Đang tải... (xem toàn văn)
Dùng phương pháp tích phân từng phần khi tích phân của chúng ta vừa chứa lẫn lộn các hàm : hàm đa thức, hàm mũ, hàm lôga hoặc chỉ chứa hàm lôga, hàm lượng giác, hoặc chứa hàm vô tỉ.. Nếu[r]
(1)Chương Tích phân 7.1 Các dạng toán nguyên hàm Vấn đề : Chứng minh hàm số F(x) là nguyên hàm hàm số f (x) .c Bài 7.1 : om Cho hàm số f xác định trên K Hàm số F gọi là nguyên hàm f trên K F ′ (x) = f (x) với x ∈ K Chứng minh tb F(x) = sin x + (4x + 5)ex + ng là nguyên hàm hàm số f (x) = cos x + (4x + 9)ex ao tra Chứng minh hàm số F(x) = |x| − ln(1 + |x|) là nguyên hàm hàm số f (x) = Chứng minh là nguyên hàm hàm số f (x) = x2 x2 > < ln x − +1 :1 F(x) = < x ln x : khix > khix = x + |x| khix > khix = trên [0; +∞) √ Bài 7.2 : Xác định các hệ số a, b, c để hàm số F(x) = (ax2 + bx + c) − 2x là nguyên hàm hàm số f (x) = √ x − 2x 2x − Bài 7.3 : Tìm m để hàm số F(x) = ln(x2 + 2mx + 4) là nguyên hàm hàm số f (x) = x − 3x + Cho hàm số f (x) = −xex và F(x) = (ax + b)ex Với giá trị nào a và b thì F(x) là nguyên hàm f (x) Vấn đề : Sử dụng bảng nguyên hàm Ta có bảng nguyên hàm các hàm số sau Lop12.net 149 (2) CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC R dx = C; R R dx = x + C; (b) R xα+1 (ax + b)α+1 + C; (ax + b)α dx = +C α+1 a α+1 (với α , −1, a , 0); (c) R dx = xα dx = R x dx = ln |x| +C; R (d) 1 dx = ln |ax + b| +C (a , 0); ax + b a Với a là số khác (a) R sin(ax + b) dx = − cos(ax + b) + C; a R R R cos(ax + b) dx = e(ax+b) dx = α x dx = sin(ax + b) + C; a e(ax+b) + C; a αx + C (với < α , 1); ln α R dx = tan x + C; cos2 x R (b) dx = − cot x + C sin2 x (a) Bài 7.4 : Tìm nguyên hàm các hàm số sau : √ x+1 x− √ 2x − ; ex e3−2x ; x+1 ; x3 + ; − x2 11 12 14 x4 − ; x3 − x π (1 + sin 2x); 16 sin x sin 2x cos 5x; 2 ; 3x2 + 3x + ; x3 − 3x + 17 sin6 x + cos6 x; 18 √ ; + sin x − cos x 19 sin x cos2 x tb ; (1 + x)(1 − 2x) − x2 x ; x(1 + x)2 15 sin x − 1 10 √ − √3 ; x x cos 2x ; sin x + cos x 13 x(x + 1)(x + 2); ; sin x cos2 x om √ x+1 √3 ; x .c x+ Bài 7.5 : ng Vấn đề : Tìm số C Tìm nguyên hàm F(x) hàm số f (x) = x3 + 3x2 + 3x − 1 , biết F(1) = x + 2x + ao tra + sin x , biết F(0) = + cos x Bài 7.6 : Tìm các hàm số thỏa mãn các điều kiện sau : Tìm nguyên hàm F(x) hàm số f (x) = f ′ (x) = 2x + 1, đồ thị nó qua điểm (1; 5); f ′ (x) = − x2 và f (2) = Bài 7.7 : Tìm hàm số y = f (x) có đồ thị qua điểm (−1; 2) và thỏa mãn f ′ (x) = ax + b , đây f (1) = và f ′ (1) = x2 Vấn đề : Phương pháp nguyên hàm phần Công thức Z u dv = uv − Z v du Về việc chọn u, v nào chúng ta xem phần phương pháp tích phân phần Bài 7.8 : Tính các nguyên hàm sau : TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Lop12.net Trang 150 (3) CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC R R (1 − 2x)e3x dx; (x2 + 2x − 1)e x dx; x sin(2x + 1) dx; R (x − 1) sin x dx; 11 x ln(1 − x) dx; R √ x ln2 x dx; R R 10 R 12 R e x sin x dx; 15 e3x sin 5x dx; 16 e3x cos 7x dx; 17 18 xe cos x dx; x R x ln x dx; 22 x2 e x dx; 23 x cos x dx; R 24 xe sin 2x dx; x 25 + sin x x 19 e dx; + cos x R 20 sin(ln x) dx; √ 21 ln x + + x2 dx; xe sin(2x + 1) dx; R x 13 x sin dx; R 14 x2 cos x dx; e x cos x dx; R √ 2x R R 1+x dx; 1−x cos (ln(tan x)) dx; R x cos x R 26 27 x ln sin2 x dx; x2 x dx; xe−x dx; R 25e3x cos 4x dx Vấn đề : Phương pháp đổi biến số Cho hàm số u = u(x) có đạo hàm liên tục trên [a; b] và hàm số f (u) liên tục cho f [u(x)] xác định trên [a; b] Khi đó F là nguyên hàm f , tức R f (u) du = F(u) + C thì Z f [u(x)] u′ (x) dx = F [u(x)] + C om Việc chọn u = u(x) nào chúng ta xem thêm phần đổi biến tích phân R 11 dx; − 3x R √ dx; 2x + R −4x √5 e + 3x + dx; R cos π x − 6x + dx; (2x + 1)4 dx; 2x(x2 + 1)3 dx; R √ x 3x2 dx; x3 + R x 14 dx; (3x + 9)4 √ R 15 2x e x2 +4 dx; 13 ao tra R R ng R √ 3x2 x3 + dx; √ R 12 2x3 − x4 dx; 2(4x − 1)6 dx; tb c Bài 7.9 : Tìm các nguyên hàm sau : dx; x3 − √ R x x − dx; √ R 10 2x x2 + dx; R 2x + 16 dx; x2 + 4x − √ R 17 x − t2 dx; 18 R 19 20 R 21 cos xesin x dx; ex dx; x e +1 cos x sin4 x dx; √ x x + dx; R cos x dx; + sin x R x 23 dx; x2 + √ R 24 (x + 1) x − dx; 22 25 26 27 28 29 30 R tan x sin2 x R R dx; 4x dx; (1 − 2x2 ) 4x dx; (1 − 2x2 )2 R ln x x dx; R e−x dx; + e−x R dx x ln x R x √ dx; 2x + R x dx; (1 + x2 )2 R dx ; e x − e−x Bài 7.10 : Tính các nguyên hàm sau : R (2x + 1)20 dx; x dx; x2 + √ R x2 x3 + dx; R e3 cos x sin x dx; ln4 x dx; x R e2x √ dx; ex + √ R 3x − 3x2 dx; R R 9x2 √ dx; − x3 √ √ dx; x(1 + x)3 Lop12.net Download tài li u h c t p t i : http://aotrangtb.com 10 11 12 13 R ln2 x x dx; Trang 151 (4) CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC 14 15 16 R R R √3 R sin x cos x √ , (a2 , b2 ); a sin2 x + b2 cos2 x R dx 18 ; cos x sin2 x R √ 19 x + x2 dx; + ln x dx; x 17 cos x sin3 x dx; cos x + sin x √ dx; sin x − cos x 20 21 22 R R R sin2 x cos3 x dx; e3 sin x cos x dx; (3x + 2)10 dx Bài 7.11 : Tính các nguyên hàm sau : R x3 e−x dx; √ sin x dx; R ln(ln x) sin(ln x) dx; √ cos2 x dx; R 1 − dx; ln2 x ln x R x cos x dx; sin2 x R √ 10 sin x + dx; dx; x R cos (ln x) dx; e √ x R dx; 11 R ln (tan x) cos2 dx; x x x 12 sin cos dx; 3 R 1 13 sin cos dx; x2 x x R 14 R 15 R dx ; sin x + cos x R dx ; − sin x + cos x dx ; + cos x 16 17 R sin x + cos x + sin x + cos x + dx 7.2 Các dạng toán tích phân om Vấn đề : Sử dụng tích phân Z b .c Nếu F là nguyên hàm là nguyên hàm f trên [a; b] thì f (x) dx = F(x) R2 R R2 R2 2x2 + cos x dx; (2 cos x − sin 2x) dx; dx; x(x + 1) ex +1 dx; π R R8 4x − √3 x2 R1 10 (sin 6x sin 2x − 6) dx; 3x − e x R4 ln R e2x+1 = F(b) − F(a) ng π x(x + 1)2 dx; π ao tra Bài 7.12 : Tính các tích phân sau : a tb a b π R π 11 dx; dx ; x (x + 1) sin x dx; − cos x R2 √ π 12 dx; R3 π π 13 R4 dx ; (1 + tan2 x) cos4 x π 14 R2 cos2 2x dx; − π2 π x3 − 2x2 + x dx; dx ; sin x cos2 x 15 R2 sin 2x sin 6x dx; − π2 π 16 R6 tan x dx Vấn đề : Tích phân hàm chứa dấu trị tuyệt đối Công thức tách cận tích phân Z b f (x) dx = Z a Tích phân chứa dấu trị tuyệt đối Rb a c f (x) dx + a Z b f (x) dx c | f (x)| dx (giả sử a > b) (a) Giải phương trình f (x) = 0, các nghiệm xi ∈ [a; b], giả sử a ≤ x1 < x2 < · · · < xn ≤ b TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Lop12.net Trang 152 (5) CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC (b) Dùng công thức tách cận Zb a Zx1 | f (x)| dx = | f (x)| dx + a Zx1 = Zx2 | f (x)| dx + · · · + x1 Zx2 f (x) dx + a Zb f (x) dx + · · · + x1 xn Zb | f (x)| dx f (x) dx xn Chú ý : Sau tách cận chúng ta có thể phá dấu giá trị tuyệt đối không thiết phải đưa giá trị tuyệt đối ngoài tích phân Bài 7.13 : Cho R5 f (t) dt = −3 và R7 f (u) du = 4, tính R7 f (x) dx Xác định hàm số f (x) = A sin πx + B, biết f ′ (1) = và R2 f (x) dx = Bài 7.14 : Cho hàm số f (x) = a.3 x + b, biết f ′ (0) = và R2 f (x) dx = 12 Tìm các giá trị a và b Cho hàm số f (x) = a sin 2x + b, biết f ′ (0) = và R2π f (x) dx = Tìm các giá trị a và b Cho Cho a ∈ R4 f (x) dx = và R6 f (t) dt = Tính tích phân I = R1 π 3π ; và thoả mãn cos(x + a2 ) dx = sin a Tính giá trị a 2 0 √ R2 + x2 dx; |x − 2| dx; |x2 − 1| dx; R4 √ 1 − cos 2x dx; R |1 − x2 | −3 c R2π √ |x2 − x| dx; R3 11 tb R2 R5 −2 12 x2 − 6x + dx; 10 R2 |2 x − 4| dx; 13 16 − |x| dx; Rπ √ 17 π |x2 + 2x − 3| dx; 15 tan2 x + cot2 x − dx; 19 Rπ √ − sin 2x dx; √ cos x cos x − cos3 x dx; π 18 R3 √ R2 − π2 R2 − π2 π 14 x3 − 4x2 + 4x dx; + cos x dx; − sin x dx; −π R2π √ π R1 √ −1 (|x + 2| − |x − 2|) dx; R3 √ R3 ng |1 − x| dx; ao tra R2 f (x) dx Bài 7.16 : Tính các tích phân sau : R6 om Bài 7.15 : | sin x| dx; Rπ √ + cos 2x dx; 20 R2π √ + cos x dx Vấn đề : Phương pháp tích phân phần Zb b u dv = uv − Zb a a v du a Dùng phương pháp tích phân phần tích phân chúng ta vừa chứa lẫn lộn các hàm : hàm đa thức, hàm mũ, hàm lôga (hoặc chứa hàm lôga), hàm lượng giác, chứa hàm vô tỉ Nếu chứa lôga chúng ta thường đặt u là lôga và dv là phần còn lại đặt u là đa thức và dv là phần còn lại Chú ý : • Tích phân I = R e x sin x dx đặt u = e x và dv = sin x dx ; • Trước dùng tích phân phần chúng ta phải kiểm tra xem có làm phương pháp đổi biến số không đã; Lop12.net Download tài li u h c t p t i : http://aotrangtb.com Trang 153 (6) CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC • Một cách tổng quát, chúng ta đặt u là biểu thức dễ xác định đạo hàm, dv là phần còn lại dễ xác định nguyên hàm Bài 7.17 : Tính các tích phân sau : ln R2 xe2x dx; R1 10 (2x2 + x + 1)e x dx; R 11 (1 − x) sin x cos x dx; R4 12 x sin x dx; 13 2x ln x dx; x + 1e √ x+1 Rπ dx; 19 14 x3 ln2 x dx; √ x dx; 20 (x2 + 2x + 3) cos x dx; e2x sin 3x dx; (x − 1) sin x dx; 21 22 16 e cos 2x dx; R2 x − sin x π Rπ (ln(x − 1) − ln(x + 1)) dx; e x cos2 x dx; R1 e x sin2 (πx) dx; + cos x dx; 23 R2 x2 cos x dx; π 24 R3 (2 − x) sin x dx c R3 π π x √ + x2 dx; x cos x sin2 x dx; 0 Rπ R2 x ln x + om 15 R1 π π R2 x ln2 x dx; π R2 Re 2x ln(x − 1) dx; 1 Re 18 (2x − 1)e−2x dx; R3 √ R1 R5 0 R3 17 π R1 0 π (x2 + 1)e2x dx; 0 R1 Phương pháp đổi biến số đơn giản f (ax + b) dx = ao tra 1R f (ax + b) d(ax + b); a R 1R (2x − 3)3 VD : (2x − 3)2 dx = (2x − 3)2 d(2x − 3) = + C 2 Chú ý : d(ax + b) = a dx ⇒ dx = d(ax + b) a R (b) f (xn+1 )xn dx = f (xn+1 ) d(xn+1 ), đặt t = xn+1 ; n+1 R R VD : I = (4x3 + 1)2 x5 dx = (4x3 + 1)2 x3 x2 dx 1−t Đặt t = 4x3 + ⇒ dt = 12x2 dx và x3 = 3 R 1−t dt Vậy I = t2 = ··· 12 (c) Về có chúng ta thường đặt t là toàn căn, lũy thừa hai vế cho căn; biểu thức các hàm (a) R ng tb Vấn đề : Phương pháp đổi biến số sin, cos, tan, cot, ln lũy thừa là phức tạp thì ta thường đặt t là biểu thức phức tạp đó VD : √ √ R t dt t dt x2 2x3 + dx, đặt t = 2x3 + ⇒ t2 = 2x3 + ⇒ 2t dt = 6x2 dx ⇒ x2 dx = , nên I = t = ··· 3 R R R dt 2 ii I = x3 e x +1 dx, đặt t = x2 + ⇒ dt = 2x dx và x2 = t − 1, nên I = x2 e x +1 x dx = (t − 1)et dùng phương pháp nguyên hàm phần R R 1 dx 1R iii I = sin cos dx, đặt t = ⇒ dt = − , nên I = − sin t cos t dt = − sin 2t dt x2 x x x x i I = R Phương pháp đổi biến số tích phân lượng giác Tích phân chứa các hàm số lượng giác sin, cos, tan, cot chúng ta biến đổi các dạng sau : TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Lop12.net Http:/a/ otrangtb.com (7) CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC (a) R f (sin x) cos x dx, hàm f (sin x) là tính theo sin x (chú ý cos2 x = − sin2 x và nói chung lũy thừa bậc chẵn cos x đưa sin x), đặt t = sin x ⇒ dt = cos x dx (tức là tích phân chứa sin x mũ lẻ) (b) R f (cos x) sin x dx, hàm f (cos x) là tính theo cos x (chú ý sin2 x = − cos2 x và nói chung lũy thừa bậc chẵn sin x đưa cos x), đặt t = cos x ⇒ dt = − sin x dx (tức là tích phân chứa cos x mũ lẻ) R dx dx (c) f (tan x) , đặt t = tan x ⇒ dt = (tức là tích phân có lũy thừa sin x và cos x cùng tính chẵn lẻ) Trường cos x cos2 x 2t − t2 hợp đặc biệt, tích phân chứa tan x, sin 2x, cos 2x đặt t = tan x, đó sin 2x = , cos 2x = 1+t + t2 R dx dx (d) f (cot x) , đặt t = cot x ⇒ dt = − sin x sin x π (e) Tích phân chứa (sin x + cos x) dx sin x + dx đặt t = sin x − cos x π (f) Tích phân chứa (sin x − cos x) dx sin x − dx đặt t = sin x + cos x R cos x dx R R dx 1 = = cos x dx = cos x dx, đặt t = sin x 2 cos x cos x cos x − sin2 x √ Phương pháp đổi biến với tích phân chứa ax2 + bx + c √ π π (a) Nếu chứa a2 − x2 đặt x = a sin t, − ≤ t ≤ 2 √ a π π 2 (b) Nếu chứa x − a đặt x = , − ≤ t ≤ và t , sin t 2 √ π π (c) Nếu chứa x2 + a2 đặt x = a tan t, − < t < 2 R om VD : I = VD : √ √ dx π π √ , đặt x = sin t (− ≤ t ≤ ) ⇒ dx = cos t dt Ta : 2 2−x √ √ √ √ √ R cos t dt R 2 √ − x = − sin t = cos t = cos t, và I = = dt = t + C cos t √ R √ π π dt (b) I = x2 + dx, đặt x = tan t, − < t < , nên dx = và x2 + = Ta : cos2 t cos t R dt R R d(sin t) (sin t + 1) − (sin t − 1) I= = = d(sin t) = cos3 t (sin t + 1)(sin t − 1) (1 − sin2 t)2 √ R dx (c) I = √ , đặt x = tan t và ta I = ln |x + x2 + a2 | + C x2 + a x (d) Một cách tổng quát tích phân chứa sin x, cos x, tan x, cot x chúng ta đặt t = tan .c R ao tra ng tb (a) I = Phương pháp đổi biến với tích phân chứa hàm mũ Ta đặt t là hàm mũ đó, chẳng hạn : R t dt ex dt dx, đặt t = e x ⇒ dt = e x dx = t dx ⇒ dx = , thì I = = x e +1 t t+1 t R dx R t lndt2 dt x x (b) J = , đặt t = ⇒ dt = ln dx = t ln dx ⇒ dx = , thì J = = 2x + t ln t+1 (a) I = R Phương pháp đổi biến tích phân chứa lôga và phân thức R dx dx I = f (ln x) , đặt t = ln x, ta dt = x x R ln x + R dx VD : Tính I = dx, đặt t = ln x + ⇒ dt = , I = t dt x x Bài 7.18 : Tính các tích phân sau : Lop12.net Download tài li u h c t p t i : http://aotrangtb.com Trang 155 (8) CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC π 22 12 3x + dx; 0 R1 13 x3 (1 + x4 )3 dx; 3x3 xe 14 dx; π R2 sin x dx; + cos x a 15 dx R 16 √ , (a > 0); a − x2 Ra dx , (a > 0); 2 a +x R1 R2 R1 10 11 π R √ 17 R8 √ √ 18 R1 19 24 x + 2x + 10x + dx; x2 + 2x + x+1 √3 dx; 3x + 20 π R 21 π R dx; 25 22 R2 26 27 π √ dx; cos2 x + sin2 x dx ; (sin x + cos x)2 31 13 sin x sin 2x cos 5x dx; 14 15 R3 √ + cos x 17 5π 10 tb R2 dx dx ; + sin x + cos x R4 sin 2x + cos 2x + π 25 dx; cos 2x − sin 2x + R2 cos x + sin x + 2 sin x + cos x + dx; dx; π 26 cos x √ dx; + cos2 x R6 tan4 x π 27 tan2 x + tan4 x dx; R4 R2 sin x + cos x + 29 dx; cos 2x dx ; cos4 x R2 sin3 x cos2 x dx; π 18 sin x + cos x + R2 sin x − cos x cos x + sin x + 20 π R √ √ ; sin 2x + cos2 x + − √ π π R3 sin x − 11 dx; cos x π 12 24 28 dx x e π π 19 sin 2x sin 5x dx; Re2 ln(ln x) 41 π dx; π − π2 R12 ; dx ; (sin x + cos x)2 R4 dx; xe x cos x dx; π π π R2 R4 e2x sin2 (e x ) dx; 0 π R2 sin3 x R2 tan2 x + cot2 x − dx; Rπ 40 23 dx ; + cos 2x + cos x x dx ; + x2 + 0 π sin x + cos x dx; π ln R2 39 e x ln(e x + 1) dx; cos3 x x4 √ dx; ex + cos 3x cos 5x dx; R2 sin3 x π R π 16 π π cos4 x dx; π R2 R1 38 xe x R4 x sin x dx sin x ln(tan x) dx; π x dx ; + sin 2x π R3 0 π R3 π 32 esin x + cos x cos x dx; dx; 37 ng 12 cos10 x + sin10 x − sin4 x cos4 x dx; Rπ 36 cos x ln(sin x) dx ; π cos 3x tan x dx; π R3 x R2 (x + sin2 x) cos x dx; π − π2 35 cos(ln x) dx; ln R3 R1 (1 + sin x)1+cos x dx; + cos x 0 esin x + cos x cos x dx; ao tra Rπ 30 0 29 sin 2x sin4 x cos4 x dx; R2 π R4 ; π Re + x ln x R2 ln π 28 + sin x cos x dx; π Re R2 34 x3 e x dx; 1+x dx; x R3 R1 π dx; Bài 7.19 : Tích phân các hàm số lượng giác Rπ x cos2 x 0 + ln x dx; x π √ x5 + x2 dx; Re5 ln(ln x) cos x dx; e2 √ x2 − x2 dx; R1 √ 33 √ e x − dx; x(1 − x)5 dx; R3 Re dx ; x +x+1 ln R2 0 x Re ln2 x R4 23 2x √ dx; + x2 R1 R2 − cos2 x π R3 x dx π2 ; om R2 sin 2x dx .c R3 √ 21 π R dx; π 30 R6 π sin x dx; + cos2 x 31 sin2 x cos4 x dx; 32 R4 π R2 − π2 √ cos x cos x − cos3 x dx; TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Lop12.net π 33 cos7 x dx; dx cos x cos x + R2 π π ; dx √ ; + sin x − cos x R4 sin x dx π 22 R4 sin5 x + sin 2x ; dx sin 2x − sin x Trang 156 (9) CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC Bài 7.20 : Tích phân hàm vô tỉ √ R2 R1 dx É R1 21 22 1−x dx; 1+x 23 24 25 11 R2 12 R16 x dx √ ; 1−x 26 x dx √ ; 1+ x−1 27 28 16 2x2 √ dx; 1+x R9 √3 R2 R1 29 ao tra 15 −x(x + 2) dx; 2x − x2 dx; x √ dx √ √ ; x+9− x R1 √ x − x2 ; 4− x2 x − x dx; 30 R1 R1 −1 É R1 x x+1 x2 − 2x + R1 √ R5 √ 38 R1 39 40 x2 + x + dx; x2 + x2 − 4x + √ É R1 √ R3 dx x x2 + 41 2x − √ 2R √ 1−x dx; 1+x dx; x √ dx; 1+ 3x 42 R3 43 ; 1+x dx; x3 √ x3 x2 + dx; √ x3 − x2 dx; √ R5 x5 p 3√ dx; 44 √ dx; + 2x − x2 dx dx; (x2 + 8)3 45 p 32 dx; R1 x2 − 2x + 31 √ 1+x dx; 1−x dx √ ; + x + x2 + R2 37 R1 √ R2 dx ; − 2x + 2 x x − 2x + − 2x + R0 √ É 34 36 √ ; (x − 1) x2 − 4x + √ 2+ R0 √ x2 √ dx; − x2 − 12 dx R4 −1 x dx 13 √ ; 1+x R3 √ 14 x3 − 2x2 + x dx; R1 x+ √ R2 x3 − x5 x dx; 2−x tb x− ng R (1 − x) R1 33 ; −1 É −1 √ 10 R1 x2 35 dx √ √ (x2 + x) x + dx; √ x + x2 dx; R2 dx √ √ ; x+1+ x−1 R2 R1 20 √ ; 1+ 3x È R1 dx √ √ ; x+ 3x R64 19 x dx √ ; 1+ 2+x R7 R1 x dx √3 ; x+1 R7 dx √4 ; x 1+ a √ R 18 x2 a2 − x2 dx, với a > 0; 17 x+3 √ dx; x 2x + 3 dx p ; x + + (x + 1)2 om R3 .c R1 (2 − 5x3 )2 dx; dx √n , n ∈ N; + xn xn ) (1 + R1 √7 x7 8x4 + dx; dx √ ; − x2 46 R1 √ x15 + 3x8 dx Vấn đề : Tích phân các hàm hữu tỉ R P(x) dx, với P(x) là đa thức nào đó + bx + c R 2x + 3x − x VD : Tính I = dx x2 + 2x + Xét tích phân dạng ax2 • Chia tử cho mẫu (bậc tử lớn bậc mẫu), Z I= vấn đề là cần tính I1 = R (2x − 1) dx + Z −3x + dx + 2x + x2 −3x + dx + 2x + x2 Lop12.net TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 157 (10) CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC • Tách tử theo đạo hàm mẫu : đạo hàm mẫu là 2x + 2, và tử là −3x + = I1 = − – Với R (2x + 2) dx Z Z (2x + 2) dx +5 x2 + 2x + −3 (2x + 2) + 5, : dx x2 + 2x + R d(x2 + 2x + 2) = ln |x2 + 2x + 2| + C x2 + 2x + x2 + 2x + R dx – Với , ta nhận thấy mẫu x2 + 2x + vô nghiệm, nên x2 + 2x + = (x + 1)2 + (tổng quát : ax2 + bx + c = + 2x + x b ∆ a x+ + ) và ta 2a 4a Z Z dx dx = x2 + 2x + (x + 1)2 + = đặt x + = tan t ⇒ dx = dt và (x + 1)2 + = tan2 t + = , thay vào ta cos t cos2 t Z Dạng tổng quát : R x2 dx = x + 2x + Z dt cos2 t cos2 t (x + 1) dx + Z 3x − dx = 2x2 − 3x + Z om Z dt = t + C dx , đặt x = a tan t + a2 Một ví dụ khác với mẫu là đa thức hai nghiệm phân biệt R 2x3 − x2 + x − VD : Tính I = dx và biến đổi trên ta : 2x2 − 3x + I= Z = (x + 1) dx + Z 4x − 11 dx − 2x2 − 3x + Z dx 2x2 − 3x + R d(2x2 − 3x + 1) 4x − dx = = ln |2x2 − 3x + 1| + C 2x2 − 3x + 2x2 − 3x + R dx 1 2 • Với , nhận thấy mẫu 2x − 3x + có hai nghiệm phân biệt và , nên 2x − 3x + = 2(x − 1) x − 2x2 − 3x + (x − 1) − x − 1 1 1 = (−2) =− Ta biến đổi = − 1 2x − 3x + 2 x − 12 x − (x − 1) x − (x − 1) x − 2 Ta : .c R Z ao tra ng tb • Với dx =− 2x2 − 3x + Z dx dx − x − 12 x − Z =− d x− x− d(x − 1) − x−1 ! = − ln x − − ln |x − 1| + C Và cuối cùng ta xét ví dụ với mẫu là đa thức có nghiệm kép R dx 1R dx R d(x + 1) 1 VD : Tính = = =− + C 2 2x − 4x + 2 (x + 1) (x + 1)2 x+1 Chú ý : • Nếu ax2 + bx + c có hai nghiệm x1 , x2 thì ax2 + bx + c = a(x − x1 )(x − x2 ) • Nếu ax2 + bx + c có nghiệm kép x = x0 thì ax2 + bx + c = a(x − x0 )2 • d(x + a) = dx với số thực a Bài 7.21 : Tính các nguyên hàm sau : R dx ; 3x + R x2 + 3x − −2x + 3 dx; R −2x2 R dx ; −x+1 dx ; x − 4x + TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 R x3 + 5x2 + 3x − R x2 − 6x + 10 x2 Lop12.net x2 + 6x + − 6x + dx; dx; dx ; + 1) R x2 (x R x2 2x − dx; − 3x + Trang 158 (11) CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC R x−1 dx; + 3x + 2)2 R 2x + 10 dx; 9x2 − 6x + R 2x + 11 dx; (x − 4x + 4)3 (x2 12 13 R 3x + (x + R 1)3 dx; 14 x3 dx; (x2 + 1)2 15 x dx ; (x2 + 1)2 R R x2 + 2x + x2 + 16 dx; 17 R x4 − x3 − x R dx; (x2 + 1) dx ; (x − 1)3 (x + 3) Bài 7.22 : Tính các tích phân sau : R1 R1 R2 R1 R2 R1 10 x dx ; x + x2 + 13 R2 − x2 12 1+ x4 dx ; 3x2 − 2x − dx ; x2 − 4x + dx ; x2 − 2x + 15 R4 R1 16 17 R2 −1 18 ; 20 R1 R1 21 (x − 4) dx ; 2x3 − 4x2 + 6x − 12 22 3x + dx; x2 − 9x + 14 23 x dx ; x4 + 4x2 + 24 x2 dx; (1 + x)2 25 dx; x2 + x x−1 x+2 2 (2x + 1)3 R2 (x2 R1 (1 − 3x)4 19 x dx ; +x+1 R4 2x + x dx ; x4 − 5x2 + x2 + R1 dx ; x4 + 4x2 + R1 x2 dx 0 14 dx; R1 x2 26 dx; 27 28 dx; x3 dx ; (x2 + 1)2 R−1 (x2 + 1) dx dx ; 31 ; + 3x − 1)(x + 5x − 1) (11 + 5x)2 (x2 − 4) dx (x2 + 1) dx ; 32 R2 2 2 (x − 3x + 4)(x − 2x + 4) (x + 5x + 1)(x − 3x + 1) R 6x + x + dx; R2 (4x + 2) dx (4x + 1)(x2 + 1) 33 ; 2 (x + x)(x + x + 2) R x + 5x + dx; R2 x(x2 + 2)2 (x2 − 6) dx 34 2 (x + 3x + 2)(x + 9x + 18 R1 4x − dx; 2 R0 x (x + 2)(x + 1) 35 dx; √ √ 2+ −1 x − 3x + R2 x2 + dx; x4 + R1 x dx 36 ; 2 R1 x dx (x + 1) ; (x + 1) R2 5x + 37 dx; R x −1 x − 2x − 3x dx; x + R2 dx R1 2x + 38 ; − 4x x dx; x+1 R2 om −1 3x dx ; x + 2x + R1 29 x5 dx ; 4x + 4x3 + 30 R1 x2 dx; (x + 1)2 39 R2 3x2 − 8x + 13 (x + 3)(x − 1)2 dx ao tra R2 11 c x3 dx ; x2 − 3x + tb R2 ng 1 Vấn đề : Tích phân số hàm đặc biệt Đối với hàm chẵn, lẻ (a) Nếu hàm số y = f (x) là hàm số chẵn, liên tục trên [−a; a] thì Za f (x) dx = −a Za f (x) dx (b) Nếu hàm số y = f (x) là hàm số lẻ, liên tục trên [−a; a] thì Za f (x) dx = −a Nhận xét : Như vậy, trước tính tích phân ta cần chú ý đến hai cận, thấy hai cận đối ta cần để ý đến tính chẵn lẻ hàm số dấu tích phân áp dụng kết khẳng định trên Tích phân kết hợp hàm chẵn và hàm mũ Cho f (x) là hàm số chẵn, liên tục trên [−a; a] Khi đó : Za −a f (x) dx = mx + Lop12.net TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Za f (x) dx Trang 159 (12) CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC Tính bất biến tích phân biến số thay đổi cận cho Ta có hệ thức : Rb a f (a + b − x) dx = Rb f (x) dx a Tích phân hàm tuần hoàn Nếu hàm số y = f (x) liên tục, tuần hoàn với chu kì T thì a+T Z f (x) dx = a ZT f (x) dx Hàm số dấu tích phân có trục đối xứng thẳng đứng Nếu hàm số y = f (x) liên tục trên [a; b] và f (a + b − x) = f (x) thì Zb a+b x f (x) dx = a Đặc biệt : Rπ x f (sin x) dx = Zb f (x) dx a π Rπ f (sin x) dx 20 Tích phân các hàm số đối xứng - tích phân liên kết lượng giác π R2 π f (sin x) dx = Đặc biệt π Z2 sink x = (sin x + cos x)n π cosk x ; (sin x + cos x)n Biến đổi tách đôi hàm số và co cận tích phân R2a f (x) dx = Chứng minh R1 cosk x sin x + cosn x n ( f (x) + f (2a − x)) dx R1 ecos x dx = ecos x dx −1 ao tra Tính các tích phân sau: Z2 ng Bài 7.23 : Ra π sink x = sinn x + cosn x tb Nếu f (x) là hàm liên tục trên [0; 2a], thì Z2 .c f (cos x) dx π Z2 R2 om Nếu f (x) liên tục trên [0; 1] thì Z2 I1 = ln(x + √ Z2 x2 + 1) dx; I2 = −2 cos x ln − 12 1+x 1−x dx Bài 7.24 : Tính các tích phân sau : π R3 cos7 x dx; − π3 − 12 R1 x6 + tan x x2 + −1 Ra x2 −1 R1 −1 ln x + R1 √ + x2 2007 (2 x x2 |sin x| ; 2009 x + π 10 dx; r dx √ ; (e x + 1) − x2 R2 sin x sin 2x cos 5x ex + − π2 3x x 2+x x + cos 6x + sin sin ln 2 2−x x4 sin4 x + cos4 x R2 − π2 R1 −1 √ sin x + a2 − x2 dx (a > 0); R1 −1 π dx; −a R2 dx; x5 − x3 + x − sin x dx; x4 + x2 + + cos x dx ; + 1)(x2 + 1) TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 11 √ R1 x ln + + x2 −1 12 √ dx; (3 x + 1) + x2 R1 x2 ln(1 + x2 ) −1 13 dx; 2x + R2 x ln − 12 Lop12.net 1+x 1−x ex + dx; dx; Trang 160 (13) CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC π 14 R2 x2 cos x ex + − π2 π dx; 27 ln(1 + tan x) dx; 28 R1 ln(1 + x) 1+ x2 29 + cos10 x dx; √ 5π 20 R4 π 21 22 Rπ sin 2x dx; x + sin4 x 33 ; 34 x sin x dx; 35 x sin x dx; 26 π R Rπ É sin 5x cos 7x dx; sin 3x R2π √ + sin x dx; Rπ x sin x cos2 x dx; cos4 x ; sin4 x + cos4 x 37 tb ; sin x ; (sin x + cos x)3 ng 25 R + sin2 x 36 c Rπ x sin x d x sin x sin 2x sin 3x dx; 0 π R3π 24 I = R2 om 23 ln(sin x) dx; 0 π R2 dx dx; 2009 x + tan √ R4 ln(9 − x) 32 √ √ dx; ln(9 − x) + ln(x + 3) cos4 + cos2 x ln(tan x) dx; π 31 − cos 2x dx; Rπ x sin x dx R2 tan2007 2x + sin2009 6x dx; 2007π R sinn x ; x + cosn−1 x π 30 19 dx; R π sin n−1 π dx; R4π sin7 3x cos8 5x 18 R2 0 17 − tan2 (cos x) cos2 (sin x) π R4 16 π 15 R2 38 π R2 cos3 x dx; sin x + cos x R1 −1 x4 dx; + 2x R1 Ra ao tra Bài 7.25 : Chứng minh các hệ thức sau : xm (1 − x)n d x = x3 f (x2 ) d x = R1 Ra2 xn (1 − x)m dx; x f (x) dx (a > 0; x > 0); Chứng minh y = f (x) là hàm chẵn, tuần hoàn với chu kì T thì RT T f (x) dx = R2 f (x) dx 7.3 Ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng Bài 7.26 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn : elíp : x2 y2 + = 1, (a, b > 0) a2 b2 đồ thị hàm số y = x3 − 1, đường thẳng x = 2, trục tung và trục hoành đồ thị hàm số y = − x2 , đường thẳng x = 3, trục tung và trục hoành parabol y = − x2 và đường thẳng y = −x đường thẳng y = x + và parabol y = x2 + x − √ đồ thị hàm số y = x, trục hoành và đường thẳng y = x − Bài 7.27 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn : Lop12.net TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 161 (14) CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC đồ thị các hàm số y = 27 x2 ,y = và y = x2 x 27 parabol y = 2x2 − 4x − 6, trục hoành, và hai đường thẳng x = −2, x = parabol (P) : y = x2 − 4x + và hai tiếp tuyến (P) A(1; 2) và B(4; 5) đồ thị các hàm số y = |x2 − 1| và y = |x| + √ đồ thị các hàm số y = − − x2 và x2 + 3y = đồ thị các hàm số y = sin |x| và y = |x| − π đồ thị các hàm số x2 = 4y và y = x2 +4 Bài 7.28 : Cho parabol (P) : y = x2 + và cho đường thẳng dm : y = mx + Chứng minh với m thì (P) và dm luôn cắt hai điểm phân biêt Tìm m để hình phẳng giới hạn (P) và dm có diện tích nhỏ Bài 7.29 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn : x2 , y = và y = x x om đồ thị các hàm số y = x2 , y = đồ thị hàm số y2 + x − = và đường thẳng x + y − = tb đồ thị các hàm số x2 = 3y và y2 = 3x c đồ thị các hàm số y2 = 2x, x − 2y + = và trục hoành ng parabol y = x2 − 2x + và các tiếp tuyến nó qua điểm A(2; −2) ao tra 7.4 Ứng dụng tích phân tính thể tích vật thể tròn xoay Bài 7.30 : Cho hình phẳng S giới hạn parabol y = 2x − x2 và trục hoành Tính thể tích V x hình tròn xoay tạo quay S quanh trục Ox Tính thể tích Vy hình tròn xoay tạo quay S quanh trục Oy Bài 7.31 : Cho hình phẳng S giới hạn đồ thị các hàm số y = x2 , y = quay S quanh trục Ox, Oy (tương ứng) 27 x2 và y = Tính thể tích V x , Vy hình tròn xoay tạo x 27 Bài 7.32 : Cho hình phẳng S giới hạn các parabol y = − x2 và y = x2 + Tìm thể tích V x , Vy hình tròn xoay tạo quay S quanh trục Ox, Oy Bài 7.33 : Cho S là hình tròn tâm I(2; 0) và bán kính R = Tìm thể tích V x , Vy hình tròn xoay tạo quay S quanh trục Ox, Oy Bài 7.34 : Cho hình phẳng S giới hạn đồ thị hàm số y = xe x , trục hoành và đường thẳng x = Tìm thể tích V x hình tròn xoay tạo quay S quanh trục Ox Bài 7.35 : Cho hình phẳng S giới hạn đồ thị hàm số y = sin x, trục hoành, các đường thẳng x = và x = π Tính thể tích V x hình tròn xoay tạo quay S quanh trục Ox Bài 7.36 : Cho hình phẳng S giới hạn đồ thị hàm số y = x ln x, trục hoành, các đường thẳng x = và x = e Tính thể tích V x hình tròn xoay tạo quay S quanh trục Ox TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Lop12.net Trang 162 (15) CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC 7.5 Tích phân các kì thi ĐH R1 Bài 7.37 (CĐ09) : Tính tích phân : I = e−2x + x e x dx R1 2x − Bài 7.38 (CĐ10) : Tính tích phân I = dx x+1 Bài 7.39 (A02) : Tính diện tích hình phẳng giới hạn các đường : y = |x2 − 4x + 3|, y = x + √ 2R Bài 7.40 (A03) : Tính tích phân : I = √ R2 Bài 7.41 (A04) : Tính tích phân : I = π dx √ x x2 + x √ dx 1+ x−1 R2 sin 2x + sin x Bài 7.42 (A05) : Tính tích phân : I = √ dx + cos x π R2 sin 2x √ dx cos x + sin2 x Bài 7.44 (A07) : Tính diện tích hình phẳng giới hạn các đường : y = (e + 1)x, y = (1 + e x )x Bài 7.43 (A06) : Tính tích phân : I = π R6 tan4 x cos 2x dx π R2 Bài 7.46 (A09) : Tính tích phân : I = Bài 7.47 (A10) : Tính tích phân I = cos3 x − cos2 dx R2 x2 + e x + 2x2 e x + 2e x dx c om Bài 7.45 (A08) : Tính tích phân : I = Bài 7.48 (B02) : Tính diện tích hình phẳng giới hạn các đường : y = tb Bài 7.49 (B04) : Tính tích phân I = √ + ln x ln x dx x Re π Bài 7.50 (B05) : Tính tích phân I = R2 sin 2x cos x + cos x ao tra Bài 7.51 (B06) : Tính tích phân I = 4− x2 x2 và y = √ 4 ng r ln R5 ln dx dx e x + 2.e−x − Bài 7.52 (B07) : Cho hình phẳng H giới hạn các đường : y = x ln x, y = 0, x = e Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành quay hình H quanh trục Ox π Bài 7.53 (B08) : Tính tích phân : I = R4 R3 + ln x (x + 1)2 Bài 7.55 (B10) : Tính tích phân I = Re Bài 7.56 (D03) : Tính tích phân : I = R2 R3 dx dx |x2 − x| dx ln(x2 − x) dx π Bài 7.58 (D05) : Tính tích phân : I = ln x dx x(2 + ln x)2 Bài 7.57 (D04) : Tính tích phân : I = π sin 2x + 2(1 + sin x + cos x) Bài 7.54 (B09) : Tính tích phân : I = sin x − R2 esin x + cos x cos x dx R1 Bài 7.59 (D06) : Tính tích phân : I = (x − 2)e2x dx Bài 7.60 (D07) : Tính tích phân : I = e x3 ln2 x dx Lop12.net TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - http:/a/ otrangtb.com Trang 163 (16) CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC R2 ln x Bài 7.61 (D08) : Tính tích phân : I = x3 R3 Bài 7.62 (D09) : Tính tích phân : I = Bài 7.63 (D10) : Tính tích phân I = Re dx dx ex − 2x − x dx 7.6 Bài tập tổng hợp Bài 7.64 : Tính tích phân : I = R2 x3 dx x2 + Bài 7.65 : Tính tích phân : I = ln R3 e x dx (e x + 1)3 p Bài 7.66 : Tính tích phân : I = R0 x 22x + √3 x + dx −1 π x dx + cos 2x Bài 7.68 : Tính tích phân : I = R1 Bài 7.69 : Tính tích phân : I = √ x3 − x2 dx ln R5 ln Bài 7.70 : Tính tích phân : I = R1 e2x dx √ ex − om Bài 7.67 : Tính tích phân : I = R4 x3 e x dx x ln x dx tb Bài 7.71 : Tính tích phân : I = .c Re x2 + Bài 7.72 : Tính tích phân : I = sin2 x tan x dx Bài 7.73 : Tính tích phân : I = R7 x + √3 x+1 dx ao tra ng π R3 Bài 7.74 : Tính tích phân : I = Re x2 ln x dx π R4 Bài 7.75 : Tính tích phân : (tan x + esin x cos x) dx Re Bài 7.76 : Tính tích phân : I = ln2 x √ dx x ln x + π R2 Bài 7.77 : Tính tích phân : I = (2x − 1) cos2 x dx Bài 7.78 : Tính tích phân : I = R6 dx √ 2x + + 4x + Bài 7.79 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn parabol : y = x2 − x + và đường thẳng d : y = 2x − Bài 7.80 : Tính tích phân : I = √ R e − ln x Bài 7.81 : Tính tích phân : I = R10 π R2 √ dx x + ln x dx √ x−2 x−1 Bài 7.82 : Tính tích phân : I = (x + 1) sin 2x dx R2 Bài 7.83 : Tính tích phân : I = (x − 2) ln x dx Download tài li u h c t p t i : http://aotrangtb.com Lop12.net Trang 164 (17) CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC Bài 7.84 : Tính tích phân : I = R4 √ 2x + √ dx + 2x + x(1 − x) x2 + √ Bài 7.86 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn các đường y = x2 và y = − x2 Bài 7.85 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn các đường y = và y = Bài 7.87 : Tính tích phân : I = R1 x(x − 1) x2 − Bài 7.88 : Tính tích phân : I = R2 dx x2 cos x dx 3x x2 và y = x+1 √ Bài 7.90 : Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành quay hình phẳng giới hạn các đường y = 3−x 2x + 1; y = 0; x = xung Bài 7.89 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn các đường y = quanh trục Ox Bài 7.91 : Tính thể tích khối tròn xoay nhận quay quanh trục Oy hình phẳng giới hạn các đường y2 = x và 3y − x = Bài 7.92 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn các đường y = |x2 − 4x| và y = 2x Bài 7.93 : Cho D là hình hình giới hạn (x − 1)2 + (y − 1)2 = Tính thể tích vật thể quay D quanh trục Ox Bài 7.94 : Tính các tích phân sau : e e+1 R x2 ln(x − 1) dx; R5 11 x sin x cos x dx; cos3 x dx; π cos x − sin x π π cos x − R dx; 10 − cos x dx √ ; x + − x2 R1 Rπ R .c (2x − 1)2 e3x dx; tb R1 ng π R2 x + sin x dx; + cos x ln x dx; (1 + x)2 x2 + √ dx; x 3x + R3 ln(x2 + 3) x2 om Re ao tra dx; R2 R1 x3 − x2 √3 x 3x − Rπ sin 2x dx; + cos4 x π R4 x sin2 x dx 15 ; π sin 2x cos2 x 16 Re x dx √ √ ; 2+x+ 2−x π R4 x sin x 12 dx; cos x 13 14 ln3 x dx; x(ln2 x + 1) π 17 R2 3x(x − 1) + e1+cos x sin 2x dx; π − dx; 18 R4 cos2 − π4 dx x + e−3x Bài 7.95 : Tính các tích phân sau : √ lnR π dx √ ; + − x2 R2 R1 e2x dx √ ; 3e x + 1+ √ R2 x x − dx; x−5 dx ; 2x e +1 cos 2x sin4 x + cos4 x dx; dx ; x + 4x2 + R2 √ 10 R2 x(2 − x) + ln(4 + x2 ) dx; π R3 x + sin2 x dx; + cos 2x R1 −1 R1 3Rln 11 12 π R3 13 x ln(x + 1) + x x2 + √ dx; 1+ x sin x √ dx; cos x + sin2 x Lop12.net Download tài li u h c t p t i : http://aotrangtb.com sin3 x π 14 dx √ ; + x + + x2 R1 + x π R2 x cos x dx; ln R5 ln (10.e−x dx √ ; − 1) e x − π 15 R4 x sin x cos3 x dx; π 16 17 R2 sin 2x − cos x sin x + R2 √ − x2 dx; x2 dx; Trang 165 (18)