10.1 Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng P và Q ; xác định giao điểm của đường thẳng a và mặt phẳng P ; chứng minh ba điểm thẳng hàng và ba đường [r]
(1)Chương 10 Mở đầu hình học không gian Quan hệ song song Download tài li u h c t p t i : http://aotrangtb.com Sau học xong mục này, học sinh cần biết : Một mặt phẳng xác định biết các điều kiện sau đây : (a) Mặt phẳng qua ba điểm không thẳng hàng (b) Mặt phẳng qua điểm và đường thẳng không chứa điểm đó (c) Mặt phẳng qua hai đường thẳng cắt (d) Mặt phẳng qua hai đường thẳng song song (e) Mặt phẳng qua đường thẳng và song song với đường thẳng chéo với đường thẳng (f) Mặt phẳng qua điểm và song song với mặt phẳng không chứa đường thẳng (g) Mặt phẳng qua điểm và song song với hai đường thẳng chéo Dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song : (a) Hai đường thẳng đồng phẳng và không có điểm chung (b) Hai mặt phẳng phân biệt cắt và lần lưựơt qua hai đường thẳng song song thì giao tuyến chúng song song với ít hai đường thẳng (c) Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song song với (d) Nếu đường thẳng a song song với mặt phẳng (P) thì mặt phẳng (Q) chứa a mà cắt (P) thì giao tuyến song song với a (e) Hai mặt phẳng phân biệt cắt và cùng song song với đường thẳng thì giao tuyến chúng song song với đường thẳng đó (f) Nếu hai mặt phẳng song song bị cắt mặt phẳng thứ ba thì hai giao tuyến song song với (g) Nếu đường thẳng a song song với đường thẳng b và b không song song với l thì hai hình chiếu a′ , b′ a và b theo phương l lên mặt phẳng (P) song song trùng (h) Nếu đường thẳng a song song với mặt phẳng (P) thì hình chiếu a′ a trên (P) song song với a Dấu hiệu nhận biết đường thẳng song song với mặt phẳng : (a) Nếu đường thẳng và mặt phẳng không có điểm chung thì chúng song song với (b) Nếu a ∥ b, a (P), b ⊂ (P) thì a ∥ (P) (c) Nếu a ⊂ (P), (P) ∥ (Q) thì a ∥ (Q) (d) Nếu ba đường thẳng chắn trên hai cát tuyến đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thì ba đoạn thanửg đó cùng song song với mặt phẳng (mặt phẳng này chứa hai đường thẳng cắt song song với hai ba đường thẳng trên) Lop12.net 191 (2) CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC (e) a ∥ b, a ∥ (P), b (P), ⇒ b ∥ (P) (f) a ∥ (P), (P) ∥ (Q), a (Q) ⇒ a ∥ (Q) Dấu hiệu nhận biết hai mặt phẳng song song : (a) Hai mặt phẳng không có điểm chung thì song song với (b) Nếu mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt và cùng song song với mặt phẳng khác thì ahi mặt phẳng đó sóng song (c) Nếu hai đường thẳng cắt mặt phẳng song song với hai đường thẳng mặt phẳng khác thì hai mặt phẳng đó song song (d) Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì song song với 10.1 Đại cương đường thẳng và mặt phẳng Xác định giao tuyến hai mặt phẳng (P) và (Q) ; xác định giao điểm đường thẳng a và mặt phẳng (P) ; chứng minh ba điểm thẳng hàng và ba đường thẳng đồng quy ; tìm thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng ; chứng minh bốn điểm đồng phẳng Vấn đề : Xác định giao tuyến hai mặt phẳng Giao tuyến hai mặt phẳng là đường thẳng Vì ta cần xác định hai giao điểm hai mặt phẳng đó Muốn xác định giao điểm hai mặt phẳng ta chọn hai đường thẳng a ⊂ (P) và b ⊂ (Q) cho a ∩ b = {M} Khi đó M là giao điểm hai mặt phẳng đó Bài 10.1 : Trong mặt phẳng (α) cho tứ giác ABCD có các cạnh đối AB và CD không song song với Gọi S là điểm không thuộc mặt phẳng (α) Xác định giao tuyến hai mặt phẳng (S AC) và (S BD) Xác định giao tuyến hai mặt phẳng (S AB) và (S CD) Vấn đề : Xác định giao điểm đường thẳng a và mặt phẳng (P) Phương pháp chung là cần tìm đường thẳng ∆ ⊂ (P) và ∆ cắt a, giao điểm đó chính là giao điểm a và (P) Cách tìm đường thẳng ∆: Chọn mặt phẳng (Q) cho a ⊂ (Q), (Q) ∩ (P) = ∆ ⇒ ∆ ∩ a = a ∩ (P) Thường ta chọn mặt phẳng (Q) cho dễ xác định giao tuyến với mặt phẳng (P) Bài 10.2 : Cho tam giác ABC và điểm O nằm ngoài mặt phẳng (ABC) Trên các đoạn thẳng OA, OB, OC ta lấy các điểm A′ , B′ , C ′ không trùng với đầu mút các đoạn thẳng đó Gọi M là điểm thuộc mặt phẳng (ABC) và nằm tam giác ABC Tìm điểm chung (giao điểm) : Đường thẳng B′C ′ với mặt phẳng (OAM) Đường thẳng OM với mặt phẳng (A′ B′C ′ ) Download tài li u h c t p t i : http://aotrangtb.com TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Lop12.net Trang 192 (3) CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC Vấn đề : Phương pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng và ba đường thẳng đồng quy Muốn chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng ta chứng minh A, B, C cùng nằm trên hai mặt phẳng phân biệt (P), (Q) Khi đó A, B, C thuộc giao tuyến hai mặt phẳng đó, nên chúng thẳng hàng Còn muốn chứng minh ba đường thẳng a, b, c đồng quy, ta xác định giao điểm hai ba đường thẳng chứng minh giao điểm đó thuộc đường thẳng còn lại Hoặc có thể dùng định lí giao tuyến ba mặt phẳng Bài 10.3 : Cho tam giác ABC và điểm O nằm ngoài mặt phẳng (ABC) Gọi A′ , B′ , C ′ là các điểm lấy trên OA, OB, OC và không trùng với đầu mút các đoạn thẳng đó Chứng minh các cặp đường thẳng A′ B′ và AB, B′C ′ và BC, C ′ A′ và CA cắt D, E, F thì ba điểm D, E, F thẳng hàng Bài 10.4 : Cho tứ diện ABCD Gọi E, F, G là ba điểm nằm trên ba cạnh AB, AC, BD cho EF cắt BC I, EG cắt AD H Chứng minh CD, IG, HF đồng quy Vấn đề : Tìm thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng Muốn tìm thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng (α) ta tìm các đoạn giao tuyến (α) giao với các mặt (bên và đáy) hình chóp Chú ý : Mặt phẳng (α) cắt mặt bên không quá hai điểm các cạnh mặt bên đó Bài 10.5 : Cho hình chóp tứ giác S ABCD Điểm C ′ nằm trên cạnh S C Tìm thiết diện hình chóp với mặt phẳng (ABC ′ ) Bài 10.6 : Cho bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng Điểm D thuộc mặt phẳng nào ? Chứng minh AC và BD chéo Gọi Bx là đường thẳng qua B và song song với AD và M ∈ AD Gọi J là trung điểm đoạn BM Nếu điểm M di động trên đường thẳng AD, điểm B di động trên đường thẳng Bx, chứng minh đó đường thẳng CJ luôn luôn nằm mặt phẳng cố định Bài 10.7 : Cho hai đường thẳng a và b chéo Trên a ta lấy hai điểm phân biệt A, B và trên b lấy hai điểm phân biệt C, D Chứng minh AC và BD chéo Gọi M là điểm trên đoạn AC, N là điểm trên đoạn BD Khi đó đường thẳng MN có thể song song với AB CD không ? Gọi O là điểm trên đoạn MN Chứng minh AO cắt CN và BO cắt DM Bài 10.8 : Cho mặt phẳng (α) xác định đường thẳng a và điểm A không thuộc a Gọi a′ là đường thẳng qua A và song song với a Lấy điểm M trên a và điểm B nằm ngoài mặt phẳng (α) Chứng minh điểm M thuộc mặt phẳng (α) Tìm điểm chung các cặp mặt phẳng (ABM) và (α), (ABM) và (a′ , B), (ABM) và (a, B) Tìm điểm chung ba mặt phẳng (α), (a′, B), (ABM) Gọi I, K là các trung điểm các đoạn thẳng AB và MB Chứng minh IK song song với mặt phẳng (α) Lop12.net Download tài li u h c t p t i : http://aotrangtb.com Trang 193 (4) CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC Bài 10.9 : Gọi (α) là mặt phẳng xác định hai đường thẳng a và b cắt O và c là đường thẳng cắt (α) I khác O Xác định giao tuyến hai mặt phẳng (α) và (O, c) Gọi M là điểm nằm trên c và không trùng với I Tìm giao tuyến m hai mặt phẳng (M, a) và (M, b) Chứng minh M di động trên đường thẳng c, giao tuyến m này luôn nằm mặt phẳng cố đinh Bài 10.10 : Cho tứ diện ABCD Gọi M và N là trung điểm AC và BC Gọi K là điểm lấy trên cạnh BD cho BK = 3KD Tìm giao tuyến hai mặt phẳng (MNK) với mặt phẳng (BCD) Tìm giao tuyến hai mặt phẳng (MNK) với mặt phẳng (ACD) Bài 10.11 : Cho hình chóp S ABCD với đáy ABCD là tứ giác có các cặp cạnh đối không song song Tìm giao tuyến các cặp mặt phẳng sau: (S AC) và (S BD) ; (S AB) và (S CD) ; (S AD) và (S BC) Bài 10.12 : Cho hình chóp S ABCD với đáy ABCD là hình bình hành tâm O Gọi M, N, P là trung điểm các đoạn BC, CD, S O Xác định thiết diện hình chóp tạo mặt phẳng (MNP) Bài 10.13 : Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Gọi M, N là trung điểm các cạnh S B, S D Lấy điểm P trên cạnh S C cho S P = 3PC Tìm giao tuyến mặt phẳng (MNP) với các mặt (S AC), (S AB), (S AD) và (ABCD) hình chóp Bài 10.14 : Cho tứ diện ABCD Gọi M, N lấy trên các cạnh AC, BC cho MN không song song với AB Gọi O là điểm thuộc miền tam giác ABD Tìm giao điểm AB và AD với mặt phẳng (OMN) Bài 10.15 : Cho hình chóp S ABCD Gọi M là điểm trên cạnh S C Tìm giao điểm AM với mặt phẳng (S BD) Lấy điểm N trên cạnh BC Tìm giao điểm S D và mặt phẳng (AMN) Bài 10.16 : Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Gọi M là trung điểm S C Tìm giao điểm I đường thẳng AM với mặt phẳng (S BD) Chứng minh IA = 2I M Tìm giao điểm P đường thẳng S D với mặt phẳng (ABM) Gọi N là điểm tuỳ ý trên cạnh AB Tìm giao điểm đường thẳng MN với mặt phẳng (S BD) Bài 10.17 : Cho tứ diện ABCD Gọi M, N là hai điểm lấy trên AC, AD Gọi G là trọng tâm tam giác BCD Tìm giao điểm của: MN và mặt phẳng (ABG) AG và mặt phẳng (BMN) Bài 10.18 : Cho hình chóp S ABCD Gọi I, K là hai điểm cố định trên S A và S C với S I = 2IA và S K = 31 KC Một mặt phẳng (α) quay quanh IK cắt S B M và S D N Gọi O là giao điểm AC và BD Chứng minh ba đường thẳng IK, MN, S O đồng quy Gọi {E} = AD ∩ BC và {F} = IN ∩ MK Chứng minh ba điểm S , E, F thẳng hàng Gọi {P} = IN ∩ AD và {Q} = MK ∩ BC Chứng minh (α) thay đổi đường thẳng PQ luôn qua điểm cố đinh Bài 10.19 : Cho hình chóp S ABCD Gọi I là điểm trên cạnh AD và K là điểm trên cạnh S B Tìm giao điểm E, F IK và DK với mặt phẳng (S AC) Gọi {O} = AD ∩ BC, {M} = S C ∩ OK Chứng minh bốn điểm A, E, F, M thẳng hàng Bài 10.20 : Cho tứ diện ABCD Trên đoạn CA, CB, BD cho các điểm M, N, P cho MN không song song với AB , NP không song song với CD Gọi (α) là mặt phẳng xác định ba điểm M, N, P nói trên Tìm thiết diện tạo mặt phẳng (α) và tứ diện ABCD TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Lop12.net Trang 194 (5) CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC Bài 10.21 : Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình bình hành tâm O Gọi M, N, E là ba điểm lấy trên AD, CD, S O Tìm thiết diện hình chóp tạo mặt phẳng (MNP) Bài 10.22 : Cho hình chóp S ABCD Trong tam giác S BC lấy điểm M và tam giác S CD lấy điểm N Tìm giao điểm đường thẳng MN với mặt phẳng (S AC) Tìm giao điểm cạnh S C với mặt phẳng (AMN) Tìm thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng (AMN) Bài 10.23 : Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Gọi M là trung điểm cạnh S C Tìm giao điểm I đường thẳng AM với mặt phẳng (S BD) Chứng minh IA = 2I M Tìm giao điểm F đường thẳng S D với mặt phẳng (ABM) Chứng minh F là trung điểm cạnh S D và tứ giác ABMF là hình thang Gọi N là điểm tuỳ ý trên cạnh BC Tìm thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng (AMN) Bài 10.24 : Cho hình chóp S ABCD Gọi M, N là các điểm trên các đoạn BC và S D Tìm giao điểm I đường thẳng BN với mặt phẳng (S AC) và giao điểm K đường thẳng MN với mặt phẳng (S AC) Tìm thiết diện hình chóp S ABCD với mặt phẳng (BCN) Bài 10.25 : Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình bình hành Gọi M, N là các điểm trên các đoạn S B và AD Đường thẳng BN cắt CD I Chứng minh ba điểm M, I và trọng tâm G tam giác S AD thẳng hàng Tìm thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng (CGM) Chứng minh trung điểm đoạn S A thuộc thiết diện Tìm thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng (AGM) Bài 10.26 : Cho chóp S ABCD có đáy ABCD là tứ giác có các cặp cạnh đối không song song Gọi M là điểm tùy ý nằm trên cạnh S C (M không trùng với C và S ), mặt phẳng (ABM) cắt S D N Gọi I là giao điểm BM và AN Chứng minh điểm M di động trên cạnh S C thì I di động trên đoạn thẳng cố định Hãy xác định đoạn thẳng đó Gọi J là giao điểm AM và BN Chứng minh M di động trên cạnh S C thì J di động trên đoạn thẳng cố định Bài 10.27 : Cho tứ diện ABCD Gọi I và J là trung điểm AB và CD Cho M và N nằm trên các cạnh BC và AD cho BM AN = = Chứng minh M, N, I, J luôn đồng phẳng MC ND 10.2 Hai đường thẳng song song Tìm giao tuyến hai mặt phẳng (dùng quan hệ song song) ; chứng minh hai đường thẳng song song ; chứng minh hai đường thẳng chéo Vấn đề : Tìm giao tuyến hai mặt phẳng (dùng quan hệ song song) Nếu hai mặt phẳng (α) và (β) có điểm chung S và chứa hai đường thẳng song song d và d′ thì giao tuyến củ (α) và (β) là đường thẳng ∆ qua S và song song với d và d′ Bài 10.28 : Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình bình hành ABCD Tìm giao tuyến các cặp mặt phẳng sau đây Lop12.net Download tài li u h c t p t i : http://aotrangtb.com Trang 195 (6) CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC (S AC) và (S BD) ; (S AB) và (S CD) ; (S AD) và (S BC) Bài 10.29 : Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình thang với các cạnh đáy là AB, CD Gọi I, J là trung điểm AD, BC và G là trọng tâm tam giác S AB Tìm giao tuyến (S AB) và (IJG) Xác định thiết diện hình chóp với mặt phẳng (IJG) Thiết diện là hình gì? Tìm điều kiện AB và CD để thiết diện là hình bình hành Vấn đề : Chứng minh hai đường thẳng song song Dùng định nghĩa ( Chứng minh chúng cùng thuộc mặt phẳng, áp dụng các phương pháp chứng minh thông thường, thường áp dụng định lí Talet) Dùng phản chứng Dùng định lí giao tuyến ba mặt phẳng Dùng tính chất : Hai mặt phẳng phân biệt qua hai đường thẳng song song thì giao tuyến chúng (nếu có) song song với hai đường thẳng đó, trùng với hai đường thẳng đó Dùng tính chất bắc cầu Bài 10.30 : Cho tứ diện ABCD Gọi I, J là trọng tâm các tam giác ABC, ABD Chứng minh I J ∥ CD Bài 10.31 : Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thang với hai cạnh đáy AB và CD (AB > CD) Gọi M, N là trung điểm S A, S B Chứng minh MN ∥ CD ; Gọi P là giao điểm S C và mặt phẳng (ADN), I là giao điểm AN và DP Chứng minh S I ∥ AB Tứ giác S ABI là hình gì Vấn đề : Chứng minh hai đường thẳng chéo Chúng ta thường dùng phương pháp phản chứng Bài 10.32 : Cho d1 , d2 là hai đường thẳng chéo Trên d1 , lấy hai điểm phân biệt A, B và trên d2 lấy hai điểm phân biệt C, D Chứng minh AC và BD chéo Bài 10.33 : Cho tam giác ABC nằm mặt phẳng (α) Gọi Bx, Cy là hai nửa đường thẳng song song và nằm cùng phía mặt phẳng (α) M, N là hai điểm di động trên Bx, Cy cho CN = 2BM Chứng minh đường thẳng MN luôn qua điểm cố định I M, N di động EA, IE cắt AN F Gọi Q là giao điểm BE và CF Chứng minh AQ song song với Bx và (QMN) chứa đường thẳng cố định M, N thay đổi E thuộc đoạn AM và EM = Bài 10.34 : Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình bình hành Gọi M, N, P, Q là các điểm nằm trên BC, S C, S D, AD cho MN ∥ BS , NP ∥ CD, MQ ∥ CD Download tài li u h c t p t i : http://aotrangtb.com Lop12.net Trang 196 (7) CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC Chứng minh PQ ∥ S A Gọi K là giao điểm MN và PQ, chứng minh S K ∥ AD Qua Q dựng các đường thẳng Qx ∥ S C và Qy ∥ S B Tìm giao điểm Qx với (S AB) và Qy với (S CD) Bài 10.35 : Cho hình chóp S ABCD đáy là hình thang, các cạnh đáy AD = a, BC = b I, J là trọng tâm các tam giác S AD, S BC Tìm đoạn giao tuyến (ADJ) với mặt phẳng (S BC) và đoạn giao tuyến (BCI) với mặt phẳng (S AD) Tính độ dài đoạn giao tuyến hai mặt phẳng (ADJ) và (BCI) giới hạn hai mặt phẳng (S AB) và (S CD) Bài 10.36 : Cho tứ diện ABCD có tất các cạnh a I, J là trung điểm AC, BC Gọi K là điểm trên cạnh BD với KB = 2KD Xác định thiết diện tứ diện với mặt phẳng (I JK) Chứng minh thiết diện là hình thang cân Tính diện tích thiết diện theo a Bài 10.37 : Cho hình chóp S ABCD, đáy là hình vuông cạnh a, tâm O, mặt bên S AB là tam giác đều, SÔ AD = 900 Gọi Dx là đường thẳng qua D và song song với S C Tìm giao điểm I Dx và mặt phẳng (S AB) Chứng minh AI ∥ S B Tìm thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng (AIC) Tính diện tích thiết diện 10.3 Đường thẳng và mặt phẳng song song Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng ; tìm giao tuyến hai mặt phẳng, dựng thiết diện song song với đường thẳng ; dựng mặt phẳng chứa đường thẳng và song song với đường thẳng khác, xác định giao điểm đường thẳng với mặt phẳng ; dựng mặt phẳng qua điểm M và song song với hai đường thẳng chéo a và b Vấn đề : Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng Dùng định nghĩa (thường là phản chứng) Dùng tiêu chuẩn : Nếu đường thẳng d không nằm trên mặt phẳng (α) và song song với đường thẳng a nào đó nằm trên (α) thì đường thẳng d song song với mặt phẳng (α) Chú ý : Nếu a không có sẵn ta thường chọn mặt phẳng (β) chứa d và lấy a là giao tuyến (α) và (β) Bài 10.38 : Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm mặt phẳng Gọi O, O′ là tâm các hình bình hành ABCD và ABEF; G1 , G2 là trọng tâm tam giác ABD và ABE Chứng minh : OO′ song song với mặt phẳng (ADF) và (BCE) ; G1G2 song song với mặt phẳng (CEF) Vấn đề : Tìm giao tuyến hai mặt phẳng Dựng thiết diện song song với đường thẳng Ta có thể dùng định lí sau : Cho đường thẳng d ∥ (α) Nếu d ⊂ (β) và (α) ∩ (β) = d ′ thì d′ ∥ d Lop12.net TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 197 (8) CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC Bài 10.39 : Cho hình chóp S ABCD M, N là hai điểm trên AB, CD và (α) là mặt phẳng qua MN và song song với S A Tìm các giao tuyến (α) với (S AB) và (S AC) Xác định thiết diện hình chóp với (α) Tìm điều kiện MN để thiết diện là hình thang Bài 10.40 : Cho hình lăng trụ ABC.A′ B′C ′ , đáy là tam giác cạnh a Các mặt bên ABB′ A′ , ACC ′ A′ là các hình vuông Gọi I, J là tâm các mặt bên nói trên và O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Chứng minh I J ∥ (ABC) Xác định thiết diện lăng trụ với mặt phẳng (OI J) Chứng minh thiết diện là hình thang cân và tính diện tích thiết diện Bài 10.41 : Cho hình chóp S ABCD, đáy là hình bình hành tâm O Gọi M, N là trung điểm S A và CD Chứng minh (OMN) ∥ (S BC) ; Gọi AE, AF là các đường phân giác các tam giác ACD và S AB Gọi I là trung điểm S E, J là điểm trên (ABCD) và cách AB và CD Chứng minh IJ ∥ (S AB) Giả sử hai tam giác S AD, ABC cân A Chứng minh EF ∥ (S AD) Vấn đề : Dựng mặt phẳng chứa đường thẳng và song song với đường thẳng khác Xác định giao điểm đường thẳng với mặt phẳng Cho a, b chéo Ta dựng mặt phẳng (P) chứa a và b ∥ (P) sau : Cách : Xét đường thẳng c cắt a và c ∥ b Khi đó (P) là mặt phẳng chứa a và c Cách : Xét mặt phẳng (Q) chứa b, (R) chứa a Ta có (R) ∩ (P) = a, (Q) ∩ (R) = c và giả sử c ∩ a = {M} thì (P) ∩ (Q) là đường thẳng d qua M và song song với b Vậy (P) là mặt phẳng chứa a và d Bài 10.42 : Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình bình hành Gọi M là điểm nằm hai điểm S và C ; (α) là mặt phẳng chứa AM và song song với BD Hãy xác định các giao điểm E, F mặt phẳng (α) với các cạnh S B, S D Gọi I là giao điểm ME và CB, J là giao điểm MF và CD Chứng minh ba điểm I, A, J thẳng hàng Bài 10.43 : Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Hãy xác định thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng qua trung điểm M AB, song song với các đường thẳng BD và S A Bài 10.44 : Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình bình hành Gọi M, N là trung điểm các cạnh AB, CD Chứng minh MN song song với (S BC) và (S AD) ; Gọi P là trung điểm S A Chứng minh S B và S C song song với mặt phẳng (MNP) Gọi G1 , G2 là trọng tâm các tam giác ABC và S BC Chứng minh G1G2 song song với mặt phẳng (S AB) Bài 10.45 : Cho hình chóp S ABCD, đáy là hình thang với các cạnh đáy AB, CD Gọi I, J là trung điểm AD, BC và G là trọng tâm tam giác S AB Tìm giao tuyến cặp mặt phẳng (S AB) và (IJG) ; Xác định thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng (I JG) Tìm điều kiện AB, CD để thiết diện là hình bình hành Download tài li u h c t p t i : http://aotrangtb.com Lop12.net Trang 198 (9) CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC Bài 10.46 : Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình bình hành Gọi I, J là trọng tâm các tam giác S AB và S AD, M là trung điểm CD Xác định thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng (I JM) Bài 10.47 : Cho hình chóp S ABCD Gọi M, N là hai điểm trên AB, CD; (α) là mặt phẳng qua M và song song với S A Tìm giao tuyến (α) với các mặt phẳng (S AB) và (S AC) Xác định thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng (α); Tìm điều kiện MN để thiết diện là hình thang Bài 10.48 : Cho lăng trụ ABC.A′ B′C ′ Gọi H là trung điểm A′ B′ Chứng minh CB′ song song với mặt phẳng (AHC ′ ); Tìm giao điểm AC ′ với (BCH); Mặt phẳng (α) qua trung điểm CC ′ , song song với AH và CB′ Xác định thiết diện và tỉ số mà các đỉnh thiết diện chia các cạnh tương ứng lăng trụ 10.4 Hai mặt phẳng song song Chứng minh hai mặt phẳng song song ; tìm giao tuyến hai mặt phẳng, thiết diện cắt mặt phẳng song song với mặt phẳng cho trước Vấn đề : Chứng minh hai mặt phẳng song song Dùng định nghĩa (thường là phản chứng) Chứng minh chúng cùng song song với mặt phẳng thứ ba Dùng tiêu chuẩn : Nếu mặt phẳng (α) chứa hai đường thẳng a và b cắt và hai đường thẳng này cùng song song với mặt phẳng (β) cho trước thì hai mặt phẳng (α) và (β) song song với Bài 10.49 : Cho hình chóp S ABCD đáy là hình bình hành tâm O Gọi M, N là trung điểm S A, S D Chứng minh (OMN) song song với (S BC) Gọi P là trung điểm AB, Q trên đoạn ON cho OQ = 3ON Chứng minh PQ ∥ (S BC) Vấn đề : Tìm giao tuyến hai mặt phẳng Thiết diện cắt mặt phẳng song song với mặt phẳng cho trước Chúng ta thường dùng định lí : Nếu hai mặt phẳng (α) và (β) song song thì mặt phẳng (γ) đã cắt (α) phải cắt (β) và các giao tuyến chúng song Bài 10.50 : Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình bình hành tâm O với AC = a, BD = b, tam giác S BD Một mặt phẳng (α) di động song song với mặt phẳng (S BD) và qua điểm I trên đoạn AC khác A và C Xác định thiết diện hình chóp với mặt phẳng (α) Lop12.net Download tài li u h c t p t i : http://aotrangtb.com Trang 199 (10) CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC Tính diện tích thiết diện theo a, b và x = AI Bài 10.51 : Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình bình hành tâm O Gọi M, N là trung điểm S A, S D Chứng minh (OMN) ∥ (S BC) ; Gọi P, Q là trung điểm AB và ON Chứng minh PQ ∥ (S BC) Bài 10.52 : Cho tứ diện ABCD, gọi G1 , G2 , G3 là trọng tâm các tam giác ABC, ACD, ADB Chứng minh (G1G2G3 ) ∥ (BCD) Tìm thiết diện tứ diện ABCD với mặt phẳng (G1G2G3 ) Tính diện tích thiết diện, biết diện tích tam giác là s M là điểm di động tứ diện cho G1 M luôn song song với mặt phẳng (ACD) Tìm tập hợp điểm M Download tài li u h c t p t i : http://aotrangtb.com TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Lop12.net Trang 200 (11) Chương 11 Vectơ không gian Quan hệ vuông góc Download tài li u h c t p t i : http://aotrangtb.com Sau học xong chương này, học sinh cần biết : Để có hai đường thẳng d và d′ vuông góc, có thể chứng minh : −u → −v = 0, đó → −u và → −v là vectơ phương d và d′ •→ • Góc chúng 90◦ • d song song với đường thẳng ∆, còn d′ vuông góc với ∆ (∆ là đường thẳng nào đó) • d⊥(α) mà (α) chứa d′ , d′ ⊥(β) mà (β) chứa d • Khi d và d′ cắt nhau, có thể sử dụng các phương pháp hình học phẳng trung tuyến tam giác cân, định lí đảo định lí Pytago, Để có đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (α), có thể chứng minh : • d vuông góc với hai đường thẳng cắt (α) • d ∥ d′ mà d′ ⊥(α) • d⊥(β) mà (β) ∥ (α) • d là trục tam giác ABC nằm trên mặt phẳng (α) (nghĩa là chứng minh d chứa hai điểm cách A, B, C) • d là giao tuyến hai mặt phẳng cùng vuông góc với (α) • Sử dụng tính chất hai mặt phẳng vuông góc : (α)⊥(β) mà d nằm (β) và d vuông góc với giao tuyến (β) và (α) thì d⊥(α) Để có hai mặt phẳng vuông góc, có thể chứng minh : • Góc chúng 90◦ • Mặt phẳng này chứa đường thẳng vuông góc với mặt phẳng • Mặt phẳng này vuông góc với mặt phẳng song song với mặt phẳng Ngoài ra, chúng ta cần biết xác định góc, xác định khoảng cách các yếu tố Hệ thức lượng tam giác vuông Cho tam giác ABC vuông A, AH, AM tương ứng là đường cao, trung tuyến xuất phát từ A A B C H M Lop12.net 201 (12)