bpt (**) lµ x  (;0)  (1;5) Bài tập tương tự : Giải bất phương trình sau - 19 - Lop12.net Trường THPT Hàn Thuyên PT - BPT bËc - bËc cao x  x3  x  32 x   Hướng dẫn: Phân tích vế trái BPT đã cho dạng tích các nhị thức , tam thức bậc C¸ch 1: T¸ch nhãm c¸c sè h¹ng cho hîp lý Ta cã: x  x3  3x  32 x   x  x  x3  32 x  x            x2 x2   8x x2   x2   x2  x2  8x  C¸ch 2:XÐt nghiÖm cña ®a thøc g ( x)  x  x3  3x  32 x  , nÕu cã nghiÖm h÷u tû x  p  p lµ ­íc (kÓ c¶ ©m ) cña 4; q lµ ­íc cña  nghiÖm h÷­ tû q có g ( x) có thể là 2; 4 Dùng lược đồ Hoocne ta thấy x  2 , và đó chia g ( x) cho  x   x   ta g ( x)   x   x    x  x  1 Cách 3: Dùng phương pháp hệ số bất định VD3  T11 , ta đưa g ( x)   x   x  x  1 VËy BPT   x   x  x  1  Ta cã b¶ng xÐt dÊu:  x 2  15  15  x 4   *   *  x2  8x  VTBPT   *   0  *    0   VËy nghiÖm cña BPT : x   ; 2    15;     15;  Ví dụ2: Giải bất phương trình ( x  3)  ( x  5)  (1) Gi¶i: §Æt t  x    x   x  t   (1) trë thµnh:  t  14   t  14   t  6t   t  3  10 (t   )  t  3  10 - 20 - Lop12.net 