Nhaän daïng tam giaùc baèng caùch ruùt goïn heä thöùc ñaõ cho hay chöùng toû heä thöùc ñoù laø ñieàu kieän daáu baèng cuûa baát ñaúng thöùc. Heä thöùc trong tam giaùc caàn chuù yù a.[r]
(1) Chuyên đề 2: LƯỢNG GIÁC
Vấn đề 1: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC A PHƯƠNG PHÁP GIẢI
1 Phương trình lượng giác
cosx = cos x = + k2 sinx = sin x k2
x k2
tanx = tan x = + k
cotx = cot x = + k (với k )
2 Phương trình bậc hai hàm số lượng giác asin2x + bsinx + c = Đặt t = sinx, t acos2x + bcosx + c = Đặt t = cosx, t atan2x + btanx + c = Đặt t = tanx
acot2x + bcotx + c = Đặt t = cotx
3 Phương trình bậc sinx, cosx
asinx + bcosx = c (*)
Điều kiện có nghiệm: a2 + b2 c2 Cách 1: Chia hai vế cho a2b2 (*)
2
a
a b sinx + 2 b
a b cosx = 2
c a b
Do
2
2
a
a b
+
2
2
b
a b
=
Nên đặt
2
a
a b = cos, 2 b
a b = sin
Khi đó:
(*) sinxcos + sincosx =
2
c
a b sin(x + ) = 2 c a b Cách 2: Chia hai vế cho a (giả sử a 0)
(*) sinx +b
acosx = c a
Đặt b
a= tan Khi đó: (*) sinx + sin cos
cosx =
(2)TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN
sinx cos + sin cosx =c
acos sin(x + ) = c acos Cách 3: Đặt ẩn số phuï
Xét x = (2k + 1) với (k ) có nghiệm Xét x (2k + 1) với (k )
Đặt t = tanx
2
Khi đó: (*) a 2t2
1 t + b
2
1 t t
= c (b + c)t
2– 2at + c – b =
4 Phương trình đối xứng: a(sinx + cosx) + bsinxcosx + c = Đặt t = sinx + cosx = 2cos x
4
Điều kiện t
Khi đó: t2 = + 2sinxcosx sinxcosx =t2
Thay vào phương trình ta phương trình đại số theo t Chú ý: a(sinx cosx) + bsinxcosx + c =
Đặt t = sinx – cosx (với t 2)
5 Phương trình đẳng cấp bậc sinx, cosx
asin2x + bsinxcosx + ccos2x = Xeùt cosx = x =
2
+ k (k ) coù nghiệm không?
Xét cosx Chia vế cho cos2x ta thu phương trình bậc theo tanx Chú ý: Nếu phương trình đẳng cấp bậc k sinx, cosx ta xét cosx =
và xét cosx chia vế phương trình cho coskx ta thu phương trình bậc k theo tanx
B ĐỀ THI
Bài 1: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2011
Giải phương trình: sin2x cos2x2 sinx.sin2x cot x
Giaûi
Điều kiện: sinx Khi đó:
(1)
2
1 sin2x cos2x 2 sinx 2sinxcosx
sin x
(3) sin x sin2x cos2x2 2 sin x.cosx2
1 sin2x cos2x 2 cosx (vì sinx 0) 2cos x 2sinxcosx 2 cosx 02 cosx cosx sinx
cosx sin x
4
x k x k2
2 (k Z) (Thỏa điều kiện sinx 0)
Vậy nghiệm (1) x k x k2
2 (k Z)
Bài 2: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2011
Giải phương trình: sin2xcosx sinxcosx cos2x sinx cosx
Giaûi
sin2xcosx sinxcosx cos2x sinx cosx 2sinx.cos2x + sinx.cosx = 2cos2x – + sinx + cosx sinx.cosx(2cosx + 1) = cosx(2cosx + 1) + sinx – cosx (2cosx + 1)(sinx – 1) = sinx –
sinx – = cosx (2cosx + 1) = sinx = 2cos2x + cosx – = sinx = cosx = –1 cosx =
2
x k2
2
x k2 hoặcx k2
x k2
2
x k2
3 (k Z) Bài 3: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2011
Giải phương trình:
sin2x 2cosx sinx 0
tanx
Giaûi
sin2x 2cosx sinx 0
tanx Điều kiện: tanx vaø cosx
(4)TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN
2cosx sinx 1 sinx 0 sinx 2cosx 1
sinx (Loại cosx = 0)
1 cosx
2
x k2
3 (k Z)
So với điều kiện ta nghiệm phương trình x k2
3 (k Z) Bài 4: CAO ĐẲNG KHỐI A, B, D NĂM 2011
Giải phương trình: cos4x + 12sin2x – =
Giaûi
cos4x + 12sin2x – = 2cos22x – + 6(1 – cos2x) – = cos22x – 3cos2x + = cos2x = hay cos2x = (loại) 2x = k2π x = kπ (k Z)
Bài 5: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2010
Giải phương trình:
(1 sinx cos2x)sin x
1
4 cosx
1 tanx
Giaûi
Điều kiện: cosx 0 tanx ≠ –
Với điều kiện trên, phương trình cho tương đương: (1 sinx cos2x).(sinx cosx)
cosx tanx
(1 sinx cos2x).(sinx cosx)cosx cosx sinx cosx
1 sin x cos2x sin x cos2x
1
2sin x sin x sin x 1(loại) hay sin x
2
x k2 hay x k2 (k Z)
6
Bài 6: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2010
Giải phương trình (sin 2x + cos 2x) cosx + 2cos2x – sin x =
Giải
Phương trình cho tương đương:
(5) cos2x (cosx + sinx + 2) = cos2x
cosx sinx (vn)
2x = k
(k ) x = k
4
(k )
Bài 7: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2010
Giải phương trình sin2x cos2x 3sinx cosx 0
Giải
Phương trình cho tương đương:
2
2sin x cosx 2sin x 3sin x cosx cosx(2sin x 1) 2sin x 3sin x cosx(2sin x 1) (2sin x 1)(sin x 2) (2sin x 1)(cosx sin x 2)
1 x k2
sin x 6
(k )
2
5
cosx sin x (VN) x k2
6
Bài 8: CAO ĐẲNG KHỐI A, B, D NĂM 2010
Giải phương trình 4cos5xcos3x 2(8sinx 1)cosx
2
Giaûi
Phương trình cho tương đương:
2(cos4x cosx) 16sinxcosx 2cosx 5
2cos4x 8sin2x 5 4sin 2x 8sin2x 5 4sin22x – 8sin2x + = sin2x
2
(loại ) hay sin2x 2x k2
6
hay 2x k2
6
x k
12
hay x k
12
(k )
Bài 9: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2009 Giải phương trình:
1 2sinx cosx 2sinx sinx
(6)TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN Giải
Điều kiện: sinx sinx
(*)
Với điều kiện trên, phương trình cho tương đương: (1 – 2sinx)cosx = 2sinx sinx
cosx 3sinx sin2x cos2x
cos x cos 2x
3
x k2 x k2
2 18
(k )
Kết hợp (*), ta nghiệm: x k2 k
18
Bài 10: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2009
Giải phương trình: sinx + cosxsin2x + cos3x cos4x sin x
Giải
Phương trình cho tương đương:
(1 – 2sin2x)sinx + cosxsin2x + cos3x 2cos4x sinxcos2x + cosxsin2x + cos3x 2cos4x sin3x + cos3x 2cos4x cos 3x cos4x
6
4x = 3x k2 4x 3x k2
6
(k )
Vaäy: x = k2 ; x k2 k
6 42
Bài 11: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2009
Giải phương trình: cos5x 2sin3xcos2x sinx 0
Giaûi
Phương trình cho tương đương: cos5xsin5x sinx sinx 0 3cos5x 1sin5x sinx
2 2 sin 5x sinx
5x x k2 hay 5x x k2
3 (k )
Vaäy: x = k hay x k k
(7)Bài 12: CAO ĐẲNG KHỐI A, B, D NĂM 2009
Giải phương trình (1 + 2sinx)2cosx = + sinx + cosx
Giaûi
Phương trình cho tương đương:
(1 + 4sinx + 4sin2x)cosx = + sinx + cosx cosx + 4sinxcosx + 4sin2xcosx = + sinx + cosx + sinx = hay 4sinxcosx =
sinx = 1 hay sin2x =
5
x k2 hay x k hay x k
2 12 12
(với k )
Bài 13: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2008
Giải phương trình: 1 4sin x
3
sin x sin x
2
Giaûi
Ta coù: sin x cosx
Điều kiện: sin x cosx
sin2x
Với điều kiện trên, phương trình cho tương đương:
1 4sin x
sinx cosx
cosx sinx 2 sinx cosx sinxcosx cosx sinx 1 sin2x0
x k
4 tan x
cosx sin x
x k
1 2
sin2x 2 sin2x
2 5
x k
8
(k )
Bài 14: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2008
Giải phương trình: sin x3 cos x sinxcos x3 3sin xcosx2
Giaûi
(8)TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN
Cách 1: Phương trình cho tương đương:
sinx(cos x sin x)2 cosx(cos x sin x) 02 cos x sin x sinx2 cosx0
k x
cos2x 4 2
(k )
tan x x k
3
Nghiệm phương trình là: x k
4
vaø x k (k )
3
Cách 2: cosx = nghiệm phương trình (1) Chia hai vế phương trình (1) cho cos3x ta được:
tan x3 tanx tan x3
(tan x 3)(tan x 1) 02 tan x x k k
tan x x k
4
Bài 15: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2008
Giải phương trình: 2sinx(1 + cos2x) + sin2x = + 2cosx
Giải
Phương trình cho tương đương: 4sinx.cos2x + sin2x – – 2cosx =
2cosx(2sinxcosx – 1) + (sin2x – 1) = (sin2x – 1)(2cosx + 1) =
sin2x 1haycosx 1 x k hayx2 k2 hay x 2 k2 (k )
2 3
Bài 16: CAO ĐẲNG KHỐI A, B, D NĂM 2008 Giải phương trình: sin3x cos3x 2sin2x
Giải
Phương trình cho tương đương:
1sin3x 3cos3x sin2x cos sin3x sin cos3x sin2x
2 3
sin 3x sin2x
3
(9) 3x 2x k2 x k2 (k )
4 k2
3x 2x k2 x
3 15
Bài 17: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2007
Giải phương trình: (1 + sin2x)cosx + (1 + cos2x)sinx = + sin2x
Giaûi
Phương trình cho tương đương:
(sinx + cosx)(1 + sinxcosx) = (sinx + cosx)2 (sinx + cosx)(1 sinx)(1 cosx) =
x k , x k2 , x k2 (k )
4
Bài 18: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2007
Giải phương trình: 2sin22x + sin7x – = sinx
Giải
Phương trình cho tương đương với:
sin7x sinx + 2sin22x = cos4x(2sin3x 1) =
cos4x = x = k k
8
sin3x x k2
2 18
x k2 (k )
18
Bài 19: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2007
Giải phương trình: sinx cosx cosx
2
Giải
Phương trình cho tương đương với:
sinx cosx cos x
6
x k2 , x k2 (k )
Bài 20: ĐẠI HỌC SÀI GỊN KHỐI A NĂM 2007 Giải phương trình: 3tan x2 sinx
2 sinx
Giaûi
Điều kiện: sinx
Với điều kiện trên, phương trình cho tương đương: 3cot x2 2
sinx
32
sinx
(10)TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN
1 1
sin x
1 vô nghiệm sin x
x k2 , k
2
Bài 21: ĐẠI HỌC SAØI GỊN KHỐI B NĂM 2007 Giải phương trình: + sinx + cosx + tanx =
Giaûi
Phương trình cho tương đương với: + sinx + cosx + sin x
cosx (điều kiện: cosx 0)
sinx cosx 1
cosx
sinx cosx
cosx
3
x k
4
x k2
(k )
Bài 22: CAO ĐẲNG XÂY DỰNG SỐ NĂM 2007 Giải phương trình: cos4x – sin4x + cos4x =
Giải
Phương trình cho tương đương với: cos2x – sin2x + 2cos22x – =
2cos22x + cos2x – = cos2x 1 cos2x
2
x k
2
x k
6
(k )
Bài 23: CAO ĐẲNG KỸ THUẬT CAO THẮNG NĂM 2007 Giải phương trình: 2sin3x + 4cos3x = 3sinx
Giaûi
Phương trình cho tương đương với:
2sin3x + 4cos3x – 3sinx(sin2x + cos2x) = sin3x + 3sinxcos2x – 4cos3x = (1) Dễ thấy cosx = nghiệm (1)
Do cosx 0, ta chia hai vế (1) cho cos3x, ta được: (1) tan3x + 3tanx – = (tanx – 1)(tan2x + tanx + 4) = tanx = (do tan2x + tanx + > với x)
x k
(11)Bài 24: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2006
Giaûi phương trình:
6
2 cos x sin x sinxcosx 2sinx
Giải
Điều kiện: sin x 2 (1)
Với điều kiện trên, phương trình cho tương đương: 2(cos6x + sin6x) – sinxcosx =
3sin 2x2 1sin2x
4
3sin 2x sin2x 02 sin2x = x = k
(k )
Do điều kiện (1) neân: x 2m
(m )
Bài 25: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2006
Giải phương trình: cot x sinx tanxtanx
Giải
Điều kiện: sinx 0, cosx 0, (1)
Với điều kiện trên, phương trình cho tương đương:
x x
cosx cos sin xsin
cosx sin x 2 2 4
x
sin x cosx cos
2
cosx sinx 4 sin2x
sinx cosx sinxcosx 2 x k hay x5 k
12 12 (k ), thỏa mãn (1)
Bài 26: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2006
Giải phương trình: cos3x + cos2x cosx =
Giaûi
Phương trình cho tương đương với:
2
(12)TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN
x = k hay x 2k2
3 (k )
Bài 27: ĐỀ DỰ BỊ - ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2006 Giải phương trình: cos3x.cox3x – sin3x.sin3x = 2
8
Giải
Ta có cơng thức: sin3x = 3sinx – 4sin3x sin x3 3sinx sin3x
4
vaø cos3x = 4cos3x – 3cosx cos x3 3cosx cos3x
4
Từ phương trình cho tương đương với phương trình
cos3x 3cosx cos3x sin3x 3sinx sin3x
4
cos 3x sin 3x 3(cos3xcosx sin3xsinx)2 2 2
1 3cos4x
2
cos4x x k (k )
2 16
Bài 28: ĐỀ DỰ BỊ - ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2006 Giải phương trình: (2sin2x 1)tan22x + 3(2cos2x 1) =
Giải
Điều kiện cos2x
Với điều kiện trên, phương trình cho tương đương: cos2xtan22x + 3cos2x = cos2x(tan22x – 3) =
cos2x loại2 tan2x x k k
6
tan 2x
Bài 29: ĐỀ DỰ BỊ - ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2006 Giải phương trình: cos3x + sin3x + 2sin2x =
Giaûi
Phương trình cho tương đương với:
(sinx + cosx)(1 cosxsinx) cos2x =
(sinx + cosx)(1 sinx cosx (cosx sinx)) = (sinx + cosx)(1 cosx)(1 + sinx) =
x k x k2 x k2 , k
4
(13)Tìm nghiệm khoảng (0; ) phương trình:
2x
4sin cos2x 2cos x
2
Giaûi
Phương trình cho tương đương với: 2(1 cosx) cos2x 1 cos 2x
2
– 2cosx cos2x = – sin2x 3cos2x – sin2x = 2cosx 3cos2x 1sin2x cosx
2 2 cos 2x cos( x)
5
x k
18
7
x k2
6
(k )
Do x (0; ) nên ta có nghiệm: x1 , x2 17 , x3
18 18
Bài 31: ĐỀ DỰ BỊ
Giải phương trình: sinxcos2x cos x tan x 2sin x 0
Giaûi
Điều kiện: cosx sinx
Với điều kiện trên, phương trình cho tương đương:
2
2
2
sin x
sinx.cos2x cos x 2sin x
cos x
sinx cos2x 2sin x cos2x
2
sinx(cos2x cos2x) cos2x 2sin x sinx
sin x (loại) x k2
6 k
1 5
sin x x k2
2 6
Bài 32: ĐỀ DỰ BỊ
Giải phương trình: tan x 3tan x2 cos2x 12
2 cos x
(14)TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN Giaûi
Điều kiện: cosx sinx
Với điều kiện trên, phương trình cho tương đương: cot x 3tan x2 2sin x22
cos x
tan x 02 tan x3
tanx
tanx x k
4
(k ) thỏa điều kiện
Bài 33:
Giải phương trình: 5sinx = 3(1 sinx)tan2x
Giaûi
Điều kiện cosx sinx
Với điều kiện trên, phương trình cho tương đương: 5sinx sinx sin x22 sinx sin x22
cos x sin x
(5sinx 2) (1 + sinx) = 3sin2x
5sinx + 5sin2x 2sinx = 3sin2x 2sin2x + 3sinx =
1
sin x (thỏa mãnđk)
2
sinx = (loại)
x k2
6
x k2
6
(k )
Baøi 34:
Giải phương trình (2cosx 1) (2sinx + cosx) = sin2x sinx
Giaûi
Phương trình cho tương đương với:
(2cosx 1) (2sinx + cosx) = 2sinxcosx sinx (2cosx 1) (2sinx + cosx) = sinx (2cosx 1) (2cosx 1) (sinx + cosx) =
1 x = k2
cosx 3
2
tan x x k
4
(k )
Bài 35: ĐỀ DỰ BỊ
Giải phương trình: 4(sin3x + cos3x) = cosx + 3sinx
Giaûi
(15)Phương trình cho tương đương với:
4tan3x + = + tan2x + 3tanx(1 + tan2x)
tan3x – tan2x – 3tanx + = (tanx – 1)(tan2x – 3) = tanx 1haytan x 3 tanx haytanx x k hay x k k
4
Bài 36: ĐỀ DỰ BỊ
Giải phương trình: 1 2 cos x
cosx sinx
Giaûi
Điều kiện cosxsinx x k
(k )
Với điều kiện trên, phương trình cho tương đương: sinx cosx 2 cos x cosxsinx
4
2 cos x cos x sin2x
4
cos x hay sin2x
4
x k
4
2x k2
2
x k
4
x k
4
(k )
Bài 37:
Giải phương trình cotx = cos2x sin x2 1sin2x
1 tanx 2
Giải
Điều kieän
x k
tan x 4
x k
sin x,cosx x k
2
(k )
Với điều kiện trên, phương trình cho tương đương:
2
2
cos x sin x cosx
cosx sinx sin x cosxsinx
sinx cosx sinx
(16)TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN
cosx sinx cosx sinx cosx sinx sinx cosx sinx
cosx sinx 0hay sinxcosx sin x tanx = hay1 tan x tanx tan x
x k
4 x k , k
4 2tan x tanx vô nghiệm
Bài 38:
Giải phương trình: cotx tanx + 4sin2x = sin2x
Giải
Điều kiện sin2x
Với điều kiện trên, phương trình cho tương đương:
2cos2x 4sin2x 2cos2x 4sin 2x 22
sin2x sin2x
2cos22x cos2x =
cos2x loại
1 cos2x
2
cos2x =
2
x k k
3
Bài 39:
Giải phương trình sin2 x tan x cos2 2x
2
Giải
Điều kiện: x k , k
Với điều kiện trên, phương trình cho tương đương:
cos x tan x2 cosx
2
2
sin x cosx cosx
(1 sinx) cosx cosx
1 sinx cos x
1 cosx 0hay1 cosx sinx
x k2 nhaän
cosx hay tanx k
x k nhaän
(17)Bài 40: ĐỀ DỰ BỊ
Giải phương trình: tanx (tanx + 2sinx) + 6cosx =
Giải
Điều kiện: cosx
Với điều kiện trên, phương trình cho tương đương: sinx sinx 2sinx 6cosx
cosx cosx
3cos2x – sinx(sinx + 2sinx.cosx) + 6cos3x = 3cos2x(1 + 2cosx) – sin2x(1 + 2cosx) = + 2cosx = hay 3cos2x – sin2x =
cos2x 1 hay tan x 32 x k k haytanx
2
x k k
Bài 41: ĐỀ DỰ BỊ
Giải phương trình: 3cos4x 8cos6x + 2cos2x + =
Giaûi
Phương trình cho tương đương với: 3(1 + cos4x) – 2cos2x(4cos4x – 1) = 6cos22x – 2cos2x(2cos2x – 1)(2cos2x + 1) = 6cos22x – 2cos2x(cos2x)(2cos2x + 1) = 2cos2x = hay 3cos2x – cos2x(2cos2x + 1) =
cos2x
2cos x 5cos x
2
2
cos2x
k
2x k x
cos x 2 4 2 , k
3 x k x k
cos x loại
2
Bài 42: ĐỀ DỰ BỊ
Giaûi phương trình:
2 x
2 cosx 2sin
2 1
2cosx
Giaûi
Điều kiện: cosx
(18)TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN
(2 3)cosx cos x 2cosx cosx sinx
tanx x k ; (k )
3
Kết hợp lại điều kiện cosx
Ta choïn x4m2 , m
Bài 43: ĐỀ DỰ BỊ
Giải phương trình: cotx = tanx + 2cos4x sin2x
Giải
Điều kieän sin2x cos2x 1
Với điều kiện trên, phương trình cho tương đương: cosx sinx 2cos4x
sinx cosx 2sinx.cosx cos
2x = sin2x + cos4x
cos2x – sin2x – (2cos22x – 1) = 2cos22x – cos2x – = cos2x loại haycos2x 1 cos2
2
x k k
3
Bài 44:
Giải phương trình sin23x cos24x = sin25x cos26x
Giaûi
Phương trình cho tương đương với:
cos6x cos8x cos10x cos12x
2 2
cos8x + cos6x = cos12x + cos10x
cos7xcosx = cos11xcosx cosx = hay cos11x = cos7x
x = k
2 x = k
2
x k
2 x k
9 x k
9
(k )
Bài 45: ĐỀ DỰ BỊ
Giải phương trình: sin x cos x 14 cot 2x
5sin2x 8sin2x
Giaûi
Điều kiện sin2x
(19)2
1 2sin x.cos x cos2x
5sin2x sin2x 8sin2x
2
9 cos2x loại
9
cos 2x 5cos2x
1
4 cos2x nhaän
2 cos2x = cos
2
x = k
6
(k )
Bài 46: ĐỀ DỰ BỊ
Giải phương trình
2
4
2 sin 2x sin3x tan x
cos x
Giải
Điều kiện cosx
Với điều kiện trên, phương trình cho tương đương: sin4x + cos4x = (2 – sin22x).sin3x
– 2sin2x.cos2x = (2 – sin22x).sin3x (2 – sin22x) = 2(2 – sin22x).sin3x – sin22x =0( loại) hay = 2sin3x
sin3x =
2
2
x k
18
5
x k
18
(k )
Bài 47: CAO ĐẲNG KINH TẾ - KỸ THUẬT CÔNG NGHIỆP I Giải phương trình: sin x2 sin x2 sinx
3
Giải
Phương trình cho tương đương với:
sin x2 sin2 x sinx
3
2
1 cos 2x cos 2x
3 sinx
3
2 2
sinx cos 2x cos 2x
3
1
1 sinx cos2x
2
(20)TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN
sin x sin x
2
x k
x k2
6
x k2
6
(k )
Baøi 48: CAO ĐẲNG KINH TẾ - KỸ THUẬT CÔNG NGHIỆP TP HCM Giải phương trình: cos3x.tan5x = sin7x
Giải
Điều kiện: cos5x
Với điều kiện trên, phương trình cho tương đương: sin5x cos3x = sin7x cos5x
1sin2x sin8x 1sin2x sin12x
2 2
sin12x = sin8x k x
2 (k )
k x
20 10
Bài 49: CAO ĐẲNG CÔNG NGHIỆP THỰC PHẨM Giải phương trình: 1 sin x
cosx sinx
Giải
Điều kiện: cosx 0; sinx
Với điều kiện trên, phương trình cho tương đương: 2(sinx + cosx) = sin2x(cosx + sinx)
sinx + cosx = hay = sin2x ( voâ nghieäm) tanx = 1 x k
4
(k )
Bài 50: CĐSP TW TP HCM
Giải phương trình: sin2x + cos2x + 3sinx – cosx – =
Giải
Phương trình cho tương đương với:
(21)sinx =1
2 hay sin x
= sin4
x 6 k2
5
x k2
6
hay x k2
x k2
(k )
Bài 51: CAO ĐẲNG KINH TẾ ĐỐI NGOẠI Giải phương trình: sin6x + cos6x = 2sin x2
4
Giaûi
Phương trình cho tương đương với:
4sin
22x = (sinx + cosx)2 3sin22x + 4sin2x = sin2x = hay sin2x = 4
3 (loại) x = k2
(k )
Bài 52: CAO ĐẲNG KINH TẾ TP HCM
Giải phương trình: sin2xsinx + cos5xcos2x =1 cos8x
2
Giaûi
Phương trình cho tương đương với:
1cosx cos3x 1cos7x cos3x cos8x
2 2
cosx + cos7x = + cos8x 2cos4xcos3x = 2cos24x
k x
cos4x 8 4
cos4x cos3x x k2
7
(k )
Bài 53: CAO ĐẲNG TÀI CHÍNH – HẢI QUAN Giải phương trình: cosx.cos2x.sin3x =
4sin2x
Giải
Phương trình cho tương đương với: 2cosxcos2xsin3x = sinxcosx cosx hay2cos2xsin3x sinx
x =
+ k (k ) hay sin5x + sinx = sinx
x =
+ k hay x = k
(k )
Vấn đề 2:
(22)TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN
Bài 1:
Tìm nghiệm thuộc khoảng (0; 2) phương trình: cos3x sin3x
5 sinx cos2x
1 2sin2x
Giải
Điều kieän + 2sin2x (1)
Với điều kiện trên, phương trình cho tương đương với:
5(sinx + 2sin2xsinx + cos3x + sin3x) = (cos2x + 3)(1 + 2sin2x) 5(sinx + cosx cos3x + cos3x + sin3x) = (cos2x + 3)(1 + 2sin2x) 5(2sin2xcosx + cosx) = (cos2x + 3)(1 + 2sin2x)
5cosx(1 + 2sin2x) = (cos2x + 3)(1 + 2sin2x) 5cosx = cos2x + (Vì + 2sin2x 0) 5cosx = 2cos2x + cosx = 1
2(thỏa điều kiện (1))
x k2
3
(k )
Vì nghiệm x thuộc khoảng (0; 2) nên x x =
3
Baøi 2:
Tìm x thuộc đoạn [0; 14] nghiệm phương trình: cos3x 4cos2x + 3cosx =
Giải
Phương trình cho tương đương với:
4cos3x 3cosx (2cos2x 1) + 3cosx = 4(cos3x 2cos2x) =
cosx = cosx = (loại) x =
+ k (k )
Vì x [0; 14] nên x =
, x = 3
, x = 5
, x = 7
Vấn đề 3:
ĐIỀU KIỆN CĨ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC A PHƯƠNG PHÁP GIẢI
(23)B ĐỀ THI
Bài 1: ĐỀ DỰ BỊ
Xác định m để phương trình 2(sin4x + cos4x) + cos4x + 2sin2x m = có nghiệm thuộc đoạn 0;
2
Giải
Phương trình cho tương đương với:
2(1 – 2sin2x.cos2x) + – 2sin22x + 2sin2x – m =
2
1
2 sin 2x 2sin 2x 2sin2x m
2
3sin22x + 2sin2x + = m (1) Đặt t = sin2x Vì x 0;
2
2x sin2x t (1) thaønh 3t2 + 2t + = m (2); t
Đặt f(t) = 3t2 + 2t +
f'(t) = 6t + f'(t) = t =
3 Bảng bịến thiên
t 1
3 +
f'(t) +
f(t) 10
3
3
Nhận xét: (2) phương trình hồnh độ giao điểm đường thẳng : y = m đường cong (C) Từ (1) có nghiệm x 0;
2
vaø (C) có điểm chung [0;1] m 10
Bài 2: ĐỀ DỰ BỊ
Cho phương trình 2sinx cosx a sinx 2cosx
(1) (a tham số)
a/ Giải phương trình (1) a =
(24)TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN Giaûi
Tập xác định phương trình (1): D = Do đó:
(1) 2sinx + cosx + = a(sinx – 2cosx + 3) (2 – a)sinx + (2a + 1).cosx = 3a –
a/ Khi a = 3:
5
(1) sinx cosx sinx cosx
3
sinx cosx tanx x k (k )
4
b/ Do (2 – a)2 + (2a + 1) nên điều kiện cần đủ để (1) có nghiệm (2 – a)2 + (2a + 1)2 (3a – 1)2 2a2– 3a – a 2
2
Vấn đề 4: BÀI TỐN VỀ TAM GIÁC
A PHƯƠNG PHÁP GIẢI Sử dụng công thức tam giác tương ứng
Nhận dạng tam giác cách rút gọn hệ thức cho hay chứng tỏ hệ thức điều kiện dấu bất đẳng thức
Hệ thức tam giác cần ý a. Định lí hàm số sin: a b c 2R
sinA sinB sinC
b. Định lí hàm số cosin: a2 = b2 + c2– 2bccosA; b2 = a2 + c2– 2accosB c2 = a2 + b2– 2abcosC
c. Định lí đường trung tuyến: m2a 2b2 2c2 a2
d. Định lí đường phân giác: la =
A 2bc.cos
2 b c
e. Diện tích tam giác: S =
2a.ha = 12absinC = abc4R = pr = (p – a).ra = p(p a)(p b)(p c)
f. Bán kính đường trịn nội tiếp: r = (p – a)tan A
2 = (p – b)tan B2 = (p – c)tan C2
(25)Bài 1: ĐỀ DỰ BỊ
Tìm góc A, B, C tam giác ABC để biểu thức:
Q = sin2A + sin2B sin2C đạt giá trị nhỏ
Giải
Ta có: Q 1(1 cos2A) 1(1 cos2B) sin C2
2
1 cos(A B).cos(A B) sin C = + cosC cos(A B) + cos2C = cos2C + cosC cos(A B)
= cosC 1cos(A B) 1cos (A B)2
2 4
Vaäy min
0
A B C 120
1
Q 4 cosC
A B 30
Bài 2: ĐỀ DỰ BỊ
Xaùc định hình dạng tam giác ABC, biết rằng:
p a sin A p b sin B c.sinA.sinB
Trong BC = a, CA = b, AB = c, p a b c
Giaûi
(p – a)sin2A + (p – b)sin2B = c.sinA sinB (p – a)a2 + (p – b)b2 = abc (định lý hàm sin) p a a p b b p p a a p p b b p
bc ac bc ac
a(1 + cosA) + b(1 + cosB) = a + b + c
( p p a p.r Aabc A a A sinAA1 cosA
bc b.c.tan 4R b.c.tan 4.R.tan 2.tan
2 2
)
acosA + bcosB = c sin2A + sin2B = 2sinC
2sin(A + B).cos(A – B) = 2sinC
cos (A – B) = A = B ABC cân C
Bài 3: ĐỀ DỰ BỊ
Xét tam giác ABC có độ dài cạnh AB = c, BC = a, CA = b
(26)TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN Giải
Tính diện tích tam giác
Từ b.sinC(b.cosC + c.cosB) = 20
4R2sinB.sinC(sinBcosC + sinC.cosB) = 20
4R2.sinB.sinC.sinA = 20 (1)
Ta coù: S abc 8R sinA.sinB.sinC3 2R sinA.sinB.sinC2
4R 4R
(2)
Thế (1) vào (2) S = 10 (đvdt)
Baøi 4:
Gọi x, y, z khoảng cách từ điểm M thuộc miền ABC có góc nhọn đến cạnh BC, CA, AB Chứng minh rằng:
x y z a2 b2 c2 2R
Dấu “=” xảy nào? (a, b, c cạnh ABC, R bán kính đường trịn ngoại tiếp)
Giải
Ta coù: a2 b2 c2 a a b b c c
2R 2R 2R 2R
VPasinA bsinB csinC a2S b2S c2S 2S a b c
bc ac ab bc ac ab
Mặt khác ta có: 2S = ax + by + cz, đó: a2 b2 c2 ax by cz a b c
2R bc c ab
(1)
Ta coù: a b c b c c a a b
bc ac ab 2a c b 2b a c 2c b a
Vaäy a b c 1
bc ac ab a b c
b c
Vì
a b
(2) Từ (1) (2) ta có:
2 2
a b c ax by cz 1
2R a b c
2 2
1 ax by cz x y z
a b c
Suy ra: x y z a2 b2 c2
2R
(27)Dấu “=” xảy b c a c a b 2c b c a b a a b c ABC x y z M : trọng tâm
a x b y c z
Baøi 5:
Gọi A, B, C góc tam giác ABC, chứng minh để tam giác ABC điều kiện cần đủ là:
cos2A cos2B cos2C 1cosA BcosB CcosC A
2 2 2
Giải
Ta có: cos2A cos2B cos2C 1cosA BcosB CcosC A
2 2 2
2A 2B 2C A B B C C A
4cos 4cos 4cos cos cos cos
2 2 2
A B B C C A
2 2cosA 2cosB 2cosC cos cos cos
2 2
A B B C C A
2 cosA cosB cosC cos cos cos
2 2
A B C
Ta bietá cosA + cosB + cosC = 4sin sin sin
2 2
A B C A B B C C A
8sin sin sin cos cos cos
2 2 2
Nhân hai vế cho 8cos cos cosA B C
2 2
8sinAsinBsinC = (sinA + sinB)(sinB + sinC)(sinC + sinA) sinA = sinB = sinC (Cauchy coù VP VT)