Tìm tập hợp các điểm M trên mặt phẳng phức biểu diễn cho số phức z thoûa maõn: a... BAØI TẬP TƯƠNG TỰ.[r]
(1)SỞ GIÁO DỤC – ĐAØO TẠO TRƯỜNG THPT Naêm hoïc: 2012 – 2013 -1Lop12.net (2) A SỐ PHỨC CỘNG, TRỪ, NHÂN, CHIA SỐ PHỨC I TOÙM TAÉT LYÙ THUYEÁT Số phức là biểu thức dạng a + bi, đó a, b là các số thực và số i thỏa mãn i 1 Kí hieäu z a bi i: ñôn vò aûo, a: phần thực, b: phaàn aûo Chuù yù: o z a 0i a gọi là số thực (a ) o z bi bi gọi là số ảo (hay số ảo) o 0i vừa là số thực vừa là số ảo y b Biểu diễn hình học số phức: M M(a;b) biểu diễn cho số phức z z = a + bi O a x Hai số phức Cho hai số phức z a bi và z ' a ' b 'i với a, b, a ', b ' a a ' z z' b b ' Cộng và trừ số phức Cho hai số phức z a bi và z ' a ' b 'i với a, b, a ', b ' z z ' a a ' b b ' i z z ' a a ' b b ' i o Số đối z = a + bi là –z = – a – bi (a, b ) Nhân hai số phức Cho hai số phức z a bi và z ' a ' b 'i với a, b, a ', b ' z.z ' aa ' bb ' ab ' a ' b i Số phức liên hợp số phức z = a + bi là z a bi o z z ; z z ' z z ' ; z z ' z z ' o z là số thực z z ; z là số ảo z z Môđun số phức z = a + bi o z a b zz OM o z z C , z z o z.z ' z z ' , z z ' z z ' z, z ' Chia hai số phức -2Lop12.net (3) o Số phức nghịch đảo z (z 0) : z 1 o Thöông cuûa z’ chia cho z (z 0) : o Với z , z' w z ' wz z z z z' z' z z' z z ' z 1 z zz z z' z' z z z' z' , z z , II CÁC DẠNG TOÁN Tìm phần thực và phần ảo và môđun các số phức sau a z i (2 4i)(3 2i) ; b z (1 i)3 (2i)3 ; c z 1 i 1 i Bài toán Giaûi a z i (2 4i)(3 2i) i 14 8i 14 7i Phần thực a = 14; Phần ảo b = 7 ; môđun z b z (1 i)3 (2i)3 2i (8i) 10i Phần thực a = 2; Phần ảo b = 10; môđun z 26 1 i 1 i 1 i 1 i Phần thực a = 2; Phần ảo b = 0; môđun z c z BAØI TẬP TƯƠNG TỰ Tìm phần thực và phần ảo và môđun các số phức sau: a (4 – i) + (2 + 3i) – (5 + i) (1 2i)2 (1 i)3 h b (2 + i)3 – (3 – i)3 (3 2i)3 (2 i)2 5i c i 2i 3i 2i d (2 3i)3 1 i j ( 1- i ) + e (1 + i)2 – (1 – i)2 2i f 3i i)3 3i g (2 + – (3 – Tính a 2i 1 i b 1 i m c i m ai a d a i a i)3 k 2i i h l 3 2i 3 2 i (5 2i ) m i i 1 i i n i i 1 i i o p ai b i a i (2 – i)4 j i 2 4i k 3i 6i -3Lop12.net 2i i i 2i 4i 1 4i (2 3i ) n (2 + 3i)2 o (2 – 3i)3 2i p 1 i i (1 i)(4 3i) q 2i (3 4i)(1 2i) 3i r 2i (4) 3i (1 2i )(1 i ) f 2i(3 + i)(2 + 4i) g + 2i + (6 + i)(5 + i) e l 1 i 2 2i 3 2i m (3 – 2i)(2 – 3i) 3i + (5 – i)2 i 2i 2i t 2i 2i s Bài toán Tính (1 i) 2012 Giaûi 1006 (1 i) 2012 (1 i) BAØI TẬP TƯƠNG TỰ Tính a i i i3 i 2009 (2i)1006 21006.i1006 21006.(i )503 21006.(1)503 21006 b (1 i)100 c (1 i ) 2008 (1 i ) 2008 Bài toán Tìm các số thực x và y biết 2x yi 2i x yi 4i Giaûi 2x x x 2x yi 2i x yi 4i (2x 3) (y 2)i (x 2) (4 y)i y y y BAØI TẬP TƯƠNG TỰ Tìm các số thực x và y biết: a (2x + 3) + (y + 2) i = x – (y – 4) i c (3x - 2) + (2y + 1) i = (x + 1) – (y – 5) i d (2x + y) + (y + 2) i = (x + 2) – (y – 4) i b (2 – x) – i = + (3 – y) i Bài toán Tìm tập hợp các điểm M trên mặt phẳng phức biểu diễn cho số phức z thoûa maõn: a z i z 3i ; b z Giải Đặt z x yi , đó: a z i z 3i x yi i x yi 3i x (y 1)i x (y 3)i x (y 1) (x 2) (y 3) x 2y Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng x 2y b z x yi x yi (x 3) y (x 3) y Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là hình tròn (x 3) y tâm I(-3;0) và bán kính -4Lop12.net (5) BAØI TẬP TƯƠNG TỰ Tìm tập hợp các điểm M trên mặt phẳng phức biểu diễn cho số phức z thỏa mãn: z i g z i z a z z 1 o zi h z = b 2|z – i| = z z 2i p 1< z i z = z 4i c z z 4i q 2i z z j z (2 _ i ) 10 vaø z.z ' = 25 z i r phần thực z thuộc đọan d 1 k z zi [0;1], phần ảo z thuộc đoạn l z =1 vaø phaà n aû o cuû a z =1 [-1;2] e z i m z 3 4i c z z 4i a z + z = – 4i d z z b z z zi n 1 f z z z i B PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI TRÊN TẬP SỐ PHỨC I TOÙM TAÉT LYÙ THUYEÁT Căn bậc hai số phức o z coù moät caên baäc hai laø o z a là số thực dương có bậc là a o z a là số thực âm có bậc hai là a i o z = x + yi là số phức có bậc là w = a + bi cho x y2 a w2 z 2xy b (a, b, x, y ) Phương trình bậc hai ax2 + bx + c = (a, b, c là số thực cho trước, a ) Tính b 4ac b o : Phöông trình coù hai nghieäm phaân bieät thực x1 ,2 2a o : Phöông trình coù hai nghieäm phaân bieät phức x1 ,2 b i 2a b 2a Phương trình bậc hai Az + Bz + C = (A, B, C là số phức cho trước, A ) Tính B2 4AC B o : Phöông trình coù hai nghieäm phaân bieät z1 ,2 2A ( laø caên baäc hai cuûa ) B o : Phöông trình coù nghieäm keùp laø z1 z 2A II CÁC DẠNG TOÁN Bài toán o : Phöông trình coù nghieäm keùp laø x Tìm bậc hai các số phức sau: a 4 ; b 4i (NC) -5Lop12.net (6) Giaûi a Hai caên baäc hai cuûa 4 laø 4 i 2i b Goïi w x yi laø caên baäc hai cuûa 4i , ta coù: x x 1 (loại) x x y x 3x x y2 x x 2 y 1 2 x 2 2xy 4 y y y x x y x x y Vaäy 4i coù hai caên baäc hai laø i vaø 2 i BAØI TẬP TƯƠNG TỰ Tìm bậc hai các số phức sau: 8;3; 9 ; 11 ; -I; -2i; 2i; 4i Tìm bậc hai các số phức sau: (NC) 5 12i ; 6i ; 33 56i ; 3 4i ; 3+4i; – 12i Bài toán 2 Giải các phương trình sau trên tập số phức: a (3 2i)z 5i 3i ; b Giaûi a (3 2i)z 5i 3i (3 2i)z 8i z z 3i 2i 3i 8i 25 18 i 2i 13 13 z z 3i 2i i z (3 i)(4 3i) 15 5i 3i 3i BAØI TẬP TƯƠNG TỰ Giải các phương trình sau trên tập số phức: 2i 3i 5i z a 4i h 1 i 2i z b 2iz + – i = z (2 3i ) 2i i c (1 – i )z + – i = 2z + i 3i d ( iz –1 )( z + 3i )( z – + 3i) = j (1 + 3i)z – (2 + 5i)= (2 + i) e ( i) z – = k (3 – 2i)z + (6 – 4i)= – i f 5i z i l (3 + 4i)z + (1 – 3i)=2 + 5i b g 2i z i 3i s (1 + 3i)z – (2 + 5i) = (2 + i)z t (3 + 4i)z =(1 + 2i)( + i) m z i i n [(2 i ) z i ](iz Bài toán Giải các phương trình sau trên tập số phức: (NC) a 7z 3z ; b 3x 2x Giaûi a 7z 3z -6Lop12.net )0 2i (7) b 4ac 47 Phöông trình coù nghieäm phức phaân bieät: z1 z2 b i 2a 3 47.i 47 i 14 14 14 3 47.i 47 i 14 14 14 b i 2a b 3x 2x ' b '2 ac 2 Phöông trình coù nghieäm phức phaân bieät: x1 x2 b ' i ' a b ' i ' 1 2.i i 3 3 1 2.i i 3 3 a BAØI TẬP TƯƠNG TỰ Giải các phương trình sau trên tập số phức: h z3 + = o z2 + 2z + = a x 3.x i z4 + = p 8z2 – 4z + = b x 3.x j 5z2 – 7z + 11 = q x2 + = c x x k z2 - z + = r x2 – 3x + = d x x l z3 – = s x2 –5x +7=0 e x x m z + z +7 = t x2 –4x + 11 = f z4–8 = n z – z + = u z2 – 3z + 11 = g x3 – = Giải phương trình sau trên trường số phức a z4 – 5z2 – = g z4 + z3 + z2 + z + = 2 b z +7z – = 4 h z + z + z3 + z2 + z + =0 c z – 8z – = z 7i d z4 + 6z2 + 25 = z 2i i zi e z4 + 4z – 77 = 1 f 8z4 + 8z3 = z + j z z z 2 Bài toán Giải các phương trình sau trên tập số phức: (NC) a x (3 4i)x 5i ; b z 2iz 2i Giaûi a x (3 4i)x 5i b 4ac 3 4i (1 2i) Goïi laø moät caên baäc hai cuûa , ta coù 2i Do , phöông trình coù nghieäm phaân bieät: b 4i 2i x1 3i 2a b 4i (1 2i) x2 1 i 2a b z 2iz 2i -7Lop12.net (8) ' b '2 ac 2i (1 i) Goïi ' laø moät caên baäc hai cuûa ' , ta coù ' i Do ' , phöông trình coù nghieäm phaân bieät: b ' ' i i z1 1 a b ' ' i (1 i) z2 1 2i a BAØI TẬP TƯƠNG TỰ (NC) Giải các phương trình sau trên tập số phức: a x2 – (3 – i)x + – 3i = b (z2 + i)(z2 – 2iz - 1) = c x 1 i x i d e f g h 2z2 – iz + = z2 + (-2 + i)z – 2i = z2 + (1 – 3i)z – 2(1 + i) = z2 + ( – i)z – 2(1 + i) = x 8i x 14i 23 j z 80 z 4099 100i k z i z i 13 l z cos i sin z i cos sin m z 1 i z 63 16i n z 24 1 i z 308 144i o ( – i)x2 – 2x – (11 + 3i) = p ( + i)x2 – 2(1 – i)x + – 3i = q z2 + 18z + 1681 = i z 14i z 12 5i Giaûi caùc heä phöông trình : z1 z i z12 z22 2i c a z1 z 2i z1 z2 i z1 z 5 5.i d u v 4uv b 2 z1 z 5 2.i u v 2i C DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC (NC) I TOÙM TAÉT LYÙ THUYEÁT Dạng lượng giác số phức z 2i z e z i z z = r(cos i sin ) (r > 0) laø daïng löông giaùc cuûa z = a + bi (a, b , z 0) o r a b laø moâñun cuûa z a cos r o (số thực) laø moät acgumen cuûa z thoûa b sin r Nhân chia số phức dạng lượng giác Nếu z = r(cos i sin ) , z ' r '(cos ' i sin ') thì : o z.z ' r.r '[cos( ') i sin( ')] o z r [cos( ') i sin( ')] z' r' Công thức Moa-vrơ : n N * thì [r(cos i sin )]n r n (cos n i sin n) Nhaân xeùt: (cos i sin ) n cos n i sin n -8Lop12.net (9) Căn bậc hai số phức dạng lượng giác Căn bậc hai số phức z = r(cos i sin ) (r > 0) là r (cos i sin ) vaø r (cos i sin ) r [cos( ) i sin( )] 2 2 2 II CÁC DẠNG TOÁN Bài toán Viết dạng lượng giác các số phức sau: a z 2i ; b z 1 3.i Giaûi a z 2i o Moâ ñun r a b 2 cos o Goïi laø moät acgumen cuûa z ta coù sin Dạng lượng giác z 2 cos i sin 4 b z 1 3.i o Moâ ñun r a b cos 2 o Goïi laø moät acgumen cuûa z ta coù sin 2 2 Dạng lượng giác z cos i sin BAØI TẬP TƯƠNG TỰ Tìm acgumen số phức sau: a 3.i f (1 i )(1 i ) d cos i sin 4 b – 4i 1 i g c – 3.i e sin i cos 1 i 8 Thực phép tính c 3(cos20o + isin20o)(cos25o + isin25o) a (cos i sin ).3(cos i sin ) 2 2 6 4 (cos i sin ) 0 3 (cos 45 i sin 45 ) d b (cos15 i sin 15 ) 2(cos i sin ) 2 Viết dạng lượng giác các số phức sau: a i 1 i f d 2i b + i 1 i g z = sin i cos c (1 i )(1 i ) e 2.i.( i ) -9Lop12.net (10) Bài toán Tính: a (1 i)10 Giaûi a (1 i)10 i i ; b (1 i)10 i 10 5 5 (1 i) cos i sin 25 cos i sin 32 i 32i 4 10 b i (1 i)10 6 cos i sin 32 cos i sin 26 1 0i 26 6 i 32i 64 2048i (1 i)10 i 10 5 5 (1 i) cos i sin 25 cos i sin 32 i 32i 4 2 10 3 3 i cos i sin 29 cos i sin 512i 6 2 10 (1 i) 16 i BAØI TẬP TƯƠNG TỰ Tính : a [ (cos 30 i sin 30 )]7 b ( i ) 1 i c 1 i 2010 1 i h i 21 33 1 3 d i 2 Bài toán i 1 e i 12 3i f 2i g cos i sin i (1 3i )7 3 Tìm bậc hai các số phức sau: a z 1 i ; b z 1 i 1 i Giaûi a 1 i 2 2 Dạng lượng giác: z cos i sin -10Lop12.net i i j 280 25 1 i 50 3i 49 k (cos12o + isin12o)5 (11) 1 Hai caên baäc hai cuûa z laø w1 cos i sin i 3 2 1 w cos i sin i i 2 3 2 b z i i vaø 2 2 i 1 i 1 i 7 7 Dạng lượng giác z cos i sin 12 12 7 7 Hai caên baäc hai cuûa z laø w1 cos i sin vaø 24 24 7 17 7 17 w cos i sin cos i sin 24 24 24 24 BAØI TẬP TƯƠNG TỰ Tìm bậc hai số phức sau : 2004 a –1 + 3.i i f b + 5.i 1 i c –1 – i g 11 3i d 1+ i 1 i h e ( - i) i cos j cos i sin i sin k 5i l 1 6i D - 2009 B - 2009 A - 2009 CĐ - 2009 TN THPT - 2009 -11Lop12.net (12) TN THPT - 2008 TN THPT - 2007 TN THPT - 2007 TN THPT - 2006 Hết - -12Lop12.net (13) -13Lop12.net (14) -14Lop12.net (15)