Xác định và tính diện tích thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng P chứa AN và vuông góc với S BC, trong đó N là trung điểm của CD... Trong mặt phẳng xác định bởi điểm M và đường thẳ[r]
(1)Chương 11 Vectơ không gian Quan hệ vuông góc om Sau học xong chương này, học sinh cần biết : Để có hai đường thẳng d và d′ vuông góc, có thể chứng minh : −u → −v = 0, đó → −u và → −v là vectơ phương d và d′ •→ .c • Góc chúng 90◦ tb • d song song với đường thẳng ∆, còn d′ vuông góc với ∆ (∆ là đường thẳng nào đó) ng • d⊥(α) mà (α) chứa d′ , d′ ⊥(β) mà (β) chứa d • Khi d và d′ cắt nhau, có thể sử dụng các phương pháp hình học phẳng trung tuyến tam giác cân, định lí đảo tra định lí Pytago, Để có đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (α), có thể chứng minh : ao • d vuông góc với hai đường thẳng cắt (α) • d ∥ d′ mà d′ ⊥(α) :// • d⊥(β) mà (β) ∥ (α) • d là trục tam giác ABC nằm trên mặt phẳng (α) (nghĩa là chứng minh d chứa hai điểm cách A, B, C) ht • d là giao tuyến hai mặt phẳng cùng vuông góc với (α) • Sử dụng tính chất hai mặt phẳng vuông góc : (α)⊥(β) mà d nằm (β) và d vuông góc với giao tuyến (β) và (α) thì d⊥(α) Để có hai mặt phẳng vuông góc, có thể chứng minh : • Góc chúng 90◦ • Mặt phẳng này chứa đường thẳng vuông góc với mặt phẳng • Mặt phẳng này vuông góc với mặt phẳng song song với mặt phẳng Ngoài ra, chúng ta cần biết xác định góc, xác định khoảng cách các yếu tố Hệ thức lượng tam giác vuông Cho tam giác ABC vuông A, AH, AM tương ứng là đường cao, trung tuyến xuất phát từ A A B C H M Lop12.net 201 (2) CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC • AB2 + AC = BC (Định lí Pytago); 1 AB.AC • = + ; AH = ; AH AB2 AC BC • AB2 = BH.BC; AC = CH.BC; BC BC • AM = , Cb = 30◦ thì AB = 2 Nhắc lại số hệ thức lượng tam giác Cho tam giác ABC có AB = c, BC = a, CA = b; , hb , hc và ma , mb , mc là độ các đường cao và các đường trung tuyến xuất a+b+c phát từ A, B, C; R, r tương ứng là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác; S là diện tích tam giác ABC; và p = là nửa chu vi tam giác Định lí hàm số cosin : b + c2 − a 2bc a2 = b2 + c2 − 2bc cos A; cos A = Định lí hàm số sin : a b c = = = 2R ⇒ a = 2R sin A sin A sin B sin C Công thức trung tuyến : 2(b2 + c2 ) − a2 om m2a = .c Công thức diện tích tam giác: (a) Tam giác thường tb È 1 abc 2S abc S a.ha = b.c sin A = = pr = p(p − a)(p − b)(p − c) ⇒ = ,R = ,r = 2 4R a 4S p ng S = a2 AB.AC và là tam giác vuông cân cạnh a thì S = 2 √ √ a2 a (c) Tam giác ABC cạnh a thì S = và đường cao ; tra (b) Tam giác ABC vuông A thì S = Diện tích hình chữ nhật cạnh a, b là S = ab ao Diện tích hình vuông cạnh a là S = a2 :// Ô = Diện tích hình bình hành ABCD là S = đáy.cao = AB.AD sin BAD ht Ô = Diện tích hình thoi ABCD là S = đáy.cao = AB.AD sin BAD AC.BD sin(AC, BD) AC.BD ( đáy lớn + đáy nhỏ ) × cao 10 Diện tích tứ giác có hai đường chéo vuông góc là S = tích hai đường chéo Diện tích hình thang là S = 11.1 Vectơ không gian Sự đồng phẳng các vectơ Vấn đề : Biểu thị vectơ qua ba vectơ không đồng phẳng − → → − − → −a ,→ −a ,→ Nếu ba vectơ → b , −c không đồng phẳng thì vectơ d bất kì biểu thị cách qua ba vectơ → b , −c ; nghĩa là tồn → − → − → − → − ba số m, n, p cho d = m a + n b + p c −−→ − −−→ → − −−→ − Bài 11.1 : Cho hình hộp ABCD.A′ B′C ′ D′ Đặt AA′ = → a , AB = b , AD = → c Gọi I là tâm hình bình hành CDD′ C ′ , J là điểm trên −−→′ − − → → → − −a ,→ ′ ′ ′ ′ cạnh B C cho JB = k.JC (k ∈ R cho trước) Hãy biểu thị các vectơ CB , AI, I J theo ba vectơ → b , −c −→ → − −−→ − −−→′ −a = − Bài 11.2 : Cho lăng trụ tam giác ABC.A′ B′C ′ Đặt → AC ′ , b = BA′ ,→ c = CB Gọi M là trung điểm AA′ và G là tâm tam giác −−→′ − −− → − → −−−→ −a ,→ ABC Hãy biểu diễn các vectơ AA , B′G, MN theo ba vectơ → b , −c TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Lop12.nettài li u h c t p t i : http://aotrangtb.com Download T r a n g 202 (3) CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC Vấn đề : Chứng minh các đẳng thức vectơ Sử dụng quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành, quy tắc hình hộp để biến đổi vế này thành vế và ngược lại Sử dụng các tính chất các phép toán vectơ và các tính chất hình học hình đã cho −−→ −−→ −−→ −−→ Bài 11.3 : Cho hình hộp ABCD.EFGH Chứng minh AB + AD + AE = AG tb .c om −−→ −−→ −−→ −−→ Bài 11.4 : Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình bình hành ABCD Chứng minh S A + S C = S B + S D −−→ −−→ −−→ −−→ Bài 11.5 : Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình chữ nhật ABCD Chứng minh S A2 + S C = S B2 + S D2 CA m Bài 11.6 : Cho đoạn thẳng AB Trên đường thẳng AB lấy điểm C cho = , với m, n > Chứng minh với S bất kì ta CB n n −−→ m −−→ −−→ luôn có S C = SA+ S B m+n m+n Bài 11.7 : Cho hình lập phương ABCD.A′ B′C ′ D′ cạnh a Gọi O và O′ theo thứ tự là tâm hai hình vuông ABCD và A′ B′C ′ D′ → −−→ −−→ −−→ −−→ −−− Hãy biểu diễn các vectơ AO, AO′ theo các vectơ AA′ , AB, AD −−→ −−−→ −−−→ −−→ Chứng minh AD + D′ C ′ + D′ A′ = AB ng Bài 11.8 : Trong không gian cho điểm O và bốn điểm A, B, C, D phân biệt và không thẳng hàng Chứng minh điều kiện cần và −−→ −−→ −−→ −−→ đủ để bốn điểm A, B, C, D tạo thành hình bình hành là : OA + OC = OB + OD tra Vấn đề : Chứng minh các điểm thẳng hàng và quan hệ song song ao :// Để chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng ta có thể ht −−→ −−→ −−→ −−→ • Chứng minh vectơ hai AB và AC cùng phương, tức là AB = k AC −→ −−→ −−→ • Chọn điểm I nào đó và chứng minh IC = mOA + nOB với m + n = −−→ −−→ Hai đường thẳng phân biệt AB và CD song song với và hai vectơ AB và CD cùng phương Đường thẳng AB không nằm trên (P) và AB ∥ (P) và có đường thẳng CD ⊂ (P) cho AB ∥ CD −−→ −u + y→ −v đó các vectơ → −u và → −v có giá song song nằm trên (P) AB = x→ −−−→ −−→ Bài 11.9 : Cho hình hộp ABCD.A′ B′C ′ D′ Xét các điểm M, N trên các đường thẳng A′C và C ′ D cho MA′ = k MC, −−−→′ − −−→ − −−→ −−→ − −−→′ → NC = lND (k và l khác 1) Đặt BA = → a , BB = b , BC = → c − → −−→ −a ,→ Hãy biểu thị các vectơ BM và BN qua các vectơ → b , −c Xác định các số k, l để đường thẳng MN song song với đường thẳng BD′ −−→ −−→ Bài 11.10 : Cho hình hộp ABCD.A′ B′C ′ D′ M là điểm trên đường thẳng AB cho MA = mAB Tìm điểm N trên đường thẳng B′C và điểm P trên đường thẳng A′C ′ cho ba điểm M, N, P thẳng hàng (m , 0) −−→ −−→ −−→ −−→ Bài 11.11 : Cho tứ diện ABCD, M và N là các điểm thuộc AB và CD cho MA = −2 MB, ND = −2NC Các điểm I, J, K − → −→ −−→ −−→ −−→ −−→ thuộc AD, MN, BC cho IA = k ID, JM = k JN, KB = k KC Chứng minh các điểm I, J, K thẳng hàng Bài 11.12 : Cho hai đường thẳng ∆, ∆1 cắt ba mặt phẳng song song (α), (β), (γ) A, B, C và A1 , B1, C1 Với điểm O bất kì −→ −−−→ −−→ −−−→ −−→ −−−→ không gian, đặt OI = AA1 , OJ = BB1, OK = CC1 Chứng minh ba điểm I, J, K thẳng hàng Lop12.net TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Download tài li u h c t p t i : http://aotrangtb.com Trang 203 (4) CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC Bài 11.13 : Cho tứ diện ABCD Gọi B0 , C0 , D0 là trọng tâm các tam giác ACD, ADB và ABC Gọi G và G0 là trọng tâm tam giác BCD và B0C0 D0 Chứng minh ba điểm A, G0 , G thẳng hàng −−→ −−→ Bài 11.14 : Cho hình hộp ABCD.A1 B1C1 D1 M là điểm trên cạnh AD cho AM = AD N là điểm trên đường thẳng BD1 , P là −−−→ MN điểm trên đường thẳng CC1 cho ba điểm M, N, P thẳng hàng Tính −−→ NP Bài 11.15 : Cho hình hộp ABCD.A′ B′C ′ D′ Một đường thẳng ∆ cắt các đường thẳng AA′ , BC, C ′ D′ lân lượt M, N, P cho MA −−−→ −−→ N M = 2NP Tính MA′ Bài 11.16 : Cho hình hộp ABCD.A1 B1C1 D1 Chứng minh đỉnh A, trọng tâm G tam giác BDA1 và đỉnh C1 thuộc đường thẳng GA Tính tỉ số GC1 Mặt phẳng (MD′ C) cắt BC ′ I và DA′ J Chứng minh ba điểm I, M, J thẳng hàng om Bài 11.17 : Cho hình hộp ABCD.A′ B′C ′ D′ Gọi O là giao điểm hai đường chéo mặt phẳng ABB′ A′ M là điểm trên OB′ Bài 11.18 : Cho lăng trụ tam giác ABC.A′ B′C ′ Gọi G và G′ là trọng tâm các tam giác ABC và A′ B′C ′ , gọi I là giao điểm .c hai đường thẳng AB′ và A′ B Chứng minh hai đường thẳng GI và GG′ song song với ao tra ng tb Bài 11.19 : Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A1 B1C1 , gọi E, F là điểm nằm trên các đường chéo CA1 , AB1 các mặt EF bên cho EF ∥ BC1 Tìm tỉ số , xác định vị trí E, F BC1 Bài 11.20 : Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A1 B1C1 , điểm M là trung điểm cạnh bên AA1 Trên đường chéo AB1 , BC1 các mặt EF bên lấy các điểm E, F cho EF ∥ CM Tìm tỉ số , xác định vị trí E, F CM Bài 11.21 : Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A1 B1C1 Gọi M, N là trung điểm cạnh bên AA1 , CC1 Hai điểm E, F trên EF các đường thẳng CM, AB1 cho EF ∥ BN Tìm tỉ số , xác định vị trí E, F BN Bài 11.22 : Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A1 B1C1 Gọi M, N, P là các điểm trên các cạnh bên AA1 , BB1, CC1 cho AM B1 N C P EF = = = Hai điểm E, F trên các đường thẳng CM, A1 N cho EF ∥ B1 P Tìm tỉ số AA1 BB1 CC1 B1 P (k , 0, k , 1) ht :// Bài 11.23 : Cho hình hộp ABCD.A1 B1C1 D1 Chứng minh tồn điểm M thuộc đường thẳng AC và điểm N MN thuộc DC1 cho MN ∥ BD1 Tính tỉ số BD1 −−−→ −−→ −−→ −−→ Bài 11.24 : Cho hình lập phương ABCD.A′ B′C ′ D′ Gọi M, N là các điểm thuộc AD′ và DB cho MA = k MD′ , ND = k NB Chứng minh MN ∥ (A′ BC) ; Khi đường thẳng MN ∥ A′C, chứng minh MN vuông góc với AD′ và DB Bài 11.25 : Cho hình hộp ABCD.A′ B′C ′ D′ Gọi M, N là trung điểm CD và DD′ ; G, G′ là trọng tâm các tứ diện A′ D′ MN và BCC ′ D′ Chứng minh đường thẳng GG′ và mặt phẳng (ABB′ A′ ) song song với Vấn đề : Chứng minh các vectơ đồng phẳng − → −a ,→ Muốn chứng minh các vectơ → b , −c đồng phẳng chúng ta có thể : − → −a ,→ Dựa vào định nghĩa : Chứng tỏ các vectơ → b , −c có giá cùng song song với mặt phẳng − → − − −a ,→ −c = m→ −a + n→ −a ,→ Ba vectơ → b , −c đồng phẳng và có cặp số m, n cho → b , đó → b là hai vectơ không cùng phương Bài 11.26 : Cho hình hộp ABCD.A′ B′C ′ D′ Hãy xét đồng phẳng các vectơ : TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Lop12.nettài li u h c t p t i : http://aotrangtb.com Download Trang 204 (5) CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC −−→ −−−→ −−−→ AB, A′C ′ , B′ D′ ; −−→ −−→ −−−→ AB, BB′, B′C ′ ; −−→ −−−→ −−−→ AB, B′ D, C ′ D′ −−→ − −−→ −−→ −−→ Bài 11.27 : Cho tứ diện ABCD Trên cạnh AD lấy điểm M cho AM = MD và trên cạnh BC lấy điểm N cho NB = −3NC −−→ −−→ −−−→ Chứng minh ba vectơ AB, DC, MN đồng phẳng Bài 11.28 : Cho hình hộp ABCD.EFGH Gọi I là giao điểm hai đường chéo hình bình hành ABFE và K là giao điểm hai đường −−→ −→ −−→ chéo hình bình hành BCGF Chứng minh ba vectơ BD, IK, GF đồng phẳng Bài 11.29 : Cho tứ diện ABCD Gọi P, Q là trung điểm các cạnh AB và CD Trên các cạnh AC và BD ta lấy các điểm M, N cho AM BN = = k (k > 0) AC BD −−→ −−→ −−→ Chứng minh ba vectơ PQ, PM, PN đồng phẳng −−→ −−−→ −−−→ Bài 11.30 : Cho hai hình bình hành ABCD và AB′C ′ D′ có chung đỉnh A Chứng minh các vectơ BB′, CC ′ , DD′ đồng phẳng om Bài 11.31 : Cho hai ngũ giác OABCD và OA′ B′C ′ D′ có chung đỉnh O và nằm trên hai mặt phẳng phân biệt Chứng minh −−→ −−→ −−−→ −−−→ các vectơ AA′ , BB′, CC ′ , DD′ đồng phẳng c Bài 11.32 : Cho hình lập phương ABCD.A1 B1C1 D1 Các điểm M, N thuộc các cạnh AD và BB1 cho AM = BN Chứng −−−→ −−→ −−−→ minh ba vectơ MN, AB, B1 D đồng phẳng tb Bài 11.33 : Cho tứ diện OABC Gọi M, N, P là ba điểm không gian xác định từ các hệ thức vectơ sau : −−→ −−→ −−→ với α là số thực Tìm α để ba vectơ OM, ON, OP đồng phẳng ng −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ OM = OA + αOB − 2OC; ON = (α + 1)OA + 2OB + OC; OP = (α − 2)OB + 2OC tra d zOx d và phân giác ngoài xOy d thuộc Bài 11.34 : Cho góc tam diện Oxyz Chứng minh các phân giác các góc yOz, mặt phẳng ao Bài 11.35 : Cho hình hộp ABCD.A1 B1C1 D1 Gọi α là mặt phẳng qua đỉnh D1 song song với DA1 và AB1 Mặt phẳng này cắt đường −−→ −−−→ thẳng BC1 M, và giả sử BM = k BC1 Hãy tính k ? ht :// Bài 11.36 : Cho tứ diện ABCD Gọi P, Q là trung điểm các cạnh AB và CD R, S là hai điểm theo thứ tự thuộc hai cạnh AC và BD AR BS cho = Chứng minh bốn điểm P, Q, R, S thuộc mặt phẳng AC BD −−−→ −−−→ Bài 11.37 : Cho lăng trụ ABC.A′ B′C ′ Gọi I và J là trung điểm BB′ và A′C ′ Điểm K thuộc B′C ′ cho KC ′ = −2KB′ Chứng minh bốn điểm A, I, J, K cùng thuộc mặt phẳng −−→ −−→ Bài 11.38 : Cho tứ diện ABCD ; I và J là trung điểm AB và CD ; M là điểm thuộc AC cho MA = k1 MC ; N là điểm −−→ −−→ thuộc BD cho NB = k2 ND Chứng minh các điểm I, J, M, N cùng thuộc mặt phẳng và k1 = k2 −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ Bài 11.39 : Cho tứ diện ABCD Lấy các điểm M, N, P, Q thuộc AB, BC, CD, DA cho AM = AB, BN = BC, AQ = 3 −−→ −−→ −−→ AD, DP = k DC Hãy xác định k để bốn điểm P, Q, M, N cùng nằm trên mặt phẳng 11.2 Hai đường thẳng vuông góc Vấn đề : Tính góc hai vectơ − − −−→ − −−→ → −−→ −−→ −a ,→ Ô Đặc biệt Dùng trực tiếp định nghĩa : Nếu OA = → a , OB = b thì (→ b ) = (OA, OB) = AOB • Góc hai vectơ chung gốc chung tính công thức −−→ −−→ −−→ −−→ Ô (OA, OB) = (AO, BO) = AOB Lop12.net TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Download tài li u h c t p t i : http://aotrangtb.com Trang 205 (6) CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC • Góc hai vectơ có gốc vectơ này là vectơ tính công thức −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ Ô (AO, OB) = (OA, BO) = 180◦ − (OA, OB) = 180◦ − AOB → −→ − −u ,→ −v ) = u v Dùng hệ tích vô hướng : cos(→ → − −v | | u |.|→ Bài 11.40 : Cho tứ diện ABCD, gọi H là trung điểm AB Tính góc các cặp vectơ sau: −−→ −−→ AC và CD; −−→ −−→ CH và CD Bài 11.41 : Cho hình lập phương ABCD.A′ B′C ′ D′ Tính góc các cặp vectơ sau: −−−→ −−→ A′C ′ và AB′ ; −−→ −−−→ A′ B và B′ D′ om −−−→ −−→ A′ C ′ và AB; .c Bài 11.42 : Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi vuông góc và OA = OB = OC = Gọi M là trung điểm AB Tính góc −−→ −−→ hai vectơ OM và BC √ −−→ −−→ Bài 11.43 : Cho hình chóp tam giác S ABC có S A = S B = S C = AB = AC = a và BC = a Tính góc hai vectơ AB và S C ng tb Vấn đề : Tính góc hai đường thẳng a và b tra Dùng trực tiếp định nghĩa : Lấy hai đường thẳng a′ và b′ cùng qua điểm song song trùng với a và b Góc a và b góc a′ và b′ ao Tính qua góc hai vectơ, cụ thể :// × × − −→ −−→ − −→ −−→ × • Nếu (AB, CD) ≤ 90◦ thì (AB, CD) = (AB, CD) × −−→ −−→ − −→ −−→ • Nếu (AB, CD) > 90◦ thì (AB, CD) = 180◦ − (AB, CD) ht × − −→ −−→ Nếu tính theo phương pháp vectơ thì cos(AB, CD) = cos(AB, CD) Bài 11.44 : Cho hình lập phương ABCD.A′ B′C ′ D′ Tính góc các cặp đường thẳng sau: AC và DA′ ; BD và AC ′ Bài 11.45 : Cho tứ diện OABC, có OA = OB = OC = a và OA⊥OB, OB⊥OC, OC⊥OA Gọi M là trung điểm OB Tính côsin góc các cặp đường thẳng : AM và BC ; AM và OP, với P là trung điểm BC Bài 11.46 : Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thoi, cạnh bên S A = AB và S A⊥BC Tính góc hai đường thẳng S D và BC Gọi I, J là các điểm thuộc S B và S D cho I J ∥ BD Chứng minh góc hai đường thẳng AC và I J không phụ thuộc vào vị trí I và J Bài 11.47 : Cho tứ diện ABCD có tất các cạnh a, gọi M là trung điểm BC Tính côsin góc hai đường thẳng AB và DM TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Lop12.nettài li u h c t p t i : http://aotrangtb.com Download Trang 206 (7) CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC Bài 11.48 : Cho tứ diện ABCD Gọi M, N là trung điểm các cạnh BC, AD Tính góc hai đường thẳng AB và CD, biết √ AB = CD = 2a và MN = a Bài 11.49 : Cho tứ diện ABCD Gọi M là điểm trên cạnh AB (M không trùng với A và B) Tìm vị trí M để mặt phẳng qua M và vuông góc với AC, BD cắt tứ diện theo thiết diện có diện tích lớn Vấn đề : Chứng minh hai đường thẳng vuông góc −−→ −−→ Muốn chứng minh AB⊥CD ta thường chứng minh góc AB và CD 90◦ chứng minh AB.CD = Bài 11.50 : Cho hình lập phương ABCD.A′ B′C ′ D′ Gọi M, N là trung điểm AD và BB′ Chứng minh MN⊥A′ C om Bài 11.51 : Cho tứ diện ABCD có ABD là tam giác cạnh a, BCD là tam giác cân có CB = b, AC = c −−→ −−→ Tính cosin góc hai vectơ AB, CD Chứng minh AC⊥BD ; .c Bài 11.52 : Trên các đường chéo D1 A, A1 B, B1C, C1 D các mặt hình lập phương ABCD.A1 B1C1 D1 lấy các điểm M, N, P, Q cho : tb − −−− → −−−→ −−→ −−−→ −−−→ −−−→ −−→ −−−→ D1 M = k D1 A; BN = k BA1 ; B1 P = k B1C; DQ = k DC1 ng Tìm số thực k để MN⊥PQ Bài 11.53 : Cho tứ diện ABCD cạnh a Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD Chứng minh OA⊥CD tra Bài 11.54 : Cho hình lập phương ABCD.A′ B′C ′ D′ có cạnh a Trên các cạnh DC và BB′ ta lấy các điểm M, N không trùng với đầu mút cho DM = BN Chứng minh AC ′ ⊥MN ao Bài 11.55 : Cho tứ giác ABCD Gọi M, N, P, Q là trung điểm các đoạn AC, BD, BC, AD và có MN = PQ Chứng minh AB⊥CD Bài 11.56 : Cho hình hộp ABCD.A′ B′C ′ D′ có tất các cạnh Chứng minh AC⊥B′ D′ Chứng minh :// ′ BA = B ′ BC = 60◦ thì A′ B′CD là hình vuông Ô =B Õ Õ ABC ht −−→ −−→ −−→ −−→ Bài 11.57 : Cho tứ diện ABCD Lấy điểm M, N thuộc các đường thẳng BC, AD cho MB = k MC và NA = k ND, với k là −−−→ −−→ −−−→ −−→ số thực khác cho trước Đặt α = ( MN, BA), β = ( MN, CD) Tìm mối liên hệ AB và CD để α = β = 45◦ Bài 11.58 : Cho hai tam giác cân ABC và DBC có chung cạnh đáy BC và nằm hai mặt phẳng khác Chứng minh AD⊥BC −−→ −−→ −−→ −−→ Gọi M, N là các điểm thuộc các đường thẳng AB, DB cho MA = k MB, ND = k NB Tính góc hai đường thẳng MN và BC AB Gọi I, J, K là trung điểm BC, AC, BD Biết JK = AB, tính góc các đường thẳng CD với các đường thẳng IJ và AB Bài 11.59 : Cho tứ diện ABCD có CD = Bài 11.60 : Cho tứ diện ABCD có BC = AD = a, AC = BD = b, AB = CD = c Đặt α, β, γ là góc BC và AD, AC và BD, AB và CD Chứng minh ba số hạng a2 cos α, b2 cos β, c2 cos γ có số hạng tổng hai số hạng còn lại 11.3 Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng Vấn đề : Chứng minh đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P) Chứng minh đường thẳng a vuông góc với hai đường thẳng phân biệt cắt và nằm (P) Lop12.net TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 207 (8) CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC Chứng minh đường thẳng a song song với đường thẳng b mà b vuông góc với (P) Chứng minh đường thẳng a vuông góc với (Q) mà (Q) song song với (P) Bài 11.61 : Cho hình chóp S ABC có đáy là tam giác vuông cân A, cạnh bên S A vuông góc với đáy Gọi I là trung điểm BC Kẻ đường thẳng qua A vuông góc với S I H Chứng minh AH⊥(S BC) Gọi G1 , G2 là trọng tâm các tam giác ABC và S BC Chứng minh G1G2 ⊥(ABC) Bài 11.62 : Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình thoi và S A = S C Chứng minh AC⊥(S BD) Kẻ đường thẳng qua S vuông góc với (ABCD) I Chứng minh I cách A và C om ÔB = 90◦ , BS Ô Ô Bài 11.63 : Cho hình chóp S ABC có S A = S B = S C = a, AS C = 60◦ , AS C = 120◦ Gọi O là trung điểm cạnh AC Chứng minh S O⊥(ABC) c Bài 11.64 : Cho tứ diện ABCD có ABC và DBC là hai tam giác đều, gọi I là trung điểm cạnh BC Vẽ đường cao AH tam giác AID Chứng minh AH⊥(BCD) tb Chứng minh BC⊥(AID) ng √ Bài 11.65 : Cho hình chóp S ABCD, đáy ABCD là hình chữ nhật có AB = a, BC = a 3, mặt bên S BC vuông B, mặt bên S CD √ vuông D và có S D = a tra Chứng minh S A⊥(ABCD) và tính S A Mặt phẳng qua A vuông góc với AC, cắt các đường thẳng CB, CD I, J gọi H là hình chiếu vuông góc A trên S C Hãy ao xác định các giao điểm K, L S B, S D với (HI J) Chứng minh AK⊥(S BC), AL⊥(S CD) Tính diện tích tứ giác AKHL :// Bài 11.66 : Cho tam giác ABC Gọi (α) là mặt phẳng vuông góc với đường thẳng CA A và (β) là mặt phẳng vuông góc với đường ht thẳng CB B Chứng minh hai mặt phẳng (α) và (β) cắt và giao tuyến chúng vuông góc với mặt phẳng (ABC) Bài 11.67 : Cho hình chóp S ABC có S A = S B = S C Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đáy ABC Chứng minh S O⊥(ABC) Hãy tổng quát hóa bài toán Ô = 120◦, đồng thời S A = S B = S C = 2a Bài 11.68 : Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác cân, có AB = AC = a và BAC Gọi D là điểm đối xứng A qua trung điểm BC Chứng minh BC⊥(S AD); Tính góc S B và (ABC) Bài 11.69 : Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông (Ab = 90◦ ), đáy lớn AD = 2a và AB = BC = a, đồng thời S A = S C = S D Gọi M là trung điểm AD Chứng minh S M⊥(ABCD) và AC⊥(S BM) Vấn đề : Chứng minh hai đường thẳng vuông góc với Chứng minh đường thẳng này vuông góc với mặt phẳng chứa đường thẳng Dùng định lí ba đường vuông góc : Cho đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (P) và đường thẳng b nằm (P) Khi đó, điều kiện cần và đủ để b vuông góc với a là b vuông góc với hình chiếu a′ a trên (P) Chứng minh đường thẳng này vuông góc với mặt phẳng song song với đường thẳng TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Lop12.net Trang 208 (9) CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC Bài 11.70 : Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông tâm O và có cạnh S A⊥(ABCD) Gọi H, I, K là hình chiếu vuông góc điểm A trên các cạnh S B, S C, S D Chứng minh BC⊥(S AB), CD⊥(S AD), BD⊥(S AC) Chứng minh S C⊥(AHK) và điểm I ∈ (AHK) Chứng minh HK⊥(S AC), từ đó suy HK⊥AI Bài 11.71 : Hình chóp S ABCD có đáy là hình thoi ABCD tâm O và có S A = S C, S B = S D Chứng minh S O⊥(ABCD) Gọi I, K là trung điểm các cạnh BA, BC Chứng minh IK⊥(S BD) và IK⊥S D om Bài 11.72 : Cho tứ diện ABCD Chứng minh các cặp cạnh đối diện tứ diện này vuông góc với đôi Bài 11.73 (Bài toán bản) : Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi vuông góc với Kẻ OH vuông góc với mặt .c phẳng (ABC) H Chứng minh rằng: OA⊥BC, OB⊥CA, OC⊥AB 1 1 = + + OH OA2 OB2 OC ng tb H là trực tâm tam giác ABC Tam giác ABC nhọn tra sin2 α + sin2 β + sin2 γ = 1, đó α, β, γ là góc các đường thẳng OA, OB, OC với mặt phẳng (ABC) ao 2 2 S ∆ABC = S ∆OAB + S ∆OBC + S ∆OCA Bài 11.74 : Hình chóp S ABCD có đáy là hình chữ nhật ABCD và có cạnh bên S A vuông góc với mặt phẳng đáy Chứng minh các :// mặt bên hình chóp đã cho là các tam giác vuông Bài 11.75 : Cho chóp S ABC có tam giác ABC vuông B, S A⊥(ABC) ht Chứng minh BC⊥(S AB) Gọi AH là đường cao tam giác S AB Chứng minh AH⊥S C Bài 11.76 : Cho hình chóp S ABCD, đáy là hình vuông cạnh a Mặt bên S AB là tam giác đều, S CD là tam giác vuông cân đỉnh S Gọi I, J là trung điểm AB, CD Tính các cạnh tam giác S I J và chứng minh S I⊥(S CD), S J⊥(S AB) Gọi H là hình chiếu vuông góc S trên I J Chứng minh S H⊥AC Gọi M là điểm thuộc đường thẳng CD cho BM⊥S A Tính AM theo a √ Bài 11.77 : Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên S AB là tam giác và S C = a Gọi H, K là trung điểm AB, AD Chứng minh S H⊥(ABCD) ; Chứng minh AC⊥S K, CK⊥S D Bài 11.78 : Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A′ B′C ′ Gọi H là trực tâm tam giác ABC và biết A′ H⊥(ABC) Chứng minh AA′ ⊥BC và AA′ ⊥B′C ′ Gọi MM ′ là giao tuyến mặt phẳng (AHA′ ) với mặt bên BCC ′ B′ , đó M ∈ BC và M ′ ∈ B′C ′ Chứng minh tứ giác BCC ′ B′ là hình chữ nhật và MM ′ là đường cao hình chữ nhật đó Lop12.net TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 209 (10) CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC Bài 11.79 : Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông A và có cạnh bên S A vuông góc với mặt đáy là (ABC) Gọi D là điểm đối xứng B qua trung điểm O cạnh AC Chứng minh CD⊥CA, CD⊥(S CA) Bài 11.80 : Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a và S A = a, hình chiếu vuông góc S xuống mặt phẳng (ABCD) trùng với trung điểm M cạnh AB; gọi N là trung điểm AD Chứng minh BC⊥(S AB) và CN⊥(S D) Tính góc hai đường thẳng S D và AC Bài 11.81 : Cho hình chóp S ABCD có ABCD là hình chữ nhật và S A = S B Chứng minh CD⊥(S I J), đó I, J tương ứng là trung điểm AB và CD Bài 11.82 : Cho hình chóp S ABC có đáy là tam giác vuông A; S A⊥(ABC) và H thuộc cạnh AC và thỏa mãn S H = HA.HC Chứng minh S C⊥(S AB) Ô ÔA = 60◦ ; AS ÔB = 90◦ và S A = S B = S C Chứng minh ABC là tam giác Bài 11.83 : Cho hình chóp S ABC có BS C = 120◦; CS om vuông và S I⊥(ABC), đó I là trung điểm BC c Vấn đề : Xác định góc đường thẳng a và mặt phẳng (P) tb Sử dụng định nghĩa : Nếu a không vuông góc với (P) thì góc a và (P) góc a và hình chiếu vuông góc a′ a ng trên mặt phẳng (P) Nếu a ∥ (P) a ⊂ (P) thì góc a và (P) 0◦ tra Nếu a⊥(P) thì góc a và (P) 90◦ Nếu a không vuông góc với (P) và cắt (P) A, ta chọn điểm B trên a (B không trùng với A) và xác định hình chiếu vuông ao Ô góc H B lên (P) Khi đó góc a và (P) BAH ht :// a a′ B A ϕ H (P) Bài 11.84 : Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên S A vuông góc với đáy và S A = a Tính góc nỗi cạnh bên hình chóp với mặt đáy √ Bài 11.85 : Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên S A vuông góc với đáy và S A = a Tính góc S C và (ABCD); S C và (S AB); S B và (S AC); AC và (S BC) √ Bài 11.86 : Cho lăng trụ ABC.A′ B′C ′ có cạnh đáy a, cạnh bên AA = a Tính góc đường thẳng BC ′ và (ABB′ A′ ) TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Lop12.net Trang 210 (11) CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC Gọi M là trung điểm CC ′ Tính tang góc đường thẳng BM và (A′ B′C ′ ) √ Bài 11.87 : Cho tam giác ABC cân A, có Ab = 120◦, BC = a Lấy điểm D ngoài mặt phẳng chứa tam giác cho DA = a Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DBC Chứng minh AO⊥(DBC) Ô = 90◦ Tính góc đường thẳng DA và mặt phẳng (BCD) BDC Bài 11.88 : Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a và có tâm O, biết S A⊥(ABCD) Gọi M và N là trung điểm các cạnh S A và BC Biết góc MN và (ABCD) 60◦ Tính độ dài MN và S O; Tính góc đường thẳng MN và mặt phẳng (S BD) Ô = α Biết S A, S B, S C hợp với mặt phẳng (ABC) Bài 11.89 : Cho hình chóp S ABC có ABC là tam giác cân, AB = AC = a, BAC om góc α Chứng minh hình chiếu vuông góc S trên mặt phẳng (ABC) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABC) c Bài 11.90 : Cho lăng trụ ABC.A′ B′C ′ có cạnh đáy a Đường chéo BC ′ mặt bên BCC ′ B′ hợp với ABB′ A′ góc 30◦ tb Tính AA′ ng Tính khoảng cách từ trung điểm M AC đến mặt phẳng (BA′C ′ ) Gọi N là trung điểm cạnh BB′ Tính góc MN và mặt phẳng (BA′C ′ ) tra Bài 11.91 : Cho lăng trụ ABC.A′ B′C ′ có đáy ABC vuông cân A, AA′ vuông góc với mặt phẳng (ABC) Đoạn nối trung điểm M AB và trung điểm N B′C ′ có độ dài a, MN hợp với đáy góc α và mặt bên (BCC ′ B′ ) góc β ao Tính các cạnh đáy và cạnh bên lăng trụ theo a và α; Chứng minh cos α = √ sin β :// Bài 11.92 : Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, S A⊥(ABCD) và S A = 2a Mặt phẳng (α) qua BC hợp với AC góc 30◦ , cắt S A, S D M và N Tính diện tích tứ giác BCN M ht Bài 11.93 : Cho hình chóp S ABC có các cạnh bên S A, S B, S C cùng tạo với đáy góc α Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đáy ABC Chứng minh S O⊥(ABC) Hãy tổng quát hóa bài toán √ Bài 11.94 : Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông A, có AB = a, AC = a Các cạnh bên S A, S B, S C cùng tạo với đáy góc 60◦ Tính góc tạo S A và (S BC); S A và BC √ Bài 11.95 : Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, có AB = a, AD = a 2.Các cạnh bên S A, S B, S C, S D cùng tạo với đáy góc 45◦ Gọi M là trung điểm AD Chứng minh BM⊥S A; Tính góc BM và S C Vấn đề : Dựng mặt phẳng qua điểm M cho trước và vuông góc với đường thẳng d cho trước Gọi (α) là mặt phẳng qua M và vuông góc với d Dựng hai đường thẳng cắt cùng vuông góc với d và có ít đường thẳng qua điểm M Mặt phẳng xác định hai đường thẳng nói trên chính là mặt phẳng (α) Lop12.net TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 211 (12) CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC Nếu có sẵn hai đường thẳng cắt hay chéo a, b cùng vuông góc với d thì chọn (α) ∥ a (hoặc chứa a) và (α) ∥ b (hoặc chứa b) Bài 11.96 : Cho chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông A và B, với AB = BC = a, AD = 2a, S A⊥(ABCD) và S A = 2a Gọi M là điểm trên cạnh AB, (α) là mặt phẳng qua M, vuông góc với AB Đặt AM = x (0 < x < a) Tìm thiết diện hình chóp S ABCD với (α) Thiết diện là hình gì? Tính diện tích thiết diện theo a và x Tìm vị trí M trên cạnh AB để thiết diện có diện tích lớn Bài 11.97 : Cho tứ diện S ABC có ABC là tam giác cạnh a, S A⊥(ABC) và S A = 2a Gọi (α) là mặt phẳng qua B và vuông góc với S C Tìm thiết diện diện S ABC với (α) và tính diện tích thiết diện này Bài 11.98 : Cho hình tứ diện S ABC có tam giác ABC là tam giác cạnh a, S A⊥(ABC), S A = a Tìm thiết diện tứ diện S ABC om với mặt phẳng (α) và tính diện tích thiết diện các trường hợp sau: (α) qua S và vuông góc với BC c (α) qua A và vuông góc với trung tuyến S I tam giác S BC (α) qua trung điểm M S C và vuông góc với BC tb Bài 11.99 : Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, S AB là tam giác nằm trên mặt phẳng vuông góc với đáy M là trọng tâm tam giác BCD, (α) qua M và vuông góc với AB, (β) qua M và vuông góc với CJ (J là điểm đoạn AB) ng Hãy xác định và tính diện tích các thiết diện hình chóp cắt các mặt phẳng (α) và (β) Bài 11.100 : Cho hình chóp tam giác S ABC có đáy là tam giác ABC cạnh a, S A = 2a Các mặt phẳng (S AC) và (S BC) cùng tra vuông góc với (ABC) và M là trung điểm các cạnh AB Xác định và tính diện tích thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng qua M và vuông góc với S C ao mặt phẳng qua M và vuông góc với AB Bài 11.101 : Cho hình chóp tam giác S ABC có S A = S B = S C = AB = AC = BC = a, M là điểm thuộc đoạn AB cho M để diện tích thiết diện là lớn :// AM = x (với < x < a) Xác định và tính thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng qua M và vuông góc với S A Tìm vị trí ht Bài 11.102 : Cho hình lập phương ABCD.A′ B′C ′ D′ có cạnh a Hai điểm M, N là trung điểm AB, CC ′ Hãy xác định và tính diện tích thiết diện hình lập phương cắt mặt phẳng trung trực MN Ô = 600 Cạnh S C = a và vuông góc với Bài 11.103 : Cho hình chóp S ABC, đó ABC là tam giác vuông A, với AB = a, ABC (ABC) Giả sử M là điểm trên đoạn S A cho AM = x (M không trùng với A và S ) Xác định và tính diện tích thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng qua M và vuông góc với S A Tìm vị trí M để thiết diện có diện tích lớn √ Bài 11.104 : Cho lăng trụ đứng OAB.O′ A′ B′ có đáy là tam giác vuông cân O với OA = OB = a, chiều cao AA′ = a Gọi M là trung điểm OA, (α) là mặt phẳng qua M và vuông góc với A′ B Hãy xác định và tính diện tích thiết diện lăng trụ cắt (α) Bài 11.105 : Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, S A⊥(ABCD) Qua A xác định mặt phẳng (α) vuông góc √ với S C cắt S B, S C, S D E, K, H Tính diện tích thiết diện hình chóp cắt (α) S A = a Bài 11.106 : Trong mặt phẳng (P) vẽ hình thoi tạo hai tam giác ABD và CBD có cạnh a Vẽ đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (P) A và √ lấy trên đó điểm S cho AS = a Từ M trên đường chéo AC hình thoi, ta vẽ mặt phẳng (Q) vuông góc x với AC Đặt CM = Tùy theo x, khảo sát hình dạng thiết diện hình chóp cắt (Q) Tính diện tích thiết diện Tìm x để diện tích thiết diện đạt giá trị lớn Ô = 600 Cạnh S C = a và vuông góc với Bài 11.107 : Cho hình chóp S ABC, đó ABC là tam giác vuông A, với AB = a, ABC (ABC) Xác định thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng qua M ∈ S A và vuông góc với S A Đặt AM = x Tính diện tích thiết diện và xác định vị trí M để thiết diện có diện tích lớn TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Lop12.net Trang 212 (13) CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC 11.4 Hai mặt phẳng vuông góc Vấn đề : Xác định góc hai mặt phẳng Giả sử cần tính góc hai mặt phẳng (P) và (Q), ta có các phương pháp sau : Sử dụng định nghĩa : Góc hai mặt phẳng là góc hai đường thẳng vuông góc với hai mặt phẳng đó Nghĩa là, lấy a⊥(P) và b⊥(Q) thì góc (P) và (Q) là góc a và b Giả sử c = (P) ∩ (Q) Xét mặt phẳng (R) vuông góc với c, cắt (P) và (Q) theo các giao tuyến a và b Lúc đó, góc ϕ (P) và (Q) góc hai đường thẳng a và b Trong nhiều bài toán thường có sẵn đường thẳng AB (A ∈ (P) và B ∈ (Q)) vuông góc với c, ta cần kẻ AH vuông góc với c Ô > 90◦ ) Trong thực hành thường dùng công thức cos ϕ = cos AHB Ô AHB om Ô (nếu AHB Ô ≤ 90◦ ) và là góc 180◦ − AHB Ô (nếu H Lúc này mặt phẳng (R) chính là mặt phẳng (ABH) và góc ϕ là góc AHB Sử dụng định lí hình chiếu : Giả sử đa giác H nằm mặt phẳng (P) có hình chiếu lên mặt phẳng (Q) là đa giác H Khi S′ ′ đó, cos ϕ = với S ′ là diện tích hình H và S là diện tích hình H S tb .c ′ ng √ Bài 11.108 : Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, S A⊥(ABCD) và S A = a Tính góc các cặp mặt phẳng sau (S CD) và (ABCD); (S BC) và (S CD) tra (S BC) và (ABCD); √ Ô = 90◦ , AB = 2a, BC = a 3, S A = 2a và S A⊥(ABC) Bài 11.109 : Cho tứ diện S ABC có ABC ao Tính góc hai mặt phẳng (ABC) và (S BC) :// Mọi M là trung điểm AB Tính độ dài đường cao AK tam giác AMC Tính tan ϕ, với ϕ là góc hai mặt phẳng (ABC) và (S MC) ht Bài 11.110 : Cho hình lập phương ABCD.A′ B′C ′ D′ Tính góc hai mặt phẳng (ABCD) và (A′ B′C ′ D′ ); (ABCD) và (CDD′C ′ ); (ACC ′ A′ ) và (ABB′ A′ ); (A′ BD) và (ABCD) Bài 11.111 : Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, S A⊥(ABCD) và S A = x Xác định x để hai mặt phẳng (S BC) và (S DC) tạo với góc 60◦ Với x xác định từ trên, hãy tính góc hai mặt phẳng (S BC) và (S AD) √ Ô = 120◦ Gọi M là trung điểm cạnh CC1 Bài 11.112 : Cho lăng trụ đứng ABC.A1 B1C1 có AB = a, AC = 2a, AA1 = 2a và BAC Chứng minh MB⊥MA1 và tính khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng (A1 BM) Bài 11.113 : Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác nội tiếp đường tròn đường kính AB = 2a, S A⊥(ABCD) và √ S A = a Tính góc các cặp mặt phẳng sau: (S AD) và (S BC); (S CD) và (S BC) Bài 11.114 : Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân, với AB = BC = a, S A⊥(ABC), S A = a Gọi E và F là trung điểm các cạnh AB và AC Tính góc các cặp mặt phẳng sau: (S AC) và (S BC); Lop12.net TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 (S EF) và (S BC) Trang 213 (14) CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC d = 90◦ , yOz d = zOx d = 60◦ Tính góc hai mặt phẳng (yOz) và Bài 11.115 : Cho ba tia Ox, Oy, Oz không đồng phẳng cho xOy (zOx) Bài 11.116 : Trong mặt phẳng (α) cho đường tròn (C ) tâm O bán kính R Trên đường thẳng vuông góc với (α) O lấy điểm S cho OS = R Gọi M và N là hai điểm khác trên (C ), a và b là hai tiếp tuyến với (C ) M và N Tính góc hai mặt phẳng (S , a) và (S , b) trường hợp sau : Õ = 90◦ MON MN là đường kính đường tròn; Bài 11.117 : Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình bình hành tâm O Các mặt phẳng (S AB) và (S CD) là các tam giác vuông Ô = ϕ A và C, cùng hợp với đáy góc α, biết ABC Chứng minh S O⊥(ABCD); Chứng minh (S BC) và (S AD) cùng hợp với đáy (ABCD) góc β thỏa mãn cot β = cot α cos ϕ om Ô = α, S A⊥(ABC) và S A = a Gọi ϕ là góc Bài 11.118 : Cho hình chóp S ABC, đáy ABC là tam giác vuông B, AB = a, BAC hai mặt bên (S AC) và (S BC) √ + cos2 α Chứng minh tan α tan β = ; cos α .c Tam giác ABC thỏa mãn điều kiện gì để β = 60◦ tb Bài 11.119 : Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi vuông góc Gọi α, β, γ là góc tạo các mặt phẳng (OBC), (OCA), (OAB) với mặt phẳng (ABC) Chứng minh cos2 α + cos2 β + cos2 γ = ng Ô = 60◦ Gọi M, N là trung điểm Bài 11.120 : Cho lăng trụ đứng ABCD.A′ B′C ′ D′ có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, góc BAD các cạnh AA′ và CC ′ tra Chứng minh bốn điểm B′ , M, D, N đồng phẳng Tứ giác B′ MDN là hình gì ? Tính độ dài AA′ theo a để tứ giác B′ MDN là hình vuông ao Khi tứ giác B′ MDN là hình vuông, hãy tính góc hai mặt phẳng (B′ MDN) và (ABCD) ht :// Vấn đề : Chứng minh hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc Chứng minh góc (P) và (Q) 90◦ Chứng minh (P) chứa đường thẳng a, đó a⊥(Q) Bài 11.121 : Cho tam giác ABC cạnh a, I là trung √ điểm BC, D là điểm đối xứng A qua I Trên đường thẳng vuông góc với a mặt phẳng (ABCD) D, lấy điểm S cho S D = Chứng minh (S BC)⊥(S AD) và (S AB)⊥(S AC) Bài 11.122 : Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông, S A⊥(ABCD) Chứng minh (S AC)⊥(S BD) Tính góc hai mặt phẳng (S AB) và (S BC) Gọi BE, DF là hai đường cao tam giác S BD Chứng minh (ACF)⊥(S BC), (AEF)⊥(S AC) √ √ a a Bài 11.123 : Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh a, OB = , S O⊥(ABCD), S O = 3 Ô Chứng minh AS C = 90◦ Chứng minh (S AB)⊥(S AD) TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Lop12.net Trang 214 (15) CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC Tính góc tạo hai mặt phẳng (S BC) và (ABC) Bài 11.124 : Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên S A vuông góc với đáy Gọi M, N là hai điểm a 3a nằm trên BC, DC cho BM = ; DN = Chứng minh (S AM)⊥(S MN) Bài 11.125 : Cho hình chóp tam giác S ABC có đáy là tam giác cạnh a Tính đường cao S O theo a để hai mặt phẳng (S AB) và (S AC) vuông góc với Bài 11.126 : Cho hình vuông ABCD tâm O và có cạnh a Trên hai tia Bx và Dy cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) cùng a2 Õ = α, DON Õ = β nửa mặt phẳng (ABCD) lấy hai điểm M, N cho BM.DN = Đặt BOM Chứng minh tan α tan β = Có kết luận gì hai góc này ? Chứng minh (ACM)⊥(ACN) Gọi H là hình chiếu vuông góc O lên MN Tính độ dài đoạn OH Từ đó chứng minh AH⊥HC và (AMN)⊥(CMN) .c Lấy mặt phẳng (Q) chứa a mà (Q)⊥(P), (P) ∩ (Q) = c chứng minh a⊥c om Vấn đề : Chứng minh đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P) ng tb Chứng minh a là giao tuyến hai mặt phẳng cắt cùng vuông góc với (P) AH vuông góc với BD, chứng minh AH⊥(BCD) tra Bài 11.127 : Cho tam giác ABC vuông B Một đoạn AD vuông góc với mặt phẳng (ABC) Từ điểm A mặt phẳng (ABD) ta vẽ Bài 11.128 : Cho hình tứ diện ABCD có hai mặt (ABC), (ABD) cùng vuông góc với mặt (DBC) Vẽ các đường cao BE, DF tam Chứng minh AB⊥(BCD) ao giác BCD, vẽ đường cao DK tam giác ACD :// Chứng minh (ABE)⊥(ADC), (DFK)⊥(ADC) ht Gọi O và H là trực tâm hai tam giác BCD và ACD Chứng minh OH⊥(ADC) √ Bài 11.129 : Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình chữ nhật, các cạnh AB = a 2, AD = a, tam giác S AB và nằm mặt phẳng vuông góc với đáy Gọi M là trung điểm AB Chứng minh S M⊥(ABCD); BC⊥(S AB) và AC⊥S D Tính góc hai mặt phẳng (ABCD) và (S CD) Bài 11.130 : Cho hình vuông ABCD Gọi S là điểm không gian cho S AB là tam giác và (S AB)⊥(ABCD) Chứng minh (S AB)⊥(S AD) và (S AB)⊥(S BC) Tính góc hai mặt phẳng (S AD) và (S BC) Gọi H và I là trung điểm AB và BC Chứng minh (S HC)⊥(S DI) Bài 11.131 : Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác có cạnh a, tam giác S AB vuông S và có SÔ AB = 30◦ Tính góc mặt phẳng (ABC) và (S BC) Ô = 60◦ , M là trung điểm AB Các mặt phẳng (S AB) và (S CM) Bài 11.132 : Cho hình chóp S ABC có tam giác ABC vuông A, ABC cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC) Biết góc S C và (ABC) là 60◦ , tính góc hai mặt phẳng (S BC) và (ABC) Bài 11.133 : Cho lăng trụ ABC.A′ B′C ′ có đáy là tam giác vuông cân B Hai mặt phẳng (ABB′ A′ ) và (ACB′ ) cùng vuông góc với (ABC) Chứng minh BCC ′ B′ là hình chữ nhật Lop12.net TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 215 (16) CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC Biết góc hai mặt phẳng (BCC ′ B′ ) và (A′ B′C ′ ) 30◦ Tính góc hai mặt phẳng (ABC) và (ACC ′ A′ ) Õ = Bài 11.134 : Cho hình vuông ABCD Mặt phẳng (P) vuông góc với (ABCD) theo giao tuyến AB Điểm M di động cho AMB Õ = 90◦ AMD Chứng minh M thuộc mặt phẳng trung trục BD; Giả sử MD cắt (P) M ′ Chứng minh AM ′ ⊥BM ′ Bài 11.135 : Cho hai hình vuông ABCD và ABEF cạnh a và nằm hai mặt phẳng vuông góc với Trên hai cạnh AC, BF lần √ lượt lấy hai điểm M và N cho AM = BN = x (0 < x < a 2) Chứng minh AF⊥(ABCD) Gọi M1 là hình chiếu vuông góc M trên AB Chứng minh MM1 ⊥M1 N và MN ∥ (CDEF) Tính MN theo a và x Tìm x để MN nhỏ om Khi MN nhỏ hãy chứng minh MN vuông góc với AC, BF và MN ∥ DE c Vấn đề : Dựng mặt phẳng (Q) chứa a và vuông góc với (P) (giả thiết a không vuông góc với (P)) tb ng Từ điểm trên a, dựng đường thẳng b vuông góc với (P) Mặt phẳng (a, b) chính là mặt phẳng (Q) cần dựng Gọi E là trung điểm BC, F là trung điểm BE 3a ao Chứng minh (S OF)⊥(S BC) tra Ô = 60◦ Đường thẳng S O⊥(ABCD) và S O = Bài 11.136 : Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình thoi tâm O cạnh a, góc BAD Gọi O′ , A′ là hình chiếu vuông góc O, A trên (S BC) Tính độ dài các đoạn thẳng OO′ , AA′ :// Gọi (P) là mặt phẳng qua AD và vuông góc với (S BC) Xác định thiết diện cắt (P) và tính diện tích thiết diện đó Tính góc ht (P) và (ABCD) Bài 11.137 : Cho hình chóp S ABCD có ABCD là hình vuông cạnh a, S A⊥(ABCD) và S A = a Gọi (α) là mặt phẳng chứa AB và vuông góc với mặt (S CD) Dựng mặt phẳng (α) Mặt phẳng (α) cắt hình chóp theo thiết diện là hình gì? Tính diện tích thiết diện đó Bài 11.138 : Cho hình chóp S ABCD có ABCD là hình vuông cạnh a, S A⊥(ABCD) và S A = a Xác định và tính diện tích thiết diện hình chóp S ABCD với mặt phẳng (α) các trường hợp sau đây: (α) qua tâm O đáy, trung điểm M S D và vuông góc với (ABCD) (α) qua A, trung điểm N CD và vuông góc với (S BC) √ Bài 11.139 : Cho lăng trụ tam giác ABC.A′ B′C ′ có cạnh đáy a, cạnh bên a Gọi M, N là trung điểm các cạnh AB và A′C ′ Xác định thiết diện lăng trụ với mặt phẳng (α) qua MN và vuông góc với mặt phẳng (BCC ′ B′ ) Tính diện tích thiết diện và tính góc tạo mặt phẳng (α) với mặt phẳng đáy Bài 11.140 : Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình thang vuông ABCD vuông A và D, có AB = 2a, AD = DC = a, có cạnh S A⊥(ABCD) và S A = a Chứng minh (S AD)⊥(S CD) và (S AC)⊥(S CB) Gọi ϕ là góc hai mặt phẳng (S BC) và (ABCD), tính tan ϕ TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Lop12.net Trang 216 (17) CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC Gọi (α) là mặt phẳng chứa S D và vuông góc với (S AC) Hãy xác định (α) và tính diện tích thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng (α) Bài 11.141 : Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, S A⊥(ABCD) Qua A xác định mặt phẳng (α) vuông góc √ với S C cắt S B, S C, S D E, K, H Tính diện tích thiết diện hình chóp cắt (α) S A = a Bài 11.142 : Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, S A⊥(ABCD), S A = a Xác định và tính diện tích thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng (P) chứa AN và vuông góc với (S BC), đó N là trung điểm CD 11.5 Khoảng cách Vấn đề : Tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng ∆ cho trước om Trong mặt phẳng xác định điểm M và đường thẳng ∆ vẽ MH⊥∆) H Ta có d(M, ∆) = MH tb .c Trong không gian dựng mặt phẳng (α) qua M và (α)⊥∆, cắt ∆ H Ta có d(M, ∆) = MH Bài 11.143 : Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông ABCD tâm O, cạnh a, S A⊥(ABCD) và S A = a Gọi I là trung điểm cạnh ng S C và M là trung điểm đoạn AB Tính d(I, CM) tra Chứng minh OI⊥(ABCD) ao Bài 11.144 : Cho hình chóp S ABC; ABC là tam giác vuông cân (AB = AC = a); S B⊥(ABC) và S B = a Tính khoảng cách từ S đến a CM, với M thuộc đoạn AB và AM = Ô = 60◦ và S A⊥(ABCD) Bài 11.145 : Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, S A = AB = 2a, ABC ht Tính d(O; S B) và d(D; S C) :// Chứng minh : BD⊥S C, từ đó suy khoảng cách từ O đến S C Bài 11.146 : Cho tam giác ABC với AB = 7cm, BC = 5cm, CA = 8cm Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) A lấy điểm O cho AO = 4cm Tính d(O, BC) Bài 11.147 : Cho tam giác ABC vuông B (AB = a; BC = 2a) Ax và Cy cùng vuông góc với (ABC) và cùng phía Lấy √ M ∈ Ax và N ∈ Cy với AM = a, CN = a Chứng minh AB⊥(BCy) Tính khoảng cách từ M đến BN √ a Bài 11.148 : Cho góc vuông xOy và điểm A nằm ngoài mặt phẳng xOy Khoảng cách từ A đến Ox, Oy a và AO = Tính khoảng cách từ A đến (xOy) Vấn đề : Dựng đường thẳng qua điểm A cho trước và vuông góc với mặt phẳng (P) cho trước Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P) Bước : Dựng mặt phẳng (Q) qua A và vuông góc với (P) Bước : Gọi c là giao tuyến (P) và (Q) Trong (Q) kẻ đường thẳng qua A vuông góc với c H, AH chính là đường thẳng cần dựng và AH là khoảng cách từ H đến mặt phẳng (P) Nếu đã biết khoảng cách từ B đến (P), để tính khoảng cách từ A đến (P) chúng ta có thể sử dụng mối quan hệ sau : Lop12.net TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 217 (18) CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC Nếu AB ∥ (P) thì d(A, (P)) = d(B, (P)) d(A, (P)) OA Nếu AB ∩ (P) = {O} thì = d(B, (P)) OB B A A O O α α om B .c Bài 11.149 (Bài toán có bản) : Cho hình chóp S ABC có S A⊥(ABC) Hãy dựng hình chiếu vuông góc A trên mặt phẳng (S BC) tb Bài 11.150 (Bài toán bản) : Một đoạn thẳng AB không vuông góc với mặt phẳng (α) cắt mặt phẳng này trung điểm O đoạn thẳng đó Các đường thẳng vuông góc với (α) qua A và B cắt mặt phẳng (α) A′ và B′ Chứng minh ba điểm A′ , O, B′ ng thẳng hàng và AA′ = BB′ Như ta có hệ bài toán này là : Hai điểm A và B phân biệt cách (P) (hoặc ∆) và AB ∥ (P) trung điểm M AB thuộc (P) (tương ứng ∆) tra √ Bài 11.151 : Cho hình chóp S ABC có S A⊥(ABC), tam giác ABC cạnh a và S A = a Xác định và tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (S BC) ao Bài 11.152 : Cho tứ diện O.ABC có OA, OB, OC đôi vuông góc với và OA = a, OB = b, OC = c Xác định và tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABC) :// Bài 11.153 : Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, các cạnh bên cùng 2a Gọi O là giao điểm hai đường chéo ht đáy Chứng minh S O⊥(ABCD) Xác định và tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (S BC) √ Bài 11.154 : Cho tứ diện ABCD có AB = CD = 6a; BC = BD = 5a; AC = AD = a 73 Gọi H là hình chiếu vuông góc A xuống (BCD) Chứng minh H nằm trên trung tuyến BI tam giác BCD Tính d(A, (BCD)) Bài 11.155 : Cho hình chóp S ABC có ABC là tam giác vuông B (AB = 2a, BC = a); S A⊥(ABC) Tính d(B, (S AC)) MS Bài 11.156 : Cho hình chóp S ABC có S A = h, S A⊥(ABC); M là điểm thuộc đoạn S B cho = , I là trung điểm CM MB Tính d(I, (ABC)) Bài 11.157 : Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông tâm O cạnh a, S A⊥(ABCD) và S A = 2a Xác định và tính d(A, (S CD)); d(O, (S CD)); d(B, (S CD)); d(C, (S BD)) √ Bài 11.158 : Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, S A⊥(ABCD) và S A = a Gọi G là trọng tâm tam giác S AB Tính d(G, (S AC)) √ Bài 11.159 : Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh a, , S A⊥(ABCD) và S A = a 3, G là trọng tâm tam giác S AB Tính TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Lop12.net Trang 218 (19) CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC d(M, (ABCD)); d(A, (S BC)); d(O, (S BC)); d(G, (S AC)) Bài 11.160 : Cho hình lập phương ABCD.A′ B′C ′ D′ cạnh a Xác định và tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng cho đây Điểm A và mặt phẳng (BDB′ D′ ) ; Điểm A và mặt phẳng (A′ BD) Bài 11.161 : Cho tứ diện ABCD có tất các cạnh a Tính d(B, (ACD)) Bài 11.162 : Cho hình lập phương ABCD.A′ B′C ′ D′ cạnh a Xác định và tính khoảng cách từ điểm A′ đến mặt phẳng (AB′ D′ ) Bài 11.163 : Cho hình chóp S ABC cạnh a Xác định chân đường vuông góc hạ từ A đến mặt phẳng (S BC) và tính d(A, (S BC)) Bài 11.164 : Cho hình thoi ABCD tâm O, cạnh a và AC = a Từ trung điểm H cạnh AB dựng S H⊥(ABCD) với S H = a Tính d(H, (S CD)) Từ đó suy khoảng cách từ O đến mặt phẳng (S CD) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (S BC) om d và điểm M nằm ngoài mặt phẳng chứa góc vuông, OM = 23cm và khoảng cách từ M tới hai Bài 11.165 : Cho góc vuông xOy cạnh Ox, Oy 17cm Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng chứa góc vuông c √ Bài 11.166 : Cho tam giác ABC vuông A, có cạnh AB = a nằm mặt phẳng (α), cạnh AC = a và tạo với (α) góc 60◦ Chứng minh cạnh BC tạo với (α) góc 45◦ tb Tính khoảng cách CH từ C tới (α) ng Bài 11.167 : Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, AB = 2a, S A = 4a Tính : d(O; (S AB)) ; d(A; (S CD)) tra Bài 11.168 : Cho tứ diện DABC, có ABC là tam giác vuông A, S B = a, AC = 2a Các mặt (DAB) và (DAC) cùng hợp với (ABC) ao góc α, mặt bên (S BC) vuông góc với (ABC) Tính khoảng cách d từ D đến (ABC) theo a và α ; 2a Tìm số đo α biết d = √ , đó hãy tính d(C; (DAB)) :// Bài 11.169 : Cho hình chóp S ABC có góc tạo hai mặt phẳng (S BC) và (ABC) là 60◦ Các tam giác S BC và ABC đều, AB = a ht Tính theo a khoảng cách từ B đến mặt phẳng (S AC) trường hợp sau : Hình chiếu vuông góc S xuống mặt phẳng (ABC) nằm miền tam giác ABC Hình chiếu vuông góc S xuống mặt phẳng (ABC) nằm miền ngoài tam giác ABC Bài 11.170 : Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông tâm O cạnh a, S A = a và S A⊥(ABCD), gọi M là trung điểm S C Tính d(A, (S CD)); d(O, (S CD)); d(M, (ABCDC)); d(B, (S CD)); d(C, (S BD)); d(M, (S AD)) √ Bài 11.171 : Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông A, AB = a, AC = a và các cạnh bên cùng hợp với đáy góc 60◦ Tình d(S , (ABC)), d(A, (S BC)), d(C, (S AB)); Tính cosin góc S B và AC; Tính cosin góc hai mặt phẳng (S BC) và (S AC) Vấn đề : Đoạn vuông góc chung và khoảng cách hai đường thẳng chéo Ta xét các trường hợp sau đây: Lop12.net TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 219 (20) CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC b a M B b b A B a B a A b′ M A α I α H c) b) a) b′ O ′ a) Giả sử a, b là hai đường thẳng chéo và a⊥b - Ta dựng mặt phẳng (α) chứa a và vuông góc với b B - Trong (α) dựng BA⊥a A, ta độ dài đoạn BA là khoảng cách hai đường thẳng chéo a và b (hình a) om b) Giả sử a và b là hai đường thẳng chéo không vuông góc với Cách : - Ta dựng mặt phẳng (α) chứa a và song song với b (hình b) c - Lấy điểm M tùy ý trên b dựng MM ′ ⊥(α) M ′ - Từ A dựng AB ∥ MM ′ cắt b B, độ dài đoạn AB là khoảng cách hai đường thẳng chéo a và b - Trong mặt phẳng (α), vẽ OH⊥b′ H tra - Từ H dựng đường thẳng song song với a cắt b B ng - Dựng hình chiếu vuông góc b là b′ trên (α) tb Cách : - Ta dựng mặt phẳng (α)⊥a O, (α) cắt b I (hình c) - Từ B dựng đường thẳng song song với OH cắt a A ao Độ dài đoạn AB là khoảng cách hai đường thẳng chéo a và b Chú ý : Để tính khoảng cách hai đường thẳng chéo a và b ta thường làm sau : :// • Ta dựng mặt phẳng (α) chứa a và song song với b (hình b) ht • Lấy điểm M ∈ b Ta có d(a, b) = d(b, (α)) = d(M, (α)) Bài 11.172 : Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi vuông góc với và OA = OB = OC = a Gọi I là trung điểm BC Hãy dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung các cặp đường thẳng: OA và BC; AI và OC Ô = 60◦ , S O⊥(ABCD), S O = Bài 11.173 : Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình thoi tâm O, cạnh a, góc BAD Tính d(O, (S BC)) và d(A, (S BC)); 3a Tính d(AD, S B) Bài 11.174 : Cho lăng trụ đứng ABC.A′ B′C ′ có các mặt bên là hình vuông cạnh a Gọi D, E, F là trung điểm các cạnh AB, A′C ′ , B′C ′ Tính khoảng các các cặp đường thẳng sau : DE và AB′ ; A′ B và B′C ′ Bài 11.175 : Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, có cạnh S A = a và vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung của: TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Lop12.net Trang 220 (21)