các chuyên đề ôn thi đh

 Nhaän daïng tam giaùc baèng caùch ruùt goïn heä thöùc ñaõ cho hay chöùng toû heä thöùc ñoù laø ñieàu kieän daáu baèng cuûa baát ñaúng thöùc. Heä thöùc trong tam giaùc caàn chuù yù a.[r]

(1)

 Chuyên đề 2: LƯỢNG GIÁC

 Vấn đề 1: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC A PHƯƠNG PHÁP GIẢI

1 Phương trình lượng giác

cosx = cos  x =  + k2 sinx = sin  x k2

x k2

   



     

tanx = tan  x =  + k

cotx = cot  x =  + k (với k  )

2 Phương trình bậc hai hàm số lượng giác asin2x + bsinx + c = Đặt t = sinx,  t acos2x + bcosx + c = Đặt t = cosx,  t atan2x + btanx + c = Đặt t = tanx

acot2x + bcotx + c = Đặt t = cotx

3 Phương trình bậc sinx, cosx

asinx + bcosx = c (*)

Điều kiện có nghiệm: a2 + b2 c2  Cách 1: Chia hai vế cho a2b2  (*) 

2

a

a b sinx + 2 b

a b cosx = 2

c a b

Do

2

a

a b

 

 



  +

2

b

a b

 

 



  =

Nên đặt

2

a

a b = cos, 2 b

a b = sin

Khi đó:

(*)  sinxcos + sincosx =

2

c

a b  sin(x + ) = 2 c a b  Cách 2: Chia hai vế cho a (giả sử a  0)

(*)  sinx +b

acosx = c a

Đặt b

a= tan Khi đó: (*)  sinx + sin cos

 cosx =

(2)

TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN

 sinx cos + sin cosx =c

acos  sin(x + ) = c acos  Cách 3: Đặt ẩn số phuï

 Xét x = (2k + 1) với (k  ) có nghiệm  Xét x  (2k + 1) với (k  )

Đặt t = tanx

2

Khi đó: (*)  a 2t2

1 t + b

2

1 t t



 = c  (b + c)t

2– 2at + c – b =

4 Phương trình đối xứng: a(sinx + cosx) + bsinxcosx + c = Đặt t = sinx + cosx = 2cos x

4



  

 

 

Điều kiện  t

Khi đó: t2 = + 2sinxcosx  sinxcosx =t2



Thay vào phương trình ta phương trình đại số theo t  Chú ý: a(sinx  cosx) + bsinxcosx + c =

Đặt t = sinx – cosx (với t  2)

5 Phương trình đẳng cấp bậc sinx, cosx

asin2x + bsinxcosx + ccos2x =  Xeùt cosx =  x =

2



+ k (k  ) coù nghiệm không?

 Xét cosx  Chia vế cho cos2x ta thu phương trình bậc theo tanx  Chú ý: Nếu phương trình đẳng cấp bậc k sinx, cosx ta xét cosx =

và xét cosx  chia vế phương trình cho coskx ta thu phương trình bậc k theo tanx

B ĐỀ THI

Bài 1: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2011

Giải phương trình: sin2x cos2x2 sinx.sin2x cot x

  



Giaûi

Điều kiện: sinx  Khi đó:

(1)      

2

1 sin2x cos2x 2 sinx 2sinxcosx

sin x

(3)

 sin x sin2x cos2x2    2 sin x.cosx2

1 sin2x cos2x 2 cosx   (vì sinx  0)  2cos x 2sinxcosx 2 cosx 02     cosx cosx sinx   

    

 

cosx sin x

4

 x      k x  k2

2 (k  Z) (Thỏa điều kiện sinx  0)

Vậy nghiệm (1) x      k x  k2

2 (k  Z)

Bài 2: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2011

Giải phương trình: sin2xcosx sinxcosx cos2x sinx cosx   

Giaûi

sin2xcosx sinxcosx cos2x sinx cosx     2sinx.cos2x + sinx.cosx = 2cos2x – + sinx + cosx  sinx.cosx(2cosx + 1) = cosx(2cosx + 1) + sinx –  cosx (2cosx + 1)(sinx – 1) = sinx –

 sinx – = cosx (2cosx + 1) =  sinx = 2cos2x + cosx – =  sinx = cosx = –1 cosx =

2

 x k2

2



   x  k2 hoặcx k2



   

 x k2

2



   x  k2

3 (k Z) Bài 3: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2011

Giải phương trình:    



sin2x 2cosx sinx 0

tanx

Giaûi

   



sin2x 2cosx sinx 0

tanx Điều kiện: tanx   vaø cosx 

(4)

 2cosx sinx 1   sinx 0   sinx 2cosx 1    

  



 



sinx (Loại cosx = 0)

1 cosx

2

 x   k2

3 (k Z)

So với điều kiện ta nghiệm phương trình x  k2

3 (k Z) Bài 4: CAO ĐẲNG KHỐI A, B, D NĂM 2011

Giải phương trình: cos4x + 12sin2x – =

Giaûi

cos4x + 12sin2x – =  2cos22x – + 6(1 – cos2x) – =  cos22x – 3cos2x + =  cos2x = hay cos2x = (loại)  2x = k2π  x = kπ (k  Z)

Giải phương trình:

(1 sinx cos2x)sin x

1

4 cosx

1 tanx



  

 

 

 

 

Giaûi

Điều kiện: cosx 0 tanx ≠ –

Với điều kiện trên, phương trình cho tương đương: (1 sinx cos2x).(sinx cosx)

cosx tanx

   



 (1 sinx cos2x).(sinx cosx)cosx cosx sinx cosx

  

 

1 sin x cos2x sin x cos2x

1

2sin x sin x sin x 1(loại) hay sin x

2

x k2 hay x k2 (k Z)

6

      

       

 

        

Giải phương trình (sin 2x + cos 2x) cosx + 2cos2x – sin x =

Giải

Phương trình cho tương đương:

(5)

 cos2x (cosx + sinx + 2) =  cos2x

cosx sinx (vn)

 

   



 2x = k

 

(k  )  x = k

4

 

(k  )

Bài 7: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2010

Giải phương trình sin2x cos2x 3sinx cosx 0    

Giải

2

2sin x cosx 2sin x 3sin x cosx cosx(2sin x 1) 2sin x 3sin x cosx(2sin x 1) (2sin x 1)(sin x 2) (2sin x 1)(cosx sin x 2)

     

     

     

    

1 x k2

sin x 6

(k )

2

5

cosx sin x (VN) x k2

6 

  



  



     



 

 

 

Bài 8: CAO ĐẲNG KHỐI A, B, D NĂM 2010

Giải phương trình 4cos5xcos3x 2(8sinx 1)cosx

2   

Giaûi

2(cos4x cosx) 16sinxcosx 2cosx 5   

 2cos4x 8sin2x 5   4sin 2x 8sin2x 5    4sin22x – 8sin2x + =  sin2x

2

 (loại ) hay sin2x   2x k2

6 

   hay 2x k2

6 

  

 x k

12 

   hay x k

12 

   (k  )

Bài 9: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2009 Giải phương trình:  

  

1 2sinx cosx 2sinx sinx





(6)

TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN Giải

Điều kiện: sinx  sinx 

 (*)

Với điều kiện trên, phương trình cho tương đương: (1 – 2sinx)cosx = 2sinx sinx    

cosx 3sinx sin2x  cos2x

cos x cos 2x

3

 

   

      

   

x k2 x k2

2 18

  

       (k  )

Kết hợp (*), ta nghiệm: x k2 k 

18

 

   

Giải phương trình: sinx + cosxsin2x + cos3x cos4x sin x   

Giải

(1 – 2sin2x)sinx + cosxsin2x + cos3x 2cos4x  sinxcos2x + cosxsin2x + cos3x 2cos4x  sin3x + cos3x 2cos4x cos 3x cos4x

6 

 

    

 

 4x = 3x k2 4x 3x k2

6

 

        (k  )

Vaäy: x = k2 ; x k2 k 

6 42

  

     

Giải phương trình: cos5x 2sin3xcos2x sinx 0  

Giaûi

Phương trình cho tương đương: cos5xsin5x sinx sinx 0  3cos5x 1sin5x sinx

2 2   sin 5x sinx



  

 

 

 5x x k2 hay   5x   x k2

3 (k  )

Vaäy: x =  k hay x    k k 

(7)

Bài 12: CAO ĐẲNG KHỐI A, B, D NĂM 2009

Giải phương trình (1 + 2sinx)2cosx = + sinx + cosx

Giaûi

(1 + 4sinx + 4sin2x)cosx = + sinx + cosx  cosx + 4sinxcosx + 4sin2xcosx = + sinx + cosx  + sinx = hay 4sinxcosx =

 sinx = 1 hay sin2x =

5

x k2 hay x k hay x k

2 12 12

  

           (với k  )

Giải phương trình: 1 4sin x

3

sin x sin x

2



 

    



    

 

 

Giaûi

Ta coù: sin x cosx



  

 

 

Điều kiện: sin x cosx

 

 

  sin2x 

Với điều kiện trên, phương trình cho tương đương:

1 4sin x

sinx cosx



 

     

 

 cosx sinx  2 sinx cosx sinxcosx    cosx sinx 1   sin2x0



x k

4 tan x

cosx sin x

x k

1 2

sin2x 2 sin2x

2 5

x k

8       

 

   





 

      

 

    

 

  

   



(k  )

Giải phương trình: sin x3  cos x sinxcos x3   3sin xcosx2

Giaûi

(8)

Cách 1: Phương trình cho tương đương:

sinx(cos x sin x)2   cosx(cos x sin x) 02    cos x sin x sinx2    cosx0



k x

cos2x 4 2

(k )

tan x x k

3

 

    



 

   



    



Nghiệm phương trình là: x k

4

 

  vaø x k (k )

3 

    

Cách 2:  cosx = nghiệm phương trình (1)  Chia hai vế phương trình (1) cho cos3x ta được:

tan x3  tanx  tan x3

 (tan x 3)(tan x 1) 02 tan x x k k 

tan x x k

4       

  

      

  

    



Giải phương trình: 2sinx(1 + cos2x) + sin2x = + 2cosx

Giải

Phương trình cho tương đương: 4sinx.cos2x + sin2x – – 2cosx =

 2cosx(2sinxcosx – 1) + (sin2x – 1) =  (sin2x – 1)(2cosx + 1) =

  

sin2x 1haycosx      1 x k hayx2 k2 hay x  2 k2 (k  )

2 3

Bài 16: CAO ĐẲNG KHỐI A, B, D NĂM 2008 Giải phương trình: sin3x cos3x 2sin2x

Giải

1sin3x 3cos3x sin2x cos sin3x sin cos3x sin2x

2 3

 

    

 sin 3x sin2x

3 

  

 

(9)

 3x 2x k2 x k2 (k )

4 k2

3x 2x k2 x

3 15

 

        

 

 

 

  

         

 

 

Giải phương trình: (1 + sin2x)cosx + (1 + cos2x)sinx = + sin2x

Giaûi

(sinx + cosx)(1 + sinxcosx) = (sinx + cosx)2  (sinx + cosx)(1  sinx)(1  cosx) =

 x k , x k2 , x k2 (k )

4

 

         

Giải phương trình: 2sin22x + sin7x – = sinx

Giải

Phương trình cho tương đương với:

sin7x  sinx + 2sin22x  =  cos4x(2sin3x  1) =

 cos4x =  x = k k 

8

  

 sin3x x k2

2 18

 

    x k2 (k )

18

 

  

Giải phương trình: sinx cosx cosx

2

    

 

 

Giải

sinx cosx cos x

6



 

      

  x k2 , x k2 (k )

 

       

Bài 20: ĐẠI HỌC SÀI GỊN KHỐI A NĂM 2007 Giải phương trình: 3tan x2 sinx

2 sinx

 

    

   

   

Giaûi

Điều kiện: sinx 

Với điều kiện trên, phương trình cho tương đương: 3cot x2 2

sinx

   32

sinx

(10)



 

1 1

sin x

1 vô nghiệm sin x

 

 

  



 x k2 , k 

2 

   

Bài 21: ĐẠI HỌC SAØI GỊN KHỐI B NĂM 2007 Giải phương trình: + sinx + cosx + tanx =

Giaûi

Phương trình cho tương đương với: + sinx + cosx + sin x

cosx (điều kiện: cosx  0)

sinx cosx 1

cosx

 

   

 

 sinx cosx

cosx

 



  

 

3

x k

4

x k2

     



   



(k  )

Bài 22: CAO ĐẲNG XÂY DỰNG SỐ NĂM 2007 Giải phương trình: cos4x – sin4x + cos4x =

Giải

Phương trình cho tương đương với: cos2x – sin2x + 2cos22x – =

 2cos22x + cos2x – =  cos2x 1 cos2x

2   



 





x k

2

x k

6      

       

(k  )

Bài 23: CAO ĐẲNG KỸ THUẬT CAO THẮNG NĂM 2007 Giải phương trình: 2sin3x + 4cos3x = 3sinx

Giaûi

2sin3x + 4cos3x – 3sinx(sin2x + cos2x) =  sin3x + 3sinxcos2x – 4cos3x = (1) Dễ thấy cosx = nghiệm (1)

Do cosx  0, ta chia hai vế (1) cho cos3x, ta được: (1)  tan3x + 3tanx – =  (tanx – 1)(tan2x + tanx + 4) =  tanx = (do tan2x + tanx + > với x)

 x k 

(11)

Giaûi phương trình:  

6

2 cos x sin x sinxcosx 2sinx

 

 

Giải

Điều kiện: sin x 2  (1)

Với điều kiện trên, phương trình cho tương đương:  2(cos6x + sin6x) – sinxcosx =

 3sin 2x2 1sin2x

4

   

 

 

 3sin 2x sin2x 02     sin2x =  x = k

  (k  )

Do điều kiện (1) neân: x 2m



   (m  )

Giải phương trình: cot x sinx tanxtanx

 

   

 

Giải

Điều kiện: sinx  0, cosx  0, (1)

x x

cosx cos sin xsin

cosx sin x 2 2 4

x

sin x cosx cos

2 

 

 cosx sinx 4 sin2x

sinx cosx  sinxcosx  2  x   k hay x5 k

12 12 (k  ), thỏa mãn (1)

Giải phương trình: cos3x + cos2x  cosx  =

Giaûi

  

  

2

(12)

 x = k hay x 2k2

3 (k  )

Bài 27: ĐỀ DỰ BỊ - ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2006 Giải phương trình: cos3x.cox3x – sin3x.sin3x = 2

8 

Giải

Ta có cơng thức: sin3x = 3sinx – 4sin3x  sin x3 3sinx sin3x

4  

vaø cos3x = 4cos3x – 3cosx  cos x3 3cosx cos3x

4  

Từ phương trình cho tương đương với phương trình

cos3x 3cosx cos3x sin3x 3sinx sin3x

4

  

   

   

   

 cos 3x sin 3x 3(cos3xcosx sin3xsinx)2 2 2 

   

1 3cos4x

2 

   cos4x x k (k )

2 16

 

     

Bài 28: ĐỀ DỰ BỊ - ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2006 Giải phương trình: (2sin2x  1)tan22x + 3(2cos2x  1) =

Giải

Điều kiện cos2x 

Với điều kiện trên, phương trình cho tương đương: cos2xtan22x + 3cos2x =  cos2x(tan22x – 3) =

 cos2x loại2   tan2x x k k 

6

tan 2x 

  

       



  

Bài 29: ĐỀ DỰ BỊ - ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2006 Giải phương trình: cos3x + sin3x + 2sin2x =

Giaûi

(sinx + cosx)(1  cosxsinx)  cos2x =

 (sinx + cosx)(1  sinx cosx  (cosx  sinx)) =  (sinx + cosx)(1  cosx)(1 + sinx) =

 x k x k2 x k2 , k 

4

 

          

(13)

Tìm nghiệm khoảng (0; ) phương trình:

2x

4sin cos2x 2cos x

2



 

     

 

Giaûi

Phương trình cho tương đương với:  2(1 cosx) cos2x 1 cos 2x

2 

 

       

 

 – 2cosx  cos2x = – sin2x  3cos2x – sin2x = 2cosx  3cos2x 1sin2x cosx

2 2    cos 2x cos( x)



    

 

 



5

x k

18

7

x k2

6

 

   



      

(k  )

Do x  (0; ) nên ta có nghiệm: x1 , x2 17 , x3

18 18

  

  

Bài 31: ĐỀ DỰ BỊ

Giải phương trình: sinxcos2x cos x tan x 2sin x 0    

Giaûi

Điều kiện: cosx   sinx 

2

sin x

sinx.cos2x cos x 2sin x

cos x

 

    

 

 

sinx cos2x 2sin x cos2x

   

2

sinx(cos2x cos2x) cos2x 2sin x sinx

    

   

sin x (loại) x k2

6 k

1 5

sin x x k2

2 6

 

    

 



  



    

 

Giải phương trình: tan x 3tan x2 cos2x 12

2 cos x

 

   

 

(14)

TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN Giaûi

Điều kiện: cosx  sinx 

Với điều kiện trên, phương trình cho tương đương: cot x 3tan x2 2sin x22

cos x 

   tan x 02 tan x3

tanx

      

tanx x k

4 

       (k  ) thỏa điều kiện

Bài 33:

Giải phương trình: 5sinx  = 3(1  sinx)tan2x

Giaûi

Điều kiện cosx   sinx 

Với điều kiện trên, phương trình cho tương đương: 5sinx sinx   sin x22 sinx  sin x22

cos x sin x

    

  (5sinx  2) (1 + sinx) = 3sin2x

 5sinx + 5sin2x   2sinx = 3sin2x  2sin2x + 3sinx  =



1

sin x (thỏa mãnđk)

2

sinx = (loại)

 

 

 



x k2

6

x k2

6      

      

(k  )

Baøi 34:

Giải phương trình (2cosx  1) (2sinx + cosx) = sin2x  sinx

Giaûi

(2cosx  1) (2sinx + cosx) = 2sinxcosx  sinx  (2cosx  1) (2sinx + cosx) = sinx (2cosx  1)  (2cosx  1) (sinx + cosx) =



1 x = k2

cosx 3

2

tan x x k

4 

   

  

  

       

 

(k  )

Giải phương trình: 4(sin3x + cos3x) = cosx + 3sinx

Giaûi

(15)

4tan3x + = + tan2x + 3tanx(1 + tan2x)

tan3x – tan2x – 3tanx + =  (tanx – 1)(tan2x – 3) =  tanx 1haytan x 3  tanx haytanx    x   k hay x    k k 

4

Giải phương trình: 1 2 cos x

cosx sinx



 

    

 

Giaûi

Điều kiện cosxsinx   x k



 (k  )

Với điều kiện trên, phương trình cho tương đương: sinx cosx 2 cos x cosxsinx

4 

 

    

 

     

   

2 cos x cos x sin2x

4

    

 

cos x hay sin2x

4



x k

4

2x k2

2        





    





x k

4

x k

4      

       

(k  )

Bài 37:

Giải phương trình cotx  = cos2x sin x2 1sin2x

1 tanx  2

Giải

Điều kieän

      

 

     

   

  



x k

tan x 4

x k

sin x,cosx x k

2

(k  )

 

2

cos x sin x cosx

cosx sinx sin x cosxsinx

sinx cosx sinx



   

(16)

 cosx sinx cosx sinx cosx sinx sinx cosx   sinx

    

 cosx sinx 0hay sinxcosx sin x      tanx = hay1 tan x tanx tan x   



   



    

     



   



x k

4 x k , k

4 2tan x tanx vô nghiệm

Bài 38:

Giải phương trình: cotx  tanx + 4sin2x = sin2x

Giải

Điều kiện sin2x 

 2cos2x 4sin2x 2cos2x 4sin 2x 22

sin2x  sin2x  

 2cos22x  cos2x  =

  

cos2x loại

1 cos2x

2  



  



 cos2x =

2

  x k k 

3 

    

Bài 39:

Giải phương trình sin2 x tan x cos2 2x

2



    

 

 

Giải

Điều kiện: x k , k



   

cos x tan x2 cosx

2



 

    

 

          



2

sin x cosx cosx

(1 sinx) cosx cosx

1 sinx cos x

 1 cosx 0hay1 cosx sinx    

 

   

    



       

     

x k2 nhaän

cosx hay tanx k

x k nhaän

(17)

Giải phương trình:  tanx (tanx + 2sinx) + 6cosx =

Giải

Điều kiện: cosx 

Với điều kiện trên, phương trình cho tương đương: sinx sinx 2sinx 6cosx

cosx cosx

 

    

 

 3cos2x – sinx(sinx + 2sinx.cosx) + 6cos3x =  3cos2x(1 + 2cosx) – sin2x(1 + 2cosx) =  + 2cosx = hay 3cos2x – sin2x =

 cos2x 1 hay tan x 32      x  k k  haytanx

2

    x  k k  

Giải phương trình: 3cos4x  8cos6x + 2cos2x + =

Giaûi

Phương trình cho tương đương với: 3(1 + cos4x) – 2cos2x(4cos4x – 1) =  6cos22x – 2cos2x(2cos2x – 1)(2cos2x + 1) =  6cos22x – 2cos2x(cos2x)(2cos2x + 1) =  2cos2x = hay 3cos2x – cos2x(2cos2x + 1) =

  

  



cos2x

2cos x 5cos x



 

2

cos2x

k

2x k x

cos x 2 4 2 , k

3 x k x k

cos x loại

2  

  

 

     

  

   

 

    

 

 



Giaûi phương trình: 

2 x

2 cosx 2sin

2 1

2cosx



 

    

  



Giaûi

Điều kiện: cosx 

(18)

(2 3)cosx cos x 2cosx cosx sinx

   

          

 

 

 tanx x k ; (k )

3 

     

Kết hợp lại điều kiện cosx

 Ta choïn x4m2 , m 

Giải phương trình: cotx = tanx + 2cos4x sin2x

Giải

Điều kieän sin2x   cos2x 1

Với điều kiện trên, phương trình cho tương đương: cosx sinx 2cos4x

sinx cosx 2sinx.cosx   cos

2x = sin2x + cos4x

 cos2x – sin2x – (2cos22x – 1) =  2cos22x – cos2x – =  cos2x loại haycos2x     1 cos2

2   



    

x k k

3

Bài 44:

Giải phương trình sin23x  cos24x = sin25x  cos26x

Giaûi

cos6x cos8x cos10x cos12x

2 2

      

 cos8x + cos6x = cos12x + cos10x

 cos7xcosx = cos11xcosx  cosx = hay cos11x = cos7x 

  

  

 

 

    

  

  

  



x = k

2 x = k

2

x k

2 x k

9 x k

9

(k  )

Giải phương trình: sin x cos x 14 cot 2x

5sin2x 8sin2x

  

Giaûi

Điều kiện sin2x 

(19)

2

1 2sin x.cos x cos2x

5sin2x sin2x 8sin2x

  

 

 



     

 



2

9 cos2x loại

9

cos 2x 5cos2x

1

4 cos2x nhaän

2 cos2x = cos

2



  x =  k

6

  (k  )

Giải phương trình  

2

4

2 sin 2x sin3x tan x

cos x 

 

Giải

Điều kiện cosx 

Với điều kiện trên, phương trình cho tương đương: sin4x + cos4x = (2 – sin22x).sin3x

 – 2sin2x.cos2x = (2 – sin22x).sin3x  (2 – sin22x) = 2(2 – sin22x).sin3x  – sin22x =0( loại) hay = 2sin3x

 sin3x =

2

 

   

   

  



2

x k

18

5

x k

18

(k  )

Bài 47: CAO ĐẲNG KINH TẾ - KỸ THUẬT CÔNG NGHIỆP I Giải phương trình: sin x2 sin x2 sinx

3

  

     

   

   

Giải

sin x2 sin2 x sinx

3

  

     

   

   



2

1 cos 2x cos 2x

3 sinx

3

2 2

 

   

       



   

 sinx cos 2x cos 2x

3

 

   

       

   

     

 

1

1 sinx cos2x

2

(20)



sin x sin x

2   

 



 x k

x k2

6

x k2

6   

 

    

 

   



(k  )

Baøi 48: CAO ĐẲNG KINH TẾ - KỸ THUẬT CÔNG NGHIỆP TP HCM Giải phương trình: cos3x.tan5x = sin7x

Giải

Điều kiện: cos5x 

Với điều kiện trên, phương trình cho tương đương: sin5x cos3x = sin7x cos5x

 1sin2x sin8x 1sin2x sin12x

2  2 

 sin12x = sin8x  k x

2 (k )

k x

20 10    

 

 

   

Bài 49: CAO ĐẲNG CÔNG NGHIỆP THỰC PHẨM Giải phương trình: 1 sin x

cosx sinx



 

    

 

Giải

Điều kiện: cosx  0; sinx 

Với điều kiện trên, phương trình cho tương đương: 2(sinx + cosx) = sin2x(cosx + sinx)

 sinx + cosx = hay = sin2x ( voâ nghieäm)  tanx = 1  x k

4 

   (k  )

Bài 50: CĐSP TW TP HCM

Giải phương trình: sin2x + cos2x + 3sinx – cosx – =

Giải

(21)

sinx =1

2 hay sin x 

  

 

  = sin4

  x 6 k2

5

x k2

6      

      

hay x k2

x k2

     



   



(k  )

Bài 51: CAO ĐẲNG KINH TẾ ĐỐI NGOẠI Giải phương trình: sin6x + cos6x = 2sin x2

4 

  

 

 

Giaûi

Phương trình cho tương đương với: 

4sin

22x = (sinx + cosx)2 3sin22x + 4sin2x =  sin2x = hay sin2x = 4

3 (loại)  x = k2

 (k  )

Bài 52: CAO ĐẲNG KINH TẾ TP HCM

Giải phương trình: sin2xsinx + cos5xcos2x =1 cos8x

2



Giaûi

1cosx cos3x 1cos7x cos3x cos8x

2 2



 

 

 cosx + cos7x = + cos8x  2cos4xcos3x = 2cos24x



k x

cos4x 8 4

cos4x cos3x x k2

7

 

    



 

  



 



(k  )

Bài 53: CAO ĐẲNG TÀI CHÍNH – HẢI QUAN Giải phương trình: cosx.cos2x.sin3x =

4sin2x

Giải

Phương trình cho tương đương với: 2cosxcos2xsin3x = sinxcosx  cosx hay2cos2xsin3x sinx  

 x =

 + k (k  ) hay sin5x + sinx = sinx

 x = 

+ k hay x = k



(k  )

 Vấn đề 2:

(22)

Bài 1:

Tìm nghiệm thuộc khoảng (0; 2) phương trình: cos3x sin3x

5 sinx cos2x

1 2sin2x 

   

  

 

Giải

Điều kieän + 2sin2x  (1)

Với điều kiện trên, phương trình cho tương đương với:

5(sinx + 2sin2xsinx + cos3x + sin3x) = (cos2x + 3)(1 + 2sin2x)  5(sinx + cosx  cos3x + cos3x + sin3x) = (cos2x + 3)(1 + 2sin2x)  5(2sin2xcosx + cosx) = (cos2x + 3)(1 + 2sin2x)

 5cosx(1 + 2sin2x) = (cos2x + 3)(1 + 2sin2x)  5cosx = cos2x + (Vì + 2sin2x  0)  5cosx = 2cos2x +  cosx = 1

2(thỏa điều kiện (1))

 x k2

3 

   (k  )

Vì nghiệm x thuộc khoảng (0; 2) nên x x =

3

 

 

Baøi 2:

Tìm x thuộc đoạn [0; 14] nghiệm phương trình: cos3x  4cos2x + 3cosx  =

Giải

4cos3x  3cosx  (2cos2x 1) + 3cosx =  4(cos3x  2cos2x) =

 cosx =  cosx = (loại)  x =

 + k (k  )

Vì x  [0; 14] nên x =

, x = 3

, x = 5

, x = 7



 Vấn đề 3:

ĐIỀU KIỆN CĨ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC A PHƯƠNG PHÁP GIẢI

(23)

B ĐỀ THI

Xác định m để phương trình 2(sin4x + cos4x) + cos4x + 2sin2x  m = có nghiệm thuộc đoạn 0;

2 

 

 

 

Giải

2(1 – 2sin2x.cos2x) + – 2sin22x + 2sin2x – m =

      

 

2

1

2 sin 2x 2sin 2x 2sin2x m

2

 3sin22x + 2sin2x + = m (1) Đặt t = sin2x Vì x  0;

2 

 

 

    2x   sin2x    t  (1) thaønh 3t2 + 2t + = m (2);  t 

Đặt f(t) = 3t2 + 2t +

 f'(t) = 6t +  f'(t) =  t =

3  Bảng bịến thiên

t  1

3 +

f'(t) + 

f(t) 10

3

 Nhận xét: (2) phương trình hồnh độ giao điểm đường thẳng : y = m đường cong (C) Từ (1) có nghiệm x  0;

2 

 

 

 

 vaø (C) có điểm chung [0;1]   m  10

Cho phương trình 2sinx cosx a sinx 2cosx

  

  (1) (a tham số)

a/ Giải phương trình (1) a =

(24)

TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN Giaûi

Tập xác định phương trình (1): D = Do đó:

(1) 2sinx + cosx + = a(sinx – 2cosx + 3)  (2 – a)sinx + (2a + 1).cosx = 3a –

a/ Khi a = 3:

5

(1) sinx cosx sinx cosx

3

     

sinx cosx tanx x k (k )

4 

           

b/ Do (2 – a)2 + (2a + 1)  nên điều kiện cần đủ để (1) có nghiệm (2 – a)2 + (2a + 1)2 (3a – 1)2 2a2– 3a –   a 2

2   

 Vấn đề 4: BÀI TỐN VỀ TAM GIÁC

A PHƯƠNG PHÁP GIẢI  Sử dụng công thức tam giác tương ứng

 Nhận dạng tam giác cách rút gọn hệ thức cho hay chứng tỏ hệ thức điều kiện dấu bất đẳng thức

Hệ thức tam giác cần ý a. Định lí hàm số sin: a b c 2R

sinA sinB sinC  

b. Định lí hàm số cosin: a2 = b2 + c2– 2bccosA; b2 = a2 + c2– 2accosB c2 = a2 + b2– 2abcosC

c. Định lí đường trung tuyến: m2a 2b2 2c2 a2

 



d. Định lí đường phân giác: la =

A 2bc.cos

2 b c

e. Diện tích tam giác: S =

2a.ha = 12absinC = abc4R = pr = (p – a).ra = p(p a)(p b)(p c)  

f. Bán kính đường trịn nội tiếp: r = (p – a)tan A

2 = (p – b)tan B2 = (p – c)tan C2

(25)

Tìm góc A, B, C tam giác ABC để biểu thức:

Q = sin2A + sin2B  sin2C đạt giá trị nhỏ

Giải

Ta có: Q 1(1 cos2A) 1(1 cos2B) sin C2

2

    

 1 cos(A B).cos(A B) sin C   = + cosC cos(A  B)  + cos2C = cos2C + cosC cos(A  B)

= cosC 1cos(A B) 1cos (A B)2

2 4

       

 

 

Vaäy min

0

A B C 120

1

Q 4 cosC

A B 30



  

 

   

    

 



Xaùc định hình dạng tam giác ABC, biết rằng:

p a sin A  p b sin B c.sinA.sinB  

Trong BC = a, CA = b, AB = c, p a b c  



Giaûi

(p – a)sin2A + (p – b)sin2B = c.sinA sinB  (p – a)a2 + (p – b)b2 = abc (định lý hàm sin)  p a a  p b b p p a a p p b b          p

bc ac bc ac

a(1 + cosA) + b(1 + cosB) = a + b + c

( p p a   p.r Aabc A a A  sinAA1 cosA

bc b.c.tan 4R b.c.tan 4.R.tan 2.tan

2 2

)

acosA + bcosB = c  sin2A + sin2B = 2sinC

 2sin(A + B).cos(A – B) = 2sinC

 cos (A – B) =  A = B  ABC cân C

Xét tam giác ABC có độ dài cạnh AB = c, BC = a, CA = b

(26)

TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN Giải

Tính diện tích tam giác

Từ b.sinC(b.cosC + c.cosB) = 20

 4R2sinB.sinC(sinBcosC + sinC.cosB) = 20

 4R2.sinB.sinC.sinA = 20 (1)

Ta coù: S abc 8R sinA.sinB.sinC3 2R sinA.sinB.sinC2

4R 4R

   (2)

Thế (1) vào (2)  S = 10 (đvdt)

Baøi 4:

Gọi x, y, z khoảng cách từ điểm M thuộc miền ABC có góc nhọn đến cạnh BC, CA, AB Chứng minh rằng:

x y z a2 b2 c2 2R

 

   Dấu “=” xảy nào? (a, b, c cạnh ABC, R bán kính đường trịn ngoại tiếp)

Giải

Ta coù: a2 b2 c2 a a b b c c

2R 2R 2R 2R

    

VPasinA bsinB csinC  a2S b2S c2S 2S a b c

bc ac ab bc ac ab

 

       

 

Mặt khác ta có: 2S = ax + by + cz, đó: a2 b2 c2 ax by cz a b c

2R bc c ab

        

 

  (1)

Ta coù: a b c b c c a a b

bc ac ab 2a c b 2b a c 2c b a

     

           

     

Vaäy a b c 1

bc ac ab a b c    

b c

Vì

a b

   

 

  (2) Từ (1) (2) ta có:

 

        

 

 

2 2

a b c ax by cz 1

2R a b c

       

 

2 2

1 ax by cz x y z

a b c

Suy ra: x y z a2 b2 c2

2R

 

(27)

Dấu “=” xảy b c a c a b 2c b c a b a a b c ABC x y z M : trọng tâm

a x b y c z

          



  

 

 

  



Baøi 5:

Gọi A, B, C góc tam giác ABC, chứng minh để tam giác ABC điều kiện cần đủ là:

cos2A cos2B cos2C 1cosA BcosB CcosC A

2 2 2

  

   

Giải

Ta có: cos2A cos2B cos2C 1cosA BcosB CcosC A

2 2 2

  

   

2A 2B 2C A B B C C A

4cos 4cos 4cos cos cos cos

2 2 2

  

    

A B B C C A

2 2cosA 2cosB 2cosC cos cos cos

2 2

  

       

  A B B C C A

2 cosA cosB cosC cos cos cos

2 2

  

    

A B C

Ta bietá cosA + cosB + cosC = 4sin sin sin

2 2

A B C A B B C C A

8sin sin sin cos cos cos

2 2 2

  

 

 

  

 

Nhân hai vế cho 8cos cos cosA B C

2 2

 8sinAsinBsinC = (sinA + sinB)(sinB + sinC)(sinC + sinA)  sinA = sinB = sinC (Cauchy coù VP  VT)

các chuyên đề ôn thi đh

Thông tin tài liệu

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

Tài liệu liên quan