[r]
(1)CHÖÔNG III PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI CÁC HAØ M SỐ LƯỢ NG GIÁC a sin2 u + b sin u + c = a cos2 u + b cos u + c = atg u + btgu = c = a cot g u + b cot gu + c = ( a ≠ 0) ( a ≠ 0) ( a ≠ 0) ( a ≠ 0) Caù c h giaû i: t = sin u hay t = cos u vớ i t ≤ Ñaë t : π + kπ ) t = cot gu (ñieàu kieä n u ≠ kπ ) t = tgu (ñieàu kieä n u ≠ Caùc phöông trình treâ n thaøn h: at + bt + c = Giả i phương trình tìm t, so vớ i điề u kiệ n để nhận nghiệ m t Từ đó giả i phương trình lượn g giác bả n tìm đượ c u Bà i 56: (Đề thi tuyể n sinh Đạ i họ c khố i A, nă m 2002) Tìm caù c nghieä m treâ n ( 0, 2π ) cuûa phöông trình cos 3x + sin 3x ⎞ ⎛ ⎜ sin x + ⎟ = + cos 2x ( * ) + sin 2x ⎠ ⎝ Ñieà u kieän : sin 2x ≠ − Ta coù : sin 3x + cos 3x = 3sin x − sin x + cos3 x − cos x ( ( = −3 ( cos x − sin x ) + cos3 x − sin3 x ) ) ( ( ) = ( cos x − sin x ) ⎡ −3 + cos2 x + cos x sin x + sin x ⎤ ⎣ ⎦ = ( cos x − sin x )(1 + sin 2x ) ( Lú c đó : (*) ⇔ ⎡⎣sin x + ( cos x − sin x ) ⎤⎦ = + cos2 x − 1⎞ ⎛ ⎜ sin 2x ≠ − ⎟ 2⎠ ⎝ ⇔ cos2 x − cos x + = ⎡ cos x = ⎢ ⇔ ⎢ ⎢⎣cos x = ( loại ) ⇔x=± π + k2π (nhaän sin 2x = ± ≠− ) 2 Lop12.net ) ) (2) Do x ∈ ( 0, 2π ) neân x = π 5π ∨x= 3 Bà i 57: (Đề thi tuyể n sinh Đạ i họ c khố i A, nă m 2005) Giaû i phöông trình: cos2 3x.cos 2x − cos2 x = ( *) + cos 6x + cos 2x cos 2x − =0 2 ⇔ cos 6x.cos 2x − = (**) Caù c h 1: (**) ⇔ cos3 2x − cos 2x cos 2x − = Ta coù : (*) ⇔ ( ) ⇔ cos4 2x − cos2 2x − = ⎡cos2 2x = ⇔⎢ ⎢cos 2x = − ( voâ nghieäm ) ⎢⎣ ⇔ sin 2x = ⇔ 2x = kπ ⇔ x = kπ ( k ∈ Z) ( cos 8x + cos 4x ) − = ⇔ cos 8x + cos 4x − = Caù c h 2: (**) ⇔ ⇔ cos2 4x + cos 4x − = ⎡cos 4x = ⇔⎢ ⎢cos 4x = − ( loại ) ⎣ kπ ⇔ 4x = k2π ⇔ x = ( k ∈ Z) Cá c h 3: phương trình lượ n g giác khôn g mẫu mực : ⎡cos 6x = cos 2x = (**) ⇔ ⎢ ⎣cos 6x = cos 2x = −1 Caù c h 4: cos 8x + cos 4x − = ⇔ cos 8x + cos 4x = ⇔ cos 8x = cos 4x = ⇔ cos 4x = Bà i 58: (Đề thi tuyể n sinh Đạ i họ c khố i D, nă m 2005) π⎞ π⎞ ⎛ ⎛ Giaû i phöông trình: cos4 x + sin x + cos ⎜ x − ⎟ sin ⎜ 3x − ⎟ − = 4⎠ 4⎠ ⎝ ⎝ Ta coù : (*) ( ⇔ sin2 x + cos2 x ) − sin2 x cos2 x + Lop12.net ⎤ 1⎡ π⎞ ⎛ sin ⎜ 4x − ⎟ + sin 2x ⎥ − = ⎢ 2⎣ 2⎠ ⎝ ⎦ (3) 1 sin2 2x + [ − cos 4x + sin 2x ] − = 2 1 1 − sin2 2x − − sin2 2x + sin 2x − = 2 2 sin 2x + sin 2x − = ⎡sin 2x = ⎢ ⎣sin 2x = −2 ( loại ) π 2x = + k2π, k ∈ ] π x = + kπ, k ∈ ] ⇔1− ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ( ) Bà i 59: (Đề thi tuyể n sinh Đạ i họ c khố i B, nă m 2004) Giaû i phöông trình: sin x − = (1 − sinx ) tg x ( *) Ñieà u kieän : cos x ≠ ⇔ sin x ≠ ±1 sin2 x Khi đó : (*) ⇔ sin x − = (1 − sin x ) cos2 x sin2 x ⇔ 5sin x − = (1 − sin x ) − sin2 x 3sin2 x ⇔ sin x − = + sin x ⇔ sin x + 3sin x − = ⎡ sin x = ( nhaän sin x ≠ ±1) ⎢ ⇔ ⎢ ⎢⎣sin x = −2 ( voâ nghieäm ) ⇔x= π 5π + k2π ∨ x = + k2π ( k ∈ Z) 6 Baø i 60: Giaû i phöông trình: sin 3x − 1 = cos 3x + ( *) sin x cos x Ñieà u kieän : sin 2x ≠ 1 + sin x cos x 1 ⇔ ⎡3 ( sin x + cos x ) − sin3 x + cos3 x ⎤ = + ⎣ ⎦ sin x cos x sin x + cos x ⇔ ( sin x + cos x ) ⎡3 − sin2 x − sin x cos x + cos2 x ⎤ = ⎣ ⎦ sin x cos x ⎡ ⎤ =0 ⇔ ( sin x + cos x ) ⎢ −2 + sin x cos x − sin x cos x ⎥⎦ ⎣ Lú c đó : (*) ⇔ ( sin 3x − cos 3x ) = ( ( ) ) Lop12.net (4) ⎡ ⎤ ⇔ ( sin x + cos x ) ⎢4 sin 2x − − 2⎥ = sin 2x ⎣ ⎦ ⎡ tgx = −1 ⎡sin x + cos x = ⇔⎢ ⇔⎢ ( nhận so với điều kiện ) ⎢sin 2x = ∨ sin 2x = −1 ⎣4 sin 2x − 2sin 2x − = ⎣ π π π 7π + kπ ∨ 2x = + k2π ∨ 2x = − + k2π ∨ 2x = + k2π, k ∈ ] 6 π π 7π ⇔ x = ± + kπ ∨ x = − + kπ ∨ x = + kπ, k ∈ ] 12 12 ⇔x=− Baø i 61: Giaû i phöông trình: ( ) cos x sin x + − cos2 x − =1 + sin 2x π Ñieà u kieän : sin 2x ≠ −1 ⇔ x ≠ − + mπ Lú c đó : (*) ⇔ sin x cos x + cos x − cos2 x − = + sin 2x ⇔ cos2 x − cos x + = ⇔ cos x = hay cos x = ( voâ nghieä m ) π ⎡ ⎢ x = + k2π ⇔⎢ ⎢ x = − π + k '2π ( loại điều kiện ) ⎢⎣ π ⇔ x = + k 2π ( *) Baø i 62: Giaû i phöông trình: x 3x x 3x cos x.cos cos − sin x sin sin = ( *) 2 2 1 cos x ( cos 2x + cos x ) + sin x ( cos 2x − cos x ) = 2 2 ⇔ cos x.cos 2x + cos x + sin x cos 2x − sin x cos x = ⇔ cos 2x ( cos x + sin x ) = − cos2 x + sin x cos x Ta coù : (*) ⇔ ⇔ cos 2x ( cos x + sin x ) = sin x ( sin x + cos x ) ⇔ ( cos x + sin x )( cos 2x − sin x ) = ( * * ) ( ) ⇔ ( cos x + sin x ) − sin x − sin x = ⎡ cos x = − sin x ⇔⎢ ⎣ sin x + sin x − = Lop12.net (5) π ⎡ ⎢ x = − + kπ ⎢ π ⇔ ⎢ x = − + k2π ( k ∈ Z) ⎢ ⎢ ⎢ x = π + k2π ∨ x = 5π + k2π ⎢⎣ 6 ⎛π ⎞ Caù c h khaù c: (**) ⇔ tgx = −1 ∨ cos 2x = sin x = cos ⎜ − x ⎟ ⎝2 ⎠ ⎡ ⎢ tgx = −1 ⎢ ⇔ ⎢sin x = −1 ⎢ ⎢sin x = ⎣ Baø i 63: Giaû i phöông trình: cos3 x + sin 2x = cos x ( *) Ta coù : (*) ⇔ cos3 x + sin x cos x − cos x = ⇔ cos x cos2 x + sin x − = ( ( ) ) ⇔ cos x ⎡2 − sin x + sin x − ⎤ = ⎣ ⎦ ⇔ cos x = ∨ sin x − sin x + = ⎡cos x = ⎢ ⇔ ⎢sin x = ⎢ ⎢ ⎢⎣sin x = ( voâ nghieäm ) π π + kπ ∨ sin x = = sin 2 π π 3π ⇔ x = + kπ ∨ x = + k2π ∨ x = + k2π ( k ∈ Z ) 4 ⇔x= Baø i 64: Giaû i phöông trình: π⎞ π⎞ ⎛ ⎛ cos ⎜ 2x + ⎟ + cos ⎜ 2x − ⎟ + sin x = + (1 − sin x ) ( *) 4⎠ 4⎠ ⎝ ⎝ π + sin x = + (1 − sin x ) − sin2 x + + sin x − − = (*) ⇔ cos 2x.cos ⇔ ( ( ) ( ) ) ⇔ 2 sin2 x − + sin x + = ⎡sin x = ( loạ i ) ⇔ sin x − 2 + sin x + = ⇔ ⎢ ⎢sin x = ⎢⎣ π 5π ⇔ x = + k2π hay x = + k2π, k ∈ ] 6 ( ) Lop12.net (6) ( ) Baø i 65: Giaû i phöông trình : cot g x + 2 sin x = + cos x ( *) Ñieà u kieän : sin x ≠ ⇔ cos x ≠ ±1 Chia hai vế (*) cho sin x ta : cos2 x cos x +2 = 2+3 (*) ⇔ vaø sin x ≠ sin x sin2 x cos x Ñaë t t = ta phương trình: sin x 3t − + t + 2 = ( ( ) ) ⇔t= 2∨t= cos x ta coù : = sin x ⇔ cos x = − cos2 x * Vớ i t = ( ) ⇔ cos2 x + cos x − = ⎡cos x = −2 ( loại ) ⇔⎢ ⎢cos x = ( nhaän cos x ≠ ±1) ⎢⎣ π ⇔ x = ± + k2π ( k ∈ Z ) cos x * Vớ i t = ta có : = sin2 x ⇔ cos x = − cos2 x ( ⇔ ) cos2 x + cos x − = ⎡cos x = − ( loạ i ) ⎢ ⇔⎢ ( nhaän cos x ≠ ±1) ⎢cos x = ⎣ π ⇔ x = ± + k2π, k ∈] 4 sin2 2x + sin x − − cos 2x = ( *) Baø i 66: Giaû i phöông trình: cos x Ñieà u kieän : cos x ≠ Lú c đó : (*) ⇔ sin2 2x + sin2 x − − cos 2x = Lop12.net (7) ( ) ⇔ − cos2 2x + (1 − cos 2x ) − − cos 2x = ⇔ cos2 2x + cos 2x + = ⇔ cos 2x = −1 ∨ cos 2x = − ⇔ cos2 x − = −1 ∨ cos2 x − = − ⎡cos x = ( loại điều kiện ) ⇔ ⎢⎢ ⎢⎣cos x = ± ( nhaän cos x ≠ ) π 2π ⇔ x = ± + k2π ∨ x = ± + k2π ( k ∈ Z ) 3 sin 3x + sin 5x Giaûi phöông trình: f ' ( x ) = Baø i 67: Cho f ( x ) = sin x + Ta coù : f '(x) = ⇔ cos x + cos 3x + cos 5x = ⇔ ( cos x + cos 5x ) + ( cos 3x + cos 5x ) = ⇔ cos 3x cos 2x + cos 4x cos x = ( ) ( ) ⇔ cos3 x − cos x cos 2x + cos2 2x − cos x = ( ) ⇔ ⎡ cos2 x − cos 2x + cos2 2x − 1⎤ cos x = ⎣ ⎦ ⎡ ⎡ (1 + cos 2x ) − 3⎤ cos 2x + cos 2x − = ⎦ ⇔ ⎢⎣ ⎢⎣cos x = ⎡4 cos2 2x − cos 2x − = ⇔⎢ ⎣cos x = ± 17 ∨ cos x = + 17 − 17 ⇔ cos 2x = = cos α ∨ cos 2x = = cos β ∨ cos x = 8 α β π ⇔ x = ± + kπ ∨ x = ± + kπ ∨ x = + kπ ( k ∈ Z ) 2 ⇔ cos 2x = Baø i 68: Giaû i phöông trình: sin8 x + cos8 x = Ta coù : Lop12.net 17 cos2 2x ( *) 16 (8) ( sin x + cos8 x = sin4 x + cos4 x ) ( = ⎡⎢ sin2 x + cos2 x ⎣ ) − sin x cos4 x 2 − sin x cos2 x ⎤⎥ − sin4 2x ⎦ 1 ⎛ ⎞ = ⎜ − sin2 2x ⎟ − sin4 2x ⎝ ⎠ = − sin2 2x + sin4 2x Do đó : ( *) ⇔ 16 ⎛⎜ − sin2 2x + ⎝ ⎞ sin4 2x ⎟ = 17 − sin2 2x ⎠ ( ) ⇔ sin4 2x + sin2 2x − = ⎡sin2 2x = −1 ( loạ i ) 1 ⇔ ⎢⎢ ⇔ (1 − cos 4x ) = 2 ⎢⎣sin 2x = π ⇔ cos 4x = ⇔ x = ( 2k + 1) , ( k ∈ Z ) Baø i 69: Giaû i phöông trình: sin 5x x = cos3 x.sin ( *) 2 x = ⇔ x = π + k2π ⇔ cos x = −1 Thay vào (*) ta : ⎛ 5π ⎞ ⎛π ⎞ sin ⎜ + 5kπ ⎟ = − sin ⎜ + kπ ⎟ , khoâ n g thoûa ∀k ⎝ ⎠ ⎝2 ⎠ x Do cos khoâ n g laø nghieäm cuûa (*) neâ n : 5x x x x x ( *) ⇔ sin cos = cos2 x sin cos vaø cos ≠ 2 2 x ⇔ ( sin 3x + sin 2x ) = cos3 x.sin x vaø cos ≠ 2 Nhaä n xeù t thaá y : cos ⇔ 3sin x − sin3 x + sin x cos x = cos3 x.sin x vaø cos x ⎧ ⎪cos ≠ ⇔⎨ ⎪3 − sin2 x + cos x = cos3 x ∨ sin x = ⎩ x ⎧ ⎪⎪cos ≠ ⇔⎨ ⎪5 cos3 x − cos2 x − cos x + = ∨ sin x = ⎪⎩ Lop12.net x ≠0 (9) ⎧cos x ≠ −1 ⎪ ⇔⎨ x ⎪⎩( cos x − 1) cos x + cos x − = ∨ sin = ⎧cos x ≠ −1 ⎪ ⎪⎡ ⎪ ⎢cos x = ⎪⎢ ⇔ ⎨⎢ −1 + 21 = cos α ⎪ ⎢cos x = 10 ⎪⎢ −1 − 21 ⎪⎢ = cos β ⎪ ⎢⎣cos x = 10 ⎩ ⇔ x = k2π hay x = ±α + k2π hay x = ±β + k2π, ( k ∈ Z ) ( ) Baø i 70: Giaû i phöông trình: sin 2x ( cot gx + tg2x ) = cos2 x ( *) Ñieà u kieän : cos 2x ≠ vaø sin x ≠ ⇔ cos 2x ≠ ∧ cos 2x ≠ cos x sin 2x + Ta coù : cot gx + tg2x = sin x cos 2x cos 2x cos x + sin 2x sin x = sin x cos 2x cos x = sin x cos 2x cos x ⎛ ⎞ Lú c đó : (*) ⇔ sin x.cos x ⎜ ⎟ = cos x ⎝ sin x cos 2x ⎠ cos x ⇔ = cos2 x cos 2x ⇔ ( cos 2x + 1) = cos 2x ( cos 2x + 1) ⇔ ( cos 2x + 1) = hay = cos 2x ( nhaän cos 2x ≠ vaø cos 2x ≠ 1) π ⇔ 2x = π + k2π ∨ 2x = ± + k2π, k ∈ ] π π ⇔ x = + kπ ∨ x = ± + kπ, k ∈ ] ⇔ cos 2x = −1 ∨ cos 2x = Baø i 71: Giaû i phöông trình: cos2 6x 8x + = 3cos ( *) 5 12x ⎞ ⎛ ⎛ ⎞ 4x Ta coù : (*) ⇔ ⎜ + cos − 1⎟ ⎟ + = ⎜ cos ⎠ ⎝ ⎝ ⎠ 4x 4x 4x ⎞ ⎛ ⇔ + cos3 − 3cos = ⎜ cos2 − 1⎟ 5 ⎝ ⎠ Lop12.net (10) Ñaë t t = cos x ( ñieà u kieä n t ≤ 1) Ta coù phöông trình : 4t − 3t + = 6t − ⇔ 4t − 6t − 3t + = ⇔ ( t − 1) ( 4t − 2t − ) = ⇔ t = 1∨ t = Vaäy − 21 + 21 ∨t = ( loïai ) 4 4x 4x =1⇔ = 2kπ 5 5kπ ⇔x= ( k ∈ Z) 4x − 21 • cos = = cos α ( vớ i < α < 2π ) 4x ⇔ = ±α + A 2π 5α A 5π ⇔x=± + ,( A ∈ Z) • cos π⎞ ⎛ Baø i 72 : Giaû i phöông trình tg3 ⎜ x − ⎟ = tgx − 1( *) 4⎠ ⎝ π π Ñaë t t = x − ⇔ x = + t 4 π ⎞ + tgt ⎛ (*) thaø n h : tg3 t = tg ⎜ + t ⎟ − = − vớ i cos t ≠ ∧ tgt ≠ 1 − tgt ⎝4 ⎠ 2tgt ⇔ tg3 t = − tgt ⇔ tg3 t − tg t = 2tgt ⇔ tgt ( tg3 t − tg2 t + ) = ⇔ tgt ( tgt + 1) ( tg2 t − 2tgt + ) = ⇔ tgt = ∨ tgt = −1( nhaä n so ñieà u kieä n ) ⇔ t = kπ ∨ t = − π + kπ, k ∈ ] Vaäy (*) π ⇔ x = + kπ hay x = kπ, k ∈] Lop12.net (11) Baø i 73 : Giaû i phöông trình sin 2x + cos4 2x = cos4 4x (*) ⎛π ⎞ ⎛π ⎞ tg ⎜ − x ⎟ tg ⎜ + x ⎟ ⎝4 ⎠ ⎝4 ⎠ Ñieà u kieän ⎧ ⎛π ⎧ ⎛π ⎞ ⎛π ⎞ ⎞ ⎪sin ⎜ − x ⎟ cos ⎜ − x ⎟ ≠ ⎪sin ⎜ − 2x ⎟ ≠ ⎪ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎪ ⎝ ⎠ ⇔⎨ ⎨ ⎪sin ⎛ π + x ⎞ cos ⎛ π + x ⎞ ≠ ⎪sin ⎛ π + 2x ⎞ ≠ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎪⎩ ⎝ ⎪⎩ ⎜⎝ ⎠ ⎝4 ⎠ ⎠ ⇔ cos2x ≠ ⇔ sin 2x ≠ ±1 Do : ⎛π ⎞ ⎛π ⎞ − tgx + tgx tg ⎜ − x ⎟ tg ⎜ + x ⎟ = =1 ⎝4 ⎠ ⎝4 ⎠ + tgx − tgx Khi cos2x ≠ thì : (*) ⇔ sin 2x + cos4 2x = cos4 4x ⇔ − 2sin 2x cos2 2x = cos4 4x ⇔ − sin 4x = cos4 4x ⇔ − (1 − cos2 4x ) = cos4 4x ⇔ cos4 4x − cos2 4x − = ⎡ cos2 4x = ⇔⎢ ⇔ − sin 4x = ⎢ cos 4x = − ( voâ nghieä m ) ⎢⎣ ⇔ sin 4x = ⇔ sin 2x cos 2x = ⇔ sin 2x = ( cos2x ≠ ) π ⇔ 2x = kπ, k ∈] ⇔ x = k , k ∈] 2 − (1 + cot g2x cot gx ) = (*) Baø i 74 :Giaû i phöông trình: 48 − cos x sin x Ñieà u kieän : sin 2x ≠ Ta coù : cos 2x cos x + cot g2x cot gx = + sin 2x sin x sin 2x sin x + cos 2x cos x = sin x sin 2x cos x = = ( cos x ≠ ) 2 sin x cos x sin x 1 − =0 Lú c đó (*) ⇔ 48 − cos x sin x Lop12.net (12) 1 sin x + cos4 x ⇔ 48 = + = cos4 x sin x sin x cos4 x ⇔ 48sin x cos4 x = sin x + cos4 x ⇔ 3sin 2x = − sin x cos2 x ⇔ 3sin 2x + sin 2x − = 2 ⎡ ⎢sin x = − ( loï ) ⇔⎢ ⎢sin x = ( nhaä n ≠ ) ⎢⎣ 1 (1 − cos 4x ) = 2 ⇔ cos 4x = π ⇔ 4x = + kπ π kπ ⇔ x = + ( k ∈ Z) ⇔ Baø i 75 : Giaû i phöông trình sin8 x + cos8 x = sin10 x + cos10 x + cos 2x ( *) ( ) Ta coù : (*) cos2x ⇔ sin8 x (1 − 2sin x ) − cos8 x ( −1 + cos2 x ) = cos 2x ⇔ sin8 x.cos2x − cos8 x cos 2x = cos 2x 8 ⇔ cos 2x ( sin x − cos x ) = 5cos 2x ( ) ( ) ⇔ sin8 x − 2sin10 x + cos8 x − cos10 x = ⇔ cos 2x = hay ( sin x − cos8 x ) = ⇔ cos 2x = hay ( sin x − cos4 x )( sin x + cos4 x ) = ⎛ ⎞ ⇔ cos 2x = hay ⎜ − sin 2x ⎟ = ⎝ ⎠ ⇔ cos 2x = hay − sin 2x = 1(Voâ nghieä m ) π ⇔ 2x = + kπ, k ∈] π kπ ⇔x= + , k ∈] Caù c h khaù c: Ta coù ( sin8 x − cos8 x ) = voâ nghieä m Lop12.net (13) Vì ( sin x − cos8 x ) ≤ 1, ∀ x neâ n ( sin x − cos8 x ) ≤ < 5, ∀x Ghi chú : Khi gặp phương trình lượ n g giá c n g R(tgx, cotgx, sin2x, cos2x, tg2x) vớ i R hàm hữ u tỷ thì đặ t t = tgx 2t 2t − t2 , sin 2x , cos 2x = = Lúc đó tg2x = − t2 + t2 + t2 Bà i 76 : (Để thi tuyể n sinh Đạ i họ c khố i A, nă m 2003) Giaû i phöông trình cos 2x cot gx − = + sin2 x − sin 2x ( *) + tgx Ñieà u kieän : sin 2x ≠ vaø tgx ≠ −1 Ñaë t t = tgx thì (*) thaønh : − t2 1⎡ − t ⎤ 2t − = + t + ⎢1 − ⎥− t 1+t 2⎣ + t2 ⎦ + t2 1−t − t 2t t ⇔ = + − ( t ≠ −1) 2 t 1+t 1+t + t2 − t t − 2t + (1 − t ) ⇔ = = t + t2 + t2 ⇔ ( − t ) (1 + t ) = ( − t ) t ⎡ t = ( nhaä n t ≠ −1) ⎡1 − t = ⇔⎢ ⇔⎢ 2 ⎣1 + t = (1 − t ) t ⎣⎢2t − t + = ( voâ nghieä m ) π Vaäy (*) ⇔ tgx = ⇔ x = + kπ ( nhaä n sin 2x = ≠ 0) Baø i 77 : Giaû i phöông trình: sin 2x + 2tgx = ( * ) Ñieà u kieän : cos x ≠ Ñaë t t = tgx thì (*) thaø n h : 2t + 2t = + t2 ⇔ 2t + ( 2t − 3) (1 + t ) = ⇔ 2t − 3t + 4t − = ⇔ ( t − 1) ( 2t − t + 3) = ⎡t = ⇔⎢ ⎣2t − t + = ( voâ nghieä m ) π Vaä y (*) ⇔ tgx = ⇔ x = + kπ ( k ∈ Z ) Lop12.net (14) Baø i 78 : Giaû i phöông trình cot gx − tgx + sin 2x = ( *) sin 2x Ñieà u kieän : sin 2x ≠ 2t sin 2x ≠ neâ n t ≠ + t2 8t + t2 = = +t (*) thaø n h : − t + t + t2 t t 8t ⇔ = 2t + t2 ⇔ = ( t ≠ ) + t2 ⇔ t = ⇔ t = ± ( nhaä n t ≠ ) Ñaë t t = tgx thì : sin 2x = Vaä y (*) ⎛ π⎞ ⇔ tgx = tg ⎜ ± ⎟ ⎝ 3⎠ π ⇔ x = ± + kπ, k ∈ ] Baø i 79 : Giaû i phöông trình (1 − tgx )(1 + sin 2x ) = + tgx ( * ) Ñieà u kieän : cos x ≠ Ñaë t = tgx thì (*) thaø n h : 2t ⎞ (1 − t ) ⎛⎜ + ⎟ =1+t + t2 ⎠ ⎝ t + 1) ( ⇔ (1 − t ) =1+ t + t2 ⎡ t = −1 ⎡ t = −1 ⇔ ⎢ (1 − t )(1 + t ) ⇔ ⎢ 2 ⎢ =1 ⎣1 − t = + t ⎢⎣ 1+ t ⇔ t = −1 ∨ t = ⎡ tgx = −1 π ⇔ x = − + kπ hay x = kπ, k ∈ ] Do đó (*) ⇔ ⎢ ⎣ tgx = Baø i 80 : Cho phöông trình cos 2x − ( 2m + 1) cos x + m + = ( * ) a/ Giaû i phöông trình m = ⎛ π 3π ⎞ b/ Tìm m để (*) có nghiệ m trê n ⎜ , ⎟ ⎝2 ⎠ Ta coù (*) cos x − ( 2m + 1) cos x + m = Lop12.net (15) ⎧⎪t = cos x ([ t ] ≤ 1) ⇔⎨ ⎪⎩2t − ( 2m + 1) t + m = ⎧ t = cos x ([ t ] ≤ 1) ⎪ ⇔⎨ ⎪t = ∨ t = m ⎩ a/ Khi m = , phöông trình thaø nh cos x = ∨ cos x = ( loạ i ) 2 π ⇔ x = ± + k2π ( k ∈ Z ) ⎛ π 3π ⎞ b/ Khi x ∈ ⎜ , ⎟ thì cos x = t ∈ [−1, 0) ⎝2 ⎠ Do t = ∉ [ −1, 0] neâ n π 3π ( *) coù nghieäm treân ⎜⎛ , ⎟⎞ ⇔ m ∈ ⎡⎣−1, 0) ⎝2 ⎠ Baø i 81 : Cho phöông trình ( cos x + 1)( cos 2x − m cos x ) = m sin x ( *) a/ Giaû i (*) m= -2 ⎡ 2π ⎤ b/ Tìm m cho (*) có đú n g hai nghiệ m trê n ⎢0, ⎥ ⎣ 3⎦ Ta coù (*) ⇔ ( cos x + 1) ( cos2 x − − m cos x ) = m (1 − cos2 x ) ⇔ ( cos x + 1) ⎡⎣2 cos2 x − − m cos x − m (1 − cos x ) ⎤⎦ = ⇔ ( cos x + 1) ( cos2 x − − m ) = a/ Khi m = -2 thì (*) thaø n h : ( cos x + 1) ( cos2 x + 1) = ⇔ cosx = -1 ⇔ x = π + k2π ( k ∈ Z ) ⎡ 2π ⎤ ⎡ ⎤ b / Khi x ∈ ⎢ 0, ⎥ thì cos x = t ∈ ⎢ − ,1⎥ ⎣ 3⎦ ⎣ ⎦ ⎡ ⎤ Nhậ n xé t rằ n g vớ i t trê n ⎢ − ,1⎥ ta tìm đượ c mộ t x trên ⎣ ⎦ ⎡ 2π ⎤ ⎢⎣0, ⎥⎦ ⎡ ⎤ Yê u cầ u bà i toá n ⇔ 2t − − m = có đú n g hai nghiệ m trê n ⎢ − ,1⎥ ⎣ ⎦ Lop12.net (16) Xeù t y = 2t − ( P ) vaø y = m ( d ) Ta coù y’ = 4t ⎡ 2π ⎤ Vậy (*) có đú n g hai nghiệ m trên ⎢0, ⎥ ⎣ 3⎦ ⎡ ⎤ ⇔ (d) caé t (P) taï i hai ñieå m phaân bieä t treân ⎢ − ,1⎥ ⎣ ⎦ ⇔ −1 < m ≤ Baø i 82 : Cho phöông trình (1 − a ) tg x − a/ Giaû i (1) a = 2 + + 3a = (1) cos x ⎛ π⎞ b/ Tìm a để (1) có nhiề u mộ t nghiệ m trê n ⎜ 0, ⎟ ⎝ 2⎠ π Ñieà u kieän : cos x ≠ ⇔ x ≠ + kπ 2 (1) ⇔ (1 − a ) sin x − cos x + (1 + 3a ) cos2 x = ⇔ (1 − a ) (1 − cos2 x ) − cos x + (1 + 3a ) cos2 x = ⇔ 4a cos2 x − cos x + − a = ⇔ a ( cos2 x − 1) − ( cos x − 1) = ⇔ ( cos x − 1) ⎡⎣a ( cos x + 1) − 1⎤⎦ = 1⎞ ⎛ thì (1) thaø n h : ( cos x − 1) ⎜ cos x − ⎟ = 2⎠ ⎝ π ⇔ cos x = = cos ( nhaä n cos x ≠ ) π ⇔ x = ± + k2π ( k ∈ Z ) ⎛ π⎞ b/ Khi x ∈ ⎜ 0, ⎟ thì cos x = t ∈ ( 0,1) ⎝ 2⎠ a/ Khi a = Lop12.net (17) ⎡ cos x = t = ∈ ( 0,1) Ta coù : (1) ⇔ ⎢ ⎢ ⎢⎣2a cos x = − a ( 2) ⎧ ⎪a ≠ ⎪ 1−a ⎪ ⎧1 ⎫ Yê u cầ u bà i toá n ⇔ (2) có nghiệm trê n ( 0,1) \ ⎨ ⎬ ⇔ ⎨0 < <1 2a ⎩2⎭ ⎪ ⎪1 − a ⎪⎩ 2a ≠ ⎧a ≠ ⎧ ⎪1 − a ⎪0 < a < ⎧1 ⎪ >0 <a <1 ⎪ ⎪ 2a ⎪ ⎪⎪ ⇔⎨ ⇔ ⎨a < ∨ a > ⇔ ⎨ ⎪1 − 3a < ⎪ ⎪a ≠ 1 ⎪ 2a ⎪ ⎩⎪ ⎪2 (1 − a ) ≠ 2a ⎪⎩a ≠ ⎩ Caù c h khaù c : daë t u = , ñieà u kieä n u ≥1 ; pt thaø n h cos x (1 − a ) ( u − ) − 2u + + 3a = ⇔ (1 − a ) u − 2u + 4a = ⇔ ( u − ) [ (1 − a)u − 2a ] = Baø i 83 : Cho phöông trình : cos 4x + sin x cos x = m (1) a/ Giaû i (1) m = ⎡ π⎤ b/ Tìm m để (1) có hai nghiệ m phâ n biệ t trê n ⎢ 0, ⎥ ⎣ 4⎦ Ta coù : (1) ⇔ − sin 2x + sin 2x = m ⎧⎪t = sin 2x ( t ≤ 1) ⇔⎨ ⎪⎩2t − 3t + m − = ( 2) a/ Khi m = thì (1) thaø n h ⎧t = sin 2x ( t ≤ 1) ⎧⎪ t = sin 2x ( t ≤ 1) ⎪ ⇔⎨ ⎨ ⎪⎩2t − 3t = ⎪t = ∨ t = ( loạ i ) ⎩ kπ ⇔ sin 2x = ⇔ x = π ⎡ ⎤ b/ Khi x ∈ ⎢0, ⎥ thì sin 2x = t ∈ [ 0,1] ⎣ 4⎦ Nhậ n thấy rằn g mỗ i t tìm đượ c trê n [ 0,1] ta tìm đượ c nhấ t mộ t ⎡ π⎤ x ∈ ⎢ 0, ⎥ ⎣ 4⎦ Ta coù : (2) ⇔ −2t + 3t + = m Xeù t y = −2t + 3t + treâ n [ 0,1] Lop12.net (18) Thì y ' = −4t + Yê u cầ u bà i toá n ⇔ (d) y = m cắ t tạ i hai điể m phân biệ t trên [ 0,1] ⇔2 ≤ m < 17 Caù c h khaù c :ñaë t f (x) = 2t − 3t + m − Vì a = > 0, neâ n ta coù ⎧Δ =17 − 8m > ⎪ ⎪⎪ f (0) = m −1≥ 17 Yêu cầu bà i toán ⇔ ⎨ f (1) = m − ≥ ⇔ ≤ m < ⎪ S ⎪ ≤ = ≤1 ⎪⎩ Baø i 84 : Cho phöông trình cos5 x.sin x − sin x cos x = sin 4x + m (1 ) a/ Biế t rằ n g x = π là nghiệ m củ a (1) Hã y giả i (1) trườn g hợ p đó π b/ Cho bieá t x = − laø moä t nghieä m cuû a (1) Haõ y tìm taá t caû nghieä m cuûa (1) thoûa x − 3x + < (1) ⇔ sin x cos x ( cos4 x − sin x ) = sin 4x + m ⇔ sin 2x ( cos2 x − sin x )( cos2 x + sin x ) = sin 4x + m ⇔ sin 2x.cos 2x = sin 4x + m ⇔ sin 4x − sin 4x + m = (1) a/ x = π laø nghieäm cuû a (1) ⇒ sin2 4π − sin 4π + m = ⇒m = Lú c đó (1) ⇔ sin 4x (1 − sin 4x ) = ⇔ sin 4x = ∨ sin 4x = π + k2π kπ π kπ ⇔x = ∨x= + ( k ∈ Z) ⎧⎪t = x2 ≥ ⇔ b/ x − 3x + < ⇔ ⎨ ⎩⎪t − 3t + < ⇔ 4x = kπ ∨ 4x = Lop12.net ⎧t = x2 ≥ ⎨ ⎩1 < t < (19) ⇔ < x2 < ⇔ < x < ⇔ − < x < −1 ∨ < x < ( * ) π ⎛ π⎞ thì sin 4x = sin ⎜ − ⎟ = −1 ⎝ 2⎠ π x = − laø nghieä m cuû a (1) ⇒ + + m = ⇒ m = −2 x=− Lú c đó (1) thà n h : sin2 4x − sin 4x − = ⎧⎪t = sin 4x ( vớ i t ≤ 1) ⇔⎨ ⎪⎩t − t − = ⎧⎪t = sin 4x ( vớ i t ≤ 1) ⇔⎨ ⎪⎩t = −1 ∨ t = ( loạ i ) ⇔ sin 4x = −1 π ⇔ 4x = − + k2π π kπ ⇔x = − + Kế t hợ p với điề u kiệ n (*) suy k = π π 3π Vaäy (1) coù nghieäm x = − + = thoû a x4 − 3x2 + < 8 Bà i 85 : Tìm a để hai phương trình sau tương đương cos x.cos 2x = + cos 2x + cos 3x (1 ) cos2 x − cos 3x = a cos x + ( − a )(1 + cos 2x ) ( 2) Ta coù : (1) ⇔ cos 3x + cos x = + cos 2x + cos 3x ( ⇔ cos x = + cos2 x − ) ⇔ cos x (1 − cos x ) = 2 Ta coù : (2) ⇔ cos x − cos x − cos x = a cos x + ( − a ) cos2 x ⇔ cos x = ∨ cos x = ( ) ⇔ cos3 x + ( − 2a ) cos2 x ( a − 3) cos x = ⎡cos x = ⇔⎢ ⎢⎣4 cos x + ( − a ) cos x + a − = 1⎞ ⎛ ⇔ cos x = hay ⎜ cos x − ⎟ [ cos x + − a ] = 2⎠ ⎝ a−3 ⇔ cos x = ∨ cos x = ∨ cos x = 2 Lop12.net (20) Vậ y yê u cầ u bà i toá n ⎡a − ⎢ =0 ⎢ a−3 ⎢ ⇔ = ⇔ ⎢ 2 ⎢a − a−3 ⎢ < −1 ∨ >1 ⎢⎣ 2 ⎡a = ⎢a = ⎢ ⎣⎢a < ∨ a > Baø i 86 : Cho phöông trình : cos4x = cos2 3x + asin x (*) a/ Giaû i phöông trì nh a = ⎛ π ⎞ b/ Tìm a để (*) có nghiệ m trê n ⎜ 0, ⎟ ⎝ 12 ⎠ a Ta coù : ( *) ⇔ cos 4x = (1 + cos 6x ) + (1 − cos 2x ) 2 ⇔ 2 cos 2x − = + cos 2x − cos 2x + a (1 − cos 2x ) ( ) ⎧t = cos 2x ( t ≤ 1) ⎪ ⇔⎨ ⎪⎩2 2t − = + 4t − 3t + a (1 − t ) ⎧⎪t = cos 2x ( t ≤ 1) ⇔⎨ ⎪⎩−4t + 4t + 3t − = a (1 − t ) ⎧1 = cos 2x ( t ≤ 1) ⎪ ⇔⎨ ⎪⎩( t − 1) −4t + = a (1 − t ) ( * *) a/ Khi a = thì (*) thaø n h : ⎧ ⎪t = cos 2x ( t ≤ 1) ⎪⎧t = cos 2x ( t ≤ 1) ⇔ ⎨ ⎨ ⎪⎩( t − 1) −4t + = ⎩⎪t = ±1 ⇔ cos 2x = ±1 ⇔ cos2 2x = ( ) ( ( ) ) kπ , ( k ∈ Z) ⎛ ⎞ ⎛ π ⎞ ⎛ π⎞ ,1 ⎟⎟ b/ Ta coù : x ∈ ⎜ 0, ⎟ ⇔ 2x ∈ ⎜ 0, ⎟ Vaä y cos 2x = t ∈ ⎜⎜ ⎝ 12 ⎠ ⎝ 6⎠ ⎝ ⎠ ⇔ sin 2x = ⇔ 2x = kπ ⇔ x = ( ) Vaä y (**) ⇔ ( t-1) −4t + = a (1 − t ) ⇔ 4t − = a ( t ≠ 1) ⎛ ⎞ ,1 ⎟⎟ Xeù t y = 4t − ( P ) treâ n ⎜⎜ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ,1 ⎟⎟ ⇒ y ' = 8t > ∀t ∈ ⎜⎜ ⎝ ⎠ Lop12.net (21)