Các chuyên đề Luyện thi đại học - Chương 12: Mặt cầu và khối tròn xoay

Tính diện tích toàn phần của hình trụ nội tiếp hình nón, biết bán kính đáy hình trụ bằng r - tính theo R và r Hình trụ được gọi là nội tiếp hình nón nếu có một đường tròn đáy của hình tr[r]

Chương 12 Mặt cầu và khối tròn xoay Download tài li u h c t p t i : http://aotrangtb.com om 12.1 Mặt cầu, khối cầu .c  Điều kiện cần và đủ để hình chóp có mặt cầu ngoại tiếp là đáy hình chóp có đường tròn ngoại tiếp; điều kiện cần và đủ để tb hình lăng trụ có mặt cầu ngoại tiếp là hình lăng trụ đó phải là hình lăng trụ đứng và có đáy là đa giác có đường tròn ngoại tiếp (i) Xác định tâm (đường tròn ngoại tiếp) đa giác đáy ng Phương pháp chung để xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp và khối lăng trụ là : tra (ii) Xác định trục đáy (là đường thẳng qua tâm đáy và vuông góc với đáy) (iii) Xác định mặt trung trực cạnh bên Mặt trung trực này cắt trục đáy đâu thì đó là tâm mặt cầu ngoại tiếp ao Chú ý : Nếu có cạnh bên nào đó vuông góc với đáy (tổng quát là đồng phẳng với trục đáy), ta thay việc dựng mặt phẳng trung :// trực dựng đường trung trực cạnh bên này mặt phẳng tạo đường trung trực và trục đáy ht Tâm mặt cầu ngoại tiếp có thể xác định là giao trục đa giác đáy và trục mặt bên √ Ô = 120◦ và đường cao AH = a Trên đường thẳng ∆ vuông góc với mặt phẳng (ABC) Bài 12.1 : Cho tam giác cân ABC có BAC A lấy hai điểm I và J hai phía điểm A cho IBC là tam giác và JBC là tam giác vuông cân Tính theo a độ dài các cạnh tam giác ABC Tính theo a độ dài AI, AJ Chứng minh BI J, CI J là các tam giác vuông Xác định tâm và tính theo a bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện I JBC Xác định tâm và tính theo a bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện IABC Bài 12.2 : Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình chữ nhật và S A vuông góc với mặt phẳng đáy Gọi B′ , C ′ , D′ là hình chiếu vuông góc A trên S B, S C, S D Chứng minh Các điểm A, B′, C ′ , D′ đồng phẳng Bảy điểm A, B, C, D, B′, C ′ , D′ nằm trên mặt cầu Hình chóp S ABCD nội tiếp mặt cầu Lop12.net 239 CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC Bài 12.3 : Cho tam giác ABC vuông C Đường thẳng ∆ vuông góc với mặt phẳng (ABC) A Điểm S thay đổi trên ∆ (S khác A) Hạ AD⊥S C và AE⊥S B Chứng minh Các điểm A, B, C, D, E thuộc cùng mặt cầu Bốn điểm B, C, D, E cùng đường tròn Bài 12.4 : Cho hình chóp tam giác S ABC có đáy là tam giác cạnh a, mặt bên tạo với đáy góc ϕ Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Bài 12.5 : Cho tứ diện ABCD có bán kính mặt cầu nội tiếp r Gọi S là tổng diện tích các mặt tứ diện; hA , hB , hC , hD là độ dài đường cao xuất phát từ A, B, C, D tứ diện Chứng minh r.S 1 1 = + + + r hA hB hC hD VABCD = om Bài 12.6 : Cho hình chóp S ABCD có cạnh đáy a Gọi M và N là trung điểm S B và S D Biết AM⊥CN Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD c √ Bài 12.7 : Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên S A vuông góc với đáy, cạnh bên S B = a Tính thể tích khối chóp S ABCD tb Chứng minh trung điểm cạnh S C là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD phẳng qua A vuông góc với S B, cắt S B, S C, S D B′ , C ′ , D′ tra Chứng minh tứ giác A, B′, C ′ , D′ nội tiếp đường tròn ng Bài 12.8 : Cho hình chóp S ABCD có đáy là nửa lục giác đều, AB = 2a, BC = CD = DA = a, S A vuông góc với đáy, S A = h Mặt Chứng minh các điểm A, B, C, D, B′, C ′ , D′ thuộc cùng mặt cầu ao Tính thể tích khối chóp S AB′C ′ D′ Tính diện tích tứ giác AB′C ′ D′ :// Bài 12.9 : Cho tứ diện ABCD có AB = CD = c, AD = BC = a, AC = BD = b Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ht Bài 12.10 : Cho tứ diện OABC vuông O, OA = a, OB = b, OC = c Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện Bài 12.11 : Cho tứ diện OABC vuông O Gọi R, r, h là bán kính mặt cầu ngoại tiếp, nội tiếp, chiều cao kẻ từ O tứ diện Chứng minh √ h ≤ + r √ R 3+3 ≥ r Bài 12.12 : Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB = a, S A vuông góc với đáy, S C tạo với đáy góc 45◦ và tạo với mặt phẳng (S AB) góc 30◦ Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Bài 12.13 : Cho tam giác ABC Đường thẳng ∆ vuông góc với mặt phẳng (ABC) A Điểm M thay đổi trên ∆ Kẻ BE⊥AC, BF⊥MC (E ∈ AC, F ∈ MC) Đường thẳng EF cắt đường thẳng ∆ N Chứng minh AM.AN không đổi Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện MNBC có tâm thuộc đường thẳng cố định Bài 12.14 : Cho hình lập phương ABCD.A′ B′C ′ D′ có cạnh a Hãy xác định tâm và tính bán kính mặt cầu (tính theo a) các trường hợp sau : (a) Mặt cầu qua đỉnh hình lập phương ; (b) Mặt cầu tiếp xúc với 12 cạnh hình lập phương ; (c) Mặt cầu tiếp xúc với mặt bên hình lập phương TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Lop12.net Trang 240 CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC Chứng minh : có vô số mặt cầu qua hai điểm cố định A và B cho trước Hãy tìm tập hợp tâm các mặt cầu đó Bài 12.15 : Cho hai đường tròn C1 và C2 có tâm O1 và O2 Hai đường tròn này nằm hai mặt phẳng khác và có chung dây cung AB Chứng minh có mặt cầu qua hai đường tròn C1 và C2 Cho đường thẳng a cố định và điểm M cố định không thuộc đường thẳng a Gọi O là điểm di động trên đường thẳng a Vẽ mặt cầu (S ) có tâm O và bán kính R = OM Chứng minh : mặt cầu (S ) luôn luôn qua đường tròn cố định Bài 12.16 : Cho mặt cầu S (O; R) và điểm A cho OA = 2R Qua A kẻ tiếp tuyến tới mặt cầu (và giả sử B là tiếp √ điểm) và kẻ cát tuyến cắt mặt cầu C và D, biết : CD = R (a) Tính độ dài AB theo R ; (b) Tính khoảng cách từ O tới đường thẳng CD Cho mặt cầu S (O; R) và điểm A thuộc mặt cầu này Gọi (Q) là mặt phẳng qua A cho góc đường thẳng OA và mặt phẳng (Q) là 30◦ om (a) Tính diện tích thiết diện (theo R) mặt cầu với mặt phẳng (Q) (b) Kẻ đường thẳng ∆ qua A và vuông góc với mặt phẳng (Q) Đường thẳng ∆ cắt mặt cầu B Tính độ dài cạnh AB theo Bài 12.17 : .c R Cho mặt cầu S (O; R) tiếp xúc với mặt phẳng (Q) điểm I Gọi M là điểm thuộc mặt cầu này Từ M kẻ hai tb tiếp tuyến với mặt cầu S (O; R) cho hai tiếp tuyến này cắt mặt phẳng (Q) A và B Biết MA⊥MB Chứng minh : ng AB2 = IA2 + IB2 Cho mặt phẳng (Q) và hai điểm A và B cố định nằm phía mặt phẳng (Q) cho đường thẳng AB cắt mặt phẳng (Q) điểm I Gọi mặt cầu S (O; R) là mặt cầu thay đổi luôn qua A và B đồng thời tiếp xúc với mặt phẳng (Q) Gọi M là Bài 12.18 : tra tiếp điểm mặt cầu S (O; R) với mặt phẳng (Q) Chứng minh : điểm M di động trên đường tròn cố định C nào đó Cho hình chóp tam giác S ABC có cạnh đáy a và cạnh bên b Hãy xác định tâm và tính bán kính ao mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đó theo a và b Cho ba đoạn thẳng S A, S B, S C đôi vuông góc với tạo thành tứ diện S ABC, với S A = a, S B = b, S C = c Xác :// định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện đó theo a, b, c ht Bài 12.19 : Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A′ B′C ′ có cạnh a Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngaoij tiếp hình lăng trụ đã cho ; Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu nói trên (tính theo a) Bài 12.20 : Cho hình chóp S ABC có S A = S B = S C = a và có chiều cao h Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đó (tính theo a và h) Tính diện tích mặt cầu đó Bài 12.21 : Trong mặt phẳng (Q) cho hình vuông ABCD có cạnh a Lấy điểm S thuộc đường thẳng Ax vuông góc với (Q) Gọi (P) là mặt phẳng qua A và vuông góc với S C Mặt phẳng (P) cắt S B, S C, S D M, N, E Chứng minh : bảy điểm A, B, C, D, M, N, E là cùng thuộc mặt cầu Tính diện tích mặt cầu đó theo a và thể tích khối cầu đó Bài 12.22 : Cho tứ diện S ABC có S A⊥(ABC) và S A = a, S B = b, S C = c Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện đã cho các trường hợp sau : Ô = 90◦ ; có BAC Ô = 60◦ và b = c ; có BAC Ô = 120◦ và b = c có BAC Bài 12.23 : Cho mặt cầu S (O; R) và mặt phẳng (Q) cách tâm O khoảng h (0 < h < R) Mặt phẳng cắt mặt cầu (Q) theo đường tròn C Vẽ đường thẳng d qua điểm A cố định thuộc đường tròn C và d⊥(Q) Đường thẳng d cắt mặt cầu S (O; R) B Gọi CD là đường kính di động đường tròn C Chứng minh : AD2 + BC và AC + BD2 là không đổi Lop12.net Download tài li u h c t p t i : http://aotrangtb.com Trang 241 CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC Tìm vị trí đường kính CD để diện tích tam giác BCD là lớn Kẻ BH⊥CD với H ∈ CD Tìm tập hợp điểm H CD di động Bài 12.24 : Cho hình tứ diện ABCD có cạnh a và có đường cao AH Gọi O là trung điểm AH Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OBCD Bài 12.25 : Cho hình chóp S ABCD có S A = a là chiều cao hình chóp và đáy ABCD là hình thang vuông A và B, có AB = BC = a và AD = 2a Gọi E là trung điểm cạnh AD Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S CDE 4R Bài 12.26 : Cho hình cầu đường kính AA′ = 2R Gọi H là điểm trên đoạn AA′ cho AH = , mặt phẳng (Q) qua H và vuông góc với AA′ cắt hình cầu theo đường tròn C Tính diện tích đường tròn C ; Giả sử tam giác BCD là tam giác nội tiếp đường tròn C Hãy tính thể tích hình tứ diện ABCD và A′ BCD theo R Chứng minh : Nếu tứ diện ABCD có mặt cầu tiếp xúc với cạnh nó thì tứ diện đó có tổng các cặp om Bài 12.27 : cạnh đối diện là √ Cho hình chóp tam giác S ABC có cạnh đáy a và cạnh bên a Một mặt cầu qua đỉnh A và tiếp xúc với hai .c cạnh S B, S C E và F là trung điểm cạnh tb (a) Chứng minh : mặt cầu đó qua M và N là trung điểm AB và AC ng (b) Gọi giao điểm thứ hai mặt cầu với đường thẳng S A là D Tính độ dài AD và S D Chứng minh : ACD là tam giác vuông ; Tìm tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD ; ao Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD tra Bài 12.28 : Cho tứ diện ABCD có AB = BC = CA = BD = a, AD = b và mặt phẳng (ACD)⊥(BCD) Bài 12.29 : Cho tam giác ABC có cạnh a Vẽ đường thẳng d qua A và vuông góc với mặt phẳng (ABC) Gọi S là điểm :// bất kì trên d với S A ht Tìm tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S ABC ; Cho S A = h cho trước Hãy tính diện tích và thể tích hình cầu ngoại tiếp tứ diện S ABC ; Gọi A′ là điểm đối xúng A qua tâm mặt cầu nói trên Chứng minh : S thay đổi trên đường thẳng d thì A′ luôn thuộc đường thẳng cố định Bài 12.30 : Cho tam giác ABC cạnh a Gọi (P) là mặt phẳng qua cạnh BC và (P)⊥(ABC) Gọi (C ) là đường tròn đường kính BC và đường tròn này nằm mặt phẳng (P) Gọi S là điểm di động trên đường tròn (C ) Chứng minh : Tổng T = S A2 + S B2 + S C là số không đổi ; Tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S ABC là điểm cố định (nếu S B và C) Bài 12.31 : Cho hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy a và chiều cao S H = a Chứng minh : tồn mặt cầu tâm H tiếp xúc với tất các mặt bên hình chóp Tính bán kính R mặt cầu đó theo a Gọi (Q) là mặt phẳng song song với (ABCD) và khoảng cách hai mặt phẳng này là x, với < x < R Gọi S td là diện tích thiết diện tạo mặt phẳng (Q) với hình chóp nó bỏ phần nằm mặt cầu Hãy xác định x để S td = πR2 Bài 12.32 : Cho hình chóp S ABCD với đáy ABCD là tứ giác có AC⊥BD H và S H là đường cao hình chóp đã cho Chứng minh : bốn tâm mặt cầu ngoại tiếp các hình chóp S HAB, S HBC, S HCD, S HDA là bốn điểm O1 , O2 , O3 , O4 tạo thành hình chữ nhật TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Lop12.net Trang 242 CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC Gọi M, N, E, F là hình chiếu điểm H trên AB, BC, CD, DA Chứng minh : hình chóp S MNEF có mặt cầu ngoại tiếp Ô = α◦ và BDC Ô = β◦ Tính diện tích thiết diện mặt cầu cắt (ABCD), biết ME = a, BAC Ô = α◦ Gọi M, N là hình chiếu vuông góc A Bài 12.33 : Cho hình chóp S ABC có S A⊥(ABC); AB = c, AC = b, BAC trênS B, S C Chứng minh : các điểm A, B, C, M, N cùng thuộc mặt cầu và tính bán kính mặt cầu đó theo b, c, α◦ Bài 12.34 : Cho hai tia Ax, By chéo và Ax⊥By Biết AB là đoạn vuông góc chung Ax và By Lấy điểm C thuộc tia Ax và điểm D thuộc tia By Tìm tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD theo a, b, c đó b = AC và c = BD Cho C và D di động trên Ax và By cho AC + BD = CD Chứng minh : đường thẳng CD luôn tiếp xúc với mặt cầu đường kính AB Bài 12.35 : Cho trước mặt cầu tâm O bán kính R và điểm A cố định thuộc mặt cầu Ba tia At1 , At2 , At3 là ba tia thay đổi, đôi om vuông góc với và cắt mặt cầu các điểm B, C, D Chứng minh : hình hộp dựng trên ba cạnh AB, AC, AD có đường chéo cố định và mặt phẳng (BCD) luôn luôn qua điểm cố định c Chứng minh : hình chiếu H điểm D trên đường thẳng BC luôn thuộc mặt cầu cố định tb Bài 12.36 : Cho đường tròn (O) đường kính AB = 2R nằm mặt phẳng (P) Gọi C là điểm đối xứng với O qua A Lấy điểm S ng cho : S C⊥(P) và S C = 2R Tính thể tích khối cầu qua đường tròn đã cho và qua điểm S Ô = 30◦ Xét hai tia Bx, Cy cùng hướng và vuông góc với mặt phẳng (ABC) Bài 12.37 : Cho tam giác ABC vuông A có BC = 2a, ACB tra Hãy xác định vị trí điểm E trên tia Bx cho mặt cầu đường kính BE tiếp xúc với Cy Hãy xác định vị trí điểm F thuộc tia Cy cho mặt cầu đường kính tiếp xúc với Bx ao Với các điểm E, F tìm trên, hỏi đa diện ABCFE có mặt cầu ngoại tiếp không ? Hãy tính thể tích khối đa diện đó Bài 12.38 : Trong vô số các hình hộp nội tiếp mặt cầu bán kính R cho trước Hãy tìm hình hộp thỏa mãn các tính chất :// sau : ht Thể tích hình hộp đạt giá trị lớn Tổng độ dài các cạnh hình hộp đạt giá trị lớn Bài 12.39 : Trong vô số các hình chóp tam giác nội tiếp mặt cầu bán kính R cho trước Hãy tìm hình chóp chữ số thể tích lớn Hãy mở rộng bài toán cho hình chóp n-giác 12.2 Mặt tròn xoay Mặt trụ, hình trụ và khối trụ Bài 12.40 : Cho trước mặt phẳng (P) có điểm cố định A thuộc mặt phẳng (P) và điểm cố định B < (P), đó hình chiếu vuông góc H Õ = BMH Õ Chứng điểm B lên mặt phẳng (P) là không trùng với A Gọi M là điểm di động trên mặt phẳng (P) cho ABM minh : điểm M luôn nằm trên mặt trụ tròn xoay có trục là đường thẳng AB Bài 12.41 : Cho mặt trụ tròn xoay (T ) và điểm S cố định nằm ngoài (T ) Gọi d là đường thẳng thay đổi luôn qua S và cắt mặt trụ (T ) A và B Gọi I là trung điểm AB Chứng minh : trung điểm I đó luôn luôn nằm trên mặt trụ cố định nào đó √ Bài 12.42 : Một khối trụ có bán kính đáy R và chiều cao h = R Lấy điểm A thuộc đường tròn (O) và điểm B thuộc đường tròn (O′ ) là hai đường tròn đáy khối trụ đã cho, cho góc tạo đường thẳng AB và trục khối trụ là 30◦ Gọi (Q) là mặt phẳng qua AB và mặt phẳng (Q) song song với trục khối trụ Hãy tính diện tích thiết diện mặt phẳng (Q) với khối trụ (tính theo R) Lop12.net Download tài li u h c t p t i : http://aotrangtb.com Trang 243 CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC Tính góc hai bán kính OA và O′ B Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung AB với trục khối trụ √ Bài 12.43 : Một hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O và tâm O′ và bán kính R Chiều cao hình trụ h = R Lấy điểm A thuộc đường tròn (O) và điểm B thuộc đường tròn (O′ ) cho OA⊥O′ B Chứng minh : các mặt tứ diện OABO′ là tam giác vuông Tính thể tích tứ diện này theo R Gọi (Q) là mặt phẳng qua AB và (Q) ∥ OO′ Tính khoảng cách đường thẳng OO′ và mặt phẳng (Q) theo R √ R ′ Chứng minh : (Q) tiếp xúc với mặt trụ (T ) có trục OO , bán kính dọc theo đường sinh Bài 12.44 : Cho hình trụ có đáy là hai đường tròn (O) và (O′ ) có bán kính R = 50cm, chiều cao hình trụ là h = 50cm Tính diện tích xung quanh hình trụ và thể tích khối trụ tạo nên Lấy điểm A thuộc đường tròn (O) và điểm B thuộc đường tròn (O′ ) là hai đường tròn đáy hình trụ Biết AB = 100cm Tính om khoảng cách đường thẳng AB và trục hình trụ Bài 12.45 : Cho hình chóp tam giác S ABC có S A = a và góc mặt bên và đáy là α◦ Gọi (T ) là hình trụ có đường tròn đáy .c là đường tròn nội tiếp tam giác ABC và chiều cao hình trụ là chiều cao hình chóp S ABC Tính diện tích xung quanh hình trụ (T ) Hỏi các mặt bên : S AB, S BC, S CA cắt hình trụ (T ) theo giao tuyến nào ? tb Bài 12.46 : Cho khối trụ có chiều cao 20cm và bán kính đáy 10cm Kẻ hai bán kính OA và O′ B nằm trên hai ng đáy khối trụ cho góc chúng 30◦ Gọi (Q) là mặt phẳng qua AB′ và (Q) song song với trục khối trụ Hãy tính diện tích thiết diện khối trụ và mặt phẳng (Q) Tính diện tích xung quanh khối trụ đó theo R tra Bài 12.47 : Cho khối trụ có bán kính R và có thiết diện qua trục là hình vuông ao Vẽ hình trụ tứ giác nội tiếp hình trụ đã cho Hãy tính thể tích lăng trụ đó theo R Gọi V là thể tích khối lăng trụ tứ giác nói trên và V ′ là thể tích khối trụ Hãy tính tỉ số : V V′ :// Bài 12.48 : Một hình trụ có diện tích xung quanh là S , diện tích đáy diện tích mặt cầu bán kính a Hãy tính : ht Thể tích hình trụ đã cho theo a và S Diện tích thiết diện qua trục hình trụ Bài 12.49 : Cho hình trụ có bán kính đáy R và thiết diện qua trục hình trụ là hình vuông Tính thể tích và diện tích hình cầu ngoại tiếp hình trụ theo R Một mặt phẳng (P) song song với trục hình trụ, cắt đáy hình trụ theo dây cung có độ dài bán kính đáy hình trụ Tính diện tích các thiết diện hình trụ đã cho và hình cầu ngoại tiếp hình trụ bị cắt mặt phẳng (P) (tính theo R) Bài 12.50 : Cho hình trụ có bán kính đáy R và chiều cao OO′ = h Gọi A và B là hai điểm thay đổi trên hai đường tròn (O) và √ (O′ ) là hai đường tròn đáy cho AB = a không đổi (h < a < h2 + 4R2 ) Chứng minh : Góc hai đường thẳng AB và OO′ là không đổi Chứng minh : Khoảng cách hai đường thẳng AB và OO′ là không đổi Bài 12.51 : Cho hình trụ có bán kính đáy R, có trục OO′ = h Một mặt phẳng (P) thay đổi qua tâm O, tạo với đáy hình trụ góc α◦ cho trước và cắt hai đáy hình trụ theo các dây cung AB và CD (dây AB qua O) Tính diện tích tứ giác ABCD theo R và h Chứng minh : hình chiếu vuông góc K điểm O′ lên mặt phẳng (P) luôn luôn thuộc đường tròn cố định TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Lop12.net Trang 244 CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC Bài 12.52 : Cho hình lăng trụ lục giác ABCDEF.A′ B′C ′ D′ E ′ F ′ có cạnh đáy a và chiều cao h Tính theo a và h diện tích : xung quanh và thể tích hình trụ ngoại tiếp lăng trụ đó toàn phần và thể tích hình trụ nội tiếp hình lăng trụ đã cho Bài 12.53 : Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A′ B′C ′ D′ có đáy ABCD là hình thang cân với đáy nhỏ AB = a, đáy lớn CD = 4a, hai cạnh 5a bên , chiều cao lăng trụ h Chứng minh : tồn hình trụ nội tiếp hình lăng trụ đã cho Tính diện tích toàn phần và thể tích hình lăng trụ đó theo a và h Bài 12.54 : Cho hình trụ có trục O1 O2 Một mặt phẳng (α) ∥ O1 O2 cắt hình trụ theo thiết diện là hình chũ nhật ABCD Gọi O là tâm thiết diện đó Biết bán kính đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD là bán kính đường tròn đáy hình trụ đã cho Hãy om Ö tính góc O OO2 Bài 12.55 : Cho hình trụ có thiết diện qua trục là hình vuông, diện tích xung quanh 4π Tính diện tích toàn phần hình trụ ; .c Tính thể tích khối trụ ; ng Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình trụ ; tb Tính thể tích khối lăng trụ n-giác nội tiếp hình trụ ; Một mặt phẳng (α) song song với trục hình trụ và cắt hình trụ đó theo thiết diện ABB1 A1 Biết cạnh thiết diện là tra dây cung đường tròn đáy và chắn cung tròn 120◦ Hãy tính diện tích thiết diện đó Bài 12.56 : Xét nột hình trụ nội tiếp mặt cầu tâm O có bán kính R cho trước Biết diện tích thiết diện qua trục hình trụ ao này là lớn (so với các hình trụ khác cùng nội tiếp mặt cầu đã cho) Tính thể tích V và diện tích toàn phần S hình trụ đã cho theo R :// Tính thể tích lăng trụ n-giác ngoại tiếp hình trụ đã cho ht Tính diện tích thiết diện hình trụ cắt mặt phẳng song song với trục hình trụ và cách trục khoảng R Bài 12.57 : Cho hình hộp ABCD.A1 B1C1 D1 nội tiếp hình trụ cho trước, góc đường thẳng B1 D và (ABB1 A1 ) là 30◦ 3a Khoảng cách từ trục hình trụ đến mặt phẳng (ABB1 A1 ) là Tính thể tích hình hộp đã cho và thể tích hình cầu ngoại tiếp hình hộp, biết đường chéo đáy hình hộp là 5a Bài 12.58 : Cho hai điểm A, B cố định Gọi d là đường thẳng di động luôn luôn qua A và d luôn cách điểm B khoảng AB BH = a = Chứng minh : đường thẳng d luôn luôn nằm trên mặt nón tròn xoay Bài 12.59 : Cho khối nón tròn xoay có đường cao h = 20cm, bán kính đáy r = 25cm Một mặt phẳng (P) qua đỉnh khối nón và có khoảng cách tới tâm O đáy là 12cm Hãy xác định thiết diện mặt phẳng (P) với khối nón đã cho và tính diện tích thiết diện đó Bài 12.60 : Cho hình lập phương ABCD.A′ B′C ′ D′ có cạnh a Gọi O là tâm hình vuông ABCD Hãy tính diện tích xung quanh và thể tích khối nón N có đỉnh là tâm O và đáy là hình tròn nội tiếp hình vuông A′ B′C ′ D′ Bài 12.61 : Cho hình nón N có đỉnh là điểm D, có O là tâm đường tròn đáy, có độ dài đường sinh l và có góc đường sinh với mặt đáy α◦ Tính diện tích xung quanh và thể tích khối nón N theo l và α◦ Gọi I là điểm trên đường cao DO hình nón cho qua I và vuông góc với trục hình nón (tính theo l, α◦ , k) DI = k Tính diện tích thiết diện hình nón với mặt phẳng (Q) DO Bài 12.62 : Cho hình nón N có thiết diện qua trục là tam giác vuông cân có cạnh a Lop12.net Download tài li u h c t p t i : http://aotrangtb.com Trang 245 CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC Tính diện tích toàn phần và thể tích hình nón N đã cho (tính theo a) Một mặt phẳng (Q) qua đỉnh hình nón và tạo với mặt phẳng đáy góc 60◦ Tính diện tích thiết diện tạo nên hình nón N và mặt phẳng (Q) Bài 12.63 : Cho hình chóp tam giác S ABC có các cạnh bên a và có góc mặt bên với mặt đáy α◦ Vẽ hình nón N có đỉnh S và có đường tròn đáy nội tiếp tam giác ABC - gọi là hình nón nội tiếp hình chóp đã cho Hãy tính diện tích xung quanh hình nón N theo a và α◦ Bài 12.64 : Cho hình chóp tứ giác S ABCD có chiều cao S O = h và SÔ AB = α◦ (α > 45◦ ) Vẽ hình nón N có đỉnh S và có đường tròn đáy ngoại tiếp hình vuông ABCD Hãy tính diện tích xung quanh hình nón N đó theo h và α◦ Bài 12.65 : Cho khối nón N có bán kính đáy R = 12cm và có góc đỉnh 120◦ Hãy tính diện tích thiết diện qua hai đường sinh vuông góc với Bài 12.66 : Cho hình nón N có bán kính đáy R, đường cao S O Một mặt phẳng (P) cố định vuông góc với S O A, cắt hình O và A) Mặt phẳng (Q) cắt hình nón theo thiết diện là đường tròn có bán kính x om nón N theo đường tròn có bán kính R1 Gọi mặt phẳng (Q) là mặt phẳng thay đổi và vuông góc với S O B (điểm B nằm Hãy tính x theo R và R1 biết mặt phẳng (Q) chia khối tròn xoay hình nón nằm (P) và đay hình nón thành hai phần có thể tích c Bài 12.67 : Cho hình nón N có bán kính đáy R, góc đường sinh và đáy hình nón α◦ Một mặt phẳng (P) song tb song với đáy hình nón và cách đáy hình nón khoảng h, và cắt hình nón N theo đường tròn (C ) ng Tính bán kính đường tròn (C ) theo R, h, α◦ ; Tính diện tích và thiết diện phần hình nón nằm đáy hình nón N và mặt phẳng (P) S O Gọi (P) là mặt phẳng vuông góc với S O A Một mặt phẳng (Q) qua trục hình nón cắt khối tròn xoay nằm khối nón N - khối đó tra Bài 12.68 : Cho hình nón N có bán kính đáy R, đường cao S O Lấy điểm A thuộc đường cao S O cho S A = nằm mặt phẳng (P) và đáy hình nón - theo thiết diện là hình tứ giác có hai đường chéo vuông góc với Hãy tính thể tích khối ao tròn xoay khối nón N nằm (P) và mặt phẳng chứa đáy hình nón (tính theo R) b = 60◦ Biết có hình nón nội tiếp hình chóp đã Bài 12.69 : Cho hình chóp S , ABC có đáy ABC là tam giác vuông A, có B :// cho với bán kính đáy là r, góc đường sinh và đáy hình nón là β◦ ht Tính diện tích xung quanh và thể tích hình nón theo r và β◦ ; Tính diện tích xung quanh và thể tích hình chóp theo r và β◦ Bài 12.70 : Gọi (C ) là đường tròn chứa các điểm tiếp xúc mặt xung quanh hình nón với mặt cầu nội tiếp hình nón đó Đường tròn (C ) chia mặt xung quanh hình nón thành hai phần Hãy tính tỉ số diện tích hai phần đó, biết diện tích hình cầu diện tích đáy hình nón Bài 12.71 : Cho hình nón N có bán kính đáy R và chiều cao 4R Tính diện tích toàn phần hình trụ nội tiếp hình nón, biết bán kính đáy hình trụ r - tính theo R và r (Hình trụ gọi là nội tiếp hình nón có đường tròn đáy hình trụ nằm trên mặt xung quanh hình nón và đáy còn lại hình trụ nằm mặt đáy hình nón) Tính bán kính đáy r và chiều cao h hình trụ nội tiếp hình nón theo R để diện tích toàn phần hình trụ đạt giá trị lớn Bài 12.72 : Tìm hình nón có thể tích lớn cho hình nón đó phải nội tiếp mặt cầu bán kính R cho trước Tìm hình nón có thể tích nhỏ cho hình nón đó phải ngoại tiếp mặt cầu bán kính r cho trước Bài 12.73 : Tìm hình tròn có thể tích lớn biết diện tích toàn phần nó diện tích hình tròn có bán kính a cho trước Bài 12.74 : Đường cao hình nón gấp hai lần bán kính đáy nó Tính tỉ số thể tích hình cầu ngoại tiếp và nội tiếp hình nón đó Bài 12.75 : Trong tất các hình nón nội tiếp hình cầu bán kính R cho trước, tìm hình nón có diện tích xung quanh lớn Với hình nón ấy, xét hình trụ nội tiếp hình nón Tìm chiều cao hình trụ đó, biết thiết diện qua trục hình trụ là hình vuông Download tài li u h c t p t i : http://aotrangtb.com Lop12.net Trang 246 CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC Bài 12.76 : Một mặt phẳng (Q) qua hai đường sinh hình nón, cắt mặt đáy hình nón theo dây cung có độ dài gấp k lần đường cao hình nón Gọi α◦ là góc mặt phẳng (Q) và mặt đáy hình nón Biết α = góc tạo hai đường sinh hình nón mà hai đường sinh đó nằm (Q) Hãy tính cos α theo k Bài 12.77 : Cho hình nón N có đỉnh S , đường cao S O Gọi A và B là hai điểm thuộc đường tròn đáy hình nón cho khoảng cách từ điểm O tới AB là a Biết SÔ AO = 30◦ và SÔ AB = 60◦ Tính diện tích xung quanh hình nón N theo a Bài 12.78 : Cho hai điểm cố định A và B, đó AB = a Với điểm C không gian cho tam giác ABC đều, kí hiệu AE là đường cao tam giác ABC và d là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Trong mặt phẳng chứa d và AE, xét đường tròn đường kính AE Gọi S là giao điểm đường tròn này và đường thẳng d Tính diện tích xung quanh và thể tích hình nón ngoại tiếp hình chóp S ABC (tính theo a) Chứng minh : điểm C thay đổi thì điểm S luôn thuộc đường tròn cố định và đường thẳng S A, S B luôn thuộc ht :// ao tra ng tb .c om mặt nón cố định Download tài li u h c t p t i : http://aotrangtb.com Lop12.net TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 247 ht :// ao tra ng tb .c om CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC Download tài li u h c t p t i : http://aotrangtb.com TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Lop12.net Trang 248 Chương 13 Phương pháp không gian toạ độ không gian Download tài li u h c t p t i : http://aotrangtb.com om 13.1 Hệ toạ độ không gian .c Vấn đề : Tìm tọa độ vectơ và các yếu tố liên quan đến vectơ thỏa mãn số điều kiện cho trước tb  Sử dụng các định nghĩa có tính liên quan đến vectơ : tọa độ vectơ, độ dài vectơ, tổng (hiệu) hai vectơ, tọa độ trung điểm, tra Bài 13.1 : Viết toạ độ các vectơ sau đây : ng tọa độ trọng tâm, ao − − − → → − → − − → − → − → → −a = 4→ j ; b = − i + j ;→ c = i +2 j − k ht :// − −a = (−3; 1; 2),→ −c = (−3; 2; 0) Bài 13.2 : Cho các vectơ → b = (1; 3; 4),→ − → → − −a , 3→ −a − 2→ −c Hãy xác định toạ độ các vectơ 3→ b , −a − b + 2→ → − − → −a ,→ Hãy biểu diễn vectơ d = (−1; 0; 2) theo ba vectơ → b , −c − − − − −a và → −a + → −a − → −a | = 3, |→ Bài 13.3 : Cho hai vectơ → b tạo với góc 120◦ Tìm |→ b | và |→ b | biết |→ b | = −a = (1; −3; 4) Bài 13.4 : Cho vectơ → → − −a Tìm y0 và z0 vectơ b = (2; y0 ; z0 ) cùng phương với → −c biết → −a và → −c ngược hướng và |→ −c | = 2|→ −a | Tìm tọa độ vectơ → Bài 13.5 : Cho hình hộp ABCD.A′ B′C ′ D′ , biết A(1; 0; 1), B(2; 1; 2), D(1; −1; 1), C ′(4; 5; −5) Tìm toạ độ các đỉnh còn lại hình hộp Bài 13.6 : Trong không gian Oxyz, xét hình hộp chữ nhật ABCD.A′ B′C ′ D′ , cạnh đáy a, cạnh bên AA′ = 2a, A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), D(0; a; 0), A′ (0; 0; 2a) Xác định toạ độ các đỉnh còn lại −−−→ Xác định toạ độ DB′ Xác định toạ độ trung điểm M đoạn BA′ Xác định toạ độ trọng tâm tam giác B′CD Vấn đề : Ứng dụng tích vô hướng và tích có hướng  Sử dụng các công thức Lop12.net 249