x2 3x m , với m là tham số x 1 Với những giá trị nào của m thì đồ thị của hàm số trên có tiếp tuyến vuông góc với đường phân giác của góc phần tư thứ nhất của hệ trục tọa độ?. Chứng[r]
(1)Đề luyện tập số 1: Chuyên đề hàm số và các bài toán liên quan Hàm phân thức bậc 2/1 Bài 1: x (m 1) x m 4m Cho hàm số: y x 1 Xác định tất các giá trị m để hàm số có cực trị Tìm m để tích các giá trị cực đại và cực tiểu đạt giá trị nhỏ Lời giải: x (m 1) x m 4m xm , m 3m y y x 1 x 1 ( x 1)2 Hàm số đạt cực trị y có nghiệm phân biệt m Hàm số đạt cực trị x1,2 và các giá trị tương ứng là: y1,2 x1,2 m 4 m y1 y2 (1 m) 4 5m 14m 5(m )2 x1,2 5 Vậy y1 y2 nhỏ m Bài 2: x 3x m x 1 Với nhứng giá trị nào m thì hàm số đã cho là đồng biến trên khoảng (3; ) Lời giải: Hàm số đồng biến khoảng (3; ) Cho hàm số y 2x2 4x m 0x x x m 0x m ( x) x x 3x ( x 1)2 '( x ) x Nên m ( x) x m Bài 3: Cho đồ thị (C) hàm số: y x x 1 Chứng minh đường thẳng y x m luôn luôn cắt (C) hai điểm có hoành độ x1 , x2 Tìm giá trị m cho d ( x1 x2 )2 đạt giá trị nhỏ Lời giải: 3 Xét phương trình: x m x 3x m x 1 x 1 (3 x m 3)(3x 1) 0, x 3x (m 6) x m (dễ thấy không phải là nghiệm phương trình này) (m 6)2 12m m2 36 0, m m phương trình có nghiệm phân biệt m đường thẳng y x m luôn cắt đồ thị điểm phân biệt 6m m Theo Viet: d ( x1 x2 )2 ( x1 x2 )2 x1 x2 ( ) 4( ) (m 36) 3 mind m Bài 4: Lop12.net (2) x2 3x m , với m là tham số x 1 Với giá trị nào m thì đồ thị hàm số trên có tiếp tuyến vuông góc với đường phân giác góc phần tư thứ hệ trục tọa độ? Chứng minh đó đồ thị hàm số có điểm cực đại và cực tiểu Lời giải: x2 x a y ( x 1)2 Đồ thị có tiếp tuyến vuông góc với đường phân giác góc phần tư thứ phương trình y 1 có nghiệm Xét hàm số: y x2 x a 1 có nghiệm phương trình ( x 1)2 phương trình 2( x 1) a có nghiệm x 1 a a tam thức x x a có a y có nghiệm phân biệt Hàm số có điểm cực đại, cực tiểu Bài 5: x2 Cho hàm số y x 1 Tìm tập hợp các điểm mặt phẳng tọa độ Oxy để từ đó ta có thể vẽ hai tiếp tuyến đến đồ thị (C) và hai tiếp tuyến đó vuông góc với Hướng dẫn: Xét điểm A(a;b) Đường thẳng qua A, hệ số góc k có phương trình: y = k(x-a)+ b Đường thẳng này là tiếp tuyến và hệ ẩn x gồm phương trình sau có nghiệm: (1): x kx b ak x 1 k (2): ( x 1) Biến đổi phương trình ẩn k ta được: (k ) (1 a )2 k [2(1 a)(b 2) 4]k (b 2) (3) Để từ A ta vẽ hai tiếp tuyến đến đồ thị (C) và hai tiếp tuyến đó vuông góc với thì (3) phải có nghiệm phân biệt khác và tích nghiệm này phải -1,điều kiện này tương đương với: (b 2)2 (1) và 1 (a 1)2 (b 2)2 22 , a 1, b a (1 a ) Vậy tập hợp cần tìm là đường tròn (C) tâm I(1;2), bán kính 2, bỏ giao điểm (C) với tiệm cận Bài 6: x2 x Cho hàm số y x 1 Tìm m để đường thẳng y mx 2m cắt đồ thị (C ) hai điểm thuộc hai nhánh (C ) Lời giải: Phương trình hoành độ giao điểm đường thẳng đã cho và (C): x2 x mx 2m f ( x ) (m 1) x (3m 1) x 2m 0, x x 1 Hai đường trên cắt điểm phân biệt thuộc nhánh đồ thị và khi: f ( x ) có nghiệm thỏa mãn: x1 x2 m và (m 1) f (1) m Lop12.net (3) Bài 7: x2 x Cho hàm số y và (d1 ) : y x m và (d ) : y x x 1 Tìm tất giá trị m để (C ) cắt (d1 ) điểm phân biệt đối xứng qua (d ) Lời giải: Phương trình hoành độ giao điểm (C) và (d1) là: x2 x x m x x ( m x)( x 1) ( x không là nghiệm) x 1 x (m 3) x m Điều kiện cần là: m 2m m m (*) Gọi H là giao điểm (d1 ), (d ) , phương trình hoành độ giao điểm H là: m 3 x m x xH Vì (d1 ) vuông góc với (d ) nên m thỏa mãn (*) và 3 m x A xB xH m 3 m Bài 8: x (1 m) x m Cho hàm số y (Cm ) x m CMR m 1 , các đường (Cm ) tiếp xúc với đường thẳng cố định điểm cố định Xác định phương trình đường thẳng đó Lời giải: Gọi M ( x0 ; y0 ) là điểm cố định (Cm ) với m 1 Ta có: y0 x0 (1 m) x0 m , m 1 x0 m m( y0 x0 1) x02 x0 x0 y0 , x0 m, m 1 x02 x0 x0 y0 0, y0 x0 x0 1, y0 M (1; 2) Ta có: f (1) 1 m 1 (Cm ) luôn tiếp xúc với tiếp xúc với đường thẳng có hệ số góc là -1, qua M cố định và có phương trình là y ( x 1) hay y x Bài 9: 2m x (2 m )(mx 1) Cho hàm số y (1) mx Chứng minh với m , tiệm cận xiên đồ thị hàm số (1) luôn tiếp xúc với parabol cố định.Tìm phương trình parabol đó Lời giải: y 2mx m là tiệm cận xiên đồ thị với m Tiếp tuyến Parabol y ax bx c (a 0) điểm ( x0 ; y0 ax02 bx0 c) có phương trình là: y (2ax0 b)( x x0 ) ax02 bx0 c Nó trùng với TCX y 2mx m và khi: 2ax0 b 2m và ax02 c m Khử x0 ta có phương trình ẩn m, phương trình này thỏa mãn với m, cho các hệ số ta có: a=1; b=c=0 Vậy parabol cần tìm là y x Bài 10: Lop12.net (4) x (m 1) x xm Xác định m để đường tiệm cận xiên đồ thị hàm số (1) tiếp xúc với parabol y x Lời giải: x (m 1) x m2 m y 2x 1 m xm xm TCX y x m tiếp xúc với y x và hệ gồm phương trình sau có nghiệm: x x m và x , suy x và m 3 Bài 11: 2m Cho hàm số y x x 1 a Với giá trị nào m thì hàm số đồng thời có cực đại và cực tiểu b Tìm quĩ tích các điểm cực đại và cực tiều đồ thị hàm số m thay đổi Lời giải: x x 2m a Hàm số đồng thời có cực đại và cực tiểu y có nghiệm phân biệt khác ( x 1)2 x x 2m có nghiệm phân biệt khác m b Với m từ bảng biến thiên ta có tọa độ điểm cực đại: 2m xI m, yI xI Biến đổi ta có: y I xI 3, xI xI Vậy quỹ tích các điểm cực đại là nửa đường thẳng có phương trình y x với x Tương tự quỹ tích các điểm cực tiểu là nửa đường thẳng có phương trình y x với x Bài 12: x (m 4) x 2m Cho hàm số y (1) x2 Tìm m để đồ thị hàm số (1) nhận điểm (2; 1) làm tâm đối xứng Lời giải: x (m 4) x 2m 1 y f ( x) 2x m x2 x2 f (2 t ) f (2 t ) Đồ thị nhận E(2;1) là tâm đối xứng và 1t m 3 Bài 13: x2 x Cho hàm số: y x 1 Xác định điểm A( x1 ; y1 ) với x1 thuộc đồ thị hàm số trên cho khoảng cách đến giao điểm hai tiệm cận là nhỏ Lời giải: Giao điểm tiệm cận là E(1;1) Xét điểm A( x1 ; y1 ) thuộc đồ thị và Cho hàm số y x12 x1 1 y1 x1 x1 x1 EA2 ( x1 1)2 ( y1 1) ( x1 1) ( x1 ) 2( x1 1)2 22 22 x1 ( x1 1)2 Lop12.net (5) Dẫu = xảy EA2 2 2( x1 1)2 Vậy điểm cần tìm có hoành độ là: x 1 x1 ( x1 1) Bài 14: x 2mx , (m là tham số) x 1 Tìm giá trị m để đồ thị hàm số có điểm cực đại, điểm cực tiểu và khoảng cách tự hai điểm đó đến đường thẳng x y Lời giải: x x 2m y ( x 1)2 Để hàm số có cực đại, cực tiểu thì phương trình x x 2m (1) có hai nghiệm phân biệt khác -1 m Giả sử x1 , x2 là nghiệm (1) và A( x1 ; y1 ), B ( x2 , y2 ) là các điểm cực trị đồ thị, đó: y1 y ( x1 ) x1 2m, y2 y ( x2 ) x2 2m Để khoảng cách từ A và B tới đường thẳng x+y+2=0 thì điều kiện là : | x1 y1 || x2 y2 | 3( x1 x2 )[3(x1 x2 ) 4m 4]=0 (*) Do x1 , x2 là nghiệm (1) nên | x1 x2 | 2m, x1 x2 -2 m (thay vào (*)) Bài 15: x2 x Cho đồ thị (C) hàm số y x 1 Gọi I là tâm đối xứng đồ thị (C) và M là điểm trên (C) Tiếp tuyến M với (C) cắt hai đường tiệm cận A,B Chứng minh M là trung điểm đoạn AB và diện tích tam giác IAB không phụ thuộc vào vị trí điểm M trên (C) Lời giải: Gọi (d) là tiếp tuyến M ( x0 , y0 x0 ) có phương trình: x0 1 y (1 )( x x0 ) x0 ( x0 1) x0 (d) cắt tiệm cận đứng A(1; ) và cắt tiệm cận xiên B (2 x0 1, x0 2) x0 Ta có x A xB x0 xM và A,B,M thẳng hàng suy M là trung điểm AB Giao tiệm cận là I(-1;0) và B cách tiện cận đứng x+1=0 khoảng cách là | x0 1| h | x0 1| 12 02 1 Ta có: AI | y A | SIAB | x0 1| (đvdt) | x0 1| | x0 | Vậy IAB có diện tích không phụ thuộc vào vị trí M Bài 16: Cho hàm số y Lop12.net (6) Gọi đồ thị đó là (C) x 1 Tìm điểm trên đồ thị (C) có hoành độ lớn cho tiếp tuyến điểm đó tạo với hai đường tiệm cận tam giác có chu vi nhỏ Đáp số: Điểm cần tìm có hoàng độ là: x Bài 17: x2 x Tìm tất các điểm trên đồ thị hàm số y = có toạ độ là số nguyên x1 Giải: TXĐ: x khác Hàm số viết lại y = x + x 1 Để y là số nguyên thì phải là số nguyên, nghĩa là phải chia hết cho x – x – x 1 là ước x x y x 1 x y 2 x x y x 2 x 1 y 2 Vậy có điểm thoả yêu cầu bài toán là: (2;4), (0;-2), (3;4), (-1;2) Bài 18: x2 x m2 Xét đồ thị họ (Cm) cho phương trình y Xác định tập hợp điểm mà không x2 có đồ thị nào họ (Cm) qua Bài giải x0 x0 m Gọi M ( x0 , y0 ) (Cm ), m y0 vô nghiệm với m x0 2 x0 Cho hàm số y x m y0 ( x0 2) x02 x0 vô nghiệm theo m y0 ( x0 2) x 02 x y0 ( x0 2) x 02 x x 20 +4x +8 y < x +2 (neáu x >-2) x +4x +8 (neáu x <-2) y0 > x +2 M miền (I) giới hạn (C) với x > -2 M miền (III) giới hạn (C) với x< -2 Vậy điểm M thoả điều kiện bài toán là điểm thuộc mặt phẳng toạ độ Oxy, không nằm trên miền (I), miền (III) và không nằm trên (C) Bài 19: Cho hàm số y x (C) x Lop12.net (7) a Chứng minh (C) có tâm đối xứng b Lập phương trình tiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến vuông góc với tiệm cận xiên Lời giải: 1 a f ( x ) x , D, x D và f ( x) x ( x ) f ( x ) O là TĐX x x x b PTTT: Phương trình tiếp tuyến: y x b Điều kiện tiếp xúc là thỏa mãn phương trình sau: 1 x b và 1 Giải ta có: x , b 2 x x Vậy có tiếp tuyến: y x 2 và y x 2 Bài 20: x2 x Cho hàm số y x Qua điểm A(1;0), viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị Lời giải: Dễ thấy đường thằng x=1 không là tiếp tuyến nên đường thẳng qua A(1;0) với hệ số góc k có phương trình: y=k(x-1) Đường thẳng này là tiếp tuyến tương đương hệ gồm phương trình sau có nghiệm: (1): x k ( x 1) x (2): k x (k 4)2 Biến đổi phương trình ẩn k ta được: k , k 4 k 6 Vậy có tiếp tuyến thỏa mãn: y (6 6)( x 1) và y (6 6)( x 1) Bài 21: x x2 Cho hàm số C : y Tìm trên (C) hai điểm A,B đối xứng qua đường thẳng y = x+1 (d) x 1 Giải: A, B đối xứng qua(d) nên AB (d ) Phương trình (AB) có dạng y = -x + m Hoành độ A,B là nghiệm phương trình x2 x m g ( x) x m 1 x m x 1 x 1 (1) Để có giao điểm A,B thì (1) có hai nghiệm phân biệt khác -1 m 3 2 m 6m m 3 2 g 1 m 1 m 1 x A xB xI Gọi xA; xB là hoành độ giao điểm A,B, ta có: vaI là trung điểm AB m x x y 3m A B I 1 1 I thuộc d:y = x+1 cho ta m = Từ đó taoc tọa độ A ;1 ;1 , B 2 2 Bài 22: Lop12.net (8) x mx xm a Tìm m để hàm số có cực trị Khi đó hãy viết phương trình đường thẳng qua điểm cực đại, cực tiểu b Xác định m để đồ thị cắt trục hoành hai điểm phân biệt và tiếp tuyến hai điểm đó vuông góc với HD Giải: a Ta có: y ' ( x 2mx m 8) /( x m) Để hs có cực trị thì pt y’ = phải có hai nghiệm phân biệt khác m ' 2m m (vì đó pt y’ = có hai nghiệm phân biệt khác m ) Hai nghiệm pt Cho hàm số: y y’ = là xCD , xCT ; yCD xCD m, yCT xCT m Vậy pt đt qua điểm CĐ và điểm CT là y = 2x + m b Với m 2 thì đths luôn cắt trục hoành hai điểm phân biệt ( vì ac = - < ) Gọi hoành độ hai giao điểm này là x1 , x2 x1 x2 m; x1 x2 8 Để tt với đths hai giao điểm vuông góc với thì: 2m 2m (8 2m )(5m 16) (8 2m ) y '( x1 ) y '( x2 ) 1 2 ( x m ) ( x m ) (2 m 8) (2m 8) 5m 16 2 1 m 2 10 2m Bài 23: x2 4x (H ) x2 Tìm M thuộc (H) cho khoảng cách từ M đến D: x y nhỏ HD Giải: Giả sử M (a; a / (a 2)), ( a 2) Cho hàm số: y d ( M ; ( D )) 4(a 2) / ( a 2) / 10 4( a 2) / a / 10 / 10 10 / Vậy GTNN k/c từ M tới (D) 10 / a 1/ a a 1,5; 2,5 ứng với hai điểm M (1,5; 2, 5), M (2, 5; 2, 5) Bài 24: x 3x Cho hàm số: y (C) x 1 Tìm hai điểm A, B trên hai nhánh khác (C) cho độ dài đoạn AB ngắn HD Giải: Gọi A( x1 ; y1 ), B ( x2 ; y2 ) (C )( x1 1 x2 ) Đặt 1 x1 a, x2 b a, b 0; AB (a b) (a b / a / b) (a b) 1 (1 / ab)2 4ab(2a b 2ab 1) / a b 4(2ab / ab 2) 4(2 2) 8( 1) Dấu xảy a b 1/ x1 1 1/ 2; x2 1/ Bài 25: x 3x Cho hàm số y (C) tìm trên đường thẳng x = Những điểm M cho từ M kẻ hai x tiếp tuyến tới (C) mà hai tiếp tuyến đó vuông góc với HD Giải: Lop12.net (9) Giả sử M(1;b) và pt đt (D) qua M là: y = k(x – 1) + b Để (D) là tiếp tuyến (C) thì pt sau phải x2 3x có nghiệm kép: k ( x 1) b (k 1) x (b k ) x ( vì pt không có nghiệm với x x =0) k & k b 3 8(k 1) k 2(b 1)k (b 3) 0(*).k b 2 Để qua M có thể kẻ hai tiếp tuyến tới (C) vuông góc với thì pt (*) phải có hai nghiệm có tích -1 (b 3) 1 b 3 (TMĐK) Vậy trên đt x = có điểm TMYCBT là M (1; 3 7) Bài 26: x mx m Cho hàm số y Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu nằm hai phía đường thẳng x 1 9x y HD Giải: Đặt F(x, y) = x y Hàm số có hai điểm cực trị là: A( -2; m – 4) và B( 4; m + 8) Để hai điểm cực trị này nằm hai phía đt trên thì: F(A) F(B) < (-7m – 21 )(9 – 7m ) < 3 m / x2 x 1 Bài 27: Cho hàm số: y (C) x 1 a Tìm m để (Dm): y mx cắt (C) hai điểm phân biệt mà hai điểm đó thuộc cùng nhánh b Tìm quỹ tích trung điểm I MN HD Giải: x2 x a Phương trình: mx m 1 x m x có nghiệm x = nên để hai giao điểm x 1 cùng nhánh thì: m /(m 1) 1 1/(m 1) m 1 b Ta có: xI m / 2(m 1) 1 / m xI / (2 xI 1) y I mxI xI2 / (2 xI 1) ( xI2 xI 1) / (2 xI 1) Vậy quỹ tích trung điểm I MN là nhánh bên phải đths y x2 x 2x 1 Bài 28: Cho hàm số y x2 3x (1) x 1 a Tìm trên đồ thị điểm A, B thuộc nhánh cho AB b Tính diện tích tam giác tạo tiệm cận xiên và các trục tọa độ HD Giải: a Ta có: y x x 1 x 1 x 1 2 x 1 1 1 Gọi A 1; thuộc nhánh trái, B 1; thuộc nhánh phải đồ thị hàm 2 2 số với Lop12.net (10) Ta có: AB 2 1 1 1 4 1 1 2 22 Dấu = xảy 4 1 1 1 1 Vậy A 1; ; B 1; thì ABmin 2 2 5 5 b Hàm số có TCX: : y 1 x Gọi A Ox A 2; ; B Oy B 0;1 Nên S OAB OA.OB (đvdt) Bài 29: Tìm trên đồ thị C : y x2 x tất các cặp điểm A,B đối xứng qua điểm x 1 5 I 0; 2 Giải: Lấy A x A ; x A , A xB ; x B C xA xB 5 2 x A xB x A xB x A xB x A 3; y A 1 x x x x A B y A yB A B xB 3; yB 2 xA xB A,B đối xứng qua điểm I 0; , ta có: Vậy có hai điểm có tọa độ thõa đề bài là (3;7) và (-3;-2) Bài 30: Cho hàm số y x2 3x (1) x 1 a Tìm m để đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số (1) A và B cho AB = b Tìm m để đường thẳng d: y m x và đường cong (1) cắt A, B phân biệt cho M(2; 3) làm trung điểm AB HD Giải: a Xét phương trình hoành độ giao điểm: Lop12.net (11) x2 3x m f x x 2m 3 x 2m ; với x x 1 Để hàm số (1) cắt đường thẳng y = m điểm phân biệt f x có nghiệm phân biệt khác 2m 3 2m f 1 m (*) m Với điều kiện (*), gọi x1 ; x2 là nghiệm f x x x2 2m Theo viet có: x1 x2 2m 2 Tọa độ A, B là: A x1; m ; B x2 ; m Ta có AB x1 x2 x1 x2 x1 x2 2 2m 2m 4m2 4m m Đáp số: m 1 1 b Xét phương trình hoành độ giao điểm: x2 3x m x f x 2m 1 x 1 2m x 4m ; với x x 1 Để hàm số (1) cắt đường thẳng y m x điểm phân biệt f x có nghiệm phân biệt khác 2m 1 2m f 1 72 m 2m 1 4m 3 m m Với điều kiện trên, gọi x1; x2 là nghiệm f x x1 x2 1 2m 2m Gọi giao điểm là A x1 ; m x1 3 ; B x2 ; m x2 3 Điểm M 2;3 d là trung điểm AB x1 x2 Vậy m Lop12.net 1 2m 2m 4m (12) Bài 31: Cho hàm số y x 2mx 3m2 Tìm tham số m để hàm số có: xm Hai điểm cực trị nằm hai phía trục tung Hai điểm cực trị cùng với gốc tọa độ O lập thành tam giác vuông O Hai điểm cực trị cùng với điểm M(0; 2) thẳng hàng Khoảng cách hai điểm cực trị m 10 Cực trị và tính khoảng cách từ điểm cực tiểu đến TCX Cực trị và thỏa mãn: yCD yCT HD Giải: Tập xác định: D R \ m Ta có: y x 3m 1 x xm m y ' 1 2 xm x m x m 1: Hàm số có hai điểm cực trị nằm hai phía trục tung y’ = có nghiệm trái dấu g ( x ) x xm m có nghiệm trái dấu cùng khác m m 1 m g ( m ) Vậy m 1;1 2: x x1 m Có: y ' x x2 m Do đó hàm số luôn đạt cực trị x1 ; x2 Ta có: y1 y x1 4m 2; y2 y x2 4m Gọi điểm cực trị là A m 1; 4m ; B m 1; 4m OAB vuông O OA OB OA.OB m 1 m 1 4m 4m 17m m Vậy m 85 là giá trị cần tìm 17 3: Ta có: MA m 1; 4m ; MB m 1;4m Lop12.net 85 17 (13) A, M, B thẳng hàng MA || MB 4m m 1 m 1 4m 6m m Đáp số: m 4: Ta có: AB m 10 m 10 m 5: Mọi giá trị m thì hàm số luôn có cực trị Vì lim y x 3m lim y x 3m là TCX hàm số x x x m Hàm số đạt cực tiểu x = m – Khoảng cách từ điểm cực tiểu đến TCX là: h m 1 4m 3m 6: Ta có: yCD yCT m 8m m 3 Đáp số: m ; ; 4 Hàm biến: Bài 1: x 1 x 1 Chứng minh tiếp tuyến đồ thị (C) lập với hai đường thẳng tiệm cận tam giác có diện tích không đổi Lời giải: 2 y 1 (C ) y x 1 ( x 1)2 TCĐ: x 1 TCN: y Giao điểm đường tiệm cận là I (1;1) Gọi M là điểm thuộc (C).Vậy tọa độ điểm M (m;1 ) m 1 Phương trình tiếp tuyến với đồ thị(C) M là: 2 y y 'x ( x xM ) yM ( x m) M (m 1) m 1 Gọi A là giao điểm tiếp tuyến và tiệm cận đứng.Vậy tọa độ A là nghiệm hệ 2 ( x m) A(1;1 ) x 1 và y (m 1) m 1 m 1 Cho hàm số: y Lop12.net (14) Gọi B là giao điểm tiếp tuyến và tiệm cận đứng Tương tự ta có: B(2m 1;1) 1 | m 1| (const) Ta có diện tích tam giác AIB là: S AI d ( B ; AI ) 2 | m 1| Bài 2: x2 Cho đồ thị hàm số: y x 3 Tìm trên đồ thị hàm số điểm M cho khoảng cách từ điểm M đến đường tiệm cận đứng khoảng cách từ điểm M đến đường tiệm cận ngang Lời giải: Giả sử M ( x0 ; y0 ) thuộc đồ thị Gọi d1 là khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng và d là khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang d1 | x0 |; d | y0 1| | x0 | Ta phải có d1 d x0 Có điểm thỏa mãn bài toán có hoành độ x Bài 3: 2 x x 1 Biện luận theo m số giao điểm đồ thị trên và đường thẳng x y m Trong trường hợp có hai giao điểm M, N thì hãy tìm quỹ tích trung điểm I đoạn MN Lời giải: Hoành độ giao điểm là nghiệm phương trình: 2 x 2x m x (m 4) x m 0, m 16 x 1 Nếu 4 m thì không có giao điểm Nếu m 4 thì có giao điểm Nếu m 4 m thì có giao điểm Khi đó trung điểm E MN có tọa độ: x x m xE và y E x m Rút m từ phương trình vào phương trình còn lại y 2 x Với điều kiện m 4 m x x 2 Vậy quỹ tích phải tìm là phần đường thẳng y 2 x ứng với x (; 2) (0; ) Bài 4: 2x a Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị ( C) hàm số: y x2 b Tìm m để đường thẳng (d): y = 2x + m cắt đồ thị (C ) hai điểm phân biệt cho tiếp tuyến (C ) hai điểm đó song song với Giải: Phương trình hoành độ giao điểm (d) và (C) là: 2x x m x (m 6) x 2m (x = không là nghiệm phương trình) x2 (d) cắt (C ) hai điểm phân biệt mà tiếp tuyến đó song song với (1) có hai nghiệm phân biệt x1; x2 thoả mãn: y’(x1) = y’(x2) hay x1+ x2 = Cho hàm số y Lop12.net (15) (m 6) 8(2m 3) 6 m m 2 Bài 5: Cho hàm số y 2x có đồ thị (C) x 1 Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số Với điểm M thuộc đồ thị (C) tiếp tuyến M cắt tiệm cận Avà B Gọi I là giao điểm hai tiệm cận Tìm vị trí M để chu vi tam giác IAB đạt giá trị nhỏ Giải: Gọi M x0 ; (C) x0 Tiếp tuyến d M có dạng: y 3 ( x x0 ) ( x0 1) x0 Các giao điểm d với tiệm cận: A 1;2 , B(2x0 –1; 2) x0 SIAB = (không đổi) chu vi IAB đạt giá trị nhỏ IA= IB x0 x0 M1( 3; ); M2( 3;2 ) x0 x0 Bài 6: Cho hàm số y 2x x 1 Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số Tìm trên (C) hai điểm đối xứng qua đường thẳng MN biết M(–3;0) và N(–1; –1) Giải: Đường thẳng MN: x + 2y + = PT đường thẳng (d) MN có dạng: y = 2x + m Gọi A, B (C) đối xứng qua MN Hoành độ A và B là nghiệm PT: 2x x m 2x + mx + m + = x 1 ( x ≠ –1) (1) (d) cắt (C) hai điểm phân biệt (1) có = m2 – 8m – 32 > Ta có A(x1; 2x1 + m), B(x2 ; 2x2 + m) với x1, x2 là nghiệm (1) x1 x2 m m ; x1 x2 m I ; ( theo định lý Vi-et) 2 Trung điểm AB là I Ta có I MN m = –4, (1) 2x2 – 4x = A(0; –4), B(2;0) Bài 7: Cho hàm số y 2x 1 x 1 (C) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số Tìm m để đường thẳng d: y = x + m cắt (C) hai điểm phân biệt A, B cho OAB vuông O Phương trình hoành độ giao điểm d và (C): x ( m 3) x m 0, x (*) Giải: (*) có nghiệm phân biệt là xA và xB A(xA; xA + m), B(xB; xB + m), x A xB m x A xB m Theo định lí Viét: Lop12.net (16) Để OAB vuông O thì OA.OB xA xB x A m xB m x A xB m xA xB m m 2 Bài 8: Cho hàm số y x2 x 1 Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số Chứng minh với giá trị thực m, đường thẳng (d) y = – x + m luôn cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt A, B Tìm giá trị nhỏ đoạn AB Giải: Phương hoành độ giao điểm (d) và (C) là: x2 =–x+m x 1 x luôn có nghiệm phân biệt với m x mx m (1) Ta có A(x1; –x1 +m), B(x2; – x2 + m) AB = 2( x1 x2 ) ( x1 x2 ) x1 x2 = Vậy GTNN AB = Bài 9: 2(m 4m 8) 8 và m = 2x x 1 Tìm trên (C) hai điểm đối xứng qua đường thẳng MN biết M(- 3;0) và N(- 1; - 1) Giải: Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số y = MN = (2;-1) MN: x + 2y + = Đường thẳng (d) MN, (d) có dạng phương trình y = 2x + m Gọi A, B là hai điểm thuộc (C) đối xứng qua đường thẳng MN Hoành độ A và B là nghiệm phương trình: 2x x m 2x2 + mx + m + = ( x ≠ - 1) (1) x 1 Để (d) cắt (C) hai điểm phân biệt và (1) có = m2 – 8m – 32 > Ta có A(x1,2x1 + m), B(x2;2x2 + m) với x1, x2 là nghiệm (1) m m x x Trung điểm AB là I ; x1 x2 m I( ( ; ) ( theo định lý Vi-et) Ta có I MN m = - 4, (1) 2x – 4x = A(0; - 4), B(2;0) Bài 10: x 3 Cho hàm số y có đồ thị (C) x2 a Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) b Tìm tất các giá trị tham số m để đường thẳng (d) : y = mx + cắt đồ thị hàm số đã cho hai điểm phân biệt Giải: b Phương trình hoành độ (C ) và đường thẳng y mx : x3 mx g(x) mx2 2mx , x x2 (1) Để (C ) và (d) cắt hai điểm phân biệt phương trình (1) có hai nghiệm phân Lop12.net biệt khác (17) m m m m m m m m g(1) m 2m Bài 11: x2 Cho hàm số : y (C ) 2x 1 a Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C ) hàm số b Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị (C ) , trục Ox và trục Oy Xác định m để đường thẳng (d ) : y x 2m cắt đồ thị (C ) hai điểm phân biệt c Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị (C ) , trục Ox và trục Oy Giải: b Giao điểm với trục Ox : ( ; ) Giao điểm với trục Oy : ( ; ) x2 Vì y với x [0 ; 2] nên diện tích hình phẳng cần tìm : 2x 2 x2 1 / 1 S dx ( )dx ( x Ln x ) x 2 x 0 Ln5 ( đvdt) c Xác định m để đường thẳng (d ) : y x 2m cắt đồ thị (C ) hai điểm phân biệt Hoành độ giao điểm (d ) và đồ thị ( C ) thỏa phương trình : x 1 x 2m ( x ) 2x 1 2 2 x 4mx x 2m x (2m 1) x m 1 1 2( ) 2m 2m 1 2 2 x (2m 1) x m có 4m 0, m Vậy với m đường thẳng d luôn cắt (C ) hai điểm phân biệt Bài 12: x2 Cho hàm số y = (1) 2x a Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) b Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục tung hai điểm phân biệt A, B cho OAB cân gốc tọa độ O Giải: b OAB cân O nên tiếp tuyến song song với hai đường thẳng y = x y = –x x 1 y 1 Nghĩa là: f (x0) = 1 1 (2x 3) x 2 y 1 : y – = –1(x + 1) y = –x (loại); 2 : y – = –1(x + 2) y = –x – (nhận) Bài 12: S = 1 Lop12.net (18) Cho hàm số y x 3m có đồ thị là (Cm) (m là tham số) m x 4m a Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số m = b Xác định m cho đường thẳng (d): y = x + m cắt đồ thị (C) hai điểm A, B cho độ dài đoạn AB là ngắn Giải: b AB = 2m 1 2 Dấu "=" xảy m 1 AB ngắn m 2 Bài 13: 2x x 1 Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số đã cho Tìm trên (C) điểm có tổng khoảng cách đến hai tiệm cận (C) nhỏ Giải: 2x 1 Gọi M(x0;y0) là điểm thuộc (C), (x0 - 1) thì y0 x0 Gọi A, B lần lợt là hình chiếu M trên TCĐ và TCN thì Cho hàm số y MA = |x0+1| , MB = | y0- 2| = | x0 1 - 2| = | | x0 x0 Theo Cauchy thì MA + MB x 1 =2 x0 MA + MB nhỏ x0 = x0 = -2.Nh ta có hai điểm cần tìm là (0;1) và (-2;3) Bài 14: Cho hàm số y 2x 1 (1) x 1 Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số (1) Tìm điểm M thuộc đồ thị (C) để tiếp tuyến (C) M với đường thẳng qua M và giao điểm hai đường tiệm cận có tích hệ số góc - Giải: Ta có I(- 1; 2) Gọi M (C ) M ( x0 ; y yI 3 ) k IM M x0 xM xI ( x0 1)2 Hệ số góc tiếp tuyến M: kM y '( x0 ) x0 1 YCBT k M k IM 9 Giải x0 = 0; x0 = -2 Suy có điểm M thỏa mãn: M(0; - 3), M(- 2; 5) Bài 15: Cho hàm số y = x có đồ thị là (C) x 2 a Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số trên b Tìm trên (C) điểm M cho tiếp tuyến M (C) cắt tiệm cận (C) A, B cho AB ngắn Giải: Lop12.net (19) b Gọi M(xo; x0 ) (C) x0 2 x02 x0 x Phương trình tiếp tuyến M: () y = ( x0 2)2 ( x 2)2 x0 ( ) TCĐ = A (2; ) x0 ( ) TCN = B (2x0 –2; 2) cauchy 2 AB (2 x 4; 2 ) AB = 4( x0 2)2 x0 ( x 2)2 x M (3;3) AB = 2 xo M (1;1) Bài 16: x Cho hàm số y = (C) x-1 Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C), biết khoảng cách từ tâm đối xứng đồ thị (C) đến tiếp tuyến là lớn Giải: Giả sử M(x0 ; y0) thuộc (C) mà tiếp tuyến với đồ thị đó có khoảng cách từ tâm đối xứng đến tiếp tuyến là lớn x Phương trình tiếp tuyến M có dạng : y ( x x0 ) ( x0 1) x0 x02 x y 0 ( x0 1)2 ( x0 1)2 x0 Ta có d(I ;tt) = 1 ( x0 1)4 Xét hàm số f(t) = 2t 1 t4 (t 0) ta có f’(t) = (1 t )(1 t )(1 t ) (1 t ) t f’(t) = t = Bảng biến thiên x f'(t) + f(t) từ bảng biến thiên ta có d(I ;tt) lớn và t = hay x0 x0 x0 Lop12.net + - (20) + Với x0 = ta có tiếp tuyến là y = -x + Với x0 = ta có tiếp tuyến là y = -x+4 Bài 17: 2x Cho hàm số y = x 1 Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số Tìm m để đường thẳng y = -2x + m cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt A, B cho tam giác OAB có diện tích (O là gốc tọa độ) Giải: Phương trình hoành độ giao điểm (C) và đường thẳng y = -2x +m 2x 1 2 x m x m x m * (vì x = -1 không là nghiệm) x 1 Phương trình (*) có m2 0, m nên d luôn cắt (C) điểm A, B.Ta có: S OAB x A yB xB y A xA 2 xB m xB 2 x A m 2 2 m 8 m x A xB m x A xB 12 m 12 m 8m 48 m m 2 Bài 18: Cho hàm số y = x có đồ thị là (C) Tìm trên (C) điểm M cho tiếp tuyến M (C) cắt x 2 tiệm cận (C) A, B cho AB ngắn Giải: x0 Gọi M(xo; ) (C) x0 Phương trình tiếp tuyến M: () y = x x0 x0 ( x0 2)2 ( x 2)2 x0 ) x0 ( ) TCN = B (2x0 –2; 2) cauchy 2 AB (2 x 4; 2 ) AB = 4( x0 2)2 x0 ( x 2)2 x M (3;3) AB = 2 xo M (1;1) Bài 19: x2 Cho hàm số y = x 1 a Khảo sát và vẽ đồ (C ) thị hàm số b Xác định a để từ A (0;a) kẻ hai tiếp tuyến đến (C ) cho hai tiếp tuyến tương ứng nằm hai phía trục Ox Bài giải: x 2 b Gọi M ( x ; y ) (C ) y 0 0 x 1 ( ) TCĐ = A (2; Lop12.net (21)