bµi tËp Hypebol I Môc tiªu bµi d¹y * Hướng hướng dẫn học sinh vận dụng định nghiã hypebol, phương trình chính tắc của hypebol, hình dạng hypebol, bán kính qua tiêu điểm, tiệm cận và tâm [r]
(1)Trường THPT Gi¸o ¸n HH 12 TiÕt 24 Hypebol I Môc tiªu bµi d¹y * Hướng hướng dẫn học sinh phát và nắm vững các khái niệm định nghiã hypebol, phương trình chính tắc hypebol, hình dạng hypebol, bán kính qua tiêu ®iÓm, tiÖm cËn vµ t©m sai cña hypebol * RÌn luyÖn kÜ n¨ng tÝnh to¸n cho häc sinh II ChuÉn bÞ cña GV vµ HS Giáo viên: Giáo án, bảng phụ, dây, thước và compa Học sinh: chuẫn bị bài trước nhà III TiÕn tr×nh bµi d¹y Bước 1: ổn định lớp Bước 2: Kiểm tra bài cũ: Bước 3: bài Thêi Hoạt động thầy Hoạt động trò Néi dung ghi b¶ng gian §Þnh nghÜa Hoạt động Hướng dẫn học sinh phát Trong mặ phẳng, cho hai điểm cố định F1 và F2 với F1F2 = 2c > hiÖn vµ n¾m v÷ng kh¸i niÖm hypebol TËp hîp nh÷ng ®iÓm M mÆt ph¼ng cho |MF1 - MF2| = 2a (a lµ M số không đổi nhỏ c) gọi là hypebol Trong mặ phẳng, cho hai điểm cố định F1 vµ F2 víi F1F2 = 2c > LÊy mét vßng F1, F2: tiªu ®iÓm cña hypebol Kho¶ng c¸ch 2c: tiªu cù M thuéc hypebol th× MF1, MF2 gäi lµ c¸c b¸n kÝnh qua tiªu ®iÓm cña d©y quÊn quanh hai ®iÓm F1F2 Ta c¨ng F1 F2 M dây quay quanh hai điểm đó để vạch nên đường Đường đó gọi là Phương trình chính tắc hypebol Hypebol Gi¶ sö hypebol (H) gåm nh÷ng ®iÓm M cho: |MF1 - MF2| = 2a (H) GV ®a kh¸i niÖm Hypebol Chọn hệ toạ độ Oxy cho F1(-c, 0) và F2(c, 0) Hoạt động Hướng dẫn học sinh phát M, ta cã: MF12 = (x + c)2 + y2, phương trình chính tắc hypebol MF22 = (x - c)2 + y2 = (x + c)2 + y2, * MF Gi¶ sö hypebol (E) gåm nh÷ng ®iÓm M Suy ra: MF12 - MF22 = 4cx 2 MF2 = (x - c) + y cho: MF1 + MF2 = 2a Chän hÖ to¹ MF12 + MF22 = 2(x2 + y2 + c2) 2 Suy ra: MF1 - MF2 = 4cx độ Oxy cho §Ó ý |MF1 + MF2| 2c > 2a nªn (MF1 - MF2)2 - 4a2 ≠ + MF = 2(x2 + y2 + c2) MF F1(-c, 0) vµ F2(c, 0) M(x, y) M (H) |MF1 - MF2| = 2a (MF1 - MF2 )2 = 4a2 <H> Ta cã MF12 = ? (MF1 - MF2)2 - 4a2)[( MF1 + MF2 )2 + 4a2] = MF22= ? M (E) MF1 + MF2 = 2a (MF12 - MF22)2 - 8(MF12 + MF22) + 16a4 = Suy ra: MF12 - MF22= ? * |MF1 + MF2| 2c > 2a 16c2x2 - 16a2(x2 + y2 + c2) + 16a4 = x2(a2 - c2) + a2y2 = a2(c2 - a2) MF12 + MF22 = ? M (H) |MF1 - MF2| = 2a x2 y2 x2 y2 <H> So s¸nh |MF1 + MF2| vµ 2a (MF1 - MF2 )2 = 4a2 (víi b2 = c2 - a2) 2 2 <H> M (H) ? a a c a b (MF1 - MF2) - 4a )[( MF1 + MF2 ) Thay vµo vµ tÝnh ta ®îc PTCT cña + 4a ] = hypebol lµ * Khi x > 0, ta cã |MF1 - MF2 | = 2a Trang Lop12.net (2) Trường THPT Gi¸o ¸n HH 12 MF1 - MF2 = 2a MF1 + MF2 cx =2 C¸c b¸n kÝnh ®i qua tiªu a ®iÓm cña ®iÓm M lµ: cx MF1 = a + vµ a Hoạt động Hướng dẫn học sinh phát cx hiÖn vµ n¾m v÷ng h×nh d¹ng cña MF2 = - a + a hypebol M’(-x, y) đối xứng với M qua Ox và LÊy M(x, y) (H) M’ (H) <H> NhËn xÐt g× vÒ M’(-x, y) ? M”(-x, y) đối xứng với M qua Oy và Tương tự cho điểm M”(x, -y) ? M” (H) Từ đó ta có thể kết luận điều gì ? Từ đó ta thấy hypebol nhận Ox và Oy làm trục đối xứng, nên nó có tâm <H> Xác định giao điểm hypebol đối xứng là2 O x với các trục toạ độ ? y = x=a, x= -a a Hypebol (E) c¾t Ox t¹i (-a, 0) vµ (a, x2 y2 <H> M(x, y)(E): , nhËn 0) vµ kh«ng c¾t a b * x2 a2 x a hoÆc x -a VËy xÐt g× vÒ x suy ®iÒu g× ? kh«ng cã ®iÓm nµo thuéc hypebol Hoạt động Hướng dẫn học sinh phát hiÖn vµ n¾m v÷ng tiÖm cËn cña hypebol n»m gi÷a hai ®êng th¼ng x = a vµ x = -a x2 y2 2 * Tõ pt cña hypebol x2 y2 x a * 1 y = b a b a b a2 <H> T×m y theo x ? b <H> T×m tiÖm cËn cña hµm x2 a2 y a b x a , x a y= a 2 x y (víi b2 = c2 - a2) a b <H> Từ MF12 - MF22 = 4cx |MF1 - MF2 | = 2a suy MF1 , MF2 ? Hoạt động Hướng dẫn học sinh phát hiÖn t©m sai cña hypebol Tỉ số tiêu cự và độ dài trục lớn Trang Lop12.net x2 y2 (với b2 = c2 - a2) gọi là phương trình chính a2 b2 t¾c cña hypebol Chó ý: a, C¸c b¸n kÝnh ®i qua tiªu ®iÓm cña ®iÓm M lµ: cx cx i, NÕu x > th× MF1 = a + vµ MF2 = - a + a a cx cx ii, NÕu x < th× MF1 = - a vµ MF2 = a a a b, Nếu chọn F1(0, -c) và F2 (0, c) thì hypebol có phương trình là x y2 y - b a M Q b H×nh d¹ng cña hypebol x x2 y2 a -a Cho hypebol (H): a b a, Hypebol (E) nhËn Ox, Oy lµm P N -b trục đối xứng, nên nó nhận gốc toạ độ O làm tâm đối xứng b, Hypebol (E) c¾t Ox t¹i A1(-a, 0) vµ A2(a, 0) vµ kh«ng c¾t Oy Trôc Oy gäi lµ trôc ¶o cña hypebol cßn trôc Ox gäi lµ trôc thùc 2a: độ dài trục thực, 2b: độ dài trục ảo x2 y2 c, M(x, y) (E): , a b x2 a2 x a hoÆc x -a VËy kh«ng cã ®iÓm nµo thuéc hypebol n»m gi÷a hai ®êng th¼ng x = a vµ x = -a Hypebol gåm hai nh¸nh, nh¸nh tr¸i gåm nh÷ng ®iÓm n»m bªn tr¸i ®êng th¼ng x = -a, nh¸nh ph¶i gåm nh÷ng ®iÓm n»m bªÈiphØ ®êng th¼ng x = a §êng tiÖm cËn cña hypebol x2 y2 * XÐt ®êng hypebol (H): a b 2 2 x y x a b y2 = b x2 a2 y 2 a a b a Gäi (H1) lµ mét phÇn cña hypebol n»m gãc phÇn t thø nhÊt cña b x a , x a hµm sè y = a Phương trình: (3) Gi¸o ¸n HH 12 Trường THPT hypebol gäi lµ t©m sai cña hypebol <H> e = ? <H> NhËn xÐt g× vÒ t©m sai cña hypebol ? Cñng cè: N¾m v÷ng h×nh d¹ng vµ t©m sai cña hypebol Lµm hÕt c¸c bµi tËp SGK b b a2 x) lim( )0 a x2 a2 x x x a VËy phÇn cña hypebol n»m gãc phÇn t thø nhÊt nhËn ®êng b thẳng y = x làm tiệm cận Tương tự ba phần còn lại cuae hypebol (H) a b b còng nhËn hai ®êng th¼ng y = x vµ y = - x lµm tiÖm cËn a a b b Tãm l¹i hypeol cã hai ®êng tiÖm cËn lµ: y = x vµ y = - x a a Chú ý: Từ hai đỉnh hypebol ta vẽ hai đường thẳng song song cắt hai tiệm cận tạ điểm P, Q, S và S Đó là đỉnh hình chữ nhật Hình chữ nhật đó gọi là hình chữ nhật cở sở hypebol T©m sai cña hypebol Tỉ số tiêu cự và độ dài trục thực hypebol gọi là tâm sai hypebol, kÝ hiÖu: e Ta cã: * T©m sai cña hypebol (E): x2 y2 lµ a2 b2 c a2 b2 e= a a * T©m sai cña hypebol lu«n lu«n lín h¬n b lim( a x2 a2 c a2 b2 x2 y2 T©m sai cña hypebol (E): lµ e = a a a b Chó ý T©m sai cña hypebol lu«n lu«n lín h¬n TiÕt 25 bµi tËp Hypebol I Môc tiªu bµi d¹y * Hướng hướng dẫn học sinh vận dụng định nghiã hypebol, phương trình chính tắc hypebol, hình dạng hypebol, bán kính qua tiêu điểm, tiệm cận và tâm sai hypebol để giải các bài tập SGK * RÌn luyÖn kÜ n¨ng tÝnh to¸n cho häc sinh II ChuÉn bÞ cña GV vµ HS Giáo viên: Giáo án, bảng phụ, dây, thước và compa Học sinh: chuẫn bị bài trước nhà III TiÕn tr×nh bµi d¹y Bước 1: ổn định lớp Bước 2: Kiểm tra bài cũ: Nêu định nghiã hypebol, phương trình chính tắc hypebol, CT bán kính qua tiêu điểm, tiệm cận và tâm sai hypebol Bước 3: bài Thêi gian Hoạt động thầy Hoạt động trò Néi dung ghi b¶ng Trang Lop12.net (4) Trường THPT Hoạt động Hướng dẫn học sinh phát lËp PTCT cña hypebol * Gäi hs gi¶i bt 1(SGK) <H> Nªu PTCT cña hypebol ? GV nhËn xøt ®snhs gÝa vµ ghi ®iÓm <H> Nªu h×nh d¹ng cña hypebol ? <H> Nªu t©m sai cña hypebol ? Hoạt động Hướng dẫn học sinh giải bµi tËp sgk Gäi I(0, b) lµ t©m ®êng trßn <H> BK ®êng trßn R = ? <H> Gọi M(x, y) thì M’có toạ độ là gì ? Ta cã: x = ? vµ y = ? <H> Suy quü tÝch c¸c ®iÓm M ? Gi¸o ¸n HH 12 Bµi tËp 2 x y 1 a b (với b2 = c2 - a2) gọi là phương trình chÝnh t¾c cña hypebol * Hypebol (E) nhËn Ox, Oy lµm trục đối xứng, nên nó nhận gốc toạ độ O làm tâm đối xøng * T©m sai cña hypebol (E): * Phương trình: c a2 b2 x2 y2 lµ e = a a a2 b2 * Gäi I(0, b) lµ t©m ®êng trßn BK ®êng trßn lµ R = a b * M’(-x, y) vµ x = R vµ y = b Ta cã x2 – y2 = R2 – b = a2 VËy quü tÝch c¸c ®iÓm M lµ Hoạt động Hướng dẫn học sinh giải hypebol x2 – y2 =a2 bµi tËp sgk * Hai ®êng tiÖm cËn cã PTTQ lµ: Gi¶ sö hypebol (H) cã PTCT: 1: bx + ay = vµ 2: bx – ay = x2 y2 Gäi M(x, y) (H) 1 a2 b2 * Tích các khoảng cách từ M đến <H>Khi đó hai đường tiệm cận có hai tiÖm cËn lµ: PTTQ lµ g× ? 1: bx + ay = vµ 2: bx bx ay bx ay a 2b 2 – ay = Gọi M(x, y) (H) Khi đó: 2 2 a b a b a b x2 y2 a2 b2 <H> Tích các khoảng cách từ M đến hai tiÖm cËn lµ g× ? 2 x2 y2 a, ta cã: a = 4, c = b = 3 PTCTcña Hypebol lµ: 16 b, a, ta cã: c = 13 vµ b b2 a2 x2 y2 2 , a b 13 a , b PTCT : 1 a 9 a2 x2 y2 c, Gi¶ sö PTCT cña Hypebol: , v× nã ®i qua M( 10 , 6) nªn: a b 10 36 c b2 Từ đó suy ra: a2 = và , h¬n n÷a: e = a2 b2 a2 a2 x2 y2 b2 = VËy PTCT cña hypebol lµ: M' Bµi tËp Gäi I(0, b) lµ t©m ®êng trßn BK ®êng trßn M lµ R = a b Gäi M(x, y) th× M’(-x, y) A B Ta cã: x = R vµ y = b x2 – y2 = R2 – b = a2 VËy quü tÝch c¸c ®iÓm M lµ hypebol x2 – y2 =a2 x2 y2 Bài tập Giả sử hypebol (H) có PTCT: , đó hai đường tiệm a b cËn cã PTTQ lµ: 1: bx + ay = vµ 2: bx – ay = Gäi M(x, y) (H) Khi x2 y2 đó: Tích các khoảng cách từ M đến hai tiệm cận là: a b | bx ay | | bx ay | a 2b x y a 2b (kh«ng phô thuéc vµo M) 2 b2 a2 b2 a2 b2 a2 b2 a b a -5 -2 Baøi taäp laøm theâm: Cho (E) : x2 y2 25 16 Vieát phöông trình cuûa (H) coù ñænh laø caùc tieâu ñieåm cuûa (E), coù tieâu ñieåm laø caùc ñænh cuûa (E) Giaûi * (E) coù caùc tieâu ñieåm F1, ( 3, 0) ' * Từ giả thiết suy (H) có tiêu điểm F1,2 5,0 Hoạt động Hướng dẫn học sinh giải bµi tËp lµm thªm Cñng cè: N¾m v÷ng h×nh d¹ng vµ t©m sai cña hypebol Lµm hÕt c¸c bµi tËp SGK vaø ñænh (3, 0) (H) : Trang Lop12.net x2 y2 x2 y2 =1 c’ = 5, a’ = 3 (H) =1 16 a2 b (5) Trường THPT Gi¸o ¸n HH 12 Trang Lop12.net (6)