Hãy viết phương trình mặt phẳng α đi qua các hình chiếu vuông góc của M trên các trục tọa độ.. Viết phương trình mặt phẳng α qua các hình chiếu của điểm A trên các trục toạ độ..[r]
(1)Chương 13 Phương pháp không gian toạ độ không gian Download tài li u h c t p t i : http://aotrangtb.com om 13.1 Hệ toạ độ không gian .c Vấn đề : Tìm tọa độ vectơ và các yếu tố liên quan đến vectơ thỏa mãn số điều kiện cho trước tb Sử dụng các định nghĩa có tính liên quan đến vectơ : tọa độ vectơ, độ dài vectơ, tổng (hiệu) hai vectơ, tọa độ trung điểm, tra Bài 13.1 : Viết toạ độ các vectơ sau đây : ng tọa độ trọng tâm, ao − − − → → − → − − → − → − → → −a = 4→ j ; b = − i + j ;→ c = i +2 j − k ht :// − −a = (−3; 1; 2),→ −c = (−3; 2; 0) Bài 13.2 : Cho các vectơ → b = (1; 3; 4),→ − → → − −a , 3→ −a − 2→ −c Hãy xác định toạ độ các vectơ 3→ b , −a − b + 2→ → − − → −a ,→ Hãy biểu diễn vectơ d = (−1; 0; 2) theo ba vectơ → b , −c − − − − −a và → −a + → −a − → −a | = 3, |→ Bài 13.3 : Cho hai vectơ → b tạo với góc 120◦ Tìm |→ b | và |→ b | biết |→ b | = −a = (1; −3; 4) Bài 13.4 : Cho vectơ → → − −a Tìm y0 và z0 vectơ b = (2; y0 ; z0 ) cùng phương với → −c biết → −a và → −c ngược hướng và |→ −c | = 2|→ −a | Tìm tọa độ vectơ → Bài 13.5 : Cho hình hộp ABCD.A′ B′C ′ D′ , biết A(1; 0; 1), B(2; 1; 2), D(1; −1; 1), C ′(4; 5; −5) Tìm toạ độ các đỉnh còn lại hình hộp Bài 13.6 : Trong không gian Oxyz, xét hình hộp chữ nhật ABCD.A′ B′C ′ D′ , cạnh đáy a, cạnh bên AA′ = 2a, A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), D(0; a; 0), A′ (0; 0; 2a) Xác định toạ độ các đỉnh còn lại −−−→ Xác định toạ độ DB′ Xác định toạ độ trung điểm M đoạn BA′ Xác định toạ độ trọng tâm tam giác B′CD Vấn đề : Ứng dụng tích vô hướng và tích có hướng Sử dụng các công thức Lop12.net 249 (2) CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC • S ∆ABC = −−→ −−→ −−→ −−→ |[ MA, MB]| |[ MA, AB]| • d(M, AB) = = ; −−→ −−→ |AB| |AB| → −→ − −u ,→ −v ) = u v ; • cos(→ −u |.|→ −v | |→ −−→ −−→ [AB, AC] ; −−→ −−→ −−→ • V h.hộp ABCD.A′ B′C′ D′ = [AB, AD].AA′ ; • VABCD = −−→ −−→ −−→ [AB, AC].AD ; → − → − −u ,→ −v ) = [ u , v ] ; • sin(→ → − → | u |.|−v | −−→ −−→ • cos A = cos(AB, AC) ; −−→ −−→ • cos(AB, CD) = cos(AB, CD) −−→ −−→ −−→ [AB, CD].AC • d(AB, CD) = ; −−→ −−→ [AB, CD] − −u và → −v cùng phương và [→ −u ,→ −v ] = → Hai vectơ → (tương đương với tọa độ tương ứng tỉ lệ) −−→ −−→ Ba điểm A, B, C thẳng hàng và hai vectơ AB và AC cùng phương −u ⊥→ −v và →→ −u −v = → .c tb ng Bài 13.8 : Cho ba điểm A(2; 3; 1), B(1; 1; 3), C(−2; 4; 1) tra − −a = (2; 4; 0),→ −c = (1; − 1) Bài 13.7 : Cho vectơ → b = (−3; 2; 1),→ − → − − → −a ,→ −a ) Tính cosin các góc sau : (→ b ), ( b ,→ c ), (−c ,→ − → − − → −a → −a Tính các tích vô hướng → b , b → c , −c → − −v cho → −v ⊥→ −a ,→ −v ⊥→ −v | = |→ −c | Tìm toạ độ vectơ → b và |→ om −−→ −−→ −−→ Bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng và [AB, AC].AD = ao Chứng minh ba điểm A, B, C tạo thành tam giác Tìm toạ độ trọng tâm tam giác ABC Tìm toạ độ điểm D cho ABCD là hình bình hành :// Tìm điểm E trên mặt phẳng (Oxy) cho ABCE là hình thang với hai đáy là AB và CE ht Bài 13.9 : Cho tam giác ABC với A(1; 2; −1), B(2; −1; 3), C(−4; 7; 5) Tìm điểm D cho tam giác ABD nhận C làm trọng tâm Tìm độ dài đường phân giác tam giác ABC vẽ từ B Bài 13.10 : Trong không gian Oxyz cho tam giác ABC có điểm C(−2; 2; 2) và trọng tâm G(−1; 1; 2) Tìm toạ độ các đỉnh A, B tam giác ABC biết A nằm trên mặt phẳng (Oxy) và B thuộc Oz Gọi H là trung điểm BC, E là điểm đối xứng H qua A Tìm toạ độ điểm K trên đường thẳng AC để B, E, K thẳng hàng Bài 13.11 : Cho tam giác ABC có A(2; 0; 1), B(1; −1; 2), C(2; 3; 1) Chứng minh tam giác ABC có Ab là góc tù Tính chu vi tam giác ABC Tìm điểm M trên Oy cho tam giác MBC vuông M Bài 13.12 : Cho tam giác ABC có A(2; 3; 1), B(0; −1; 2), C(1; 0; 3) Tìm toạ độ chân đường cao H hạ từ đỉnh A tam giác ABC Tìm toạ độ giao điểm D đường thẳng AH với đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Bài 13.13 : Cho hai điểm A(3; 0; −1), B(1; 3; −2), C(3; −4; 1) Tìm điểm M trên trục Ox cho MA = MB TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Lop12.net Trang 250 (3) CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC Tìm điểm N trên mặt phẳng (Oyz) cho NA = NB = NC −−→ −−→ −−→ Tìm điểm P trên mặt phẳng Oxy cho |PA + PB + PC| đạt giá trị nhỏ Bài 13.14 : Tìm tọa độ điểm M trường hợp sau đây M trên trục Oy và cách hai điểm A(3; 1; −4), B(−2; 3; 0) M trên mặt phẳng (Oxz) và cách ba điểm A(3; 1; −4), B(−2; 1; 0), C(4; 5; −2) Bài 13.15 : Trong không gian cho điểm A(4; 2; −2), B(1; 2; −5).C(0; 1; −1), D(2; 0; −3) Chứng minh : Bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng Tứ diện ABCD có các cạnh đối diện vuông góc với Bài 13.16 : Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A1 B1C1 biết : om A(−2; 4; 1), B(1; −1; 2), A1(5; −1; 0), C1(−2; 0; 1) Tìm toạ độ các đỉnh còn lại lăng trụ c Một mặt phẳng (P) qua A, trung điểm M BC và trung điểm N A1 B1 Tìm toạ độ giao điểm (P) với B1C1 ng Xác định toạ độ các đỉnh A1 , C1 , B, D và tâm K hình hộp √ 59 Tìm điểm M trên đường thẳng AA1 cho K M = Bài 13.18 : Cho hình chóp S ABCD có : tb Bài 13.17 : Cho hình hộp ABCD.A1 B1C1 D1 Biết A(−3; 2; 1), C(4; 2; 0), B1(−2; 1; 1), D1(3; 5; 4) tra 13 S 3; 3; , A(1; 2; 3), B(−1; 4; 6), C(2; 1; 10), D(4; −1; 7) ao Chứng minh ABCD là hình chữ nhật và S I⊥(ABCD), đó I là giao điểm AC và BD Tính thể tích hình chóp :// Bài 13.19 : Tính tích có hướng các cặp vectơ sau đây : − −a = (−1; 1; −2),→ → b = (2; 3; −7) − −a = (1; 1; 0),→ → b = (0; 0; 1) ht − −a = (1; 1; 2),→ → b = (3; 3; 6) − −a = (−2; 1; 3),→ → b = (1; 3; −4) − → −a ,→ b , −c sau đây : Bài 13.20 : Xét đồng phẳng ba vectơ → − −a = (−3; 1; 1),→ −c = (−4; 1; 0) → b = (2; 3; 5),→ − −a = (2; 1; −1),→ −c = (−2; −1; 1) → b = (3; 1; 2),→ Bài 13.21 : Cho hai điểm A(−3; 2; 1), B(1; 3; −4) Tìm điểm C trên mặt phẳng (Oxy) cho các điều kiện sau thỏa mãn OC = −−→ −−→ −−→ và các vectơ OA, OB, OC đồng phẳng Bài 13.22 : Cho hai điểm A(1; 2; −1), B(−2; 1; 3) Tìm điểm M thuộc Ox cho tam giác AMB có diện tích nhỏ Bài 13.23 : Cho các điểm A(1; 0; 1), B(0; 0; 2), C(0; 1; 1), D(−2; 1; 0) Chứng minh A, B, C, D là các đỉnh tứ diện Tìm toạ độ trọng tâm G tứ diện ABCD và góc tạo hai đường thẳng AC và BD Tính thể tích tứ diện ABCD và khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD) Bài 13.24 : Cho tam giác ABC có A(−2; 0; 1), B(0; −1; 1), C(0; 0; −1) Tìm toạ độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và tính bán kính đường tròn đó Tìm toạ độ trực tâm H tam giác ABC Download tài li u h c t p t i : http://aotrangtb.com Lop12.net Trang 251 (4) CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC Bài 13.25 : Cho tam giác ABC có A(0; 0; 2), B(0; 1; 0), C(1; 2; 3) Tìm toạ đọ điểm S trên Oy để tứ diện S ABC có thể tích Tìm toạ độ hình chiếu H O trên mặt phẳng (ABC) Bài 13.26 : Cho hai điểm A(−3; −2; 1), B(1; 3; −4) Tìm điểm C trên mặt phẳng (Oyz) cho các điều kiện sau thoả mãn : −−→ −−→ −−→ OC = và các vectơ OA, OB, OC đồng phẳng Bài 13.27 : Cho ba điểm A(−2; 1; 3), B(1; 1; 1), C(−4; −3; 2) Chứng minh A, B, C không thẳng hàng Tính diện tích tam giác ABC Tìm điểm D trên trục Oy cho tứ diện ABCD có thể tích Vấn đề : Lập phương trình mặt cầu om .c Muốn viết phương trình mặt cầu cần biết tâm I(a; b; c) và bán kính R mặt cầu đó Khi đó, phương trình mặt cầu là tb (S ) : (x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 = R2 ng Ta có A ∈ (S ) và IA = R (S ) tiếp xúc với ∆ và d(I, ∆) = R tra (S ) tiếp xúc với mặt phẳng (P) và d(I, (P)) = R Nếu M(x M ; y M ; z M ) thì (b) d(M, Ox) = È y2M + z2M , d(M, Oy) = ao (a) d(M, (Oxy)) = |z M |, d(M, (Oyz)) = |x M |, d(M, (Ozx)) = |y M | È x2M + z2M , d(M, Oz) = È x2M + y2M :// (c) Hình chiếu vuông góc M trên trục Ox có tọa độ (x M ; 0; 0) ht (d) Hình chiếu vuông góc M trên mặt phẳng (Oxy) có tọa độ (x M ; y M ; 0) Bài 13.28 : Lập phương trình mặt cầu các trường hợp sau đây : Nhận I(2; 0; 3) là tâm và bán kính R = Nhận AB làm đường kính với A(−2; 3; 5), B(0; 1; −1) Nhận I(3; 4; −1) làm tâm và tiếp xúc với mặt phẳng (Oyz) Nhận I(6; 3; −4) làm tâm và tiếp xúc với trục Oz Bài 13.29 : Lập phương trình mặt cầu trường hợp sau đây : Có tâm trên trục hoành và qua hai điểm A(−2; 4; 1), B(1; 4; −5) Có tâm nằm trên mặt phẳng (Oyz) và qua ba điểm A(2; −1; 5), B(2; 1; 1), C(−3; 0; 2) Đi qua bốn điểm A(−1; 3; 4), B(3; 1; 5), C(−2; 1; −2), D(0; 2; 3) Bài 13.30 : Cho mặt cầu (S ) : x2 + y2 + z2 − 4x + 2y − 4z = Xác định tạo độ tâm và tính bán kính (S ) Tìm toạ độ giao điểm A, B, C (khác gốc O) (S ) với các trục toạ độ Tính thể tích tứ diện OABC Download tài li u h c t p t i : http://aotrangtb.com Lop12.net Trang 252 (5) CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC Bài 13.31 : Cho mặt cầu (S ) có phương trình x2 + y2 + z2 + x − y + z − = Chứng minh (Oxy) cắt mặt cầu (S ) theo đường tròn Tìm tâm và bán kính đường tròn này Trục Oz cắt mặt cầu hai điểm A, B Tính độ dài đoạn AB Bài 13.32 : Cho mặt cầu (S ) : x2 + y2 + z2 − 3x − y + z + = Chứng minh mặt cầu (S ) tiếp xúc với mặt phẳng (Oyz) Tìm toạ độ tiếp điểm A Chứng minh mặt cầu (S ) tiếp xúc với Ox B Tìm toạ độ điểm B Bài 13.33 : Cho S (−2; 2; −3), A(−2; 2; 1), B(2; 4; 1), C(4; 0; 1), D(0; −2; 1) Chứng minh ABCD là hình vuông và S A là đường cao hình chóp S ABCD Tính thể tích hình chóp đó Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD Bài 13.34 : Cho mặt cầu (S m ) : x2 + y2 + z2 − 4mx + 4y + 2mz + m2 + 4m = Tìm m để (S m ) là mặt cầu có bán kính nhỏ om Bài 13.35 : Cho mặt cầu (S m ) : x2 + y2 + z2 − 2mx + 2my − 4mz + 5m2 + 2m + = Xác định tham số m để (S m ) là mặt cầu Tìm tập hợp tâm I mặt cầu (S m ) m thay đổi c Vấn đề : Phương pháp tọa độ giải hình học không gian tb ng Bước : Tạo góc tam diện (có chung đỉnh và ba cạnh đôi vuông góc) Góc tam diện này có hai trục Ox, Oy thường nằm trên mặt đáy và trục Oz vuông góc với đáy tra Bước : Tìm tọa độ bốn điểm : gốc, các điểm nằm trên các trục Ox, Oy, Oz ao Bước : Tìm tọa độ các điểm, các vectơ có liên quan, và đưa bài toán hình học giải tích thông thường :// Bài 13.36 : Cho hình lập phương ABCD.A′ B′C ′ D′ có cạnh a Gọi I là trung điểm A′C, J là trung điểm AB′ Chứng minh AJ⊥A′ I ht Gọi G là trọng tâm tam giác BA′C ′ Chứng minh B′ , G, D thẳng hàng Bài 13.37 : Cho hình lập phương ABCD.A1 B1C1 D1 Gọi M, N, P là trung điểm BB1, CD, A1 D1 Tính góc và khoảng cách C1 N và MP a Bài 13.38 : Cho hình chóp S ABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh a, S A vuông góc với đáy, M thuộc cạnh CD cho DM = và 3a N thuộc cạnh BC cho BN = Chứng minh MN⊥(S AN) từ đó suy mặt phẳng (S AN)⊥(S MN) Bài 13.39 : Cho hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy a, chiều cao 2a Gọi O là giao điểm AC và BD, M và N là trung điểm S A và BC Tính thể tích tứ diện OS MN Đường thẳng MN cắt (S BD) điểm P Tính OP Gọi K là trung điểm cạnh CD, I là điểm thay đổi trên cạnh S O với OI = m Xác định m cho các đường thẳng AB, S C, KI cùng song song với mặt phẳng Bài 13.40 : Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD = b, S A⊥(ABCD) và S C = c Gọi E là điểm đối xứng C qua B −−→ −−→ −−→ Gọi M, N là trung điểm S B, S D Chứng minh các vectơ AE, AM, AN đồng phẳng SM SN −−→ −−→ −−→ Cho M, N thay đổi trên các tia S B, S D cho = x, = y Tìm điều kiện x, y cho các vectơ AC, AM, AN SD SB đồng phẳng Download tài li u h c t p t i : http://aotrangtb.com Lop12.net Trang 253 (6) CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC 13.2 Phương trình mặt phẳng Vấn đề : Viết phương trình mặt phẳng qua điểm và có vectơ pháp tuyến cho trước Vectơ pháp tuyến mặt phẳng − −n , → (a) Vectơ → gọi là vectơ pháp tuyến mặt phẳng (α) nó nằm trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (α) Một mặt phẳng có vô số vectơ pháp tuyến, các vectơ pháp tuyến luôn cùng phương.1 −u ,→ −v không cùng phương và có giá chúng song song (hoặc nằm trên) (α) thì vectơ → −n = [→ −u ,→ −v ] là (b) Nếu hai vectơ → vectơ pháp tuyến mặt phẳng (α) Ax + By + Cz + D = với A2 + B2 + C , om Phương trình tổng quát mặt phẳng .c −n = (A; B; C) là vectơ pháp tuyến (α) Phương trình mặt phẳng qua điểm M(x ; y ; z ) và có vectơ pháp tuyến Khi đó → 0 → −n = (A; B; C) có phương trình tb A(x − x0 ) + B(y − y0 ) + C(z − z0 ) = Phương trình đoạn chắn mặt phẳng : ng Giả sử mặt phẳng (P) cắt ba trục tọa độ ba điểm A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) Khi đó phương trình mặt phẳng (P) là tra x y x + + = a b c Phương trình các mặt phẳng tọa độ :// ao (Oxy) : z = 0; (Oyz) : x = 0; (Ozx) : y = ht Bài 13.41 : Cho hai điểm A(2; 3; −4), B(4; −1; 0) Viết phương trình mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB Bài 13.42 : Cho tam giác ABC có : A(−1; 2; 3), B(2; −4; 3), C(4; 5; 6) Viết phương trình mặt phẳng qua A và vuông góc với đường thẳng BC Viết phương trình mặt phẳng qua A, B, C Bài 13.43 : Trong không gian Oxyz cho điểm M(30; 15; 6) Hãy viết phương trình mặt phẳng (α) qua các hình chiếu vuông góc M trên các trục tọa độ Tìm tọa độ hình chiếu H O trên mặt phẳng (α) Bài 13.44 : Cho điểm A(2; −3; 4) Viết phương trình mặt phẳng (α) qua các hình chiếu điểm A trên các trục toạ độ Bài 13.45 : Viết phương trình mặt phẳng qua điểm G(1; 2; 3) và cắt các trục toạ độ các điểm A, B, C cho G là trọng tâm tam giác ABC Bài 13.46 : Viết phương trình mặt phẳng trường hợp sau đây Cắt các trục tọa độ các điểm A(3; 0; 0), B(0; −2; 0), C(0; 0; 5) Qua điểm H(2; 3; 1) và cắt các trục Ox, Oy, Oz ba điểm A, B, C cho H là trực tâm tam giác ABC Qua điểm M(2; 3; 1) và cắt các trục Ox, Oy, Oz ba điểm A, B, C cho tam giác ABC là tam giác −n = (a; b; c) có a , là vectơ pháp tuyến thì ta luôn có thể chọn a = hay giá trị khác bất kì Nếu → Download tài li u h c t p t i : http://aotrangtb.com Lop12.net Trang 254 (7) CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC Qua điểm G(2; 3; 1) và cắt các trục Ox, Oy, Oz ba điểm A, B, C cho G là trọng tâm tam giác ABC Qua điểm N(1; 1; 1) và cắt ba tia Ox, Oy, Oz ba điểm A, B, C cho OA + OB + OC là nhỏ Bài 13.47 : Lập phương trình mặt phẳng (α) qua điểm M(1; 2; 3) và cắt ba tia Ox, Oy, Oz A, B, C cho thể tích tứ diện OABC nhỏ Bài 13.48 : Viết phương trình mặt phẳng (α) qua hai điểm A(4; −2; 1), B(1; 1; −2) và song song với trục Ox Vấn đề : Vị trí tương đối hai mặt phẳng −n = (A; B; C) và Nếu (α) : Ax + By + Cz + D = và (α′ ) : A′ x + B′ y + C ′ z + D′ = có các vectơ pháp tuyến tương ứng là → α → −n ′ = (A′ ; B′ ; C ′ ) thì α om −n và → −n ′ không cùng phương (α) và (α′ ) cắt và → α α −n và → −n ′ cùng phương và có điểm M ∈ (α) thì M < (α′ ) (α) và (α′ ) song song và → α α tb ng −n → − (α) và (α′ ) vuông góc với và → α n α′ = c −n và → −n ′ cùng phương và có điểm M ∈ (α) thì M ∈ (α′ ) (α) và (α′ ) trùng và → α α Chú ý : tra • Nếu (P) : Ax + By + Cz + D = và (Q) ∥ (P) thì (Q) có dạng Ax + By + Cz + D′ = với D′ , D −n ′ có giá song song với (hoặc nằm trên) mặt phẳng (α) • Nếu (α)⊥(α′ ) đó → α ao Bài 13.49 : Xét vị trí tương đối cặp mặt phẳng cho phương trình :// x + 2y − z + = và 2x + 3y − 7z + 10 = 0; 3x + 2y − z + = và 6x + 4y − 2z + 10 = 0; ht x + 2y − z + = và −x − 2y + z + 10 = 0; Bài 13.50 : Cho hai mặt phẳng (α) : 2x − my + 3z − + m = và (α′ ) : (m + 3)x − 2y + (5m + 1)z − 10 = Với giá trị nào m, hai mặt phẳng đó Song song với Trùng Cắt Vuông góc với Bài 13.51 : Vẫn hỏi bài tập 13.50 với hai mặt phẳng (α) : 2x − my + 10z + m + = và (α′ ) : x − 2y + (3m + 1)z − 10 = Bài 13.52 : Tìm m để hai mặt phẳng (α) : (m + 2)x + (2m + 1)y + 3z + = và (α′ ) : (m + 1)x + 2y + (m + 1)z − = song song vuông góc cắt Bài 13.53 : Cho đường thẳng A(1; −1; 2) và mặt phẳng (α) : 2x − y + z − = Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A và song song với (α) Download tài li u h c t p t i : http://aotrangtb.com Lop12.net Trang 255 (8) CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC Bài 13.54 : Cho hai điểm P(3; 1; −1), Q(2; −1; 4) và (α) : 2x − y + 3z − = Viết phương trình mặt phẳng (R) qua hai điểm P, Q và vuông góc với mặt phẳng (α) Bài 13.55 : Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A(1; 3; −2) và vuông góc với hai mặt phẳng (α) : x − 3y + 2z + = và (α′ ) : 3x − 2y + 5z + = Bài 13.56 : Viết phương trình mặt phẳng qua điểm M(2; −1; 2), song song với trục Oy và vuông góc với mặt phẳng 2x − y + 3z + = Bài 13.57 : Viết phương trình mặt phẳng (α), biết mặt phẳng (α) qua điểm M(1; −1; 5), N(0; 0; 1) và cùng phương với trục Oz qua điểm M(1; −1; 5) và song song với mặt phẳng (Oxy) Bài 13.58 : Cho ba mặt phẳng om (α1 ) : 2x − z = 0; (α2 ) : x + y − z + = 0; (α3 ) : 7x − y + 4z − = Viết phương trình mặt phẳng (α) qua giao tuyến hai mặt phẳng (α1 ) và (α2 ) đồng thời vuông góc với mặt phẳng (α3 ) Bài 13.59 : Cho hai mặt phẳng .c (P) : 2x − y + 3z + = và (Q) : x + y − z + = tb Viết phương trình mặt phẳng (α) qua giao tuyến hai mặt phẳng (P) và (Q) đồng thời vuông góc với mặt phẳng (R) : 3x−y+1 = ng Bài 13.60 : Lập phương trình mặt phẳng (α) qua điểm M(3; 4; 1) và giao tuyến hai mặt phẳng (P) : 19x − 6y − 4z + 27 = và (Q) : 42x − 8y + 3z + 11 = tra Bài 13.61 : Viết phương trình mặt phẳng (α) chứa giao tuyến hai mặt phẳng ao (β) : x + y − z + = và (γ) : y + z = :// đồng thời tạo với trục Oy góc 45◦ ht vuông góc với mặt phẳng (P) : 2x + 3y − z = Vấn đề : Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Khoảng cách từ điểm M(x0 ; y0 ; z0 ) đến mặt phẳng (α) : Ax + By + Cz + D = là d(M, (α)) = |Ax0 + By0 + Cz0 + D| √ A2 + B2 + C Chú ý : • Nếu (P) ∥ (Q) thì d((Q), (P)) = d(M, (P)) với M là điểm trên (Q) • Nếu AB ∥ (P) thì d(A, (P)) = d(B, (P)) Với bài toán viết phương trình mặt phẳng biết khoảng cách ta thường làm sau : − −n = (a; b; c) , → – Giả sử → là vectơ pháp tuyến mặt phẳng – Từ các kiện bài toán ta tìm phương trình chứa a, b, c – Xét hai trường hợp ∗ Nếu a = 0, thay vào các điều kiện ta tìm b, c ∗ Nếu a , 0, chọn a = (hoặc giá trị khác bất kì), thay vào các điều kiện ta tìm b, c TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Lop12.net Trang 256 (9) CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC Bài 13.62 : Tìm trên trục Oz các điểm cách A(2; 3; 4) và mặt phẳng (α) : 2x + 3y + z − 17 = Bài 13.63 : Tìm trên trục Oy điểm M cách hai mặt phẳng (α) : x + y − z + = và (α′ ) : x − y + z − = Bài 13.64 : Cho (P) : 2x − 3y + 6z + 19 = và điểm A(−2; 4; 3) Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua A và song song với (P) Tính khoảng cách hai mặt phẳng (P) và (Q) Bài 13.65 : Tìm trên trục tung các điểm : Cách hai mặt phẳng (α) : x + y − z − = và (α′ ) : x − y + z − = om Cách điểm A(1; 2; 3) và mặt phẳng (α) : x + y − z + = Bài 13.66 : Lập phương trình mặt phẳng (α) qua hai điểm A(2; −1; 0), B(5; 1; 1) và khoảng cách từ điểm M 0; 0; √ đến mặt .c phẳng (α) tb Bài 13.67 : Lập phương trình mặt phẳng (α) qua giao tuyến hai mặt phẳng ng (P) : x − 3y + 7z + 36 = và (Q) : 2x + y − z − 15 = tra đồng thời (α) cách gốc tọa độ khoảng Bài 13.68 : Cho hai mặt phẳng (P) : 3x + 2y − = và (Q) : 2x + y − 2z − = ao Tìm trên giao tuyến (P) và mặt phẳng (Oxy) điểm M cách (Q) và (Oxz) Tìm tập hợp điểm cách hai mặt phẳng (P) và (Q) :// Bài 13.69 : Cho hai mặt phẳng (P) : −3x + y + z − = 0, (Q) : 4x + 3y − z − = và hai điểm A(1; 2; 4), B(−3; 2; 2) ht Chứng minh hai mặt phẳng (P) và (Q) cắt theo giao tuyến ∆ Tìm tọa độ giao điểm ∆ với ba mặt phẳng tọa độ Tìm điểm M trên ∆ cho M cách A và B Tìm điểm N trên ∆ cho tứ diện OABN có thể tích Bài 13.70 : Cho mặt phẳng (P) : −2x + 3y − z + = và điểm A(1; 1; 1) Chứng minh điểm A không nằm trên (P) Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc A trên (P) Tìm tọa độ điểm B đối xứng với điểm A qua mặt phẳng (P) Tìm trên trục Ox điểm M, trên mặt phẳng (P) điểm N cho A là trung điểm đoạn MN Bài 13.71 : Tìm điểm M trên trục Oy trường hợp sau đây : M cách điểm A và mặt phẳng 3x + 4y − z = M cách hai mặt phẳng 3x − 2y + 2z − = và 4x + y − = Khoảng cách từ M đến mặt phẳng 2x + y + 2z − = gấp hai lần khoảng cách từ M đến mặt phẳng (Oxy) Vấn đề : Góc hai mặt phẳng Lop12.net TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 257 (10) CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC −n = (A; B; C) và Nếu (α) : Ax + By + Cz + D = và (α′ ) : A′ x + B′ y + C ′ z + D′ = có các vectơ pháp tuyến tương ứng là → α → −n ′ = (A′ ; B′ ; C ′ ) thì góc ϕ hai mặt phẳng (α) và (α′ ) tính theo công thức α → −n → − α n α′ −n ,→ − cos ϕ = cos(→ α n α′ ) = → − −n ′ | | n α |.|→ α Chú ý : Với bài toán viết phương trình mặt phẳng biết góc hai mặt phẳng ta thường làm sau : − −n = (a; b; c) , → • Giả sử → là vectơ pháp tuyến mặt phẳng • Từ các kiện bài toán ta tìm phương trình chứa a, b, c • Xét hai trường hợp – Nếu a = 0, thay vào các điều kiện ta tìm b, c c om – Nếu a , 0, chọn a = (hoặc giá trị khác bất kì), thay vào các điều kiện ta tìm b, c Bài 13.72 : Viết phương trình mặt phẳng (α) chứa trục Oz và tạo với mặt phẳng (P) : x + 2y − √ 5z = góc 60◦ ng Bài 13.74 : Viết phương trình mặt phẳng (α) qua điểm A(1; 2; −1) và : tb Bài 13.73 : Viết phương trình mặt phẳng (α) qua A(2; 0; 0), B(0; 2; 0) và tạo với mặt phẳng (Oyz) góc 60◦ vuông góc với các mặt phẳng tra (β) : 2x − y + 3z − = và (γ) : x + y + z − = x−1 y+1 z = = 2 qua điểm B(2; 0; 1) và vuông góc với mặt phẳng (Q) : x + 2y − z + = ao vuông góc với (P) : x − y + 2z = và song song với đường thẳng d : :// qua điểm C(2; 1; 0) và tạo với (Oxy) góc 60◦ ht Bài 13.75 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho (α) : mx + 2y + mz − 12 = và (β) : x + my + z + = Tìm tham số m để góc hai mặt phẳng (α) và (β) 45◦ Bài 13.76 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, lập phương trình mặt phẳng (α) qua hai điểm M(3; 0; 0) và N(0; 0; 1) đồng thời π tạo với mặt phẳng (Oxy) góc Bài 13.77 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho (P) : 5x − 2y + 5z − = và (Q) : x − 4y − 8z + 12 = Lập phương trình mặt phẳng (α) qua gốc tọa độ O, vuông góc với mặt phẳng (P) và hợp với mặt phẳng (Q) góc 45◦ Bài 13.78 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình lập phương ABCD.A′ B′C ′ D′ , biết A(0; 0; 0), B(1; 0; 0), D(0; 1; 0), A′ (0; 0; 1) Lập phương trình mặt phẳng (α) chứa đường thẳng CD′ và tạo với mặt phẳng (BB′ D′ D) góc nhỏ Vấn đề : Vị trí tương đối mặt phẳng và mặt cầu Cho mặt phẳng (P) : Ax + By + Cz + D = và mặt cầu (S ) tâm I(a; b; c), bán kính R Nếu d(I, (P)) > R thì mặt cầu (S ) và mặt phẳng (P) không có điểm chung TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Lop12.net Trang 258 (11) CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC Nếu d(I, (P)) = R thì mặt cầu (S ) và mặt phẳng (P) có điểm A chung Khi đó (P) gọi là mặt phẳng tiếp diện và A gọi là tiếp điểm, đồng thời IA⊥(P) Nếu d(I, (P)) < R thì mặt cầu (S ) và mặt phẳng (P) cắt theo giao tuyến là đường tròn Khi đó tâm J đường tròn là hình chiếu vuông góc I lên mặt phẳng (P), và bán kính r đường tròn tính theo công thức r2 = R2 − d2 (I, (P)) Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu theo đường tròn có bán kính lớn và (P) qua tâm I Bài 13.79 : Cho bốn điểm A(3; 6; −2), B(6; 0; 1), C(−1; 2; 0), D(0; 4; 1) Viết phương trình mặt cầu (S ) qua bốn điểm A, B, C, D Viết phương trình tiếp diện mặt cầu (S ) điểm A Viết phương trình mặt cầu có tâm I(−2; 1; 1) và tiếp xúc với mặt phẳng (α) : x + 2y − 2z + = om Bài 13.80 : .c Viết phương trình tiếp diện mặt cầu (S ) : x2 + y2 + z2 − 6x − 2y + 4z + = điểm M(4; 3; 0) Bài 13.81 : Cho mặt cầu (S ) : x2 + y2 + z2 − x − y − z + = Viết phương trình mặt phẳng chứa trục Oy và tiếp xúc với mặt cầu tb Viết phương trình tiếp diện mặt cầu biết tiếp diện cắt ba tia Ox, Oy, Oz A, B, C cho OA = OB = OC Hãy tìm tọa độ hình chiếu vuông góc A trên (P) ng Bài 13.82 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1; 4; 2) và mặt phẳng (P) có phương trình : x + 2y + z − = Viết phương trình mặt cầu tâm A, tiếp xúc với (P) tra Bài 13.83 : Cho ba điểm A(2; 0; 1), B(1; 0; 0), C(1; 1; 1) và mặt phẳng (P) : x + y + z − = Viết phương trình mặt cầu qua ba điểm A, B, C và có tâm thuộc mặt phẳng (P) ao Bài 13.84 : Cho mặt phẳng (P) : 2x + 2y + z − m2 − 3m = và mặt cầu (S ) : (x − 1)2 + (y + 1)2 + (z − 1)2 = Tìm m để mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S ) :// Với m vừa tìm được, hãy xác định tọa độ tiếp điểm mặt phẳng (P) và mặt cầu (S ) Bài 13.85 : Cho mặt cầu (S ) : x2 + y2 + z2 − 2x − 2z − m2 = và mặt phẳng (P) : 3x + 6y − 2z − 22 = ht Xác định tham số m để (P) cắt (S ) theo giao tuyến là đường tròn (C) có diện tích 2π Bài 13.86 : Cho mặt cầu (S ) : (x + 1)2 + (y + 2)2 + (z + 3)2 = 14 và điểm M(−1; −3; −2) Lập phương trình mặt phẳng (α) qua M và cắt (S ) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính nhỏ Bài 13.87 : Cho mặt cầu (S ) : (x − 3)2 + (y + 2)2 + (z − 1)2 = và mặt phẳng (P) : x + 2y + 2z + 11 = Tìm điểm M trên mặt cầu (S ) cho khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) là ngắn Bài 13.88 : Xác định tâm và bán kính đường tròn là giao tuyến mặt cầu (S ) và mặt phẳng (P), với (S ) : x2 + y2 + z2 − 2(x + y + z) − 22 = và (P) : 3x − 2y + 6z + 14 = Bài 13.89 : Cho hai mặt phẳng song song (P1 ) và (P2 ) có phương trình (P1 ) : 2x − y + 2z − = và (P2 ) : 2x − y + 2z + = và điểm A(−1; 1; 1) nằm khoảng hai mặt phẳng đó Gọi (S ) là mặt cầu bất kì qua A và tiếp xúc hai mặt phẳng (P1 ) và (P2 ) Chứng minh bán kính mặt cầu (S ) là hàng số và tính bán kính đó Gọi I là tâm mặt cầu (S ) Chứng minh I luôn thuộc đường tròn cố định Xác định tâm và bán kính đường tròn đó Bài 13.90 : Viết phương trình mặt phẳng (α) tiếp xúc với mặt cầu (S ) : (x − 1)2 + (y + 3)2 + (z − 2)2 = 49 điểm M(7; −1; 5) Bài 13.91 : Viết phương trình mặt phẳng (α) tiếp xúc với mặt cầu (S ) : x2 + y2 + z2 − 2x − 4y − 6z − = và song song với mặt phẳng (P) : 4x + 3y − 12z + = Lop12.net TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 259 (12) CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC 13.3 Phương trình đường thẳng Trong chương trình toán 12, chúng ta không xét dạng tổng quát đường thẳng, nhiên tài liệu này chúng ta viết : Cho đường thẳng ∆ : <Ax + By + Cz + D = thì chúng ta hiểu đường thẳng ∆ là giao tuyến hai mặt phẳng : A ′ x + B ′ y + C ′ z + D′ = (P) : Ax + By + Cz + D = và (Q) : A′ x + B′ y + C ′ z + D′ = Vấn đề : Phương trình tham số và phương trình chính tắc đường thẳng om Cho đường thẳng d qua điểm M(x0 ; y0 ; z0 ) − −u = (a; b; c) , → Xác định vectơ phương → đường thẳng : tb .c − −u , → −u là vectơ phương đường thẳng d (a) Nếu → có giá song song trùng với đường thẳng d thì → → − −n và → −n cùng vuông góc với d thì vectơ → −u = [→ −n ,→ − (b) Nếu có → n ] , là vectơ phương đường thẳng d Phương trình tham số và phương trình chính tắc đường thẳng d có dạng y = y0 + bt > : tra d: ng > x = x0 + at < :// ao z = z0 + ct x − x0 y − y0 z − z0 d : = = ( a, b, c khác 0) a b c Bài 13.92 : Viết phương trình tham số và chính tắc các đường thẳng sau : ht −u = (−1; 3; 5) Đi qua điểm A(2; 0; −1) và có vectơ phương → Đi qua hai điểm A(2; 3; −1) và B(1; 2; 4) Bài 13.93 : Viết phương trình tham số các đường thẳng sau, tìm điểm mà đường thẳng qua và tìm vectơ phương đường thẳng đó, biết : d : x−2 y z+3 = = ; −3 d : x = y−1 z = 3 d : x−2 y+1 = = −z + −3 Bài 13.94 : Viết phương trình chính tắc các đường thẳng sau, tìm điểm mà đường thẳng qua và tìm vectơ phương đường thẳng đó, biết : d : > x = + 2t < y = −3 + t > : z = − 3t d : >x = < y = + 3t > : z = + t d : >x = t < y = + 2t > : z = − 3t Vấn đề : Tìm điểm trên đường thẳng thỏa mãn điều kiện cho trước TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Lop12.net Trang 260 (13) CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC Chuyển đường thẳng dạng tham số > x = x0 + at > < y = y0 + bt > > : z = z0 + ct Điểm M nằm trên đường thẳng nên M(x0 + at; y0 + bt; z0 + ct) Chuyển các đặc trưng hình học M sang điều kiện vectơ Bài 13.95 : Cho đường thẳng d có phương trình > x = 2t < y = −1 + 3t > : z = + 2t Tìm điểm M trên đường thẳng d thỏa mãn √ om Khoảng cách từ M đến mặt phẳng 2x − y − z − = là M cách hai mặt phẳng (Oxy) và (Oyz) tb x y z−1 ′ = = , d : y = −1 − 3t > : z = −1 + t và mặt phẳng (P) : 3x − y − z = ng Bài 13.96 : Cho hai đường thẳng d : > x = + 2t < .c √ Hình chiếu vuông góc M lên mặt phẳng (Oxy) nằm trên mặt cầu tâm O bán kính là 2 tra Tìm điểm A trên d, điểm B trên d′ cho AB vuông góc với mặt phẳng (P) Tìm điểm C trên d, điểm D trên d′ cho đường thẳng CD song song với mặt phẳng (P) và trọng tâm tam giác OCD nằm trên ao mặt phẳng (Oxz) x−1 y = = z và mặt phẳng (P) : 2x − 3y − 2z − = Xác định các điểm A, B, C, D cho A, B √ 196 10 nằm trên d; S nằm trên (P) và S ABCD là hình chóp tứ giác nhận gốc tọa độ O làm tâm đáy có thể tích :// Bài 13.97 : Cho đường thẳng d : ht Vấn đề : Vị trí tương đối hai đường thẳng ∆ và ∆′ không gian −′ −u và đường thẳng ∆′ qua M ′ và có vectơ phương → Giả sử ∆ qua M0 và có vectơ phương → u ∆ và ∆′ trùng và ∆ và ∆′ song song và ∆ và ∆′ cắt và −′ → − −u ,→ <[→ u]= −−−−→ → − −u , − :[→ M0 M0′ ] = ⇔ M0 ∈ ∆ thì M0 thuộc ∆′ −′ → − −u ,→ <[→ u]= −−−−→ → − −u , − :[→ M0 M0′ ] , ⇔ M0 ∈ ∆ thì M0 không thuộc ∆′ −′ → − −u ,→ <[→ u ] =, −′ −−−−−→′ −u ,→ :[→ u ] M0 M0 = −′ −−−−−→′ −u ,→ ∆ và ∆′ chéo và [→ u ] M0 M0 , Bài 13.98 : Xét vị trí tương đối cặp đường thẳng sau Tìm tọa độ giao điểm chúng có Viết phương trình mặt phẳng chứa hai đường thẳng đó chúng đồng phẳng Lop12.net TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 261 (14) CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC x−1 x−1 d : x−2 d : x−1 d : d : d : y−7 z−3 ′ x−6 y+1 z+2 = ;d : = = ; −2 y−2 z ′ x y+8 z−4 = = ;d : = = ; −2 −2 y z+1 ′ x−7 y−2 z = = ;d : = = ; −6 −8 −6 12 y−6 z−3 ′ x−7 y−6 z−5 = = ;d : = = ; 6 = > x = 9t < y = 5t > : ; d′ là giao tuyến hai mặt phẳng : z = −3 + t (α) : 2x − 3y − 3z − = và (α′ ) : x − 2y + z + = om Bài 13.99 : Với các đường thẳng cho bài tập 13.98, trường hợp d và d′ chéo hãy viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa d và (Q) song song với d′ và viết phương trình mặt phẳng (R) qua A(−1; 2; 3) đồng thời (R) song song với d và d′ > x = −2t < Bài 13.101 : Cho hai đường thẳng tb x−1 y−2 z = = ; và d2 : y = −5 + 3t −2 > : z = ∆: y = −1 + t > : > : y = 2t′ z = −1 + t′ Tìm giao điểm (nếu có) ∆ và ∆ :// Xác định vị trí tương đối ∆ và ∆′ và ∆′ : ao z = −t > x = − t′ < tra > x = + 2t < ng d1 : .c Bài 13.100 : Xét vị trí tương đối cặp đường thẳng cho các phương trình sau : ht Vấn đề : Vị trí tương đối đường thẳng ∆ và mặt phẳng (P) −u và mặt phẳng (P) qua M và có vectơ pháp tuyến → −n Giả sử ∆ qua M0 và có vectơ phương → 1 ∆ nằm trên (P) và −u → −n = <→ : M ∈ ∆ thì M thuộc (P) 0 −u → −n = <→ ∆ song song với (P) và : M ∈ ∆ thì M không thuộc (P) 0 −u → −n , ∆ và (P) cắt và → Bài 13.102 : Xét vị trí tương đối đường thẳng d và mặt phẳng (α), tìm giao điểm chúng có, biết : x − 12 y − z − = = , (α) : 3x + 5y − z − = 0; x+1 y−3 z d : = = , (α) : 3x − 3y + 2z − = 0; x−9 y−1 z−3 d : = = , (α) : x + 2y − 4z + = 0; d : TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Lop12.net Trang 262 (15) CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC d : x−7 y−1 z−5 = = , (α) : 3x − y + 2z − = 0; 5 d là giao tuyến hai mặt phẳng : (P) : 3x + 5y + 7z + 16 = và (Q) : 2x − y + z − = 0, (α) : 5x − z − = Bài 13.103 : Xác định giao điểm đường thẳng d và mặt phẳng (P) trường hợp sau : d : > x = 12 + 4t < y = + 3t > : và (P) : 3x + 5y − z − = z=1+t d là giao tuyến hai mặt phẳng : x + y + z − = 0; x + 2y − z − = và (P) : x + y + 2z − = om Bài 13.104 : Cho đường thẳng ∆ là giao tuyến hai mặt phẳng (α) : 2kx + y − z + = và (α′ ) : x − ky + z − = tb .c Với giá trị nào k thì đường thẳng ∆ nằm mặt phẳng (Oyz) x − 12 y − z − Bài 13.105 : Xét vị trí tương đối đường thẳng d : = = và mặt phẳng (α) : 3x + 5y − z − = ng Vấn đề : Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng tra −u Khoảng cách từ điểm M(x ; y ; z ) đến đường thẳng ∆ là Giả sử ∆ qua M0 và có vectơ phương → 0 h ao d(M, ∆) = i −−−−−→ → M0 M1 , −u −u | |→ ht :// Với bài toán viết phương trình đường thẳng biết khoảng cách ta thường làm sau : − −u = (a; b; c) , → • Giả sử → là vectơ phương đường thẳng • Từ các kiện bài toán ta tìm phương trình chứa a, b, c • Xét hai trường hợp – Nếu a = 0, thay vào các điều kiện ta tìm b, c – Nếu a , 0, chọn a = (hoặc giá trị khác bất kì), thay vào các điều kiện ta tìm b, c Chú ý : Với hai đường thẳng ∆, ∆′ và mặt phẳng (P), ta có : Nếu ∆ cắt ∆′ thì khoảng cách chúng Nếu ∆ song song với ∆′ thì khoảng cách chúng khoảng cách từ điểm M ∈ ∆′ đến ∆ Nếu ∆ và ∆′ chéo thì khoảng h cách chúng tính theo công thức −′ −−−−−→′ −u ,→ [→ u ] M0 M0 h= −′ −u ,→ [→ u] Nếu ∆ ∥ (P) thì khoảng cách ∆ và (P) khoảng cách từ điểm thuộc ∆ đến (P) Bài 13.106 : Tính khoảng cách hai đường thẳng cho bài tập 13.98 Lop12.net TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 263 (16) CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC Bài 13.107 : Cho đường thẳng ∆ : A(1; 0; 2) x−1 y z+1 ′ x−6 y+1 z+2 = = ,∆ : = = , mặt phẳng (P) : x − 2y + 2z − = và điểm −2 1 Tính các khoảng cách từ A và O đến các đường thẳng ∆ và ∆′ √ Tìm điểm M trên Ox cho khoảng cách từ M đến ∆ 2 Tìm điểm M trên Oy cho M cách ∆ và A Tìm điểm M trên Oz cho M cách ∆ và (P) Tìm điểm M trên Ox cho M cách ∆ và ∆′ Tìm điểm M thuộc ∆ cho khoảng cách từ M đến ∆′ 10 Bài 13.108 : Cho đường thẳng d : > x = + 2t < và mặt phẳng (P) : x + y + z + = y = −2 + t > : z = −1 − t om Tìm điểm M thuộc ∆ cho M cách ∆′ và (P) Gọi A là giao điểm d và (P) Viết phương trình ∆ nằm (P) cho ∆⊥d và d(A, ∆) = .c y = + 2t tb Bài 13.109 : Cho đường thẳng d có phương trình > x = −1 − t < √ 42 > : ng z = + 3t √ 21 Tìm điểm M trên trục Ox cách d khoảng :// ao tra √ x y z−1 13 42 Tìm điểm N trên đường thẳng = = cách d khoảng 14 x+1 y−2 z Bài 13.110 : Cho đường thẳng d : = = và mặt phẳng (P) : 2x + y + mz − = −1 √ 26 Tìm điểm M nằm trên giao tuyến (P) với (Oxy) và có khoảng cách đến d 2 Tìm m cho d ∥ (P) Khi đó hãy tính khoảng cách từ d đến (P) x−1 y+3 z+2 = = −1 ht Bài 13.111 : Cho đường thẳng d : √ Tìm điểm M trên trục Ox cho khoảng cách từ M đến d là Tìm điểm N trên mặt phẳng (Oyz) cho d(N, Oy) = d(N, Oz) = √ d(N, d) 15 Bài 13.112 : Cho đường thẳng d : > x = + 4t < y = + 2t > : và mặt phẳng (P) : −x + y + 2z + = z = −3 + t Chứng minh d nằm trên (P) Viết phương trình đường thẳng d′ nằm (P), song song với d và cách d khoảng √ 14 Vấn đề : Vị trí tương đối đường thẳng và mặt cầu −u và mặt cầu (S ) tâm I(a; b), bán kính R Giả sử ∆ qua M0 và có vectơ phương → Nếu d(I, ∆) > R thì mặt cầu (S ) và ∆ không có điểm chung TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Lop12.net Trang 264 (17) CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC Nếu d(I, ∆) = R thì mặt cầu (S ) và ∆ có điểm A chung Khi đó ∆ gọi là tiếp tuyến và A gọi là tiếp điểm, đồng thời IA⊥∆ Nếu d(I, ∆) < R thì mặt cầu (S ) và ∆ cắt hai điểm A và B Khi đó độ dài AB tính theo công thức AB2 = R2 − d2 (I, (P)) Bài 13.113 : Cho mặt cầu (S ) : (x + 2)2 + (y − 1)2 + (z + 5)2 = 109 và đường thẳng d : > x = −5 + 3t < y = −1 + 5t > : z = − 4t Tìm giao điểm đường thẳng và mặt cầu Viết phương trình các mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu các giao điểm trên om Bài 13.114 : Cho đường thẳng d là giao tuyến hai mặt phẳng (α) : 5x − 4y + 3z + 20 = và (α′ ) : 3x − 4y + z − = Viết phương trình mặt cầu có tâm I(2; 3; −1) và cắt d hai điểm A, B cho AB = 16 c Bài 13.115 : Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu tb (S ) : x2 + y2 + z2 − 10x + 2y + 26z − 113 = và song song với hai đường thẳng : x y−1 z+1 = = và hai mặt phẳng 2 ao Bài 13.116 : Cho đường thẳng d : x + y − z + 13 = = ; d1 : y = −1 − 2t −3 > : z = tra d1 : ng > x = −1 + 3t < :// (P) : x + y − 2z + = 0; (Q) : 2x − y + z + = Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng d và tiếp xúc với hai mặt phẳng (P) và (Q) ht Bài 13.117 : Viết phương trình mặt cầu (S ) trường hợp sau : có tâm I(1; 4; −7) và tiếp xúc với mặt phẳng (α) : 6x + 6y − 7z + 42 = có tâm H(6; −8; 3) và tiếp xúc với trục Oz Bài 13.118 : Viết phương trình mặt cầu (S ) có tâm nằm trên đường thẳng d là giao tuyến hai mặt phẳng x + y + z + = và x − y + z − = đồng thời tiếp xúc với hai mặt phẳng (α) : x + 2y + 2z + = và (β) : x + 2y + 2z + = x y−1 z+1 Bài 13.119 : Cho đường thẳng d : = = và hai mặt phẳng 2 (α) : x + y − 2z + = và (β) : 2x − y + z + = Gọi A và B là giao điểm d với hai mặt phẳng (α) và (β) Tính độ dài đoạn thẳng AB Viết phương trình mặt cầu (S ) có tâm thuộc đường thẳng d và tiếp xúc với hai mặt phẳng (α) và (β) Bài 13.120 : Cho điểm I(2; 3; −1) và đường thẳng d là giao tuyến hai mặt phẳng 5x − 4y + 3z + 20 = và 3x − 4y + z − = Xác định tọa độ hình chiếu vuông góc H điểm I trên đường thẳng d Viết phương trình mặt cầu (S ) có tâm I và cắt đường thẳng d hai điểm A và B cho độ dài đoạn AB = 10 Bài 13.121 : Cho mặt cầu (S ) : x2 + y2 + z2 − 4x + 6y + 6z + 17 = và đường thẳng d là giao tuyến hai mặt phẳng x + y = và 3y − 2z − = Viết phương trình mặt phẳng (α) chứa đường thẳng d và cắt mặt cầu (S ) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính Lop12.net TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 265 (18) CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC Bài 13.122 : Cho đường thẳng d là giao tuyến hai mặt phẳng 2x − 2y − z + = và x + 2y − 2z − = và mặt cầu (S ) : x2 + y2 + z2 + 4x − 6y + m = Tìm m để đường thẳng d cắt mặt cầu (S ) hai điểm M, N cho khoảng cách hai điểm đó Bài 13.123 : Cho ba điểm A(2; 4; 1), B(−1; 4; 0), C(0; 0; −3) Xác định tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Cho đường thẳng d : > x = − 5t < y = + 2t > : z = Chứng minh d cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC hai điểm phân biệt Tìm tọa độ hai giao điểm đó Bài 13.124 : Cho đường thẳng d là giao tuyến hai mặt phẳng 8x − 11y + 8z − 30 = và x − y − 2z = 0, mặt cầu (S ) : x2 + y2 + z2 + 2x − 6y + 4z − 15 = om Viết phương trình mặt phẳng (α) chứa d và tiếp xúc với mặt cầu (S ) Vấn đề : Góc hai đường thẳng ; góc đường thẳng và mặt phẳng .c tb −′ −u , đường thẳng ∆′ qua M ′ và có vectơ phương → Giả sử ∆ qua M0 và có vectơ phương → u và mặt phẳng (P) : → − ′ Ax + By + Cz + D = có vectơ pháp tuyến là n = (A; B; C) thì góc ϕ hai đường thẳng ∆ và ∆ ; góc ϕ ∆ và (P) tính theo ng −′ → −u → → −→ − u → − −u , u′ ) = → −u ,→ −n ) = u n cos ϕ1 = cos(→ và sin ϕ = cos( −′ −u |.|→ −n | −u |.|→ |→ |→ u| tra công thức ao Chú ý : Với bài toán viết phương trình đường thẳng biết góc ta thường làm sau : − −u = (a; b; c) , → • Giả sử → là vectơ phương đường thẳng • Xét hai trường hợp :// • Từ các kiện bài toán ta tìm phương trình chứa a, b, c ht – Nếu a = 0, thay vào các điều kiện ta tìm b, c – Nếu a , 0, chọn a = (hoặc giá trị khác bất kì), thay vào các điều kiện ta tìm b, c x+1 y−1 z−2 = = với trục Ox 1 x+3 y+1 z−3 Bài 13.126 : Tìm góc tạo đường thẳng d : = = và mặt phẳng (α) : x + 2y − z + = 1 Bài 13.127 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng ∆ là giao tuyến hai mặt phẳng x − z sin α + cos α = và Bài 13.125 : Tìm góc tạo đường thẳng d : y − z cos α − sin α, với α là số thực Tính góc tạo đường thẳng ∆ và trục Oz Bài 13.128 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng : ∆1 là giao tuyến hai mặt phẳng x − ay − z − = và y − = ; ∆2 là giao tuyến hai mặt phẳng ax + 3y − a − = và z − = Xác định a để ∆1 và ∆2 hợp với góc 45◦ Bài 13.129 : Lập phương trình đường thẳng ∆ qua điểm M(1; −5; 3) và tạo với hai trục tọa độ Ox, Oy các góc và 60◦ Bài 13.130 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho (α) : x − y + z − = và ∆ : x y−2 z = = 2 Viết phương trình đường thẳng d qua điểm A(3; −1; 1), nằm mặt phẳng (α) và hợp với đường thẳng ∆ góc 45◦ TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Lop12.net Trang 266 (19) CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC Bài 13.131 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng ∆ : với các trục tọa độ Ox, Oy, Oz x+4 y−3 z+1 = = Gọi α, β, γ là góc hợp ∆ −1 Chứng minh cos2 α + cos2 β + cos2 γ = Chú ý : • Khẳng định này còn đúng với đường thẳng ∆ bất kì • Một khẳng định tương tự là thay đường thẳng ∆ mặt phẳng (P) bất kì và góc α, β, γ lầ góc hợp (P) với các mặt phẳng tọa độ Bài 13.132 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho d: x−3 y−4 z+3 = = và (α) : 2x + y + z − = −1 Tính số đo góc tạo đường thẳng d và mặt phẳng (α) c om Bài 13.133 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d1 là giao tuyến hai mặt phẳng x + y − = và y + z − = x−2 y−3 z+5 ; d2 : = = −1 Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng d1 và tạo với đường thẳng d2 góc 60◦ Bài 13.134 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho và (α) : 2x − y − 2z − = y = −1 + 2t ng ∆: tb > x = −t < > : tra z =2+t Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng ∆ và tạo với mặt phẳng (α) góc nhỏ ao Vấn đề : Phương trình đường thẳng biết đường thẳng đó song song, vuông góc với đường thẳng mặt phẳng ht :// khác, nằm trên mặt phẳng khác Dựa vào các quan hệ song song, vuông góc, nằm để xác định vectơ phương đường thẳng vấn đề Chú ý : → − • Nếu ∆ ∥ ∆′ thì u′ ∆ là vectơ phương ∆ −n là vectơ phương ∆ • Nếu ∆⊥(P) thì → P → − • Nếu ∆⊥∆′ thì u′ ∆ vuông góc với ∆ −n vuông góc với ∆ • Nếu ∆ ⊂ (P) ∆ ∥ (P) thì → P • Khi viết phương trình theo trường hợp này phải kiểm tra tính song song nằm đường thẳng cần viết Bài 13.135 : Viết phương trình đường thẳng d các trường hợp sau : Đi qua M(4; 3; 1) và song song với đường thẳng ∆ : > x = + 2t < y = −3t > : z = + 2t Đi qua điểm M(−2; 1; 0) và vuông góc với mặt phẳng (P) : x + 2y − 2z + = Lop12.net TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 267 (20) CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC Đi qua điểm M(2; −1; 1) và vuông góc với hai đường thẳng ∆1 : >x = t < x y+1 z+6 = = và ∆2 : y = − 2t −1 −2 > : z = Đi qua điểm M(1; 4; −2) và song song với các mặt phẳng (α) : 6x + 2y + 2z + = và (β) : 3x − 5y − 2z − = Đi qua điểm A(1; 1; −2), song song với (P) : x − y − z − = và vuông góc với d : x+1 y−1 z−2 = = .c om Bài 13.136 : Viết phương trình đường thẳng ∆ qua điểm M(1; 1; 1), song song với mặt phẳng (P) : x + 2y − z + = và vuông góc x+2 y z+1 với đường thẳng d : = = −2 Bài 13.137 : Tìm tập hợp điểm M không gian cách ba điểm A(1; 1; 1), B(−1; 2; 0), C(2; −3; 2) x+1 y−1 z−2 Bài 13.138 : Cho đường thẳng d : = = và mặt phẳng (α) : x − y − z − = Viết phương trình đường thẳng ∆ qua A(1; 1; −2), song song với (α) và vuông góc với d Bài 13.139 : Viết phương trình tham số đường thẳng ∆ là giao tuyến hai mặt phẳng (α) : 2x−y+z+5 = và (α′ ) : 2x−z+3 = tb > : y = −1 + 3t ng Bài 13.140 : Cho đường thẳng ∆ > x = + 2t < z = −4 + 3t tra Viết phương trình đường thẳng ∆ dạng giao tuyến hai mặt phẳng song song với Ox và Oy ao Vấn đề : Phương trình đường thẳng ∆ biết ∆ cắt ∆′ Viết ∆′ theo tham số t t′ :// ht Giả sử ∆ cắt ∆′ A Do A ∈ ∆′ nên A có tọa độ theo tham số t t′ Từ các kiện bài toán ta thiết lập phương trình để tìm các tham số t và t′ Từ đó viết đường thẳng ∆ Chú ý : −n ⊥→ − → − → − → n và n n = → − −n cùng phương → −n và [→ −n ,→ − → n ] = (hoặc tọa độ tương ứng tỉ lệ) −−→ −−→ Ba điểm A, B, C thẳng hàng và AB và AC cùng phương Các bài toán dạng này có thể sử dụng phương pháp giao tuyến hai mặt phẳng Bài 13.141 : Cho hai đường thẳng >x = + t < ∆1 : y = + 2t > : z =8−t và ∆2 : > x = − 7t′ < y = + 2t′ > : z = + 3t′ Chứng minh hai đường thẳng đó chéo Viết phương trình đường vuông góc chung hai đường thẳng đó TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Lop12.net Trang 268 (21)