Cần chọn một nhóm gồm 3 trong số 50 học sinh trên đi dự đại hội "cháu ngoan Bác Hồ", sao cho trong nhóm không có cặp anh em sinh đôi nào.. Hỏi có bao nhiêu cách chọn như vậy.[r]
(1)Chương Tổ hợp 4.1 Các quy tắc đếm Tổ hợp, chỉnh hợp, hoán vị Bài 4.1 : Một bàn dài có hai dãy ghế đối diện nhau, dãy gồm có ghế Người ta muốn xếp chỗ ngồi cho học sinh trường A và học sinh trường B vào bàn nói trên Hỏi có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi trường hợp sau : om a) Bất kì hai học sinh nào ngồi cạnh đối diện thì khác trường ; b) Bất kì hai học sinh nào ngồi đối diện thì khác trường ; .c Bài 4.2 : Có 10000 vé đánh số từ 00000 đến 99999 Hỏi có bao nhiêu vé gồm chữ số khác tb Bài 4.3 : Với 10 chữ số 0, 1, 2, , 8, có thể lập bao nhiêu số có chữ số khác Bài 4.4 : Từ các chữ số 0, 1, 3, 5, có thể lập bao nhiêu số gồm chữ số khác và không chia hết cho ng Bài 4.5 : Xét dãy số gồm chữ số (mỗi số chọn từ 0, 1, , 8, 9) mà chữ số vị trí số là số chẵn, chữ số vị trí cuối không chia hết cho 5, các chữ số vị trí số 4, 5, đôi khác Hỏi có bao nhiêu cách chọn ao tra Bài 4.6 : Cho 10 chữ số 0, 1, 2, , 8, Có bao nhiêu số lẻ có chữ số khác nhỏ 600000 xây dựng từ các số trên Bài 4.7 : Một người viết ngẫu nhiên các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, lên các phiếu, sau đó xếp ngẫu nhiên thành hàng a) Có bao nhiêu số lẻ gồm chữ số tạo thành b) Có bao nhiêu số chẵn gồm chữ số tạo thành Bài 4.8 : Có thể lập bao nhiêu số chẵn gồm chữ số khác lấy từ các chữ số 0, 2, 3, 6, Bài 4.9 : Cho X = {0, 1, 2, 3, 4, 5} a) Có bao nhiêu số chẵn có chữ số khác đôi ; b) Có bao nhiêu số có chữ số khác đôi chia hết cho ; c) Có bao nhiêu số có chữ số khác đôi chia hết cho ; Bài 4.10 : Cho X = {0, 1, 2, 3, 4, 5} Hỏi có lập bao nhiêu số có chữ số khác mà số đó không chia hết cho Bài 4.11 : Có bao nhiêu cách xếp học sinh A, B, C, D, E vào ghế dài cho : Lop12.net 69 (2) CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC a) C ngồi chính ; b) A, E ngồi hai đầu ghế ; Bài 4.12 : Trong phòng có hai bàn dài, bàn có ghế Người ta muốn xếp chỗ ngồi cho 10 học sinh gồm nam và nữ Hỏi có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi, : a) các học sinh ngồi tùy ý ; b) các học sinh nam ngồi bàn và các học sinh nữ ngồi bàn ; Bài 4.13 : Một học sinh có 12 sách đôi khác nhau, đó có sách Văn, sách Toán, sách Anh văn Hỏi có bao nhiêu cách xếp các sách lên kệ dài các cùng môn xếp kề Bài 4.14 : Từ X = {1, 2, 3, 4, 5, 6} thiết lập các số có chữ số khác Hỏi các số lập có bao nhiêu số mà hai chữ số và không đứng cạnh Bài 4.15 : Xét các số gồm chữ số, đó có chữ số và chữ số còn lại là 2, 3, 4, Hỏi có bao nhiêu số mà : a) chữ số kề ; b) các chữ số xếp tùy ý ; Bài 4.16 : Có bao nhiêu số gồm chữ số đôi khác lập từ chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 7, cho hai chữ số chẵn om không nằm liền Bài 4.17 : Một đội văn nghệ có 15 người, gồm 10 nam và nữ Hỏi có bao nhiêu cách lập nhóm đồng ca gồm người, .c biết nhóm đó phải có ít nữ Bài 4.18 : Từ các chữ số 1, 2, 3, , 5, 6, có thể lập bao nhiêu số tự nhiên, số gồm chữ số khác và tb thiết phải có hai chữ số và ng Bài 4.19 : Cho tam giác ABC Xét tập hợp đường thẳng song song với AB, đường thẳng song song với BC và đường thẳng song song với CA ao tra a) Hỏi các đường thẳng này tạo bao nhiêu tam giác ; b) Hỏi các đường thẳng này tạo bao nhiêu hình thang (không kể các hình bình hành) Cho biết không có đường thẳng nào họ là đồng quy Bài 4.20 : Có bao nhiêu số tự nhiên gồm chữ số lớn và đôi khác Tính tổng các số trên Bài 4.21 : Trong các chữ số 0, 1, 2, 3, có thể lập bao nhiêu số có chữ số đó chữ số có mặt đúng lần, còn các chữ số khác có mặt đúng lần Bài 4.22 : Từ X = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} lập bao nhiêu số tự nhiên có chữ số khác nhau, đó thiết phải có mặt chữ số Bài 4.23 : Từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, có thể lập bao nhiêu số chẵn số gồm chữ số khác Bài 4.24 : Cho X = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} có thể lập bao nhiếu số gồm chữ số mà là : a) số chẵn ; b) ba chữ số đầu tiên phải có mặt chữ số Bài 4.25 : Từ chữ số 1, 2, 3, , 5, có thể lập bao nhiêu số có chữ số khác và có thể lập bao nhiêu số có chữ số khác đó có hai chữ số và TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Lop12.net Trang 70 (3) CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC Bài 4.26 : Từ 10 chữ số 0, 1, 2, , 8, có thể lập bao nhiêu số có chữ số khác cho các số đó phải có mặt và Bài 4.27 : Từ các số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, có thể lập bao nhiêu số tự nhiên, số gồm chữ số khác và tổng các chữ số hàng chục, hàng trăm, hàng ngàn Bài 4.28 : Có bao nhiêu số tự nhiên gồm chữ số đôi khác đó có mặt chữ số không có mặt chữ số Bài 4.29 : Tính tổng các số tự nhiên gồm chữ số khác lập từ các chữ số 1, 3, 4, 5, 7, Bài 4.30 : Có 12 học sinh ưu tú trường trung học Muốn chọn đoàn đại biểu gồm người (một trưởng đoàn, thư kí và ba thành viên) dự trại hè Hỏi có bao nhiêu cách chọn Bài 4.31 : Có 12 học sinh ưu tú trường trung học Muốn chọn đoàn đại biểu gồm người dự trại hè Hỏi có bao nhiêu cách chọn : a) tùy ý ; b) hai học sinh A và B không cùng ; c) hai học sinh A và B cùng cùng không toa có ít chỗ trống Hỏi : .c a) Có bao nhiêu cách xếp hành khách lên ba toa ; om Bài 4.32 : Một đoàn tàu có ba toa trở khách : toa I, toa II, toa III Trên sân ga có hành khách chuẩn bị tàu, biết tb b) Có bao nhiêu cách xếp hành khách lên tàu để có toa đó có vị khách ng Bài 4.33 (B04) : Có 30 câu hỏi khác gồm câu khó, 10 câu trung bình và 15 câu dễ Từ 30 câu đó, có thể lập ít ao tra bao nhiêu đề kiểm tra, đề gồm câu khác nhau, cho đề phải có loại (khó, dễ, trung bình) và số câu dễ không Bài 4.34 : Một chi đoàn có 20 đoàn viên, đó có 10 nữ Muốn chọn tổ công tác có người Có bao nhiêu cách chọn tổ cần ít nữ Bài 4.35 : Một đội xây dựng gồm 10 công nhân, kĩ sư Để lập tổ công tác, cần chọn kĩ sư làm tổ trưởng, công nhân làm tổ phó và công nhân làm tổ viên Hỏi có bao nhiêu cách lập tổ công tác Bài 4.36 : Một đội văn nghệ gồm 10 học sinh nam và 10 học sinh nữ Cô giáo muốn chọn tốp ca gồm em đó có ít là em nam và em nữ Hỏi có bao nhiêu cách chọn Bài 4.37 : Một đội cảnh sát gồm có người Trong ngày cần người làm nhiệm vụ địa điểm A, người làm B và người còn lại trực đồn Hỏi có bao nhiêu cách phân công Bài 4.38 : Có nhà Toán học nam, nhà Toán học nữ và nhà Vật lí nam Muốn lập đoàn công tác có người gồm nam và nữ, cần có nhà Toán học lẫn nhà Vật lí Hỏi có bao nhiêu cách lập tổ công tác Bài 4.39 : Một đội văn nghệ có 10 người, đó có nữ và nam Có bao nhiêu cách : a) chia đội văn nghệ thành hai nhóm có số người và nhóm có số nữ ; b) chọn người, đó có không quá nam ; Bài 4.40 : Có tem thư khác và bì thư khác Người ta muốn chọn từ đó tem thư, bì thư và dán tem thư đó lên bì thư đã chọn, bì thư dán tem thư Hỏi có bao nhiêu các làm Lop12.net TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 71 (4) CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC Bài 4.41 : Có hai đường thẳng song song d1 và d2 Trên d1 lấy 15 điểm phân biệt, trên d2 lấy điểm phân biệt Hỏi có bao nhiêu tam giác mà các đỉnh là số các điểm đã cho Bài 4.42 : Một lớp có 20 học sinh, đó có cán lớp Hỏi có bao nhiêu cách chọn người dự hội nghị trường cho đó có ít cán lớp Bài 4.43 : Có 16 học sinh, gồm học sinh giỏi, khá, trung bình Có bao nhiêu cách chia số học sinh thành hai tổ, tổ người, có học sinh giỏi và ít học sinh khá Bài 4.44 : Một người có 12 cây giống, đó có cây xoài, cây mít và cây ổi Người đó muốn chọn cây giống để trồng Hỏi có bao nhiêu cách chọn cho : a) loại có đúng cây ; b) loại có ít cây ; Bài 4.45 : Một lớp học có 30 học sinh nam và 15 học sinh nữ Có học sinh chọn để lập tốp ca Hỏi có bao nhiêu cách chọn khác và phải có ít nữ Bài 4.46 : Cho tập gồm 10 phần tử khác Tìm số tập khác rỗng chứa số chẵn các phần tử Bài 4.47 : Một tổ có 20 sinh viên, đó có sinh viên biết nói tiếng Anh, SV biết nói tiếng Pháp, SV biết nói tiếng Đức (không SV nào biết nói ngoại ngữ trên) Cần chọn nhóm thực tế gồm SV biết tiếng Anh, SV om biết tiếng Pháp, SV biết tiếng Đức Hỏi có bao nhiêu cách lập nhóm Bài 4.48 : Trong hộp có cầu xanh, cầu đỏ và cầu vàng, các cầu khác Chọn ngẫu nhiên .c cầu hộp Hỏi có bao nhiêu cách chọn cho cầu chọn có đủ màu Bài 4.49 : Một hộp có cầu xanh đánh số từ đến 6, cầu đỏ đánh số từ đến 5, cầu vàng tb đánh số từ đến ng a) Có bao nhiêu cách lấy cầu cùng màu ; cầu cùng số ; ao tra b) Có bao nhiêu cách lấy cầu khác màu ; cầu khác màu và khác số ; Bài 4.50 : Có viên bi xanh, viên bi đỏ, viên bi vàng có kích thước đôi khác Có bao nhiêu cách chọn : a) viên bi, đó có đúng viên bi đỏ ; b) viên bi, đó số bi xanh số bi đỏ ; Bài 4.51 : Từ bông hồng vàng, bông hồng trắng và bông hồng đỏ (các bông hoa xem đôi khác nhau) Người ta muốn chọn bó hoa gồm bông Có bao nhiêu cách chọn bó hoa, đó : a) có đúng bông hồng đỏ ; b) có ít bông hồng vàng và ít bông hồng đỏ ; Bài 4.52 : Xếp bi đỏ có bán kính khác và bi xanh giống vào hộc có ô trống a) Hỏi có bao nhiêu cách xếp ; b) Có bao nhiêu cách xếp, cho bi đỏ xếp cạnh và bi xanh xếp cạnh ; Bài 4.53 : Một hộp đựng viên bi đỏ, viên bi trắng và viên bi vàng Người ta chọn viên bi từ hộp Hỏi có bao nhiêu cách chọn để số bi lấy không đủ màu Bài 4.54 : Cho đa giác H có 20 cạnh Xét các tam giác có ba đỉnh lấy từ ba đỉnh H TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Lop12.net Trang 72 (5) CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC a) Có bao nhiêu tam giác ? Có bao nhiêu tam giác có đúng hai cạnh là hai cạnh H ? b) Có tam giác có đúng cạnh là cạnh H ? Có tam giác không có cạnh nào là cạnh H ? Bài 4.55 : Trên mặt phẳng cho thập giác lồi Xét các tam giác mà đỉnh nó là ba đỉnh thập giác Hỏi số các tam giác đó, có bao nhiêu tam giác mà cạnh nó không phải là cạnh thập giác Bài 4.56 (B02) : Cho đa giác A1 A2 A2n (n ∈ N và n ≥ 2) nội tiếp đường tròn (O) Biết số tam giác có đỉnh là 2n đỉnh A1 , A2 , , A2n nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có các đỉnh là 2n đỉnh A1 , A2 , , A2n Tìm n Bài 4.57 : Trong trường tiểu học có 50 học sinh đạt danh hiệu "cháu ngoan Bác Hồ" đó có cặp anh em sinh đôi Cần chọn nhóm gồm số 50 học sinh trên dự đại hội "cháu ngoan Bác Hồ", cho nhóm không có cặp anh em sinh đôi nào Hỏi có bao nhiêu cách chọn Bài 4.58 : Một tập thể có 14 người, gồm nam và nữ, đó có An và Bình Người ta muốn chọn tổ công tác gồm người Tìm số cách chọn trường hợp sau : a) Trong tổ phải có mặt nam lẫn nữ ; b) Trong tổ phải có tổ trưởng, tổ viên, An và Bình không đồng thời có mặt tổ ; om Bài 4.59 : Một Thầy giáo có 12 sách đôi khác nhau, đó có sách Văn, sách Anh văn và sách Hóa Ông lấy và tặng học sinh A, B, C, D, E, F em c a) Giả sử Thầy giáo muốn tặng các học sinh trên sách thuộc loại Anh văn và Văn Hỏi có bao nhiêu cách tb tặng ; b) Giả sử Thầy giáo muốn rằng, sau tặng xong, loại Văn, Anh văn, Hóa còn ít Hỏi có bao nhiêu ng cách tặng Bài 4.60 : Từ các số 0, 1, 2, 3, có thể lập bao nhiêu số tự nhiên có chữ số khác Tính tổng tất các số đó ao tra Bài 4.61 : Cho hai đường thẳng song song d1 , d2 Trên đường thẳng d1 có 10 điểm phân biệt, trên đường thẳng d2 có n điểm phân biệt (n ≥ 2) Biết có 2800 tam giác có đỉnh là các điểm đã cho Tìm n Bài 4.62 : Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, có thể lập bao nhiêu số chẵn, số có chữ số khác nhau, và số lập nhỏ 25000 Bài 4.63 : Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, có thể lập bao nhiêu số chẵn, số có chữ số khác nhau, đó có đúng chữ số lẻ và hai số lẻ đó đứng cạnh Bài 4.64 : Một lớp học có 33 học sinh, đó có nữ Cần chia lớp học thành tổ, tổ có 10 học sinh, tổ có 11 học sinh, tổ có 12 học sinh cho tổ có ít học sinh nữ Hỏi có bao nhiêu cách chia Bài 4.65 : Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn lớn 2007, mà số gồm chữ số khác Bài 4.66 : Cho A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} a) Có bao nhiêu tập A chứa mà không chứa ; b) Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm chữ số khác mà không bắt đầu 123 ; Bài 4.67 : Có thể lập bao nhiêu số có chữ số 1, 2, 3, 4, 5,6 đó và có mặt đúng lần, còn các chữ số khác xuất đúng lần Bài 4.68 : a) Có bao nhiêu số chẵn gồm chữ số khác đôi một, đó chữ số đầu tiên là chữ số lẻ ; Lop12.net TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 73 (6) CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC b) Có bao nhiêu số chẵn gồm chữ số khác đôi một, đó có đúng chữ số lẻ và chữ số chẵn ; Bài 4.69 : Có bao nhiêu số tự nhiên gồm chữ số, biết chữ số có mặt đúng lần, chữ số có mặt đúng lần, còn các chữ số khác có mặt không quá lần Bài 4.70 (B05) : Một đội niên tình nguyện có 15 người, gồm 12 nam và nữ Hỏi có bao nhiêu cách phân công đội niên tình nguyện đó giúp đỡ tỉnh miền núi, cho tỉnh có nam và nữ Bài 4.71 (B06) : Cho tập A gồm n phần tử (n ≥ 4) Biết số tập gồm phần tử A 20 lần số tập gồm phần tử A Tìm k ∈ {1, 2, , n} cho số tập gồm k phần tử là lớn Bài 4.72 (D06) : Đội niên xung kích trường phổ thông có 12 học sinh, gồm học sinh lớp A, học sinh lớp B và học sinh lớp C Cần chọn học sinh làm nhiệm vụ, cho học sinh này thuộc không quá lớp trên Hỏi có bao nhiêu cách chọn Bài 4.73 : Trên các cạnh AB, BC, CD, DA hình vuông ABCD lấy 1, 2, và n điểm phân biệt khác A, B, C, D Tìm n, biết số tam giác có đỉnh từ n + điểm đã cho là 439 4.2 Giải phương trình, bất phương trình, hệ om Bài 4.74 : Chứng minh : b) + P1 + 2P2 + 3P3 + · · · + (n − 1)Pn−1 = Pn .c a) Pn − Pn−1 = (n − 1)Pn−1 ; ng n n+1 b) An+2 n+k + An+k = k An+k ; ao tra a) Akn = Akn−1 + kAk−1 n−1 ; tb n+1 n Bài 4.76 : Chứng minh với n, k ∈ N và ≤ k < n thì : Bài 4.75 : Chứng minh với n ∈ N có : n! ≤ Bài 4.77 : Chứng minh với n ∈ N và n ≥ thì : 1 n−1 + + ··· + = An n A2 A3 Bài 4.78 : Cho n, k ∈ N và ≤ k ≤ n Chứng minh : k−2 k(k − 1)Cnk = n(n − 1)Cn−2 Bài 4.79 : Cho ≤ k ≤ n Chứng minh : k Cnk + 4Cnk−1 + 6Cnk−2 + 4Cnk−3 + Cnk−4 = Cn+4 Bài 4.80 : Chứng minh rằng, k ∈ N và ≤ k ≤ 2008 thì : k k+1 1004 1005 C2009 + C2009 ≤ C2009 + C2009 Bài 4.81 : Cho n, k ∈ N và ≤ k ≤ n Chứng minh : n n n C2n+k C2n−k ≤ C2n 2 Bài 4.82 : Cho n nguyên dương cố định và k ∈ {0; 1; 2; ; n} Chứng minh rằng, Cnk đạt giá trị lớn k0 thì k0 n−1 n+1 thỏa mãn ≤ k0 ≤ 2 TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Lop12.net Trang 74 (7) CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC Bài 4.83 : Cho m, n ∈ N và < m < n Chứng minh : m−1 ; a) mCnm = nCn−1 m−1 + C m−1 + · · · + C m−1 + C m−1 b) Cnm = Cn−1 m n−2 m−1 n+1 Bài 4.84 (B08) : Chứng minh n+2 k Cn+1 + = k+1 Cn+1 (n, k là các số nguyên dương, k ≤ n) Cnk Bài 4.85 : Chứng minh : 2007 2006 k 2007−k 2007 C2008 C2008 + C2008 C2007 + · · · + C2008 C2008−k + · · · + C2008 C1 = 1004.22008 Bài 4.86 : Cho n là số nguyên dương, chứng minh : Cn1 + Cn2 C3 Cnn n(n + 1) + n2 + · · · + n n−1 = Cn Cn Cn Bài 4.87 : Cho n là số nguyên dương, chứng minh : Cn0 Cn1 Cn2 Cnn + + + · · · + = n+1 Cn+2 Cn+3 Cn+4 C2n+2 om Bài 4.88 : Chứng minh : k , với ≤ k ≤ n C50Cnk + C51Cnk−1 + · · · + C55Cnk−5 = Cn+5 + Cn1 2 .c 2 + · · · + Cnn tb n = C0 C2n n k + C 1C k−1 + C 1C k−2 + · · · + C k C = C k Cn0Cm n m n m n m n+m 2 C n + n + 2 C ao tra Bài 4.90 : Chứng minh : 2 C ng Bài 4.89 : Tính S = Bài 4.91 : Chứng minh : C2009 + C2009 n (−1)k P k=1 + k2 n + ··· + + ··· + 2009 C2009 Cnn n+1 2 1005 = 2009 1 C2008 + C2008 + ··· + 2008 C2008 n+k < C2n Bài 4.92 : Giải các phương trình : Cn3 = 5Cn1 ; + nP = 4A2 ; 3Cn+1 n n + C n+2 = 2C n+1 ; C14 14 14 − A2 − 4n3 = A1 Cn+1 n 2n 2 x! − (x − 1)! = (x + 1)! Pn+4 15 Bài 4.94 : Giải bất phương trình : < Pn Pn+2 Pn−1 Bài 4.93 : Giải phương trình : Bài 4.95 : Giải phương trình : P x A2x + 72 = 6(A2x + 2P x ) Bài 4.96 : Tìm x, y ∈ N thỏa mãn hệ : <A2 + C = 22 x y : Ay + C 2x = 66 Bài 4.97 : Giải bất phương trình : A3x + 5A2x ≤ 21x Bài 4.98 : Giải bất phương trình : n−3 Cn−1 < An+1 14P3 Lop12.net TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 75 (8) CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC Bài 4.99 : Giải phương trình : 1 − x = x x C4 C5 C6 Bài 4.100 : Tìm số nguyên dương x thỏa mãn phương trình : C 1x + 6C 2x + 6C 3x = 9x2 − 14 Bài 4.101 : Giải bất phương trình : A22x − A2x ≤ C 3x + 10 x Bài 4.102 : Tìm số nguyên dương n thỏa mãn điều kiện sau : > − C3 <C n−1 n−1 < An−2 n−4 :C n+1 Bài 4.103 : Giải hệ phương trình : ≥ A 15 n+1 <2Ayx + 5C yx = 90 : y y 5A x − 2C x = 80 : y C x = C y−1 x Bài 4.105 (D05) : Tính giá trị M = om Bài 4.104 : Giải hệ phương trình : <5C y−2 = 3C y−1 x x A4n+1 + 3A3n + 2C + 2C + C , biết Cn+1 n+2 n+3 n+4 = 149 (n + 1)! .c Bài 4.106 : Tìm số nguyên n > thỏa mãn đẳng thức : 2Pn + 6A2n − Pn A2n = 12 tb k Bài 4.107 : Tìm k ∈ {1, 2, , 2005} cho C2005 đạt giá trị lớn ng 4.3 Hệ số xk khai triển ao tra 4.4 Hệ số xk khai triển nhị thức (a + b)n Bài 4.108 (D07) : Tìm hệ số x5 khai triển thành đa thức : x(1 − 2x)5 + x2 (1 + 3x)10 x 18 + x Bài 4.110 : Tìm hệ số x5 khai triển : P = (2x + 1)4 + (2x + 1)5 + (2x + 1)6 + (2x + 1)7 √ n n+1 − C n Bài 4.111 (A03) : Tìm số hạng chứa x khai triển + x5 , biết : Cn+4 n+3 = 7(n + 3) x √ √ 7 Bài 4.112 : Tìm số hạng hữu tỉ khai triển nhị thức 16 + √ √4 124 Bài 4.113 : Trong khai triển sau đây có bao nhiêu số hạng hữu tỉ : 3− Bài 4.109 : Tìm số hạng độc lập với x khai triển Bài 4.114 (D04) : Tìm số hạng không chứa x (với x > 0) khai triển Bài 4.115 : Trong khai triển 28 √3 x x + x 15 Ǒn − √3 x + √4 x 7 hãy tìm số hạng không phụ thuộc vào x, biết Cnn + Cnn−1 + Cnn−2 = 79 Bài 4.116 : Biết tổng các hệ số khai triển (x2 + 1)n 1024 Hãy tìm hệ số a số hạng ax12 khai triển đó Bài 4.117 : Tìm n > 5, biết khai triển x + n thành đa thức biến x, hệ số x6 lần hệ số x4 TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Lop12.net Trang 76 (9) CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC Bài 4.118 (A02) : Cho x−1 x + 2− n = Cn0 x−1 n + Cn1 x−1 n−1 x 2− + · · · + Cnn−1 x−1 x n−1 2− x + Cnn 2− n Biết Cn3 = 5Cn1 và số hạng thứ tư 20n Tìm n và x 10 Bài 4.119 : Cho + x = a0 + a1 x + · · · + a9 x9 + a10 x10 3 Tìm số hạng ak lớn Bài 4.120 (A08) : Cho khai triển (1 + 2x)n = a0 + a1 x + · · · + an xn , đó n ∈ N∗ và các hệ số a0 , a1 , , an thỏa mãn a1 an a0 + + · · · + n = 4096 Tìm số lớn các số a0 , a1 , , an 2 18 Bài 4.121 (CĐ08) : Tìm số hạng không chứa x khai triển nhị thức Niutơn 2x + √5 , (x > 0) x Bài 4.122 (B07) : Tìm số hạng chứa x10 khai triển nhị thức Niutơn (2 + x)n , biết : 3n Cn0 − 3n−1 Cn1 + 3n−2 Cn2 − 3n−3 Cn3 + · · · + (−1)n Cnn = 2048 Bài 4.123 : Tìm hệ số x7 khai triển đa thức (2 − 3x)2n , đó n là số nguyên dương thỏa mãn : C2n+1 + C2n+1 + 2n+1 = 1024 · · · + C2n+1 Bài 4.125 (A06) : Tìm hệ số số hạng chứa x26 khai triển nhị thức Niutơn + x7 x4 n , biết C2n+1 + .c n C2n+1 + · · · + C2n+1 = 220 − om Bài 4.124 : Tìm hệ số x8 khai triển (x2 + 2)n , biết : A3n − 8Cn2 + Cn1 = 49 tb 4.5 Hệ số xk khai triển (a + b)n(c + d)m ng Bài 4.126 : a) Tìm hệ số x2 khai triển (2 − 3x)5 (1 + x)4 ao tra √ b) Tìm hệ số x3 khai triển ( x + 3)6 (1 + x)12 Bài 4.127 (D03) : Gọi a3n−3 là hệ số x3n−3 khai triển thành đa thức (x2 + 1)n (x + 2)n Tìm n để a3n−3 = 26n Bài 4.128 : Tìm hạng tử chứa x20 khai triển : (1 + x + x3 + x4 )10 4.6 Hệ số xk khai triển (a + b + c)n Bài 4.129 : a) Tìm hệ số x2 khai triển thành đa thức biểu thức : P = (x2 + x − 1)6 b) Tìm hệ số x3 khai triển thành đa thức biểu thức : P = (x2 + x − 1)5 Bài 4.130 : Tìm hệ số x4 khai triển (1 + x + 3x2 )10 8 Bài 4.131 (A04) : Tìm hệ số x8 khai triển + x2 (1 − x) Bài 4.132 : Tìm hạng tử không chứa x khai triển : + 4.7 Tính tổng các hệ số tổ hợp : n P k=0 10 +x x akCnk 4.8 Phương pháp với ak là hàm số mũ theo biến k + C + · · · + C 2n−1 = 2048 Bài 4.133 (D08) : Tìm số nguyên dương n thỏa mãn hệ thức C2n 2n 2n Lop12.net Download tài li u h c t p t i : http://aotrangtb.com Trang 77 (10) CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC + C + · · · + C 10 Bài 4.134 : Tính tổng C20 20 20 Bài 4.135 : a) Khai triển nhị thức (3x − 1)16 ; − 315 C + 314 C − · · · + C 16 = 216 ; b) Chứng minh : 316 C16 16 16 16 Bài 4.136 : Chứng minh : a) 2n Cn0 + 2n−1 Cn1 + 2n−2 Cn2 + · · · + Cnn = 3n ; b) 3n Cn0 − 3n−1 Cn1 + 3n−2 Cn2 + · · · + (−1)n Cnn = 2n ; Bài 4.137 : Chứng minh : n−1 X k=1 Bài 4.138 : Chứng minh : C2n 32 + C2n Cnk = 2(2n−1 − 1); 34 + C2n + Bài 4.139 : Tính các biểu thức sau : n X Cnk (−1)k = k=0 2n 32n · · · + C2n = 22n−1 (22n + 1) − C + · · · + C 16 − C 18 A = C19 19 19 19 om − C + · · · + C 17 − C 19 B = C19 19 19 19 − 3C + 9C − 27C + · · · + (−3)n C 2n C = C2n 2n 2n 2n 2n .c Bài 4.140 (D02) : Tìm số nguyên dương n cho : Cn0 + 2Cn1 + 4Cn2 + · · · + 2nCnn = 243 ao tra a) Cn1 + 2Cn2 + 3Cn3 + · · · + nCnn = n.2n−1 ; ng Bài 4.141 : Chứng minh : tb 4.9 Phương pháp đạo hàm với ak là tích hàm số mũ và đa thức theo k b) Cn1 − 2Cn2 + 3Cn3 − · · · + (−1)n−1 Cnn = ; c) 2n−1 Cn1 − 2n−1 Cn2 + 3.2n−3 Cn3 − · · · + (−1)n−1 nCnn = n ; Bài 4.142 : Cho (x − 2)100 = a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + a100 x100 Tính : a) a97 ; b) S = a0 + a1 + · · · + a100 ; c) M = a1 + 2a2 + 3a3 + · · · + 100a100 ; Bài 4.143 : Cho f (x) = (1 + x)n với n ≥ a) Tính f ′′ (1) ; b) Chứng minh : 2.1.Cn2 + 3.2.Cn3 + 4.3.Cn4 + · · · + n(n − 1)Cnn = n(n − 1)2n−2 Bài 4.144 : Chứng minh : 2n−1 Cn1 + 2n−1 Cn2 + 3.2n−3 Cn3 + 4.2n−4 Cn4 + · · · + nCnn = n.3n−1 Bài 4.145 : Chứng minh : Cn1 3n−1 + 2Cn2 3n−2 + 3Cn3 3n−3 + · · · + nCnn = n.4n−1 Bài 4.146 : Tính A = Cn1 − 2Cn2 + 3Cn3 − 4Cn4 + · · · + (−1)n−1 nCnn Download tài li u h c t p t i : http://aotrangtb.comLop12.net Trang 78 (11) CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC Bài 4.147 : Chứng minh với n ∈ N và n > thì : 1 Cn + 2Cn2 + 3Cn3 + · · · + nCnn < n! n Bài 4.148 : Chứng minh : a) 1.2Cn2 + 2.3Cn3 + · · · + (n − 1)nCnn = n(n − 1)2n−2 ; b) 1.2Cn2 − 2.3Cn3 + · · · + (−1)n−2 (n − 1)nCnn = ; c) 2n−1 Cn2 + 3.2n−2 Cn3 + 3.4.2n−4 Cn4 + · · · + (n − 1)nCnn = n(n − 1)3n−2 ; d) 2n−1 Cn2 − 3.2n−2 Cn3 + 3.4.2n−4 Cn4 − · · · + (−1)n−2 (n − 1)nCnn = n(n − 1) ; Bài 4.149 : Chứng minh : a) 3Cn0 + 4Cn1 + · · · + (n + 3)Cnn = 2n−1 (6 + n) ; b) 3Cn0 − 4Cn1 + · · · + (−1)n (n + 3)Cnn = ; Bài 4.150 (A05) : Tìm số nguyên dương n cho : om 2n+1 C2n+1 − 2.2.C2n+1 + 3.22 C2n+1 − 4.23 C2n+1 + · · · + (2n + 1)22n C2n+1 = 2005 Bài 4.151 : Áp dụng khai triển nhị thức Niutơn (x2 + x)100 , chứng minh : 100 − 101C100 tb .c 99 100C100 100 + · · · + 200C100 199 = a) Tính I = ao tra Bài 4.152 : Cho n ∈ N và n ≥ ng 4.10 Phương pháp tích phân với ak là tích hàm số mũ và phân thức theo k R1 x (1 + x3 )n dx ; 1 1 2n+1 − b) Chứng minh : Cn0 + Cn1 + Cn2 + · · · + Cnn = 3(n + 1) 3(n + 1) Bài 4.153 : Chứng minh : Cnk 2n+1 − = n+1 k=0 k + n P 22 − 1 23 − 2n+1 − n Cn + Cn + · · · + C n+1 n 1 (−1)n n+1 n + (−1)n Bài 4.155 : Chứng minh : 2.Cn0 − 22 Cn1 + 23 Cn2 + · · · + Cn = n+1 n+1 Bài 4.156 : Chứng minh : Bài 4.154 (B03) : Tính Cn0 + 1 (−1)n a) (−1)n Cn0 + (−1)n−1 Cn1 + · · · + Cnn = ; n+1 n+1 1 b) Cn0 − Cn1 + · · · + (−1)n Cnn = n+1 n+1 Bài 4.157 : a) Tính R1 x(1 − x)19 dx ; 1 1 18 19 b) Rút gọn S = C19 − C19 + C19 + · · · + C19 − C19 20 21 Lop12.net Download tài li u h c t p t i : http://aotrangtb.com Trang 79 (12) CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC Bài 4.158 : a) Tính R1 x(1 − x2 )n dx ; 1 1 (−1)n n b) Chứng minh : Cn0 − Cn1 + Cn2 − Cn3 + · · · + Cn = ; 2n + 2(n + 1) 1 2n+1 (n2 + n + 2) − Bài 4.159 : Chứng minh : Cn0 + Cn1 + · · · + Cnn = n+3 (n + 1)(n + 2)(n + 3) 1 2n−1 22n − Bài 4.160 (A07) : Chứng minh : C2n + C2n + C2n + · · · + C2n = 2n 2n + 4.11 Bài tập tổng hợp Bài 4.161 : Trong khai triển đa thức sau : (2x + 1)n (x + 2)n = a2n x2n + a2n−1 x2n−1 + · · · + a1 x + a0 Tìm n, biết a2n−1 = 160 2n C2n C4 C6 C 2n−2 C2n 4096 + 2n + C 2n + · · · + 2n + Tìm n, biết S = 2n − 2n + 13 Bài 4.163 : Khai triển và rút gọn biểu thức − x + 2(1 − x)2 + 3(1 − x)3 + · · · + n(1 − x)n thu đa thức P(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + an xn Tính hệ số a8 , biết n là số nguyên dương thỏa mãn + = Cn Cn n om + Bài 4.162 : Cho số nguyên dương n > và S = C2n Bài 4.164 : Một tổ gồm 10 học sinh đó có học sinh nam và học sinh nữ Chọn ngẫu nhiên học sinh lập nên đội .c cờ đỏ Gọi X là số học sinh nam đội cờ đỏ Hãy lập bảng phân phối xác suất X Bài 4.165 : Trong kì thi tuyển sinh năm 2009, trường THPT A có học sinh gồm nam, nữ cùng đậu vào khoa X ng và nữ trường THPT A tb trường ĐH Số sinh viên đậu vào khoa X chia ngẫu nhiên thành lớp Tính xác suất để lớp có đúng nam ao tra Bài 4.166 : Tìm số nguyên dương n thỏa mãn Cn1 − 2Cn2 32 + 3Cn3 33 + · · · + (−1)n nCnn 3n = 33792 Bài 4.167 : Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, có thể lập bao nhiêu số tự nhiên có chữ số cho chữ số xuất đúng hai lần, chữ số xuất đúng ba lần, các số khác xuất đúng lần Bài 4.168 : Tìm số các số tự nhiên gồm chữ số phân biệt lập thành từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, cho số không có bất kì hai chữ số chẵn nào đứng cạnh Bài 4.169 : Tính tổng sau theo n 2n S = C2n − 3C2n + 9C2n − 27C2n + · · · + (−3)n C2n 2n−1 C2n C5 (−1)n−1 C2n + 2n + · · · + 3n−1 Bài 4.171 : Có hai tổ học sinh Tổ thứ gồm học sinh nam, đó có học sinh Hải Dương, học sinh Bắc Ninh − Bài 4.170 : Tính C2n và học sinh Hưng Yên Tổ thứ hai gồm học sinh nữ, đó có học sinh Hải Dương, học sinh Bắc Ninh và học sinh Hưng Yên Chọn tổ học sinh Tính xác suất để học sinh chọn tỉnh có học sinh nam và học sinh nữ Bài 4.172 : Trên các cạnh AB, BC, CD, DA hình vuông ABCD ta lấy 1, 2, và 2010 điểm phân biệt khác A, B, C, D Tính số tam giác tạo thành mà có các đỉnh lấy tập 2016 điểm nằm trên các cạnh hình vuông (khác các đỉnh hình vuông) Download tài li u h c t p t i : http://aotrangtb.comLop12.net Trang 80 (13) CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC Bài 4.173 : Có 10 viên bi đỏ có bán kính khác nhau, viên bi xanh có bán kính khác và viên bi vàng có bán kính khác Hỏi có bao nhiêu cách chọn viên bi có đủ ba màu? Bài 4.174 : Tính giá trị biểu thức sau : 2008 2010 S = C2010 − 3C2010 + 32 C2010 + · · · + 31004 C2010 − 31005 C2010 Bài 4.175 : Đặt (1 − x + x2 − x3 )4 = a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + a12 x12 Tính hệ số a7 Bài 4.176 : Từ các chữ số 1, 2, 3, có thể lập bao nhiêu số tự nhiên có chữ số, đó chữ số có mặt đúng lần, các chữ số còn lại có mặt không quá lần Trong các số tự nhiên nói trên, chọn ngẫu nhiên số, tìm xác suất để số chọn chia hết cho Bài 4.177 : Tìm số nguyên dương n, biết Cn1 2Cn2 3Cn3 nC n − + − · · · + (−1)n−1 nn = 2 2 32 10 + x3 với x , x Bài 4.179 : Từ sáu chữ số 1, 2, 3, 4, 5, lập bao nhiêu số có năm chữ số cho số có năm chữ số đó có hai Bài 4.178 : Tìm hệ số x10 khai triển + om chữ số còn các chữ số khác xuất không quá lần Bài 4.180 : Có học sinh lớp A, học sinh lớp B, học sinh lớp C Có bao nhiêu cách chọn học sinh từ các học sinh trên để lớp A, B, C có ít học sinh chọn c Bài 4.181 : Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 6, 7, 8, có thể lập bao nhiêu số tự nhiên có chữ số đôi khác đó ao tra Bài 4.183 : Tính ng tb phải có mặt chữ số √ n−k k n √ n P k x−1 x−1 √3 Bài 4.182 : Cho + √3 = Cn , biết n thỏa mãn Cn1 + Cn3 = 2Cn2 và số hạng thứ tư 2x 2x k=0 khai triển trên 2010n Xác định n và x A = 2010 20 C2010 21C2010 22 C2010 23 C2010 22010 C2010 − + − + ··· + 1.2 2.3 3.4 4.5 2011.2012 B = 2010 20 C2010 21C2010 22 C2010 23 C2010 22010 C2010 − + − + ··· + 2011 Bài 4.184 : Xếp bi đỏ có bán kính khác và bi trắng có cùng bán kính vào dãy gồm ô trống Hỏi : Có bao nhiêu cách xếp khác Có bao nhiêu cách xếp cho bi đỏ xếp cạnh và ba bi trắng xếp cạnh Bài 4.185 : Tính tổng sau S = Cn0 2 + Cn1 2 + ···+ Cnn n+1 2 Bài 4.186 : Tính tổng S = Cn0 + 2Cn1 + 3Cn2 + · · · + (n + 1)Cnn Bài 4.187 : Tìm hệ số x8 khai triển − x4 − Bài 4.188 : Cho khai triển 2x + 2 −x n = x 12 n X Cnk 2x n−k 2 −x k k=0 Tìm x, biết tổng số hạng thứ và thứ 135, còn tổng hệ số số hạng cuối 22 Lop12.net Download tài li u h c t p t i : http://aotrangtb.com Trang 81 (14) CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC Bài 4.189 : Tìm số hạng lớn khai triển (1 + 0, 2)1000 Bài 4.190 : Tìm hệ số x8 khai triển (x2 − 2)n , biết A3n + Cn1 = 8Cn2 + 49 n Bài 4.191 : Tìm hệ số x6 khai triển (x2 − x − 1)n , biết C2n+1 + C2n+1 + · · · + C2n+1 = 220 − Bài 4.192 : Tìm hệ số x11 khai triển (x2 + 2)n (3x2 + 1)n , biết 2n 2n−1 2n−k C2n − 3C2n + · · · + (−1)k 3k C2n + · · · + 32n C2n = 1024 n = a0 x3n + a1 x3n−5 + a2 x3n−10 + · · · Biết ba hệ số đầu a0 , a1 , a2 theo 2x2 thứ tự lập lập thành cấp số cộng Tính số hạng chứa x4 Bài 4.193 : Cho khai triển P(x) = x3 + Bài 4.194 : Tính S = Cn1 2 + Cn2 Bài 4.195 : Chứng minh 2 + Cn3 2 + · · · + n Cnn n , với n là số tự nhiên lẻ 12Cn1 + 22Cn2 + · · · + n2 Cnn = n(n + 1)2n−2 + C + · · · + C 2x ≥ 22003 − 1, với x ∈ N∗ Bài 4.196 : Giải bất phương trình C2x 2x 2x Bài 4.197 : Cho tập A gồm n phần từ (n > 4) Tìm n biết số các tập A có đúng 16n tập có số phần tử là lẻ om Bài 4.198 : Cho tập A có n phần tử (n > 7) Tìm n biết số tập gồm phần tử A hai lần số tập gồm ao tra ng tb .c phần tử Download tài li u h c t p t i : http://aotrangtb.com TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Lop12.net Trang 82 (15)