Thành thử các điểm trên Oy từ đó có thể đ−ợc ít nhất một tiếp tuyến đến đồ thị C là các điểm có tung độ b ≥ −1... Khi đó cặp đỷờng thẳng D và D’ trùng với cặp hệ trục tọa độ..[r]
(1)http://kinhhoa.violet.vn C©u I 1) Khảo sát sỷồ biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số y = x2 - x + x - 2) Tìm trên trục Oy các điểm từ đó có thể kẻ đỷợc ít tiếp tuyến đến đồ thị (C) 3) Xác định a để đồ thị (C) tiếp xúc với parabol y = x2 + a C©u II Cho hÖ phû¬ng tr×nh x + y + xy = m 2 x + y = m 1) Gi¶i hÖ víi m = 2) Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× hÖ cã nghiÖm? C©u III 1) Cho bÊt phû¬ng tr×nh x2 + 2x(cosy + siny) + ≥ Tìm x để bất phỷơng trình đ ợc nghiệm đúng với y 2) Gi¶i phû¬ng tr×nh lûîng gi¸c sin x(tgx + 1) = 3sinx(cosx - sinx) + C©u IVa Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Đềcác vuông góc, cho elip E) : x2 y2 = 1, + Lop12.net (2) vµ hai ®ûêng th¼ng (D) : ax - by = 0, (D’) : bx + ay = 0, víi a2 + b2 > 1) Xác định các giao điểm M, N (D) với (E), và các giao điểm P, Q (D’) với (E) 2) TÝnh theo a, b diÖn tÝch tûá gi¸c MPNQ 3) Tìm điều kiện a, b, để diện tích lớn 4) Tìm điều kiện a, b, để diện tích nhỏ C©u IVb Trong mÆt ph¼ng (P) cho tam gi¸c ABC víi c¶ ba gãc nhän Trªn ®ûêng th¼ng (d) vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng (P) t¹i A, lÊy mét ®iÓm M Dûång BN⊥CM , BH⊥CM §ûêng th¼ng KH c¾t (d) t¹i N 1) Chûáng minh : BN⊥CM 2) Chûáng minh : BM⊥CN 3) H·y chØ c¸ch dûång ®iÓm M trªn (d) cho ®o¹n MN ng¾n nhÊt Lop12.net (3) _ C©u 1) Bạn đọc tự giải nhé! 2) LÊy A(0, b) lµ mét ®iÓm trªn Oy §−êng th¼ng qua A, víi hÖ sè gãc k cã ph−¬ng tr×nh : y = kx + b Ta cã y = x2 − x + 1 =x+ ; y' = − x −1 x −1 (x − 1)2 Hoành độ tiếp điểm đ−ờng thẳng y = kx + b với đồ thị (C) là nghiệm hệ x + x − = kx + b 1 − =k (x − 1)2 ⇒ x+ 1 = 1 − x+ b x − (x − 1)2 ⇒ bx2 − 2(1 + b)x + (1 + b) = (1) y b = : (1) trë thµnh −2x + = ⇔ x = y b ≠ : (1) cã nghiÖm ∆ ' = (1 + b)2 − b(1 + b) ≥ ⇔ b ≥ −1 (b ≠ 0) Thành thử các điểm trên Oy từ đó có thể đ−ợc ít tiếp tuyến đến đồ thị (C) là các điểm có tung độ b ≥ −1 3) Hoành độ tiếp điểm parabol y = x2 + a với đồ thị (C) là nghiệm hệ : x + x − = x + a o 1 − = 2x (x − 1)2 Tõ ph−¬ng tr×nh thø hai, suy : x(2x2 − 5x + 4) = ⇒ x = Thay vµo ph−¬ng tr×nh ®Çu th× ®−îc a = - Câu II Đặt S = x + y, P = xy, ta đến hệ : S + P = m S − 2P = m 1) Víi m = ta ®−îc : S + P = S − 2P = ⇒ P=5−S ⇒ S2 + 2S − 15 = ⇒ S = −5, S = Với S = −5, ta có P = 10, loại vì điều kiện S2 ≥ 4P không đ−ợc nghiệm đúng x = 2, y = 1, Víi S = 3, ta cã P = vµ ®−îc x = y = 2) Trong tr−êng hîp tæng qu¸t, P = m - S ⇒ S2 + 2S − 3m = Lop12.net (4) _ §Ó ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm, cÇn ph¶i cã : ∆ ' = + 3m ≥ ⇒ m ≥ − Khi đó gọi S1 và S2 là các nghiệm : S1 = −1 − + 3m , S2 = −1 + + 3m a) Víi S = S1 ⇒ P = m − S1 , ®iÒu kiÖn S2 ≥ 4P trë thµnh (1 + + 3m)2 ≥ 4(m + + + 3m) ⇒ −(m + 2) ≥ + 3m , kh«ng ®−îc nghiÖm v× m ≥ − ⇒ m + > b) Víi S = S2 ⇒ P = m − S2 , ®iÒu kiÖn S2 ≥ 4P trë thµnh : (−1 + + 3m)2 ≥ 4(m + − + 3m) ⇒ + 3m ≥ m + Vì m + > 0, có thể bình ph−ơng hai vế bất ph−ơng trình này và đến ≥ m2 − 8m ⇒ ≤ m ≤ Cïng víi m ≥ − suy đáp số : ≤ m ≤ C©u III 1) HiÓn nhiªn víi x = bÊt ph−¬ng tr×nh ®−îc nghiÖm víi mäi y XÐt x > ⇒ cosy + sin y ≥ − + x2 2x Hµm f (y) = cosy + siny cã gi¸ trÞ lín nhÊt b»ng − 2≥− , gi¸ trÞ nhá nhÊt b»ng − , vËy ph¶i cã : 1+ x ⇒ x2 − 2x + ≥ ⇒ 2x ⇒ < x ≤ −1, x ≥ +1 XÐt x < ⇒ cosy + sin y ≤ − 1+ x ⇒ 2x ⇒ 2≤− + x2 ⇒ x2 + 2x + ≥ ⇒ x ≤ − − , 2x − +1≤ x < Tãm l¹i c¸c gi¸ trÞ ph¶i t×m lµ : x ≤ − − , − + ≤ x ≤ − 1, | x | ≥ +1 , | x | ≤ −1 hay : 2) §iÒu kiÖn : x ≠ +1≤ x π + kπ ( k ∈ Z) Chia hai vÕ cho cos2 x ta ®−îc ph−¬ng tr×nh t−¬ng ®−¬ng : tg2 x(tgx + 1) = 3tgx(1 − tgx) + 3(1 + tg2 x) ⇔ tg2 x(tgx + 1) − 3(tgx + 1) = ⇔ (tgx + 1)(tg2 x − 3) = tgx = −1 ⇔ tgx = ± π x = − + kπ ⇔ x = ± π + kπ ( k ∈ Z) Lop12.net (5) Câu IVa Cần để ý các đỷờng thẳng (D), (D’) vuông góc với và chúng có phỷơng trình tham số x = at' (D’) : y = −bt' x = bt (D) : y = at 1) Thay biÓu thøc cña (D) vµo phû¬ng tr×nh cña (E), ta ®ûîc c¸c gi¸ trÞ cña tham sè t øng víi c¸c giao ®iÓm M, N Tõ đó suy chẳng hạn (do có trao đổi vai trò M, N): M 6b 9a + 4b , , N 9a + 4b ,- , Q 4a + 9b 6a 6b 9a + 4b ,- 2 9a + 4b , 2 4a + 9b 6a Tû¬ng tù: P 6a 4a + 9b 6b 6a 4a + 9b 6b 2) Tø gi¸c MPNQ lµ h×nh thoi, víi diÖn tÝch 72(a + b ) S = 2OM.OP = (9a + 4b )(4a + 9b ) (1) 3) Để ý các phỷơng trình (D) và (D’) có dạng (hay đẳng cấp) a, b, tức là thay cho a và b, ta viết ka và kb với k Do vậy, có thể coi a + b = Khi đó (1) trở thành S= 72 2 (4 + 5a )(4 + 5b ) = 72 36 + 25a b ≤ 72 = 12, dấu = có thể xảy ab = 0, tức là a = b = (Khi đó cặp đỷờng thẳng (D) và (D’) trùng với cặp hệ trục tọa độ) 4) VÉn víi gi¶ thiÕt a + b = 1, theo trªn ta cã S= 72 36 + 25a b Lop12.net (6) V× 2|ab| £ a + b = suy a b £ , dÊu = chØ x¶y |a| = |b|, vËy S ³ 72 36 + 25 = 144 , 13 144 , x¶y |a| = |b|, tøc lµ cÆp ®ûêng th¼ng (D), (D’) lµ cÆp c¸c ph©n gi¸c y ⊄ x = cña hÖ 13 trục tọa độ Oxy suy S = C©u IVb (H×nh bªn) 1) BK ⊥ AC, BK ⊥ AM ÞBK⊥(ACM)ÞBK⊥CM Cïng víi BH ⊥ CM, suy (BKH) ⊥ CM Þ BN ⊥ CM 2) Do (BKH) ⊥ CM Þ KH ⊥ CM VËy K lµ trùc t©m tam gi¸c CMN, vµ ta ®ûîc MK ⊥ CN Cïng víi BK ⊥ CN Þ (BMK)⊥ CN Þ BM ⊥ CN 3) V× K lµ trùc t©m tam gi¸c CMN, nªn AM.AN = AK.AC Vậy M di chuyển trên d, tích AM.AN không đổi ị MN = = AM + AN nhỏ AM = AN Khi đó AM = AK.AC, AM là đỷờng cao tam giác vuông CMK’, cạnh huyền CK’, K’ là điểm đối xứng K qua A Lop12.net (7) http://kinhhoa.violet.vn _ C©u I 1) Gi¶ sö phû¬ng tr×nh x2 + ax + b = cã nghiÖm x1 vµ x2, phû¬ng tr×nh x2 + cx + d = cã nghiÖm x3 vµ x4 Chûáng tá r»ng 2(x1 + x3)(x1 + x4)(x2 + x3)(x2 + x4) = = 2(b - d)2 - (a2 - c2)(b - d) + (a + c)2(b + d) 2) a, b, c lµ sè tïy ý thuéc ®o¹n [0 ; 1] Chûáng minh : a b c + + + (1 - a)(1 - b)(1 - c) ≤ b + c +1 a + c +1 a + b +1 C©u II 1) Gi¶i phû¬ng tr×nh sin3x + cos3x = - sin4x 2) k, l, m là độ dài các trung tuyến tam giác ABC, R là bán kính đỷờng tròn ngoại tiếp tam giác đó Chứng minh r»ng k+l+m≤ 9R C©u III Trên mặt phẳng tọa độ cho điểm A(3, 0) và parabol (P) có phỷơng trình y = x2 1) M là điểm thuộc parabol (P), có hoành độ xM = a Tính độ dài đoạn AM, xác định a để AM ngắn nhÊt 2) Chûáng tá r»ng nÕu ®o¹n AM ng¾n nhÊt, th× AM vu«ng gãc víi tiÕp tuyÕn t¹i M cña parabol (P) C©u IVa Cho hai sè nguyªn dû¬ng p vµ q kh¸c 2π TÝnh tÝch ph©n I = ∫ cospx cosqx dx Lop12.net (8) _ C©u Va Cho hai ®ûêng trßn (C1) x2 + y2 - 6x + = 0, (C2) x2 + y2 - 12x - 6y + 44 = Xác định phỷơng trình các đÛờng thẳng tiếp xúc với đỷờng tròn trên Câu IVb Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi với các đỷờng chéo AC = 4a, BD = 2a, chúng cắt t¹i O §ûêng cao cña h×nh chãp lµ SO = h MÆt ph¼ng qua A, vu«ng gãc víi SC, c¾t SB, SC, SD lÇn lûúåt t¹i B’, C’, D’ 1) Xác định h để B’C’D’ là tam giác 2) TÝnh b¸n kÝnh r cña h×nh cÇu néi tiÕp h×nh chãp theo a vµ h C©u Vb Hai gãc nhän A, B cña tam gi¸c ABC tháa m·n ®iÒu kiÖn tg2A + tg2B = 2tg2 A+B Chûáng tá r»ng ABC lµ mét tam gi¸c c©n Lop12.net (9) C©u I 1) §Æt A = (x + x )(x + x )(x + x )(x + x ) Ta cã (x1 + x3)(x1 + x4) = x12 + x1 (x + x ) + x x = -(ax1 + b) - cx1 + d = (d - b) - (a +c)x1, (x + x )(x + x ) = (d - b) - (a + c)x , đó A = [(d - b) - (a + c)x ][(d - b) - (a + c)x ] = (d - b) + (a + c)(b - d)(x + x ) + (a + c) x x = = (b - d)2 - (a + c)(b - d)a + (a + c)2b Vai trß hai phû¬ng tr×nh lµ nhû biÓu thøc cña A, nªn ta còng cã: A = (b - d) - (a + c)(b - d)a + (a + c) b Céng hai biÓu thøc nµy cña A th× suy kÕt qu¶ 2) Không giảm tổng quát có thể xem a Ê b Ê c đó theo bđt Côsi ta có a + b + + - a + - b = (a + b + 1)(1 - a)(1 - b) £ Suy (1 - a)(1 - b) £ 1 - c Þ (1 - a)(1 - b)(1 - c) £ a + b + a + b + a b c + + + (1 - a)(1 - b)(1 - c) ≤ b + c +1 a + c +1 a + b +1 a b c - c £ + + + = a + b +1 a + b +1 a + b +1 a + b +1 Từ đó C©u II 1) Ta cã sin x + cos x £ sin x + cos x = 1, - sin x ³ Vậy dấu = có thể xảy ta có đồng thời sin x + cos x = π Û sinx = Þ x = + 2kπ (k Î Z) − sin x = 2) Giả sử k, l, m là độ dài các trung tuyến kẻ từ các đỉnh A, B, C thì Lop12.net (10) 2k2 + a2 = b2 + c2 , b2 2l + = a + c2 , 2 Þ k2 + l2 + m2 = (a2 + b2 + c2) c2 2m + = a2 + b2 2 MÆt kh¸c a + b + c = 4R (sin A + sin B + sin C), 4sin A + 4sin B + 4sin C = 2(1 - cos2A) + 2(1 - cos2B) + 4(1 - cos C) = = + 4cosCcos(A - B) - 4cos C = + cos (A - B) - [2cosC - cos(A - B)] £ 9, suy ra: k + l2 + m2 9R ≤ k + l + m 9R 9R k + l + m Nh vËy: Þk+l+m£ ≤ ≤ 3 Câu III 1) Vì M thuộc P, nên M có tung độ a , AM = (x M - x A ) + (y M - y A ) = a + (a - 3) Hàm f(a) =a + (a - 3) có đạo hàm f’(a) = 4a + 2(a - 3) = 2(a - 1)(2a + 2a + 3), suy a = 1, f(a) đạt giá trị nhỏ Vậy đoạn AM ngắn M ƒ M (1 , 1) 2) Víi M (1 , 1) ®ûêng th¼ng AM cã hÖ sè gãc y - yA k= M = - xM - xA V× P cã phû¬ng tr×nh y = x Þ y’ = 2x, nªn t¹i M tiÕp tuyÕn cña P cã hÖ sè gãc k’ = 2, suy tiÕp tuyÕn Êy vu«ng gãc víi ®ûêng th¼ng AM Lop12.net (11) _ C©u IVa XÐt hai tr−êng hîp sau : a) p = q : I = ∫ 2π o = cos2 pxdx 2π 1 sin 2px (1 + cos2px)dx = x + o 2 2p 2π ∫ b) p ≠ q : I= o =π 2π [cos(p + q)x + cos(p − q)x]dx o ∫ sin(p + q)x sin(p − q)x = + 2 p+q p−q 2π o =0 C©u Va Ph−¬ng tr×nh (C1 ) vµ (C2 ) lÇn l−ît ®−îc viÕt l¹i d−íi d¹ng : (C1 : (x − 3)2 + y2 = 22 , (C2 ) : (x − 6)2 + (y − 3)2 = 12 VËy (C1 ) cã t©m I1 (3, 0) , b¸n kÝnh R1 = , (C2 ) cã t©m I (6, 3) , b¸n kÝnh R2 = Ta t×m ®−êng th¼ng tiÕp xóc víi (C1 ) vµ (C2 ) d−íi d¹ng x = m Tõ ®iÒu kiÖn tiÕp xóc ta cã hÖ : | − m |= | − m |= ⇒ m = Vậy đ−ờng thẳng đúng x = là đ−ờng thẳng tiếp xúc với (C1 ) và (C2 ) Mọi đ−ờng thẳng tiếp xúc với (C1 ) và (C2 ) khác với đ−ờng thẳng đứng có dạng ax − y + b = Theo ®iÒu kiÖn tiÕp xóc, ta cã 3a + b =2 a + 6a − + b =1 a + (3a + b)2 = 4(a + 1) ⇒ | 3a + b |= | 6a − + b | (3a + b)2 = 4(a + 1) ⇔ hoÆc 3a + b = 2(6a − + b) (3a + b)2 = 4(a + 1) 3a + b = −2(6a − + b) −33 − 17 + 17 , b= a = 8 −33 + 17 − 17 ⇔ a = , b= 8 a = 0, b = VËy ph−¬ng tr×nh c¸c ®−êng th¼ng tiÕp xóc víi hai ®−êng trßn (C1 ) , (C2 ) tr−êng hîp nµy lµ : Lop12.net (12) _ + 17 33 + 17 x− , 8 − 17 33 − 17 (d2 ) : y = x− 8 (d3 ) : y = Tãm l¹i, ta cã ®−êng th¼ng tiÕp xóc víi (C1 ) vµ (C2 ) lµ (d1 ),(d2 ),(d3 ) vµ x = (d1 ) : y = C©u IVb 1) AC'là đ−ờng cao tam giác cân SAC, đó để C' thuộc đoạn SC, S phải là góc nhọn, muèn vËy ph¶i cã OC < SO ⇒ h > 2a Tø gi¸c AB'C'D' cã c¸c ®−êng chÐo AC' vµ B'D' vu«ng gãc víi Gäi K lµ giao ®iÓm c¸c ®−êng chÐo Êy Ta cã : 4ah = 2dt(SAC) = AC'.SC = AC' h2 + 4a ⇒ ⇒ AC' = 4ah h + 4a MÆt ph¼ng (AB'C'D') c¾t BC t¹i B1 víi AB1 // BD , AB1 = 2a Nếu B'C'D' là tam giác thì B'KC' là nửa tam giác đều, B1AC' là nửa tam giác đều, suy : 4ah h + 4a = AC' = AB1 = 2a ⇒ h = 2a Khi đó SO = h = 3OA , suy SAC là tam giác đều, C' là trung ®iÓm cña SC 2) H×nh chãp S.ABCD cã thÓ tÝch : V = SO.dt(ABCD) = 3 Tam giác SAB có cạnh AB = a và đ−ờng cao hạ từ đỉnh S SH = đó có diện tích s = 4a + 5h2 , a 4a + 5h2 Từ đó suy diện tích toàn phần hình chóp S.ABCD : S = 4s + dt (ABCD) = 4a + 2a 4a + 5h2 , thµnh thö : r= 3V 2ah = S 2a + 4a + 5h2 C©u Vb Tr−íc hÕt ta h·y chøng minh r»ng : 2tg A+B ≤ tgA + tgB dÊu = chØ x¶y A = B Qu¶ vËy : tgA + tgB = sin(A + B) 2sin(A + B) = ≥ cosA cosB cos(A + B) + cos(A − B) Lop12.net (13) _ 2sin(A + B) ≥ = cos(A + B) + A+B A+B cos 2 = 2tg A + B + A B 2 cos2 4sin Để ý kết này đúng với giả thiết A, B là góc nhọn, vì đó : < 2cosA cosB = cos (A + B) + cos (A − B) ≤ cos (A + B) + Trë vÒ víi ®iÒu kiÖn cña bµi to¸n : tg2 A + tg2 B = 2tg2 A+B ≤ (tgA + tgB)2 ⇒ 2 ⇒ (tgA − tgB)2 ≤ ⇒ tgA = tgB ⇒ A = B Lop12.net (14) http://kinhhoa.violet.vn _ C©u I Cho m lµ mét sè nguyªn dû¬ng, h·y t×m cûåc trÞ cña hµm sè y = xm(4 - x)2 Khảo sát sỷồ biến thiên và vẽ đồ thị hàm số m = C©u II 1) ABC là tam giác bất kì Chỷỏng minh với số x ta có 1+ x ³ cosA + x(cosB + cosC) 2) Gi¶i phû¬ng tr×nh cosx + 10 1 = + sinx + sinx cosx C©u III 1) Gi¶i vµ biÖn luËn theo a, b phû¬ng tr×nh ax + b x- b = x- a x+a 2) Cho sè a, b, c tháa m·n ®iÒu kiÖn a2 + b2 + c2 = Chûáng minh r»ng: abc + 2(1 + a + b + c + ab + ac + bc) ≥ C©u IVa 1) Chûáng tá r»ng hµm sè F(x) = x − ln(1 + x ) lµ mét nguyªn hµm trªn R cña hµm sè f(x) = x + | x| Lop12.net (15) _ 2) TÝnh tÝch ph©n e I=∫ xln xdx Câu IVb Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Gọi K là trung điểm cạnh SC Mặt ph¼ng qua AK c¾t c¸c c¹nh SB, SD lÇn lûúåt t¹i M vµ N Chøng minh: 1) 2) SB SD =3; + SM SN V1 £ , £ V đó V là thể tích hình chóp S.ABCD, V1 là thể tích hình chóp S.AMKN Lop12.net (16) _ C©u I 1) y' = mx m−1(4 − x)2 − 2(4 − x)x m = = x m −1 (4 − x)[4m − (m + 2)x] a) Xét tr−ờng hợp m ≥ Khi đó ph−ơng trình y' = có ba nghiệm x1 = , x2 = x3 = NÕu m − ch½n (tøc m = 3, 5, 7, ) th× y' sÏ cïng dÊu víi (4 − x) [4m − (m + 2)x] và đó : y (4) = và y max (x2 ) = m m 4m + (m + 2)m +2 = M NÕu m - lÎ (tøc m = 2, 4, 6, ) th× dÊu cña y' lµ dÊu cña x(4 − x)[4m − (m + 2) x] LËp b¶ng xÐt dÊu sÏ cã kÕt qu¶ y (0) = ; y max (x2 ) = M , y (4) = b) Đề nghị bạn đọc tự làm cho tr−ờng hợp m = (y = x(4 − x)2 ) 2) Khảo sát, vẽ đồ thị hàm số y = x(4 − x)2 dành cho bạn đọc C©u II 1) x2 − 2(cosB + cosC)x + 2(1 − cosA) ≥ (1) ∆ ' = (cosB + cosC)2 − 2(1 − cosA) = C+ B B−C A cos = cos2 − 4sin2 = 2 A B−C = 4sin2 cos2 − 1 ≤ 2 Vậy (1) đúng với x sin x + cosx 10 = sin x cosx §Æt t = cosx + sin x(− ≤ t ≤ 2) (2) 2) cosx + sin x + th× t = + 2sin x cosx vµ ta ®−îc t + §Æt ®iÒu kiÖn t ≠ ±1 sÏ tíi 2t 10 t2 − = 3t − 10t + 3t + 10 = tøc lµ : + a + b + c + ab + ac + bc ≥ (2) Céng (1) vµ (2) ta cã : abc + (1 + a + b + c + ac + bc + ac) ≥ (t − 2)(3t − 4t − 5) = hay Ph−¬ng tr×nh nµy cã ba nghiÖm t1 = ; t = − 19 + 19 ; t3 = 3 Lop12.net 4m vµ m+2 (17) _ ChØ cã t lµ thÝch hîp Thay vµo (2) ta cã ph−¬ng tr×nh π − 19 cos x − = 4 §Æt cos α = − 19 th× ®−îc hai hä nghiÖm : x1 = π π + α + 2kπ ; x2 = − α + 2mπ 4 C©u III 1) Đặt điều kiện x - a ≠ ; x + a ≠ thì (1) đ−ợc biến đổi dạng : x[a − 1)x + a + a + 2b] = (2) Với ∀a, b (2) có nghiệm x1 = Gi¶i (a − 1)x + a + a + 2b = NÕu a ≠ cã nghiÖm x2 = a + a + 2b 1− a NÕu a = ta cã : 0x = − 2(1 + b) (3) Với b ≠ − thì (3) vô nghiệm ; với b = -1 thì (3) nghiệm đúng với ∀x Kiểm tra x2 có thỏa m·n ®iÒu kiÖn x2 ≠ ±a ? x2 ≠ a ⇔ a + a + 2b ≠ a ⇔ a + a + 2b ≠ 1− a ≠ a − a ⇔ 2(a + b) ≠ ⇔ b ≠ −a x ≠ −a ⇔ a + a + 2b ≠ −a ⇔ a + a + 2b ≠ a − a ⇔ b ≠ −a 1− a KÕt luËn : víi b ≠ −1 , (1) cã nghiÖm nhÊt x1 = NÕu a = th× : víi b = − 1, (1) cã nghiÖm lµ ∀x ≠ ± NÕu a ≠ ; th× : víi b ≠ −a , b ≠ - a, (1) cã hai nghiÖm x1 = 0, a + a + 2b x = 1− a víi b = −a hoÆc b = - a th× (1) cã mét nghiÖm x1 = NÕu a = th× (1) cã mét nghiÖm x2 = 2b nÕu b ≠ ; (1) sÏ v« nghiÖm nÕu b = 2) V× a + b2 + c2 = nªn - ≤ a, b, c ≤ Do đó + a ≥ , + b ≥ 0, + c ≥ ⇒ (1 + a) (1 + b) (1 + c) ≥ ⇒ ⇒ + a + b + c + ab + ac + bc + abc ≥ (1) MÆt kh¸c : a + b2 + c2 + a + b + c + ab + ac + bc = (1 + a + b + c)2 ≥0, Lop12.net (18) C©u IVa 1) Víi x > ta cã F(x) = x - ln(1 + x) Þ F’(x) = - x ; = + x + x víi x < ta cã F(x) = - x - ln(1 - x) Þ F’(x) = - + x = - x - x Từ đó suy với x F’(x) = x + | x| Ta chØ cßn ph¶i chøng minh r»ng F’(0) = Qu¶ vËy 1 (F( ∆x) - F(0)) = lim ∆ x → ∆x → ∆x ∆x ln(1 + x) ∆ = lim 1 = 0, ∆x →0 ∆x F’(0) = lim v× lim ∆x → ( ∆x - ln(1 + ∆x)) = ln(1 + ∆x) = ∆x e 2) I = ∫ xln2xdx u = ln x §æt dv = xdx ⇒ ln x = dx du x v = x 2, e suy I = x ln x 1 e ∫ e e2 xlnxdx = - J, víi J = ∫ xlnxdx Để tính J, đặt du = ux ln u x = x ⇒ dv = xdx v = Lop12.net (19) suy J = e e e2 x ln x − ∫1 xdx = − 2 2 4( e − 1) VËy I = (e2 - 1) C©u Ivb 1) V× K lµ trung®iÓm cña SC, nªn theo h×nhbªn, tam gi¸c SAC, SO vµ AK lµ hai ®ûêng trungtuyÕn c¾t t¹i trängt©m H, vËy SH = SO Theo h×nh bªn , ta cã dt(SNH) = SN SH dt(SDO) = SD SO = SN SH SM dt(SDB),dt(SHM) = dt(SOB) SD SO SB = SM dt (SDB) SB §ång thêi dt(SNH) + dt(SHM) = dt(SNM) = Tõ c¸c hÖ thøc trªn, suy Û SN SM dt(SDB) SD SB SN SM SN SM + = SD SB SD SD SB SD + = SM SN SM SN 2) §Æt = y, theo hÖ thøc trªn ta cã + = x, = §ång thêi, ý nghÜa h×nh häc, ph¶i cã < x £ 1, SB x SD y < y £ V× x , ⇒ y = = y x 3x - x nªn < ≤ 3x - 1 Þ ≤ x ≤ 0<x£1 Lop12.net (20) Ta cã theo h×nh bªn V = V SAMN + V SMNK , VSAMN = SM SN VSABD = xyV, SB SD V SMNK = SM SN SK VSBDC = xyV SB SD SC V1 3x 1 = xy = ≤ x ≤ 1 V 4(3x - 1) suy 3x 3x(3x - 2) f(x) = có đạo hàm f’(x) = , vËy trªn ®o¹n ; 1 cã b¶ng biÕn thiªn 4(3x - 1) 4(3x - 1) 2 Hµm sè x f’ f - + VËy víi V 1 ≤ x ≤ th× ≤ ≤ V Lop12.net (21)