Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị C tại giao điểm của C với trục tung.. - Cực trị: Không có cực trị..[r]
(1)Khảo Sát Hàm Số GV: NGUYỄN QUANG ÁNH NĂM HỌC: 2010-2011 SƠ ĐỒ KHẢO SÁT HÀM SỐ CHUNG Tập xác đinh: Tìm TXĐ hàm số Sự biến thiên: (2) * Xét chiều biến thiên hàm số: - Tính đạo hàm y’ - Tìm điểm đó đạo hàm y’ không xác định - Xét dấu đạo hàm y’và suy chiều biến thiên hàm số * Tìm cực trị * Tìm các giới hạn vô cực, các giới hạn vô cực và tìm tiệm cận(nếu có) * Lập bảng biến thiên.(Ghi các kết tìm vào bảng biến thiên) Đồ thị: Dựa vào bảng biến thiên và các yêu tố xác định trên để vẽ đồ thị ax+ b c 0, ad bc 0 I Hàm số: y= cx+ d Các bước khảo sát hàm số: * TXĐ * Sự biến thiên + Tính y' + Cực trị + Tiệm cận + Bảng biến thiên * Đồ thị Một vài ví dụ: * Ví dụ 1: (Đề TN Năm 2007 lần 2) x Cho hàm số y = x , gọi đồ thị hàm số là (C) a Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số b Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) giao điểm (C) với trục tung GIẢI: a Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số: 1) Tập xác định: D=R\{-2} 2) Sự biến thiên: ( x 2)( x 1)' ( x 2) ' ( x 1) ( x 2) ( x 2) >0 x D - Chiều biến thiên: y’= Hàm số đồng biến trên các khoảng (-; -2) và (-2; + ) - Cực trị: Không có cực trị x x lim y lim 1 lim y lim 1 x x x x - Tiệm cận: x ; x Tiệm cận ngang là y=1; x x lim y lim lim y lim x x x x x ; x Tiệm cận đứng là x=-2 - Bảng biến thiên : x - -2 y' + y - + (3) 3) Đồ thị : Đồ thị cắt Ox (1 ;0) , cắt Oy (0 ; - ) Đồ thị nhận I(-2 ;1) giao hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng b Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) giao điểm (C) với trục tung - Giao điểm đồ thị và trục tung điểm Nhắc lại kiến thức phương trình tiếp tuyến đồ thị lớp 11: M(0 ; - ) - Đạo hàm h.số y=f(x) điểm x0 là hệ số góc 3 tiếp tuyến M0T (C) điểm M0(x0;f(x0)) ’ (0 2) - Phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) hàm số - Hệ số góc M là f (0)= y=f(x) điểm M0(x0; f(x0)) là y-y0=f’(x0)(x-x0), 0 1 đó y0=f(x0) y0= - Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số 1 3 M(0 ; - ) là : y-(- )= (x-0) y= x - * Ví dụ 2: (Đề thi TN năm 2005) 2x 1 Cho hàm số y= x có đồ thị (C) a Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số b Tính diện tích hình phẳng giới hạn trục tung, trục hoành và đồ thị (C) c Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C), biết tiếp tuyến đó qua điểm A(-1; 3) GIẢI: a Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số Tập xác định: D=R\{-1} (4) Sự biến thiên ( x 1)(2 x 1)' ( x 1)' (2 x 1) ( x 1) ( x 1) >0 x D - Chiều biến thiên: y’= Hàm số đồng biến trên các khoảng (-; -1) và (-1; +) - Cực trị: Không có x 1 x 1 lim y lim 2 lim y lim 2 x x 1 x x - Tiệm cận: x ; x Tiệm cận ngang là y=2 x 1 x 1 lim y lim lim y lim x x x 1 x x 1 ; x Tiệm cận đứng đồ thị là x=-1 - Bảng biến thiên: x y' - -1 + + y - Đồ thị: Đồ thị hàm số cắt Ox (- ; 0) và cắt Oy (0 ; 1), nhận điểm I(-1; 2) là giao hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng (5) b Tính diện tích hình phẳng giới hạn trục tung, trục hoành và đồ thị (C) 0 x 1 0 1 x 1 dx 1 (2 x 1)dx 2 x 12 ln( x 1) 12 Diện tích hình phẳng S= = 1-ln2 (đv dt) c Viết phương trình tiếp tuyến (C), biết tiếp tuyến qua A(-1 ; 3) Đường thẳng d qua điểm A(-1; 3) với hệ số góc k có phương trình là: y = k(x + 1) + Để d tiếp xúc với (C) thì hệ phương trình sau phải có nghiệm: x+1 ¿2 x +1 ¿ =k ( x +1)+ ( x+ 1)+3 x +1 ¿ x +1¿ x =−3 x+1 ¿2 ¿ k=1 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ x +1 ¿ = ¿ x +1 ¿ ¿ { (6) y= (x + 1) + y = 13 x+ 4 x +1 x −2 a Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số đã cho b Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C), biết hệ số góc tiếp tuyến – GIẢI: a Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số * TXĐ: D=R\{2} * Sự biến thiên: ' x − 2¿ ¿ x − 2¿ x −2 ¿2 ¿ - Chiều biến thiên: y’= ¿ = < x D −5 ' x +1 ¿ −(2 x+ 1) ¿ ¿ ( x − 2)¿ ¿ Hàm số nghịch biến trên (-; 2) và (-2; +) - Cực trị: hàm số không có cực trị x 1 x 1 lim y lim lim y lim x x x x - Tiệm cận: x ; x Tiệm cận ngang là y=2 x 1 lim y lim 2 x x x nên x=2 là tiệm cận đứng - Bảng biến thiên: x - + y' y + - * Đồ thị: - Đồ thị cắt trục tung (0;- ) - Đồ thị cắt trục hoành tại(- ;0) - Đồ thị nhận giao điểm hai đường tiệm cận (2;2) làm tâm đối xứng Ví dụ 3: (Đề thi TN năm 2009) Cho hàm số y= b Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị: Phương trình tiếp tuyến điểm M0(x0; f(x0)) là: y-y0=f’(x0)(x-x0) 5 ( x 2) ’ Ta có: f (x )=-5 1=(x -2)2 0 x0 1 y0 x 3 y 7 x02-4x0+3=0 Vậy phương trình tiếp tuyến (C) qua hai điểm M1(1;-3) và M2(3;7) (7) - Phương trình tiếp tuyến (C) M1(1;-3): y-(-3)=-5(x-1) y=-5x+2 Phương trình tiếp tuyến (C) M2(3;7): y-7=-5(x-3) y=-5x+8 Bài tập: 3.1 Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: x+2 - 2x a y = x + b y = 2x - 2x + c y = - 3x d y = 2x - 1+ 2 x+1 2-x e y = f y = 2x x y y x x g h 2x 2x i y = x j y = x x 2 x y y x 1 x 1 k m 3.2 (Đề thi TN GDTX năm 2007) 3x Cho hàm số y= x , gọi đồ thị hàm số là (C) a Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số b Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) điểm M(1;− 7) (2m 1) x m x 3.3 (Đề thi ĐH Khối D năm 2002) Cho hàm số y= (1) (m là tham số) a Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số (1) ứng với m = -1 b Tính diện tích hình phẳng giới hạn đừờng cong (C) và hai trục tọa độ c Tìm m để đồ thị hàm số (1) tiếp xúc với đường thẳng y = x x 1 2x 3.4 (Đề thi đại học năm 2011) Cho hàm số Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số đã cho Chứng minh với m đường thẳng y = x + m luôn cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt A và B Gọi k1, k2 là hệ số góc các tiếp tuyến với (C) A và B Tìm m để tổng k1 + k2 đạt giá trị lớn x 1 y 2x 3.5 (Đề thi TN THPT năm 2011) Cho hàm số 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số đã cho 2)Xác định tọa độ giao điểm đồ thị (C) với đường thẳng y x y II Hàm số: y = f(x) = ax3 + bx2 + cx + d (a 0): Lý thuyết : (8) Tập xác định: D = R Sự biến thiên: Chiều biến thiên: - y’ = 3ax2 + 2bx + c + Xét dấu y’ chiều biến thiên đồ thị Cực trị: Nếu có Các giới hạn vô cực: lim y = + lim y = - + a > 0: x ; x lim y = - lim y = + + a < 0: x ; x Bảng biến thiên: a>0 x - x1 x2 + x - y’ + 0 + y’ ycđ + + y - yct y a<0 x1 - + x2 ycđ yct - Tính lồi lõm và điểm uốn đồ thi: y’’=0 x=? xét y’’> đồ thị lõm, y’’<0 đồ thị lồi Các dạng đồ thị: a>0 a<0 y y’ = có nghiệm phân biệt O y x O y y’ = có nghiệm kép y x x O y’ = có vô nghiệm O O y y x + - O Đồ thị: Có tâm đối xứng I(x0;f(x0)) với x0 là nghiệm y’’ = (gọi là điểm uốn đồ thị) Một số ví dụ: 2.1 (Đề TN Bổ túc năm 2008) Cho hàm số y = x3 − 3x2 +1 a Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số b Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm có hoành độ x=3 Giải: a Khảo sát đồ thị: * TXĐ: D=R * Sự biến thiên: - Chiều biến thiên: (9) x 0 y'=3x2-6x=3x(x-2); y’=0 x 2 Trên các khoảng (-; 0) và (2; +) y’>0 nên hàm số đồng biến, trên khoảng (0;2) y’<0 nên hàm số nghịch biến - Cực trị: Hàm số đạt cực đại x=0; yCĐ=1 Hàm số đạt cực tiều x=2; yCT=-3 - Các giới hạn vô cực: lim y lim x (1 ) x x x x =- lim y lim x (1 ) x x x x =+ - Bảng biến thiên: x - + ’ y + 0 + + y - -3 - Tính lồi lõm và điểm uốn đồ thi: y’’ = 6x - 6, y’’ = x = y’’> x > 1, y’’< x < Vậy đồ thị hàm số lõm trên khoảng (1; + ∞) , lồi trên khoảng (−∞; 1) và có điểm uốn I(1; - 1) * Đồ thị: - Nhận I(1:-1) làm tâm đối xứng b Viết phương trình tiếp tuyến điểm có hoành độ x=3 y'(3)=9; y(3)=1; Phương trình tiếp tuyến đồ thị C qua điểm M(3;1) là: y-yM=f’(xM)(x-xM) y-1=9(x-3) y=9x-26 2.2 (Đề thi tốt nghiệp bổ túc năm 2006) a Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số y = x3 + 3x2 b Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị (C), trục hoành và các đường thẳng x= −2, x = −1 Giải: a Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số: (10) * TXĐ: D=R * Chiều biến thiên: x 0 - Sự biến thiên: y’=3x2+6x=3x(x+2); y’=0 x + Trên các khoảng (-; -2) và (0;+) y’>0 nên hàm số đồng biến, trên khoảng (-2;0) y’<0 nên hàm số nghịch biến - Cực trị: Hàm số đạt cực đại x=-2, yCĐ=4; Hàm số đạt cực tiểu x=0, yCT=0; - Các giới hạn vô cực: 1 lim y lim x (1 ) lim y lim x (1 ) x x x x =-; x x =+; - Tính lồi, lõm và điểm uốn đồ thị: y’’=6x+6=6(x+1); y’’=0 x=-1 x - -1 + y’’ + Đồ thị lồi Điểm uốn lõm - Bảng biến thiên: x y’ y - + - -2 - 0 + + + * Đồ thị: Đồ thị hàm số nhận điểm U(-1;2) làm tâm đối xứng Đi qua các điểm (-2;0); (0;0);(-3;0) b Tính diện tích hình giới hạn đồ thị, trục hoành và x=-2;x=-1 Vì x3+3x2>0 x[-2;-1] nên diện tích hình phẳng cần tìm là: 1 1 1 13 ( x 3x )dx ( x x ) ( 1) ( 1)3 ( 2)4 ( 2)3 2 =(4 2 = )-( )= đvdt 2.3 (Đề thi tốt nghiệp THPT phân ban năm 2006) a Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số y = −x3 + 3x2 b Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm phương trình −x3 + 3x2−m = c Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị (C) và trục hoành GIẢI: (11) a Khảo sát và vẽ đồ thị * TXĐ: D=R * Chiều biến thiên: x 0 - Sự biến thiên: y’=-3x2+6x=-3x(x-2); y’=0 x 2 2.4 (Đề thi tốt nghiệp THPT năm 2004) Cho hàm số y= x3-x2 có đồ thị là (C) a Khảo sát hàm số b Viết phương trình các tiếp tuyến (C) qua điểm A(3;0) c Tính thể tích vật thể tròn xoay hình phẳng giới hạn (C) và các đường y=0, x = 0, x = quay quanh trục Ox 2.5 (Đề thi tốt nghiệp THPT phân ban năm 2008) Cho hàm số y = 2x3 + 3x2 −1 a Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số b Biện luận theo m số nghiệm thực phương trình 2x3 + 3x2 −1= m 2.6 (Đề thi tốt nghiệp THPT không phân ban lần năm 2007) Cho hàm số y = −x3 + 3x2 − , gọi đồ thị hàm số là (C) a Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số b Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) điểm uốn (C) 3 x x 5 (Đề thi tốt nghiệp THPT 2010) Cho hàm số y= a Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho b Tìm các giá trị tham số m để phương trình x3 – 6x2 + m = có nghiệm thực phân biệt (Đề thi tốt nghiệp bổ túc năm 2003-2004) Cho hàm số y=x3-3mx2+4m3 có đồ thị (C) , m là tham số Khảo sát và vẽ đồ thị (C1 ) hàm số m = Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C1) điểm có hoành độ x = Xác định m để các điểm cực đại và điểm cực tiểu đồ thị (Cm) đối xứng qua đường thẳng y = x (12) (Đề thi tốt nghiệp THPT không phân ban 2006) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số y = x3 − 6x2 + 9x Viết phương trình tiếp tuyến điểm uốn đồ thị (C) Với giá trị nào tham số m, đường thẳng y = x + m2 −m qua trung điểm đoạn thẳng nối hai điểm cực đại và cực tiểu đồ thị (C) (Đề thi tốt nghiệp bổ túc lần năm 2007) Cho hàm số y = x3 −3x+2, gọi đồ thị hàm số là (C) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) điểm A(2;4) (Đề thi tốt nghiệp bổ túc năm 2009) Cho hàm số y=x3-3x2+4 Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số đã cho Tìm toạ độ các giao điểm đồ thị (C) và đường thẳng y=4 III Hàm số bậc bốn y=ax4 + bx2 + c: Sơ đồ khảo sát hàm số: - TXĐ: D = R - Sự biến thiên: + Chiều biến thiên: Tính y’ = 4ax3 + 2bx = 2x(ax2 + b) Xét dấu y’ hàm số đồng biến nghịch biến + Cực trị: Hàm số luôn có cực trị Hàm số có cực trị y’=0 có nghiệm phân biệt ab < Hàm số có cực trị y’=o có nghiệm phân biệt ab Điểm uốn: Hàm số có điểm uốn y’’=o có nghiệm phân biệt ab<0 Hàm số không có điểm uốn y’’=o vô nghiệm nghiệm kép ab0 y = + , lim y = + + Giới hạn vô cực: a > x lim →− ∞ x →+∞ lim y lim y =- a<0 = - , x →− ∞ - Bảng biến thiên: a>0 x - ' y y + x1 + x →+∞ x2 yCĐ - - - x1 + + + yCT a<0 x y' x3 yCT + x2 - x3 + + (13) y yCĐ yCĐ - yCT - - Đồ thị: Dạng đồ thị a>0 y Phương trình y' = có ba nghiệm phân biệt a<0 y O x O y Phương trình y' = có nghiệm x y O x O Một số ví dụ: 2.1.Ví dụ 1: (Đề TN THPT 2007) Cho hàm số y = x4 – 2x2 + 1, gọi đồ thị hàm số là (C) a Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số b Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) điểm cực đại (C) Giải: a - TXĐ: D=R - Sự biến thiên: + Chiều biến thiên: y’ = 4x3 – 4x = 4x(x2 – 1) = 4x(x+1)(x-1) x=0 y' = 4x(x+1)(x-1) = x=−1 x=1 ¿ Trên các khoảng (-; -1) và (0; 1), y’ < nên hàm số nghịch biến Trên các khoảng (-1;0) và (1; + ), y’ > nên hàm số đồng biến + Cực trị: Hàm số có hai cực tiểu x = - và y(-1) = 0, x = và y(1) = Hàm số có cực đại x = và y(0) = 1 Điểm uốn: y’’ = 12x2 – = 4(3x2-1), y’’ = x = ± √3 + Giới hạn vô cực: lim y = lim x − x +1 = + , lim x −2 x2 +1 = + x →− ∞ x →− ∞ - Bảng biến thiên: x y' x →+∞ 1 + 0 + + x (14) y + + 0 - Đồ thị: Nhận trục tung làm trục đối xứng Cắt Ox (-1;0) và (1;0), cắt Oy (0;1) Các điểm khác: (-2; 9) và (2; 9) b Phương trình tiếp tuyến đồ thị điểm M(x0; y0) có dạng: y-y0 = f’(x0)(x-x0) Ta có điểm cực đại (0;1) nên f’(x0) = f’(0) = y – = 0(x-0) y = 2.2 Ví dụ 2: (Đề TN THPT 2012) y f ( x) x x Cho hàm số a Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số đã cho b Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) điểm có hoành độ x0 biết f ''( x ) Giải: a - TXĐ :D = R; - Sự biến thiên : + Chiều biến thiên : y’ = x3 – 4x; y’ = x = hay x = 2 y (0) = 0; y (2) = -4; y = x = hay x = 2 Trên các khoảng (-; -2) và (0; 2) y’ < nên hàm số nghịch biến Trên các khoảng (-2; 0) và (2; + ) y’ > nên hàm số đồng biến 20 2 , 3 ; Điểm uốn là + Điểm uốn : y” = 3x2 – 4; y” = x = + Giới hạn vô cực : lim y = lim x − x = + , lim x − x = + x →− ∞ x →− ∞ x →+∞ - Bảng biến thiên : x y' y 2 0 0 + + + + + 4 4 y - Đồ thị : -2 -2 -4 x (15) y( 1) b f ''(x ) 3x -4=-1 x 1 Hệ số góc các tiếp tuyến là y’(-1) = và y’(1) = -3, phương trình tiếp tuyến là: 7 5 y 3(x 1) hay y 3(x 1) y 3x hay y 3x 4 4 Bài Tập: 3.1 Khảo sát và vẽ đồ thị các hàm số sau 1) y = x4 – 2x2 + ; 2) y = - x4 – 2x2 4) y = x – 4x + ; 5) y = x4 – 5x2 + 7) y = -x4 + ; 8) y = -x4 + 10) y = x – ; ; ; 3) y = x4 – 3x2 + 6) y = x4 – 4x2 9) y = x4 – 2x2 3.2 Cho hàm số: y = mx4 + (m2 - 9)x2 + 10 (1) a Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) m = b Tìm m để hàm số (1) có ba điểm cực trị 3.3 Cho hàm số: y = x4 - mx2 + m - (1) (m là tham số) a Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) m = b Xác định m cho đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành bốn điểm phân biệt (16)