+ Do khi thay đổi vai trò x, y thì hệ vẫn không đổi nên trong bài toán tìm điều kiện để hệ có nghiệm duy nhất ta có thể sử dụng phương pháp điều kiện cần và đủ... Tìm a để các phương trì[r]
(1)HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ 10 Chuyên đề số 2: Đại số HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT I Hệ phương trình bậc ẩn số Dạng tổng quát: a 1x b1 y c1 a x b y c 2 Phương pháp toán: Tính D a1 b1 a2 b2 Dx Dy a 1b a b1 c1 b1 c2 b2 a1 c1 a2 c2 c1b c b1 a 1c a c1 Dx D y Dy - Nếu D ≠ x - Nếu D = Dx = Hệ vô số nghiệm Dx ≠ Hệ vô nghiệm D Bài tập luyện Giải biện luận các hệ phương trình sau: 4 x 3x (m 1) x (2m 3) x 5m m x m( x 2) (m 4) x 2m m 3x 3x (k 1) y k 1 (k 1) x y (2 m) x 3y 1 m (4 m) x (1 4m) y m(m x ) 2( x 2) 2 x m m ( x ) 2 ( x 1) x x (a b) x (a b) y a (2a b) x (2a b) y b L.T.H- NĐQ Lop10.com (2) 6ax (2 a ) y (a 1) x ay HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ 10 3x y a ax by b Cho hệ phương trình: Tìm b để hệ có nghiệm a R Cho hệ phương trình: (m 1) x y 4m mx (m 3) y 3m 1 a) Tìm m để hệ có nghiệm b) Tìm m để hệ có nghiệm x ky kx y 10 Cho hệ phương trình: a) Tìm k để hệ có nghiệm b) Tìm k để hệ có nghiệm x, y > c) Tìm k để hệ có nghiệm x0, y0 > 11 Cho hệ phương trình: m x (2 m) y m mx (2m 1) y m a) Tìm m để hệ vô nghiệm b) Giải biện luận theo m 12 Giải biện luận bất phương trình: mx ny m 1 nx my n 1 13 Giải biện luận hệ phương trình: x y x y m n x y x y 14 Tìm a, b để hệ sau có nghiệm m: (m 3) x y 5a 3b m x my ma 2m 2b 1 15 (ĐH Y - 97) Tìm a, b để hệ sau có nghiệm: (a b) x (a b) y 2a 2 2 (a b ) x (a b ) y 2a L.T.H- NĐQ Lop10.com (3) HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ 10 x ay b 16.(ĐHCĐ - 98) Tìm các giá trị Y để với a thuộc R hệ: ax (1 a ) y b có nghiệm 17 (ĐHAN-A - 98) mx y m x (m 3) y 2m a) Với giá trị nào m thì hệ có nghiệm (x,y) thoả mãn x ≥ y b) Với m tìm tìm GTNN tổng x + y Hệ gồm phương trình bậc vàmột phương trình bậc hai hai Èn ax by c 2 cx dxy ey gx hy k D¹ng (1) (2) PP gi¶i: Rót x hoÆc y ë (1) råi thÕ vµo (2) Giải hệ phương trình 2 x y 1) 3 x y xy 3( x y ) 5 2) 3 x y y 2 x y 3) 2 2 x xy y 10 x 12 y 100 2 Giải và biện luận hệ phương trình mx y 1) mx y 2) x y 2 x y Tìm m để đường thẳng x 8(m 1) y m c¾t parabol x y x t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt 2 HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI I - Hệ phương trình bậc giải theo phương pháp II Hệ phương trình bậc đối xứng kiểu 1 Phương pháp toán: + x y s x.y p Đặt: Điều kiện có nghiệm x, y: S2 ≥ 4P + + + Đưa hệ (x, y) hệ (S, P) đơn giản Giải S, P x, y Nếu cặp số S, P thỏa mãn S2 ≥ 4P có nghiệm x, y S2 > 4P có nghiệm x, y L.T.H- NĐQ Lop10.com (4) HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ 10 điều kiện nghiệm Bài tập luyện Giải các hệ phương trình: x y xy 2 x y x y xy x y xy x y xy 3 2 x y y x x y y x 30 x x y y 35 x y xy x y xy 1 (2 x y) 5(4 x y ) 6(2 x y) 2 2 x y x y x y 7 xy( x y) x y y x x y x y x y Cho hệ phương trình: xy( x 1)( y 1) m a) Giải hệ với m = 12 b) Tìm m để hệ có nghiệm x y 1 10 Gải hệ: x y x y x y 1 11 Giải hệ phương trình: 3 2 x y x y 2 x y 12 Giải hệ: ( x y) L.T.H- NĐQ Lop10.com (5) HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ 10 x y x y x y xy 2 13 Giải hệ: 3x xy y 11 14 Giải hệ: x xy 3y 17 x y xy m 15 Cho hệ phương trình: 2 x y m Tìm m để hệ có nghiệm x y xy a 16 Cho hệ phương trình: 2 x y y x 3a a) Giải hệ pt với a = 7/2 b) a = ? hệ có nghiệm x y 2(1 a ) 17 Cho hệ: ( x y) a) a = ? hệ có nghiệm b) a = ? hệ có nghiệm x y xy m 1 18 Cho hệ: 2 x y y x m Tìm m để hệ có ít nghiệm thoả mãn x > 0, y > 19 Tìm a để hệ sau có nghiệm x 1 y a x y x y xy 20 Giải hệ: x y 2( x y) 33 x y xy 21 Giải hệ: 3 x y 4 x y 22 Giải hệ: x y x y xy 2a 1 23 Cho hệ phương trình: 4 x y a 1 Xác định a > để hệ có nghiệm L.T.H- NĐQ Lop10.com (6) HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ 10 x y xy 18 y x xy 2 24 Giải hệ: x y xy 11 25 Giải hệ: 6 x y xy 11 1 1/ y x / y 26 Cho hệ: x my 2a x y a) Giải hệ m = b) m = ? để hệ có nghiệm nhất, xác định nghiệm đó x y 3m 27 Giải biện luận hệ: 2 x xy x y xy 28 Giải hệ: ( x y) xy x y 29 Giải hê: x x y y 13 x y xy 30.Cho hệ: y yz z 16 x, y, z là số thoả mãn hệ trên Chứng minh rằng: xy +yz + zx ≤ x y m 31 Cho hệ: 2 2` x y m a) Giải hệ m = b) Tìm a để hệ có nghiệm x y a 32 Cho hệ: x y xy a a) Giải hệ a = b) a = ? hệ có nghiệm x y xy 33 Gải hệ: x y 17 x y 1 34 Giải hệ: x y 1 L.T.H- NĐQ Lop10.com (7) HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ 10 x y 1 x y 1 4 35 Giải hệ: x y 1 36 Giải hệ: 3 x y x y 37 Giải hệ: 3 x y 35 x y 38 Giải hệ: 4 x y 82 x y2 2 y x 39 Giải hệ: 1 x y 40 ĐHQG - D - 99 Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm: 5( x y) xy x y xy m x xy y 2m 41 Cho hệ: xy( x y) m m (ĐHQG - A - 99) a) Chứng minh với m hệ phương trình luôn có nghiệm b) Tìm m để hệ phương trình luôn có nghiệm x y 35 42 Giải hệ: x y y x 30 ( x y)(1 xy ) 43 Giải hệ: (ĐHNT - A - 99) 2 ( x y )(1 ) 49 x y2 x y xy m 44 Cho hệ phương trình: 2 x xy y m a) Giải hệ với m = -3 b) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm 45 Giải hệ phương trình (ĐHAN - A - 99): L.T.H- NĐQ Lop10.com (8) HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ 10 x x y x y x y 1 y x x y x y x y 1 y 1 x y 4 x y 46 Giải hệ: (ĐHAN - G - 99) x y x y2 BÀI TẬP TƯƠNG TỰ 1 a 1) Cho hệ phương trình x y x2 y a2 Tìm a để hệ phương trình có đúng nghiệm phân biệt x xy y 2) Cho hệ phương trình 2 x xy y m Tìm m để hệ có nghiệm x y a 3) Cho hệ phương trình 2 x y a a) Gi¶i hÖ a=2 b) T×m GTNN cña F=xy+2(x+y) biÕt (x,y) lµ nghiÖm cña hÖ x y 4) x y y x x y m a) Gi¶i hÖ m=6 b) Tìm m để hệ có nghiệm Bµi 2: 2 x y xy 15 8 x y 35 HD: Nhóm nhân tử chung sau đó đặt S=2x+y vµ P= 2x.y §s : (1,3) vµ (3/2 , 2) Bµi3: x 3x y y x y (2) (1) HD: tõ (2) : -1 ≤ x , y ≤ hµm sè : f t t 3t trên [-1,1] áp dụng vào phương trình (1) L.T.H- NĐQ Lop10.com (9) HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ 10 2 x y Bài 5: CMR hệ phương trình sau có nghiệm 2 y x x y HD: 2 2 x x a xÐt f ( x) x x lËp BBT suy KQ a2 y a2 x Bµi 6: x y y x HD Bình phương vế, đói xứng loại xy x a ( y 1) Bµi 7: xác định a để hệ có nghiệm xy y a ( x 1) HD sử dụng ĐK cần và đủ a=8 xy 10 20 x (1) xy y (2) Bµi 8: y2 y y y C« si x y y HD : Rut x x 20 theo (1) x 20 suy x,y 3 x y x y (1) Bµi 9: (KB 2002) x y x y HD: từ (1) đặt nhỏ làm nhân tử chung (1;1) (3/2;1/2) x y a Tìm a để hệ có nghiệm x y 3a Bµi 10: HD: từ (1) đặt u x 1, v y hệ dối xứng với u, - v Chỉ hệ có nghiệm thì phương trình bậc hai tương ứng có nghiệm trái dấu Bµi tËp ¸p dông 6 x xy y 56 1) 5 x xy y 49 x x y y 2) 2 KD 2003 x y 3( x y ) ( x x)(3 x y ) 18 3) x x y L.T.H- NĐQ Lop10.com (10) HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ 10 x y 7( x y ) 2 x y x y 3 4) HD: t¸ch thµnh nh©n tö nghiÖm xy y 12 5) x xy 26 m Tìm m để hệ có nghiệm ( x y ) y dÆt t=x/y cã nghiÖm x y 19 6) x( x 2)(2 x y ) 7) x 4x y đặt X=x(x+2) và Y=2x+y x y x y 2 8) (1) x y x y đổi biến theo v,u từ phương trình số (1) 1 x y 19 x 9) §Æt x=1/z thay vµo ®îc hÖ y,z DS (-1/2,3) (1/3,-2) y xy 6 x 10) 1 x x y y (KA 2003) 2 y x HD: x=y V xy=-1 CM x x v« nghiÖm b»ng c¸ch t¸ch hoÆc hµm sè kq: nghiÖm 2x 2y 3 11) y HD bình phương vế x x y xy x y 1 x xy 12) y HD nh©n vÕ cña (1) víi x xy y xy 78 xy HỆ ĐỐI XỨNG LOẠI HAI I - PHƯƠNG PHÁP GIẢI 1) Định nghĩa: Hệ đối xứng loại hai là hệ mà thay đổi vai trò x, y thì hệ không đổi hai phương trình đổi vị trí cho 2) Phương pháp giải: Giả sử phải giải hệ đối xứng kiểu hai có dạng: L.T.H- NĐQ Lop10.com 10 (11) F( x , y) 0(1) G ( x , y) 0(2) HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ 10 +) Nhận xét: Phương trình đối xứng kiểu hai có nghiệm thì có nghiệm dạng x = y +) Để xuất nghiệm dạng x = y ta trừ hai phương trình (1) và (2) đó ta phương trình có dạng: (x - y)[f(x, y)] = đó f(x, y) là quan hệ đối xứng kiểu I x, y +) Với x = y ta kết hợp với (1) (2) để giải +) Với f(x, y) = thì: Nếu hệ (1)(2) là bậc hai thì f(x, y) là bậc để giải ta có thể kết hợp với (1) (2) và sử dụng phương pháp Nếu hệ (1)(2) là bậc trở lên thì F(x, y) = có bậc lơn ta không thể sử dụng phương pháp Để giải ta phải kết hợp với (1) + (2) để hệ đối xứng kiểu I Chú ý: +) Nếu f(x, y) là quan hệ bậc hai thì bài toán hay cho vô nghiệm vì ta nên thử xem có thể có nghiệm hay không Nếu có thể có nghiệm tiến hành giải +) Do thay đổi vai trò x, y thì hệ không đổi nên bài toán tìm điều kiện để hệ có nghiệm ta có thể sử dụng phương pháp điều kiện cần và đủ II - BÀI TẬP x 3x y 1 Giải hệ : y 3y x x x y 2 Giải hệ: y3 4y x 7 x y Cho hệ phương trình: 7 y x a3 0 x2 a3 0 y2 a) Chứng minh hệ có nghiệm với a > b) Khi a < điều đó còn đúng không? x 3x y Giải hệ: y 3y x xy x m( y 1) ĐHHH - 97 Cho hệ phương trình: xy y m( x 1) a) Giải m = b) Tìm m để hệ có nghiệm L.T.H- NĐQ Lop10.com 11 (12) HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ 10 x 3x y y 3y 8x Giải hệ: x y a ( x y) x y a Cho hệ phương trình: x y bxy a) Giải hệ a = b = b) Xác định a, b để hệ có nghiệm phân biệt x y x y Giải hệ: y x y x a2 x y y Cho hệ phương trình: a2 y x x a) Giải hệ a = b) Chứng minh hệ có nghiệm nhát a ≠ y x x ax 10 Cho hệ: x y y ay a) Giải hệ a = b) Tìm a để hệ có nghiệm 2 x y m 11 Cho hệ: 2 y x m a) Giải hệ m = b) Tìm m để hệ có nghiệm 12 Tìm a để các phương trình sau có nghiệm chung x a ( x 2) x x x (3 a ) x 2a 3 x a.y (a 1) 13 Tìm a để hệ: x a.x y x.y có nghiệm thỏa mãn điều kiện x + y = x y axy 14 Tìm a để hệ: có nghiệm y x axy 1 2 15 Tìm a để hệ: x y có nghiệm x y xy a L.T.H- NĐQ Lop10.com 12 (13) HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ 10 x a ( y 1) 16 Tìm a để hệ: Có nghiệm y a ( x 1) y y m x 17 Cho hệ: x x m y a) Cho m = -3 Giải hệ b) Tìm m để hệ có nghiệm c) Tìm m để hệ có nghiệm 2y x y2 18 Giải hệ: y 2x x 2 2 x y y 19 Giải hệ: 2 y x x x y 20 Giải hệ: y x x y 21 Giải hệ: y x y2 x y2 22 Chứng minh rằng: có nghiệm phân biệt x y x x y 23 Giải hệ: y x 24 Tìm m để hệ sau có nghiệm x y m y x m x y a 25 Giải và biện luận số nghiệm x, y > hệ: y x a L.T.H- NĐQ Lop10.com 13 (14) HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ 10 x 16 x.y y 26 ĐHCĐ - 99 Giải hệ phương trình x.y y x x y x 27 ĐHQG - 99 Giải hệ phương trình 2 y x y x y x2 28 ĐHTL - 01 Giải hệ: 2 y x y2 x y 29 ĐHTN - A - 01 Giải hệ: y x x 3x y 3y 30 ĐHNT - 01 Giải hệ phương trình: x y x y 31 ĐHTCKT - 01 Giải hệ: x y 3 1 x y 19 x 32 ĐHTM - 01 Giải hệ: y xy 6 x x y 33 HVQHQT - D - 01 Giải hệ: 2 3 ( x y )( x y ) 280 x ( x 2)(2 x y) 34 ĐHAN - A - 01 Giải: x x y 35 HV QUÂN Y - 01 Giải hệ: x y x y a) x y x y 128x (4 x 1)(8x 1) x b) x 36 ĐHSP TPHCM - A - 01 Xác định a để hệ sau có nghiệm nhất: L.T.H- NĐQ Lop10.com 14 (15) HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ 10 ( x 1) y a ( y 1) x a y2 y x2 37 (KB 2003) 3 x x y2 HD: Th1 x=y suy x=y=1 TH2 chó y: x>0 , y> suy v« nghiÖm x y 38 y x HD Bình phương vế, đói xứng loại xy x a ( y 1) xác định a để hệ có nghiệm xy y a ( x 1) 39 HD sử dụng ĐK cần và đủ a=8 ( y 1) m x 40.Cho hệ phương trình ( x 1) m y Tìm m để hệ có nghiệm 41.CMR hệ phương trình sau có nghiệm a2 x y y 2 y x a x x y HD: 2 2 x x a xÐt f ( x) x x lËp BBT suy KQ HỆ ĐẲNG CẤP I - PHƯƠNG PHÁP 1) Định nghĩa: +) Phương trình đẳng cấp: Là phương trình mà các biểu thức tổng cấp các biến là +) Hệ đẳng cấp là hệ có phương trình là đẳng cấp có thể biến đổi hệ cho có phương trình là đẳng cấp 2) Phương pháp giải: +) Từ phương trình đẳng cấp ta tìm quan hệ x, y L.T.H- NĐQ Lop10.com 15 (16) HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ 10 +) Thay vào hai phương trình đầu để giải Chú ý: Để tìm điều kiện nghiệm cho hẹ đẳng cấp ta thường đặt x = ty Khi đó bài toán điều kiện nghiệm x, y trở thành bài toán điều kiện nghiệm t, y II - BÀI TẬP x ( x y) y( x y) Giải hệ: 2 2 x y 3xy x xy y giải hệ: y x x y xy 2 y( x y ) 3x Giải hệ: x ( x y ) 10 y 3x xy y 11 Cho hệ: x xy 3y 17 m a) Giải hệ m = b) Tìm m để hệ có nghiệm x xy y k Cho hệ: y 3xy a) Giải hệ với k = b) Tìm k để hệ có nghiệm 3x 5xy y 38 Giải hệ: 5x xy 3y 15 x xy 3y Giải hệ: x x y y 2 x y 3x y ĐHSPII - 99 Giải hệ: 3x y x y x y 1 ĐHKTQD - 99 Tìm tất các cặp số dương x, y thỏa mãn hệ phương trình: x 5( y ) y x x y 10 ĐHNNI - 99 Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm: x y 3m x y 1 L.T.H- NĐQ Lop10.com 16 (17) HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ 10 b x y 11 ĐH LUẬT - 99 Biết hệ phương trình: 2 a ( x y ) x y b Có nghiệm với b Chứng minh a = x xy 3y 12 HVNH TPHCM - 01 Giải: 2 x 13xy 15 y xy y 13 CĐSPHN - 01.Giải hệ phương trình: xy x 3 x y x y 14 TSĐH - A - 2004 Giải hệ phương trình: x y x y 1 x x y y 15 TSĐH - A - 2003 Giải hệ: 2 y x y2 3y x2 16 TSĐH - B - 2003 Giải hệ: 3x x y2 Một số Hệ phương trình khác Giải hệ phương trình x y x y xy 49 1) 2) x y 5) x y 2 y ( x y ) x 6) ( x y ) x 10 y 2 x xy y xy ( x y ) 3) 3 x y 2 x y y x 180 2 xy 4) 3 8( x y ) 9( x y ) Giải hệ phương trình x y x y 1) x y x y x y z 14 3) xz y x y z 2x 2 5 y 3y 2x 2) 3 x y Tìm m để hai phương trình sau có nghiệm chung a) x 3m vµ x 4m 12 b) (m 1) x (m 2) x vµ L.T.H- NĐQ Lop10.com 17 (18) HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ 10 x 2x m Tìm m để hệ phương trình có nghiệm x y a ( xy 1) x y xy x y m y x 1 Tìm m, n để hệ phương trình sau có nhiều h¬n nghiÖm ph©n biÖt x nxy y x m( x y ) y x y m ## L.T.H- NĐQ Lop10.com 18 (19) HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ 10 Các đề thi năm gần đây hệ phương trìNH x y x y Bài tập 1: ĐHCĐ B 2002 Giải hệ phương trình x y x y 1 x y y Bài tập ĐHCĐ A 2003 Giải hệ phương trình: x 2y x 1 x y y Bài tập 3: ĐHCĐ A 2003 Giải hệ phương trình: x 2y x y2 3y x2 Bài tập 4: : ĐHCĐ B 2003 Giải hệ phương trình: 3x x y2 Bµi tËp 5: Bµi tËp 9: §HC§ D 2004 x y x x y y 3m Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm x my mx y 2m Bài tập 6: CĐ A 2002 Cho hệ phương trình: a) Giải và biện luận hệ phương trình đã cho b) Trong trường hợp hệ có nghiệm nhất, hãy tìm giá trị m cho nghiệm x , y0 tháa m·n ®iÒu kiÖn x y0 x y3 x y Bài tập 7: : CĐSP Hà Tĩnh Giải hệ phương trình: 2 x y x y 9log2 xy xy log2 Bài tập 8: ĐH Hùng Vương 2004 Giải hệ phương trình: 2 x y 3x 3y 6x xy 2y 56 Bài tập : CĐGTVT 2004 Giải hệ phương trình: 2 5x xy y 49 L.T.H- NĐQ Lop10.com 19 (20) HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ 10 1 Bài tập 10: CĐGTVT 2004 Giải hệ phương trình: x y x y2 ax 2y x ay Bài tập 11: : CĐKT A 2004 Cho hệ phương trình: Tìm a để hệ phương trình trên có nghiệm và thỏa mãn điều kiện x 0, y 2 2x y xy 15 Bài tập 12: Giải hệ phương trình: 3 8x y 35 2x y 3x 2 2y x 3y Bài tập 13: : CĐYTTB 2004 Giải hệ phương trình: xy x y 3 Bài tập 14: CĐ Đà Nẵng Giải hệ phương trình: 2 x y x y xy x y 3log 9x log y Bài tập 15: ĐHCĐ B 2005 Giải hệ phương trình: x y x y 3x y Bài tập 16 : : ĐHCĐ DB 2005 Giải hệ phương trình x2 y x y Bài tập 17: ĐHCĐ DB 2005 Giải hệ phương trình x x y 1 y y 1 x y x y Bài tập 18: : ĐHCĐ A 2006 Giải hệ phương trình x y x y ( y x) y Bài tập 19: : ĐHCĐ DB 2006 Giải hệ phương trình ( x 1)( y x 2) y L.T.H- NĐQ Lop10.com 20 (21)