Tính thể tích khối chóp S.ABCD và tính cosin góc giữa hai đường thẳng.. SD và BC.[r]
(1)TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
TRƯỜNG THPT CHUYÊN ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG LỚP 12, NĂM 2011 MƠN: TỐN; Thời gian làm bài: 180 phút
I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I (2,0 điểm)
1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số yx33x24 2 Biện luận theo tham số m số nghiệm phương trình
1 )
2
(
x m
x
Câu II (2,0 điểm)
1 Giải phương trình 34x32 x114.32x x1 2 Tính góc tam giác ABC biết
cos ) cos(
sin sin
) cos ( sin
sin2 2
C B
A C
B
A C
B
Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân
0
2 d cos sin cos
sin
x x x x
x I
Câu IV. (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang cân (AB // CD), AB = 2CD = 4a,
10
a
BC Gọi O giao điểm AC BD Biết SO vng góc với mặt phẳng (ABCD) mặt bên SAB tam giác Tính thể tích khối chóp S.ABCD tính cosin góc hai đường thẳng
SD BC
Câu V. (1,0 điểm) Cho số thực dương a, b, c Tìm giá trị nhỏ biểu thức
16
4 c a b
a c a c b
c b c b a
b a P
II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh làm hai phần (phần a, b) a Theo chương trình Chuẩn
Câu VIa (2,0 điểm)
1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C):x2 y22x4y200 điểm A(5;6). Từ A vẽ tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (C) với B, C tiếp điểm Viết phương trình đường trịn nội tiếp tam giác ABC
2 Trong không gian tọa độ Oxyz, cho đường thẳng
2 1
2
3 :
y z
x
d mặt cầu
19 2 :
)
(S x2y2z2 x y z Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng d cho mặt phẳng qua M vng góc với d cắt mặt cầu (S) theo đường trịn có chu vi 8
Câu VIIa (1,0 điểm) Tìm số phức z thỏa mãn z z22i
2
z i
z số ảo
b Theo chương trình Nâng cao Câu VIb (2,0 điểm)
1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có trọng tâm , G(1;1); đường cao từ đỉnh A có phương trình 2x y10 đỉnh B, C thuộc đường thẳng :x2y10 Tìm tọa độ đỉnh A, B, C biết diện tích tam giác ABC
2 Trong không gian tọa độ Oxyz,cho hai đường thẳng
1
1
1 : ,
1
1
: 2
1
x y z x y z
và điểm A(1;1;2). Tìm tọa độ điểm B, C thuộc 1,2 cho đường thẳng BC thuộc mặt phẳng qua điểm A đường thẳng đồng thời đường thẳng BC vng góc với 1
Câu VIIb. (1,0 điểm) Cho số phức z thỏa mãn z 2i có acgumen acgumen z cộng với
4
Tìm giá trị lớn biểu thức |T |z1||zi
- Hết -
Ghi chú: BTC trả vào ngày 20, 21/06/2011 Văn phòng Trường THPT Chuyên – Đại học Vinh Để
nhận thi, thí sinh phải nộp lại Phiếu dự thi cho BTC.
Chúc em học sinh đạt kết cao kỳ thi Đại học năm 2011 !
(2)TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH TRƯỜNG THPT CHUYÊN
ĐÁP ÁN ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG LỚP 12, NĂM 2011 MƠN: TỐN; Thời gian làm bài: 180 phút
Câu Đáp án Điểm
1 (1,0 điểm)
a Tập xác định: D b Sự biến thiên:
* Chiều biến thiên: Ta có y'3x26x
2 0
'
x x
y ; y'02x0
0
'
x x y
Suy hàm số đồng biến khoảng )(;2 (0;), hàm nghịch biến (2;0) * Cực trị: Hàm số đạt cực đại x2, yCĐ 0 đạt cực tiểu 0x , yCT 4
* Giới hạn:
y
xlim ; xlimy
0,5
* BBT
c Đồ thị: Đồ thị (C) hàm số cắt trục hoành ).A(1;
0,5
2 (1,0 điểm)
Ta có 1( 4) ,
1 )
2
( 2
x x x m x
x m x
Xét hàm số
)
4 (
1
3 )
4 ( )
( 3 2
2
x khi x
x
x khi x
x x
x x x f
Suy đồ thị hàm số y f(x) gồm phần đồ thị (C) với 1x đối xứng phần đồ thị (C) với
x qua Ox
0,5 I
(2,0 điểm)
Dựa vào đồ thị ta suy
* m0, phương trình vơ nghiệm * m0, phương trình có nghiệm * 0 m4, phương trình có nghiệm * ,m4 phương trình có nghiệm * ,m4 phương trình có nghiệm
0,5
1 (1,0 điểm) Điều kiện: x1
Pt cho 13.32 x14x 4.3 x12x 3.32( x12x)4.3 x12x10 Đặt t3 x12x,t0. Khi pt trở thành
3 1
1 32
t t t
t
0,5 II
(2,0 điểm)
* Với ,t1 ta có
2
1
4
0
1
2 1
3
x x
x x x
x x
x x
8 17 1
x
* Với
t , ta có 1
3
3 x12x x x x x
x 2
'
y 0 0
y
y
x O
2
4
y
x
O
2
(3)
5
2 )
1 (
0
2
2
x
x x x x
x x
Vậy nghiệm pt
8 17 1
x
4 x
0,5
2 (1,0 điểm)
* Ta có sin2Bsin2C(1cosA)2
2 cos ) cos(
0 cos
cos cos ) cos( ) cos(
cos cos ) cos (cos
cos cos 2
2 cos
2 cos
2
2
A C
B A
A A
C B C B
A A
C B
A A
C B
0
cos
A (do cos(BC)1cosA2) A900
0,5
* Ta có sin2Bsin2Ccos(AB)cosC
B C
B
B A C
B A
B A B
A C
B C B
sin ) cos(
) sin( sin ) cos( sin
) cos( ) cos( ) cos( ) sin(
60
cos
) 90 (
sin cos sin sin cos
sin sin sin cos cos
0
0
B B
C B do B B B B B
B C B C B
Suy A900,B600,C300
0,5
Ta có
cos d tan ) tan (
tan d
cos sin cos
sin
0
2
4
0
2
x x x x
x x
x x x
x I
Đặt ttanx Khi cos
d
d 2
x x
t Khi x0 t0,
x t1 Suy t
t t
t t
t t
t
I d
) )( ( d
1
0
0
2
0,5 III
(1,0 điểm)
ln2
3 ln ln ) ln (ln 2 ln ln d
1 2
0
1
0
t t t
t
t 0,5
+) Gọi H hình chiếu C AB; M, N trung điểm AB, CD Ta có HB ABCDa
2 a
ON a OM a
CH
, nên OAB
vuông cân Suy OAOB2a Do
2 2a OB
SO Suy
3
1
SOS a
VSABCD ABCD
0,5 IV
(1,0 điểm
+) BC // DM nên
]
2 , [ ) , ( ) ,
(
SD BC SD DM
Ta có DM BCa 10,SD SO2OD2
a 10,SM2a Suy
cosSDM Vậy
5 cos
0,5
V (1,0 điểm
Đặt xabc, ybc4a, zca16b Khi 0x, y, z 15
5 21 , 15 ,
z y x c x z b x y
a 0,5
S
A
D C
B
M H
(4)Suy
z
x y z y x y
z y x x z x
x z x y
P 15
5 21 15
5 21 15 15
z x y x x z x y z
z x y
y x x
z y x
15 16 15
1 15
16 15
5 20 15
5
6
5 16 15
1
1
z x x z y
x x y
15 16 15
8
4
Dấu đẳng thức xảy
x z
x y x z
x y
4 16
4
2
2
) (
4 16
) (
2
c b a b a c
c b a a c b
,
c b c
a
Vậy giá trị nhỏ P ,
15 16
đạt
7 ,
c b c
a
0,5
1 (1,0 điểm)
(C) có tâm I(1;2), bán kính R = 5, BC cắt IA H Ta có AI = 10
2
2
IA IB
IH Do
2 cos
); ; (
1
IA H AIB
IH
0
0 60
60
AIB ABC nên ABC tam giác
0,5
Suy tâm đường tròn nội tiếp ABC trùng với trọng tâm Gọi G trọng tâm tam giác ABC
Ta có (2; 2)
3
2
AH G
AG Bán kính đường trịn nội tiếp
2 GH r
Suy phương trình đường tròn nội tiếp ABC
4 25 ) ( )
(x 2 y
0,5
2 (1,0 điểm)
Mặt cầu (S) có tâm I(1;1;2), bán kính R5. Từ giả thiết suy mặt phẳng qua M vng góc với d cắt (S) theo đường trịn có bán kính r4
Đường thẳng d có vectơ phương u(2;1;2);MdM(32t;2t;12t)
Phương trình (P):2(x32t)(y2t)2(z12t)02xy2z9t60
0,5 VIa
(2,0 điểm)
Ta có
2
3 9 ))
( ,
( 2
t t t
r R P I
d
Suy M(3; 2;1), M(1; 0;5)
0,5 Đặt zxyi Khi z z22i xyi x2(y2)i
x2y2 (x2)2(y2)2
xy2 y2x (1)
0,5 VIIa
(1,0 điểm)
Ta có 2 2
) (
] ) ].[( ) ( [ )
2 (
) ( 2
y x
yi x
i y x yi x
i y x z
i z
i
y x
xy y
x y
x
y y x
x
2 2
2 ( 2)
) )( ( )
2 (
) ( ) (
số ảo
) (
) ( ) (
2
2
y x
y y x
x
0 )
2 (
) (
2 2
y x
y x y x
(2)
Thay (1) vào (2) ta
2 )
(
x x
x
Suy y2 Vậy z2i
0,5
1 (1,0 điểm) VIb
(2,0 điểm)
Tọa độ chân đường cao )
5 ; (
H Đường thẳng d qua G song song BC có pt
:x y
d )
5 ; ( I I AH
d Ta có HA3HIA(1;3) 0,5
A H I
B
(5)) , (A BC
d Suy
) , (
BC A d
S
BC ABC
Gọi M trung điểm BC Khi MA3MGM(1;0)
Gọi )
2 ;
(
1
x x
B Khi
) (
1
1 x
x x
MB +) Với ).x13B(3;1)C(1;1 +) Với x11B(1;1)C(3; 1)
Suy A(1;3),B(3;1),C(1;1) ).A(1;3),B(1;1),C(3;1
0,5
2 (1,0 điểm)
Ta có qua 1 D(0;1;1), có vectơ phương u1(2;1;1) )
5 ; ; ( ] , [ ) ; ;
( 1
u AD
AD
Gọi (P) mặt phẳng qua A đường thẳng Suy phương trình 1 (P):3xy5z60
2
cắt (P) C C(1;3; 0)
0,5
2 1 (2;1 ;1 ),
B t t t
B có vectơ phương u2(1;1;1),BC(12t;2t;1t)
2
2
2
BCu t
BC Suy B(4;1;1) 0,5
Đặt zxyi Khi z 2i có acgumen acgumen z cộng với
nên )
4 sin (cos
2 r i
z i
z
, với r0
Ta có 2 2
) (
] ) ].[( ) ( [ )
2 (
) ( 2
y x
yi x
i y x yi x
i y x z
i z
i
y x
xy y
x y
x
y y x
x
2 2
2 ( 2)
) )( ( )
2 (
) ( ) (
Suy
0
0 )
2 (
2
) (
) )( ( )
2 (
) ( )
( 2
2
2 2
2
y x
y x
y x y
x
xy y
x y
x
y y x
x
0,5 VIIb
(1,0 điểm)
Ta có T|z1||zi||(x1)yi||x(y1)i| (x1)2y2 x2(y1)2
32x 32y Áp dụng BĐT Côsi ta có
20 ) ) (
2 ( ) 2 (
2 2
2 x y x y
T
Suy T2 5, dấu đẳng thức xảy x y1 Vậy giá trị lớn T 2 5, đạt z1i
0,5