Đang tải... (xem toàn văn)
Tìm m để hàm số 1 có cực đại và cực tiểu, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị cùng với gốc tọa độ O tạo thành tam giác vuông tại O.. Tìm m để hàm số 1 có cực đại, cực tiểu và các điểm [r]
(1)Các dạng toán liên quan đến Khảo sát hàm số CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ Dạng 1: CÁC BÀI TOÁN VỀ TIẾP XÚC Cho hàm số y f x ,đồ thị là (C) Có ba loại phương trình tiếp tuyến sau: Loại 1: Tiếp tuyến hàm số điểm M x0 ; y0 C Tính đạo hàm và giá trị f ' x0 Phương trình tiếp tuyến có dạng: y f ' x0 x x0 y0 Chú ý: Tiếp tuyến điểm M x0 ; y0 C có hệ số góc k f ' x0 Loại 2: Biết hệ số góc tiếp tuyến là k Giải phương trình: f ' x k , tìm nghiệm x0 y0 Phương trình tiếp tuyến dạng: y k x x0 y0 Chú ý: Cho đường thẳng : Ax By C , đó: Nếu d // d : y ax b hệ số góc k = a a Nếu d d : y ax b hệ số góc k Loại 3: Tiếp tuyến (C) qua điểm A x A ; y A C Gọi d là đường thẳng qua A và có hệ số góc là k, đó d : y k x x A y A f x k x x A y A f ' x k Điều kiện tiếp xúc d và C là hệ phương trình sau phải có nghiệm: Tổng quát: Cho hai đường cong C : y f x và C ' : y g x Điều kiện để hai đường cong tiếp xúc với f x g x là hệ sau có nghiệm f ' x g ' x Cho hàm số y x x a khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số b Viết phương trình tiếp tuyến (C): i Tại điểm có hoành độ x ii Tại điểm có tung độ y = iii Tiếp tuyến song song với đường thẳng: d1 : 24 x y 2009 iv Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng: d : x 24 y 2009 Cho hàm số y x2 x có đồ thị là (C) x 1 a Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số trên b Viết phương trình tiếp tuyến (C): i Tại giao điểm (C) với trục tung ii Tại giao điểm (C) với trụng hoành iii Biết tiếp tuyến qua điểm A(1;1) iv Biết hệ số góc tiếp tuyến k = 13 x2 x Cho hàm số y có đồ thị (C) x 1 Lop12.net (2) Các dạng toán liên quan đến Khảo sát hàm số a Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số trên b Viết phương trình tiếp tuyến (C) điểm x = c Viết phương trình tiếp tuyến (C) điểm có tung độ y = d Tìm tất các điểm trên trục tung mà từ đó kẻ hai tiếp tuyến đến (C) x 3x Cho hàm số y có đồ thị (C) x 1 a Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C) b Chứng minh qua điểm M(3;1) kẻ hai tiếp tuyến tới đồ thị (C) cho hai tiếp tuyến đó vuông góc với x2 Cho hàm số: y có đồ thị (C) x 1 a Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số b Tìm M (C) cho tiếp tuyến (C) M vuông góc với đường thẳng qua M và tâm đối xứng (C) Cho hàm số y = x3 + mx2 + có đồ thị (Cm) Tìm m để (Cm) cắt d: y = – x + ba điểm phân biệt A(0;1), B, C cho các tiếp tuyến (Cm) B và C vuông góc với Lời giải: Phương trình hoành độ giao điểm d và (Cm) là: x3 + mx2 + = – x + x(x2 + mx + 1) = (*) Đặt g(x) = x2 + mx + d cắt (Cm) ba điểm phân biệt g(x) = có hai nghiệm phân biệt khác g m m m 2 g S xB xC m Vì xB , xC là nghiệm g(x) = P xB xC Tiếp tuyến (Cm) B và C vuông góc với nên ta có: f xC f xB 1 xB xC xB 2m xC 2m 1 xB xC 9 xB xC 6m xB xC 4m 1 9 6m m 4m 1 2m 10 m (nhận so với điều kiện) x2 Cho hàm số y Tìm tập hợp các điểm trên mặt phẳng tọa độ để từ đó có thể kẻ đến (C) hai tiếp x tuyến vuông góc Lời giải: Gọi M(x0;y0) Phương trình đường thẳng d qua M có hệ số góc k là y = k(x – x0) + y0 x2 k x x0 y0 , kx Phương trình hoành độ giao điểm (C) và d: x 1 k x y0 kx0 x * k k x02 k x0 y0 k y02 d tiếp xúc với (C): y0 kx0 1 k y kx I k1 , k2 Từ M vẽ hai tiếp tuyến đến (C) vuông góc với (1) có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn: k1k2 1 x x0 y0 1 x02 y02 y x x0 y0 x0 Lop12.net (3) Các dạng toán liên quan đến Khảo sát hàm số Vậy tập hợp các điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán là đường tròn: x y loại bỏ bốn giao điểm đường tròn với hai đường tiệm cận 2x Cho hàm số y (ĐH KhốiD 2007) x 1 a Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho b Tìm tọa độ điểm M thuộc (C), biết tiếp tuyến (C) M cắt Ox, Oy A, B và diện tích tam giác OAB ĐS: M ; 2 và M 1;1 x2 x Cho hàm số y (ĐH KhốiB 2006) x2 a Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số đã cho b Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) biết tiếp tuyến đó vuông góc với tiệm cận xiên ĐS: b y x 2 m 10 Gọi (Cm) là đồ thị hàm số: y x3 x (*) (m là tham số) (ĐH KhốiD 2005) 3 a Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (*) m=2 b Gọi M là điểm thuộc (Cm) có hoành độ 1 Tìm m để tiếp tuyến (Cm) M song song với đường thẳng x y ĐS: m=4 11 Cho hàm số y x3 3mx x 3m Cm Định m để Cm tiếp xúc với trục hoành 12 Cho hàm số y x x3 m 1 x x m Cm Định m để Cm tiếp xúc với trục hoành 13 Cho đồ thị hàm số C : y x2 Tìm tập hợp các điểm trên trục hoành cho từ đó kẻ tiếp x 1 tuyến đến (C) 14 Cho đồ thị hàm số C : y x3 x Tìm tập hợp các điểm trên trục hoành cho từ đó có thể kẻ tiếp tuyến với (C) 15 Cho đồ thị hàm số C : y x x Tìm các điểm M nằm trên Oy cho từ M kẻ tiếp tuyến đến (C) 16 Cho đồ thị hàm số C : y x3 x Tìm các điểm trên đường thẳng y = cho từ đó có thể kẻ tiếp tuyến với (C) 17 Cho hàm số y = 4x3 – 6x2 + (1) (ĐH KhốiB 2008) a Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) b Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến đó qua điểm M(–1;–9) Lời giải: a D=R, y’ = 12x2 – 12x; y’ = x = hay x = BBT : x y' y + 0 CĐ + + + CT 1 b Tiếp tuyến qua M(1;9) có dạng y = k(x + 1) – Phương trình hoành độ tiếp điểm qua M có dạng : 4x3 – 6x2 + = (12x2 – 12x)(x + 1) – 4x3 – 6x2 + 10 = (12x2 – 12x)(x + 1) 2x3 – 3x2 + = 6(x2 – x)(x + 1) x = –1 hay 2x2 – 5x + = 6x2 – 6x x = –1 hay 4x2 – x – = Lop12.net (4) Các dạng toán liên quan đến Khảo sát hàm số x = –1 hay x = 15 ; y’(1) = 24; y ' 4 Vậy phương trình các tiếp tuyến qua M là: y = 24x + 15 hay y = 15 21 x 4 Dạng 2: CÁC BÀI TOÁN VỀ CỰC TRỊ Cho hàm sô y f x ,đồ thị là (C) Các vấn đề cực trị cần nhớ: Nghiệm phương trình f ' x là hoành độ điểm cực trị f ' x0 thì hàm số đạt cực đại x x0 f '' x0 Nếu f ' x0 thì hàm số đạt cực tiểu x x0 f '' x0 Nếu Một số dạng bài tập cực trị thường gặp Để hàm số y f x có cực trị Để hàm số y f x có hai cực trị nằm phía trục hoành Để hàm số y f x có hai cực trị nằm phía trục tung Để hàm số y f x có hai cực trị nằm phía trên trục hoành Để hàm số y f x có hai cực trị nằm phía trục hoành Để hàm số y f x có cực trị tiếp xúc với trục hoành a y ' yCĐ yCT xCĐ xCT yCĐ yCT yCĐ yCT yCĐ yCT yCĐ yCT yCĐ yCT Cách viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị Dạng 1: hàm số y ax3 bx cx d Lấy y chia cho y’, thương là q(x) và dư là r(x) Khi đó y = r(x) là đường thẳng qua điểm cực trị ax bx c Dạng 2: Hàm số y dx e ax bx c ' 2a b x Đường thẳng qua hai điểm cực trị có dạng y d d dx e ' Chứng minh hàm số y = x2 m m2 x m4 xm luôn có có cực trị với m Tìm m cho hai cực trị nằm trên đường thẳng y=2x Cho hàm số y x3 mx m x Định m để: a Hàm số luôn có cực trị b.Có cực trị khoảng 0; c Có hai cực trị khoảng 0; Định m để hàm số y x3 3mx m x b 4ac đạt cực đại x = Cho hàm số y = x33x2+3mx+3m+4 Lop12.net (5) Các dạng toán liên quan đến Khảo sát hàm số a Khảo sát hàm số m = b.Định m để hàm số không có cực trị c Định m để hàm só có cực đại và cực tiểu Cho hàm số y x3 3mx x 3m Định m để đồ thị hàm số có cực đại cực tiểu, viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị x m 1 x m Cho hàm số y Chứng minh đồ thị hàm số luôn có cực đại, cực tiểu với xm m Hãy định m để hai cực trị nằm hai phía trục hoành Cho hàm số y x3 1 2m x m x m Định m để đồ thị hàm số có hai cực trị đồng thời hoành độ điểm cực tiểu nhỏ x 2mx 3m Cho hàm số y Định m để đồ thị hàm số có hai cực trị nằm hai phía trục xm tung Cho hàm số y x3 mx 2m 1 x m Cm Định m để hàm số có hai điểm cực trị cùng dương x m 1 x m 4m 10 Cho hàm số y (1) (ĐH KhốiA năm 2007) x2 a Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị đồ thị hàm (1) số m=1 b Tìm m để hàm số (1) có cực đại và cực tiểu, đồng thời các điểm cực trị đồ thị cùng với gốc tọa độ O tạo thành tam giác vuông O ĐS: m 4 11 Cho hàm số y x3 x m x 3m (1), m là tham số (ĐH KhốiB năm 2007) a Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị đồ thị hàm (1) số m=1 b Tìm m để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị đồ thị hàm số (1) cách gốc tọa độ 12 Cho hàm số y mx m x 10 ĐS : b m (1) (m là tham số) a Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị đồ thị hàm số m=1 b Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị 10 y (ĐH KhốiB năm 2002) x -10 -5 -5 m 3 b ĐS : 0 m x m 1 x m 13 Gọi (Cm) là đồ thị hàm số y (*) (m là tham số) -10 x 1 a Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị đồ thị hàm số m=1 a -15 Lop12.net (6) Các dạng toán liên quan đến Khảo sát hàm số b Chứng minh với m bất kỳ, đồ thị (Cm) luôn có hai điểm cực đại, cực tiểu và khoảng cách hai điểm đó 20 y x -6 -4 -2 -2 a b CĐ(2;m3), CT(0;m+1) MN 20 -4 Dạng 3: CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐỒNG BIẾNNGHỊCH BIẾN Cho hàm sô y f x -6 có tập xác định là miền D f(x) đồng biến trên D f ' x , x D f(x) nghịch biến trên D f ' x , x D (chỉ xét trường hợp f(x)-8= số hữu hạn điểm trên miền D) Thường dùng các kiến thức xét dấu tam thức bậc hai: f x ax bx c -10 Nếu thì f(x) luôn cùng dấu với a b b Nếu thì f(x) có nghiệm x và f(x) luôn cùng dấu với a x 2a 2a Nếu thì f(x) có hai nghiệm, khoảng nghiệm f(x) trái dấu với a, ngoài khoảng nghiệm f(x) cùng dấu với a So sánh nghiệm tam thức với số * x1 x2 P * x1 x2 P S S * x1 x2 P Cho hàm số y x3 m 1 x m 1 x Định m để: a Hàm số luôn đồng biến trên R b Hàm số luôn đồng biến trên khoảng 2; Xác định m để hàm số y x3 mx 2x a Đồng biến trên R b Đồng biến trên 1; Cho hàm số y x3 2m 1 x 12m x a Định m để hàm số đồng biến trên khoảng 2; b Định m để hàm số nghịch biến trên khoảng ; 1 Cho hàm số y mx x Định m để hàm số nghịch biến trên 1; x2 Lop12.net (7) Các dạng toán liên quan đến Khảo sát hàm số Dạng 4: CÁC BÀI TOÁN VỀ GIAO ĐIỂM CỦA ĐƯỜNG CONG Quan hệ số nghiệm và số giao điểm Cho hai hàm số y=f(x) có đồ thị (C1) và y=g(x) có đồ thị (C2) Khảo sát tương giao hai đồ thị (C1) và (C2) tương đơưng với khảo sát số nghiệm phương trình: f(x) = g(x) (1) Số giao điểm (C1) và (C2) đúng số nghiệm phương trình hoành độ giao điểm (1) (1) vô nghiệm (C1) và (C2) không có điểm chung (1) có n nghiệm (C1) và (C2) có n điểm chung (1) có nghiệm đơn x1 (C1) và (C2) cắt N(x1;y1) (1) có nghiệm kép x0 (C1) tiếp xúc (C2) M(x0;y0) Cho hàm số y x 12 có đồ thị là (C) x 1 a Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số b.Biện luận theo m số nghiệm phương trình x m x m Cho hàm số y x 1 x 1 có đồ thị là (C) a Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trên 2 b Dùng đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm phương trình x 2m Cho hàm số y x3 kx a Khảo sát hàm số trên k = b Tìm các giá trị k để phương trình x3 kx có nghiệm Cho hàm số y x3 x (ĐH KhốiD 2006) a Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số đã cho b Gọi d là đường thẳng qua điểm A(3;20) có hệ số góc m Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị (C) ba điểm phân biệt 15 ĐS: b m , m 24 x 3x Cho hàm số y (1) (ĐH KhốiA 2004) x 1 a Khảo sát hàm số (1) b Tìm m để đường thẳng y=m cắt đồ thị hàm số (1) hai điểm A, B cho AB=1 1 ĐS: b m mx x m Cho hàm số y (*) (m là tham số) (ĐH KhốiA 2003) x 1 a Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị đồ thị hàm số m=1 b Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành hai điểm phân biệt và hai điểm đó có hoành độ dương ĐS: b m x2 x a Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y (1) (ĐH KhốiD 2003) x2 b Tìm m để đường thẳng d m : y mx 2m cắt đồ thị hàm số (1) hai điểm phân biệt ĐS: m>1 Cho hàm số y = x3 + 3mx2 + 3(1 m2)x + m3 m2 (1) (m là tham số) (ĐH KhốiA 2002) Lop12.net (8) Các dạng toán liên quan đến Khảo sát hàm số a Khảo sát biến thiên và vẽ đố thị hàm số (1) m = b Tìm k để phương trình x3 + 3x2 + k3 3k2 = có nghiệm phân biệt c Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số (1) 1 k ĐS: b , c y x m m k k Dạng 5: CÁC BÀI TOÁN VỀ KHOẢNG CÁCH Các công thức khoảng cách: Khoảng cách hai điểm (độ dài đoạn thẳng): AB xB x A y B y A Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng: Cho đường thẳng : Ax By C và điểm Ax0 By0 C M(x0;y0) đó d M ,. A2 B Cho hàm số y x3 3mx x 3m Cm Định m để Cm có cực đại cực tiểu đồng thời khoảng cách chúng là bé 2x 2 Cho hàm số C : y Tìm tọa độ các điểm M nằm trên (C) có tổng khoảng cách đến hai tiệm cận là x 1 nhỏ x2 x Cho hàm số C : y Tìm các điểm M thuộc (C) có tổng khoảng cách đến tiệm cận là nhỏ x 1 2x Cho hàm số C : y Tìm hai điểm M, N thuộc hai nhánh khác (C) cho đoạn MN x 1 nhỏ x2 x Cho hàm số C : y Tìm hai điểm M, N thuộc nhánh khác (C) cho đoạn MN x 1 nhỏ x2 x Cho hàm số C : y x 1 a Tìm các điểm thuộc đồ thị (C) có tổng khoảng cách đến hai trục tọa độ là nhỏ b.Tìm hai điểm M, N thuộc hai nhánh khác (C) cho đoạn MN nhỏ Gọi (Cm) là đồ thị hàm số: y mx (*) (m là tham số) (ĐH KhốiA 2005) x a Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (*) m = b Tìm m để đồ thị hàm số (*) có cực trị và khoảng cách từ điểm cực tiểu (Cm) đến tiệm cận xiên ĐS: m=1 Dạng 6: CÁC ĐIỂM CỐ ĐỊNH Phương pháp: Từ hàm số y f x, m ta đưa dạng F x, y mG x, y Khi đó tọa độ điểm cố định có là F x, y nghiệm hệ phương trình G x, y Cho hàm số y x3 m 1 x 3mx Cm Chứng minh Cm luôn qua hai điểm cố định m thay đổi Lop12.net (9) Các dạng toán liên quan đến Khảo sát hàm số Cho hàm số Cm : y x2 m x mx Chứng minh đồ thị Cm luôn qua điểm cố định m thay đổi Cho hàm số Cm : y 1 2m x 3mx m 1 Tìm các điểm cố định họ đồ thị trên Chứng minh đồ thị hàm số y m 3 x3 m 3 x 6m 1 x m Cm luôn qua ba điểm cố định Dạng 7: ĐỒ THỊ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI y f(x)=abs(x^3-2x^2-0.5) y f x có đồ thị (C “) y f x có đồ thị (C’) y = f(x) có đồ thị (C) y f x 0, x D Do đó ta phải y f x có f x f x , giữ nguyên phần phía trên trục Ox và lấy đối xứng phần phía trục Ox lên trên x D nên đây là hàm số chẵn đó có đồ thị đối xứng qua trục tung Oy y f(x)=abs(x)^3-2x^2-0.5 f(x)=x^3-2x^2-0.5 f(x)=x^3-2x^2-0.5 y (C') (C) (C'') x x x Chú ý: Đối với hàm hữu tỷ x2 x 2x a Khảo sát hàm số Cho hàm số C : y b.Định k để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt f(x)=(x^2+x)/(2x-2) x2 x x 2 k y y x(t)=1 , y(t)=t f(x)=x/2+1 f(x)=(x^2+abs(x))/(2abs(x)-2) f(x)=-x/2+1 -8 -6 -4 -14 -2 -12 x2 x y 2x -10 -8 y -6 -4 -2 -2 -2 x 3x x -4 a Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số Cho hàm số C : y -4 b.Biện luận theo m số nghiệm phương trình: -6 x 2 x x x2 x x 3x m x 1 -6 -8 -8 Lop12.net (10) Các dạng toán liên quan đến Khảo sát hàm số y f(x)=(x^2+3x+3)/(x+1) y x(t)=-1 , y(t)=t f(x)=x+2 4 2 f(x)=(x^2+3x+3)/abs(x+1) f(x)=-x-2 y x 3x x 1 y x -10 -8 -6 -16 -4 -14 -2 -12 -10 -8 -6 -4 x 3x x 1 -2 x -2 -2 -4 -4 x x2 x 1 a Khảo sát hàm số -6 -6 b.Định m để phương trình x m x m có bốn nghiệm phân biệt Cho hàm số C : y f(x)=(4x-x^2)/(x-1) x(t)=1 , y(t)=t y -8 y -8 f(x)=(4abs(x)-x^2)/(abs(x)-1) f(x)=-x+3 2 -10 -10 x -8 -6 -4 -14 -2 -12 -10 -8 y -2 Cho hàm số C : y x -6 -4 -2 x x2 x 1 -2 x2 x -4x y x x2 x 1 -4 Khảo sát hàm số Định m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt: x 1 m x 2m -6 -6 a Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y x3 x 12 x b Tìm m để phương trình sau có sáu nghiệm phân biệt: x x 12 x m -8 -8 -10 -10 a (ĐH Khối A2006) ĐS: b 4<m<5 Dạng 8: CÁC CẶP ĐIỂM ĐỐI XỨNG Điểm I x0 ; y0 là tâm đối xứng đồ thị C : y f x Tồn hai điểm M(x;y) và M’(x’;y’) x x ' x0 x ' x0 x thuộc (C) thỏa: f x f x ' y0 f x f x x y0 Vậy I x0 ; y0 là tâm đối xứng (C) f x y0 f x0 x 10 Lop12.net (11) Các dạng toán liên quan đến Khảo sát hàm số x2 x m có đồ thị Cm 2x Tìm giá trị m để Cm có hai điểm phân biệt đối xứng qua gốc tọa độ O Cho hàm số y x 2m x m x 1 Định m để Cm có hai điểm phân biệt đối xứng qua gốc tọa độ O Cho hàm số Cm : y Cho hàm số y x3 x m 1 (m là tham số) a Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm phân biệt đối xứng với qua gốc tọa độ b Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (1) m=2 (ĐH Khối B2003) ĐS: a f x0 f x0 , x0 … m>0 Cho hàm số y x3 11 x 3x có đồ thị C Tìm trên (C) hai điểm M, N đối xứng qua trục 3 tung Cho hàm số y x3 ax bx c 1 Xác định a, b, c để đồ thị hàm số (1) có tâm đối xứng là I(0;1) và qua điểm M(1;1) Cho hàm số y = x3 – 3x2 + (1) (ĐH Khối D2008) a Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) b Chứng minh đường thẳng qua điểm I(1;2) với hệ số góc k (k > – 3) cắt đồ thị hàm số (1) ba điểm phân biệt I, A, B đồng thời I là trung điểm đoạn thẳng AB Lời giải: a D = R y' = 3x2 6x = 3x(x 2), y' = x = 0, x = f(x)=x^3-3x^2+4 y" = 6x 6, y" = x = x y' y" y + 0 | + y + + + + CT O U -12 y = kx-10 -6 -4 -2 -16 d : y -14 = k(x 1) k + -8 3 Phương trình hoành độ giao điểm: x 3x + = kx k + x 3x kx + k + = (x 1)(x2 2x k 2) = x = g(x) = x2 2x k = -2 Vì ' > và g(1) ≠ (do k > 3) và x1 + x2 = 2xI nên có đpcm! CĐ x Dạng 9: MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN TIỆM CẬN f x = 1.7 x g x = Định nghĩa: y = lim MH (d) là tiệm cận (C)h -4 y (d) M M C Cách xác định tiệm cận a Tiệm cận đứng: lim f x d : x x (C) x x0 b Tiệm cận ngang: lim f x y d : y y x -6 -8 M H c Tiệm cận xiên: TCX có phương trình: y=x+ đó: f x lim ; lim f x x x x x -10 -5 Các trường hợp đặc biệt: -10 x 11 Lop12.net -2 (12) Các dạng toán liên quan đến Khảo sát hàm số *Hàm số bậc trên bậc (hàm biến) ax b y mx n n +TXĐ: D= R\ m n +TCĐ: lim y d : x n m x * Hàm số bậc hai trên bậc (hàm hữu tỷ) ax bx c A y x mx n mx n n +TXĐ: D= R\ m n +TCĐ: lim y d : x n m x m m a a +TCN: lim y d : y m m x y f(x)=x^2/(2(x-1)) x(t)=1 , y(t)=t -6 -5 -4 A TCX: y=x+ mx n y T ?p h?pa1 -7 x f(x)=x/2+1/2 y +TCX: lim m I 1 x -3 -14 -2-13 -1-12 -11 1-10 -9 -8 -7 -6 -1 x -2 -5 -4 -3 -2 -1 x -2 -3 Cho hàm số y x -1 n m y x I n m -3 -4 3m x mx -4 1 , với m là tham số thực x 3m -5 a Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) m =1 b Tìm các giá trị -6 m để góc hai đường tiệm cận đồ thị hàm số-6(1) 450 -5 -7 Lời giải: -8 x2 x x2 x x -9 -8 a Khi m =1: y TXĐ: D R y 3 x 6x x 32 (ĐH Khối A2008) -7 -9 -10 x 1 y 1 1 y -11 0 x 5 y 5 9 -10 -11 Tiệm cận: lim y tiệm cận đứng: x = 3 lim x 3 x tiệm cận xiên: y = x – x3 lim y , lim y , lim y , lim f(x)=(x^2+x-2)/(x+3) y x x x 3 x 3 Bảng biến thiên f(x)=x-2 Đồ thị: x(t)=-3 , y(t)=t y x -16 x y' y -5 -9 CĐ -3 -1 CT -1 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 -2 -4 -6 mx 3m x 2 b y -8 x 3m mx 6m x 3m -10 -12 Lop12.net 12 (13) Các dạng toán liên quan đến Khảo sát hàm số Gọi (Cm) là đồ thị hàm số (Cm) có tiệm cận đứng d1 : x 3m và tiệm cận xiên d : mx y m m 0 Theo giả thuyết ta có: cos 450 Cho hàm số y f x m m2 m m m 1 (nhận) 2 m 1 mx m 1 x m x Tìm m cho đồ thị hàm số f có tiệm cận xiên qua gốc tọa độ ax (2a 1).x a a 1, a có đồ thị (C) Chứng minh đồ thị hàm số x2 này có tiệm cận xiên luôn qua điểm cố định x 3x Cho hàm số y f ( x) có đồ thị (C) x 1 a Chứng minh tích khoảng cách từ điểm M trên (C) đến hai đường đường tiệm cận là số không đổi b Tìm tọa độ điểm N thuộc (C) cho tổng khoảng cách từ N đến hại tiệm cận nhỏ x mx Cho hàm số y f ( x) có đồ thị (Cm) Tìm m để đường tiệm cận xiên đồ thị hàm số tạo x 1 với hai trục tọa độ tam giác có diện tích x1 x2 x 1 Tìm m để đồ thị hàm số y có hai tiệm cận đứng là x=x1 và x=x2 thỏa mãn x mx x1 x2 35 x 1 Cho hàm số y có đồ thị (C) x 1 a Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số b Tìm điểm M thuộc (C) cho tổng khoảng cách từ nó đến hai đường tiệm cận nhỏ 2x Cho hàm số y có đồ thị (H) 2x a Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (H) hàm số b Viết phương trình tiếp tuyến (H) giao điểm với trục tung c Tìm điểm N (xN >1) thuộc (H) cho khoảng cách từ N đến tiếp tuyến ngắn HD câu b, c * Gọi M klà giao điểm (C) với trục tung M 0;1 Phương trình tiếp tuyến là y x hay Cho hàm số y 3x y y f(x)=(2x+1)/(1-x) * Lấy y0 H N x0 ; 2 , x0 1 Khi đó x0 x(t)=1 , y(t)=t f(x)=-2 1 Series 13 x0 x0 f(x)=-(1/3)x-13/3 Đặt g x0 x0 d N, -14 -12 -10 -8 -6 x0 -4 10 d N , min g x min y=3x+1 N x; * Khảo sát hàm g x0 x0 g ' x0 1 x0 2 M -2 …) * Do x0 nên ta nhận nghiệm x0 thay vào N ta N 2; 5 Vậy N 2; 5 thì d N , min 10 -2 trên khoảng 0; , x0 x0 , g ' x0 , (lập bảng biến thiên x0 x H -4 N(2;-5) -6 -8 13 Lop12.net -10 (14) Các dạng toán liên quan đến Khảo sát hàm số Dạng 10: DIỆN TÍCHTHỂ TÍCH Ứng dụng tích phân (Dạng này thường xuất nhiều các đề thi tốt nghiệp) a Diện tích Cho hai hàm số y=f(x) và y=g(x) có đồ thị (C1), (C2) Diện tích hình phẳng giới hạn (C1), (C2) và hai đường thẳng x=a, x=b tính công thức: y f(x) b S f x g x dx a g(x) O a Chú ý: Nếu diện tích thiếu các đường thẳng x=a, x=b ta phải giải phương trình f(x)=g(x) để tìm a, b (x) O b tính công thức: V f x xy d f(x) b Thể tích Thể tích hình phẳng giới hạn {(C):y=f(x),y=0,x=a,x=b} quay quanh Ox b y a b dx x c x O a Thể tích hình phẳng giới hạn {(C): x=(y), x=0, y=c, y=d} quay quanh Oy tính công thức: d V y dy c Thể tích tròn xoay hình phẳng giới hạn hai đường y=f(x), y=g(x) quay quanh Ox b 2 (f(x)g(x), x[a;b]) tính công thức: V f x g x dx a * 2m 1 x m * * (1) (m là tham số) (ĐH KhốiD 2002) x 1 a Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số (1) ứng với m=1 b Tính diện tích hình phẳng giới hạm đường cong (C) và hai trục tọa độ c Tìm m để đồ thị hàm số (1) tiếp xúc với đường thẳng y=x ĐS: b S 1 ln , c m x2 x 2 Cho hàm số y x3 a Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trên b Tính phần diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số và trục hoành Cho hàm số y Dạng 10 này trình bày cụ thể chuyên đề Tích phânỨng dụng 14 Lop12.net (15)