Bài toán tối ưu liên quan đến ánh xạ đa trị

Hơn nữa, khi Y là không gian tôpô tuyến tính, ta kí hiệu cl C , intC , convC lần lượt là bao đóng tôpô, phần trong tôpô, và bao lồi của nón C; nón C được gọi là nón đóng nếu C đồng thời[r]

Nguyễn Văn Xá Bài tập môn GIẢI TÍCH ĐA TRỊ NHẮC LẠI MỘT SỐ KHÁI NIỆM 1) Một không gian metric X gọi là không gian tách (separable space) hay không gian khả li có tập đếm trù mật X (tức là tồn tập đếm A cho A  X (hay  x  X     a  A  d(a, x)  )) 2) Một không gian tôpô X gọi là không gian tách (separated space) hay không gian Hausdorff hai điểm khác bất kì X có thể tách hai lân cận rời (tức là x, y  X, x  y, tồn hai lân cận Vx , Vy x, y cho Vx  Vy  ) 3) Cho X vừa là không gian tôpô vừa là không gian tuyến tính Nếu hai phép toán đại số trên X liên tục theo tôpô trên X thì ta nói cấu trúc đại số phù hợp với cấu trúc tôpô trên X, và gọi X là không gian tôpô tuyến tính 4) Cho không gian vectơ thực X, tập A  X gọi là tập lồi x, y  A, t   0;1 ta luôn có tx  (1  t)y  A 5) Cho không gian tôpô X Họ  a gồm tất các lân cận điểm a  X không gian tôpô X Họ A a   a gọi là sở lân cận điểm a V   a , U  A a cho a  U  V 6) Cho không gian tôpô tuyến tính X Nếu X có sở lân cận gốc gồm toàn tập lồi thì ta nói X là không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương (và tôpô nó gọi là tôpô lồi địa phương) 7) Không gian X gọi là không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương Hausdorff X vừa là không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương vừa là không gian Hausdorff với cùng tôpô đó 8) Cho Y là không gian tuyến tính và C  Y Ta nói C là nón Y có đỉnh gốc (hay đơn giản C là nón Y) x  C, t  ta có tx  C (tức là tC  C, t  0) Nón C gọi là nón lồi C đồng thời là tập lồi Hơn nữa, Y là không gian tôpô tuyến tính, ta kí hiệu cl (C ), int(C ), conv(C ) là bao đóng tôpô, phần tôpô, và bao lồi nón C; nón C gọi là nón đóng C đồng thời là tập đóng Kí hiệu l (C )  C  (C ), và thấy C là nón lồi thì l (C ) là không gian tuyến tính nhỏ nằm C và nó gọi là phần tuyến tính (phân biệt với phần tôpô (khi có tôpô) mà thường kí hiệu là intC) nón C Nón C gọi là nón nhọn Lop12.net l (C )  0 Nón C gọi là nón sắc bao đóng nó là nón nhọn Nón C gọi là nón đúng cl (C )  C \ l (C )  C 9) Với C là nón Y Ta định nghĩa quan hệ thứ tự phần trên Y sau: x, y  Y , x  y  C thì ta viết x C y hay đơn giản là x  y 10) Ánh xạ đa trị: Cho hai tập hợp bất kì X, Y ( X  ) Kí hiệu 2Y là tập hợp tất các tập Y (mỗi phần tử 2Y là tập hợp !), nghĩa là 2Y : A | A  Y Tất nhiên   2Y và Y  2Y Nếu A  2Y và B  A thì B  2Y Ánh xạ F : X  2Y từ X vào 2Y , biến phần tử x  X thành tập F(x) Y (không loại trừ khả với số x  X nào đó ta có F(x) là tập rỗng) gọi là ánh xạ đa trị từ X vào Y Nếu với x  X mà tập F(x) luôn có đúng phần tử thì ta nói F là ánh xạ đơn trị từ X vào Y 11) Điểm hữu hiệu lí tưởng: Cho x  A  X và C là nón X - Điểm x gọi là điểm hữu hiệu lí tưởng tập A nón C X   x C x, x  A, tức là A  x  C Kí hiệu IMin(A / C)  x  A : A  x  C là tập tất các điểm hữu hiệu lí tưởng A theo C X - Điểm x gọi là điểm hữu hiệu Pareto tập A nón C X không    tồn y  A mà y  x, x C y, tức là A  x  C  x Kí hiệu PMin(A / C) là tập tất các điểm hữu hiệu Pareto A theo C X - Điểm x gọi là điểm hữu hiệu thật tập A nón C X tồn ~ ~ ~ nón C  X cho C \ 0  int C và x  PMin(A / C) Kí hiệu Pr Min(A / C) là tập tất các điểm hữu hiệu thật A theo C X - Điểm x gọi là điểm hữu hiệu yếu tập A nón C X x  P Min(A / (int C  0)) Kí hiệu WMin(A / C) là tập tất các điểm hữu hiệu yếu A theo C X, x  WMin(A / C)  A  (x  int C)   Nhận xét: IMin(A / C)  Pr Min(A / C)  PMin(A / C)  WMin(A / C) BÀI TOÁN TỐI ƯU LIÊN QUAN ĐẾN ÁNH XẠ ĐA TRỊ Cho X, Y là các không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương Hausdorff, D  X, C là nón lồi, đóng, nhọn Y, ánh xạ đa trị F : D  2Y Lop12.net   Ta xét bài toán: Tìm x  D cho F x  Min(F(D) / C)   (trong đó  là lí tưởng, Pareto, thực sự, yếu) Chẳng hạn,  là lí tưởng thì ta có bài   toán tìm x  D cho F x  IMin(F(D) / C)   Ta gọi bài toán là bài   toán tối ưu đa trị Điểm x  D cho F x  Min(F(D) / C)   gọi là nghiệm   bài toán, tập F x  Min(F(D) / C) gọi là giá trị tối ưu Ví dụ: Khi Y  ,C    , F đơn trị,  là lí tưởng, thì ta có bài toán: Tìm x  D       cho F x  IMin(F(D) /   )  y  F(D) y  y, y  F(D)  y  F(D) y  F(x), x  D    F(x) F(x)  F(x), x  D , hay F(x)  lim F(x) xD Lop12.net