Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số 1 có điểm cực đại, điểm cực tiểu, đồng thời hoành độ của điểm cực tiểu nhỏ hơn 1.. Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng AB trên m[r]
(1)ĐỀ ÔN THI ĐẠI HỌC ĐỀ SỐ Môn : TOÁN Khối : B Thời gian làm bài : 180 phút không kể thời gian phát đề PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH Câu I (2 điểm) Cho hàm số y = x3 + (1 – 2m)x2 + (2 – m)x + m + (m là tham số) (1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) m = 2 Tìm các giá trị m để đồ thị hàm số (1) có điểm cực đại, điểm cực tiểu, đồng thời hoành độ điểm cực tiểu nhỏ Câu II (2 điểm) Giải phương trình: cos2x + (1 + 2cosx)(sinx – cosx) = ¿ (x − y)( x + y 2)=13 Giải hệ phương trình: (x+ y)(x − y 2)=25 (x, y ) ¿{ ¿ Câu III (2 điểm) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x – y + 2z + = và các điểm A(0; 0; 4), B(2; 0; 0) Viết phương trình hình chiếu vuông góc đường thẳng AB trên mặt phẳng (P) Viết phương trình mặt cầu qua O, A, B và tiếp xúc với mặt phẳng (P) Câu IV (2 điểm) √e −2 ln x dx x √ 1+2 ln x Cho hai số dương x, y thay đổi thỏa mãn điều kiện x + y Tìm giá trị nhỏ biểu x +4 2+ y + thức A = 4x y Tính tích phân: I =∫ PHẦN TỰ CHỌN: Thí sinh tự chọn câu V.a câu V.b Câu V.a Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A(2;1), đường cao qua đỉnh B có phương trình là x – 3y – = và đường trung tuyến qua đỉnh C có phương trình là x + y + = Xác định tọa độ các đỉnh B và C tam giác Cho hai đường thẳng song song d1 và d2 Trên đường thẳng d1 có 10 điểm phân biệt, trên đường thẳng d2 có n điểm phân biệt (n 2) Biết có 2800 tam giác có đỉnh là các điểm đã cho Tìm n Câu V.b Giải phương trình x +x − –10 x +x −2 +1 = Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có A'.ABC là hình chóp tam giác đều, cạnh đáy AB = a, cạnh bên A'A = b Gọi là góc hai mặt phẳng (ABC) và (A'BC) Tính tg và thể tích khối chóp A'.BB'C'C 2 –––––––––––––––––––––––––– Hết –––––––––––––––––––––––––––– (2) ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM ĐỀ ÔN THI ĐẠI HỌC ĐỀ SỐ Môn : TOÁN Khối : B Câu I ( Đáp án – Thang điểm có trang ) Nội dung Ý Điểm 2,00 Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (1) hàm số (1,00 điểm) Với m = thì y = x3 - 3x2 + TXĐ : D = Sự biến thiên : y’ = 3x2 – 6x , y' = x = 0, x = 0,25 Bảng biến thiên : x y' y - + - YCĐ = y(0) = 4; yCT = y(2) = 0 – + + + 0,50 Đồ thị 0,25 Tìm m để đồ thị hàm số (1) có điểm cực đại, cực tiểu, đồng thời (1,00đ) y' = 3x2 + 2(1 - 2m)x + - m = f(x) Yêu cầu bài toán phương trình y' = có hai nghiệm phân biệt x 1, x2 thỏa 0,25 mãn: x1 < x2 < ¿ ¿ Δ '=4 m2 − m−5> 0,25 f (1)=−5 m+7>0 ¿ S m−1 = <1 ¿ ¿ 0,50 <m< (3) II 2,00 Giải phương trình (1,00 điểm) Phương trình đã cho tương đương với : (sinx - cosx)(cosx - sinx + 1) = 0,25 tgx=1 0,25 π sin( x − )= √ sin x − cos x=0 ⇔ ¿ sin x − cos x=1 ¿ π x= + k, x = + k2 x = Giải hệ phương trình (1,00 điểm) Hệ đã cho tương đương với : (x − y)( x + y 2)=13 ¿ x + y ¿2=25 (x − y )¿ ¿ x − y ¿3=1 ¿ x+ y ¿ =25 ¿ ¿ ¿ x − y =1 x + y =±5 x=3 , y=2 x=−2 , y=− ¿ π 0,50 + k2 (k Z) 0,25 0,25 { III 0,25 0,25 2,00 Viết phương trình hình chiếu vuông góc AB trên (P) (1,00 điểm) Hình chiếu A'B' AB trên (P) là giao tuyến (P), (Q), đó (Q) là 0,25 mặt phẳng chứa AB và vuông góc với (P) ⃗ ⃗ Ta có AB = (2;0;–4) và véctơ pháp tuyến (P) là n = 0,25 p (2;1,2) Véc tơ pháp tuyến (Q) là ⃗ ⃗ ⃗ n Q = [ n p , AB ] =(4 ; 12 ; 2) Vì (Q) qua A(0; 0; 4) (Q): 6y + z = x − y+ z +5=0 A'B': x +6 y + z − 4=0 Viết phương trình mặt cầu qua O, A B và tiếp xúc với (P) (1,00 điểm) Gọi I(a; b; c) là tâm mặt cầu (S) cần tìm (S) có phương trình x2 + y2 + z2 2ax 2by 2cz + d = d=0 d=0 (S) qua O, A, B − c +d +16=0 a=1 (1) −4 a+d + 4=0 c=2 (S) tiếp xúc với (P) d(I,(P)) =OI 2ab+ 2c+5 = √ a2 +b2 +c { { { 0,25 0,25 0,25 0,25 (4) b = Vậy, có hai mặt cầu thỏa mãn yêu cầu bài toán là: (S):x2 +y2+z22x + y 4z = (S) x2 + y2 + z2 2x + y4z = 0,25 Kết hợp (1) suy b = 0,25 IV 2,00 Tính tích phân (1,00 điểm) 0,25 √ 1+ ln x t2 = + 2lnx tdt = x dx và 2lnx = 2 t2 với x = thì t = 1; với x = √ e thì t = √ Đặt t = √e I =∫ (2 −t ) tdt t = ∫ (2− t2 )dt 0,25 √ 2− t ∨√ = 3 Tìm giá trị nhỏ biểu thức A (1,00 điểm) 2 3x 2+ y x +4 Ta có A = + = + + +y 2 x 4x y y y y x x+ y + + A= + +2 + 1+ x 2 y 8 9 Với x = y = thì A = Vậy giá trị nhỏ A là 2 = ( 2t− 0,25 √e ) ( ) 0,25 0,25 +2= V.a Xác định tọa độ các đỉnh B, C ABC (1,00 điểm) Đường thẳng AC qua A(2;1)và vuông góc với đường thẳng x3y+7= nên AC có phương trình 3x + y = x + y −7=0 x=4 tọa độ C là nghiệm hệ C(4; -5) x + y +1=0 y=−5 Vì B thuộc đường thẳng: x – 3y + = B(3t + 7; t) 3t +9 t +1 ; tọa độ trung điểm AB là I 2 t +9 t +1 + + 1=0 t = 3 B(-2; -3) Vì I thuộc trung tuyến qua C nên 2 Đại số tổ hợp (1,00 điểm) Số tam giác thỏa điều kiện đề bài là 10 C2n + n C210 Từ giả thuyết suy 10 C2n + n C210 = 2800 n2 + 8n 560 = { { ( 0,50 0,25 2,00 0,25 0,25 0,25 ) n = 20 V.b 0,25 0,25 0,50 0,25 2,00 Giải phương trình (1,00 điểm) t=1 Đặt t = x +x , phương trình đã cho trở thành: t2 10t + = 0 t=9 ¿ Với t = 1, ta x2 + x = x = x = 1 Với t = 9, ta x2 + x = x = x = 2 0,50 0,25 0,25 (5) Tính tg và thể tích khối chóp A’.BB’C’C (1,00 điểm) C’ A’ B’ b A a H E C B Gọi E là trung điểm cạnh BC ,H là tâm tam giác ABC Vì A’.ABC là hình chóp nên góc hai mặt phẳng (ABC) và (A’BC) là =A’EH a √3 a √3 a √3 AE = ,AH = , HE = A’H = 2 √ A ' A − AH 2= √9 b 3−3 a A' H √ b2 −a2 =¿ tg = HE a 2 2 a √3 SABC = VABC.A’B’C’ = A’H.SABC = a √ b − a 4 2 a √3 b − a VA’.ABC = A’H.SABC = 12 a2 √ b2 − a2 VA’.BB’C’C = VABC.A’B’C’ – VA’.ABC= A’H.SABC = ========== Hết ============ 0,25 0,25 0,25 0,25 (6)