Chuyên đề Phương trình lượng giác

Kết hợp điều kiện: Những giá trị vi phạm điều kiện được biểu diễn bằng những điểm trắng, những giá trị thỏa mãn  sin x  1  1 được biểu diễn bằng những điểm đen... điều kiện điểm được [r]

PHẠM HỒNG PHONG  Phân loại chi tiết  Hệ thống ví dụ phong phú  Bài tập có đáp số đầy đủ  Trích dẫn tất các bài thi các năm 2002 - 2012 HÀ NỘI - 2012 Lop12.net Bản quền thuộc ThS Phạm Hồng Phong – Trường Đại học Xây dựng Tài liệu có thể download miễn phí violet.vn Keywords: pham hong phong, Phuong trinh luong giac Lop12.net Mục lục Chủ đề Một số kiến thức chung phương trình lượng giác Loại Loại Các phương trình lượng giác Phương trình bậc sin và cos 13 Chủ đề Đặt ẩn phụ để giải phương trình lượng giác 23 Loại Loại Loại Một số phép đặt ẩn phụ đơn giản 23 Phép đặt ẩn phụ cho phương trình đối xứng và gần đối xứng sin, cos 33 Phép đặt ẩn phụ t  tan x 41 Loại Phép đại số hóa t = tanx 47 Chủ đề Phương trình tích 51 Lop12.net Lop12.net THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 Chủ đề Một số kiến thức chung phương trình lượng giác Loại Các phương trình lượng giác A Tóm tắt lý thuyết  1 Phương trình sin x  m * Điều kiện có nghiệm:  1 có nghiệm  m   1;1  x  arcsin m  2k * Công thức nghiệm: Với m   1;1 , ta có  1   ( k   )  x    arcsin m  2k y Trong đó, arcsin m là nghiệm thuộc đoạn y=sinx m   ;    2 phương trình sin x  m ( - π O arcsinm Hình 1) Ta thấy với m   1;1 , giá trị arcsin m π x -1 luôn tồn Hình  2 Phương trình cos x  m * Điều kiện có nghiệm:   có nghiệm  m   1;1 * Công thức nghiệm: Với m   1;1 , ta có    x   arccos m  2k ( k   ) Lop12.net THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 y y=cosx Trong đó, arccos m là nghiệm thuộc đoạn m  0;  phương trình sin x  m (Hình 2) π O π x arccosm Ta thấy với m   1;1 , giá trị arccos m luôn tồn -1 Hình  3 Phương trình tan x  m y y=tanx Với m , ta có    x  arctan m  k ( k   ) m Trong đó, arctan m là nghiệm thuộc khoảng   2 ; 2  - π π O x arctanm phương trình tan x  m (Hình 3) Ta thấy với m , giá trị arctan m luôn tồn Hình  4 Phương trình cot x  m Lop12.net THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 y y=cotx Với m , ta có    x  arc cot m  k ( k   ) m Trong đó, arccot m là nghiệm thuộc khoảng  0;  phương π O trình cot x  m (Hình 4) π x arccotm Ta thấy với m , giá trị arccot m luôn tồn Hình Ngoài các phương trình kể trên, các phương trình sau đây có cách giải gần giống phương trình bản:  f  x   g  x   2k +) sin f  x    sin  g  x     ( k   );  f  x     g  x   2k +) cos  f  x    cos  g  x    f  x    g  x   2k ( k   ) f  x   g  x   k +) tan  f  x    tan  g  x     ( k   )  f  x    k Lop12.net THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 B Một số ví dụ Ví dụ GPT: 2cos x  sin x   1 Giải  1     sin x  sin x   2sin x  sin x   sin x  sin x  1   sin x     sin x    x  k   x    2k , ( k   )     x   2k  1 Ví dụ GPT: sin 2x  cos x  Giải  1  2sin x cos x  cos x   cos x  sin x  1   cos x     sin x    x    k    x     2k , ( k   )     x   2k Ví dụ GPT: sin2 x  cos 2x   1 Giải  1  cos 2x   sin x  cos 2x  cos x Lop12.net THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44  2  3  cos 2x  cos x    cos 2x   cos x  2  2x  x  2k    2x   x  2k  x  2k   2k  x     x  2k (  2k k    2k k   ) 3  3  cos 2x  cos    x   2x    x  2k    2x  x    2k  x    2k 3    x    2k Vậy nghiệm  1 là: x  2k , x    2k , x    2k ( k   ) 3 Ví dụ GPT: sin 3x  sin 5x x cos 2  1 Giải  1  sin 3x   sin 3x  sin 2x   sin 3x  sin 2x  3x  2x  2k    3x    2x  2k  x  2k    2k ( k   )  x   Ví dụ GPT: sin 3x   cos 4x   cos 3x sin 4x  1 Giải  1  cos 3x sin 4x  sin 3x cos 4x  sin 3x Lop12.net THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44  sin 7x  sin 3x  7x  3x  2k    7x    3x  2k  x  k   ( k   )  x    k  10  1 Ví dụ GPT: sin 4x sin 7x  cos 3x cos 6x Giải  1    cos11x  cos 3x    cos 9x  cos 3x  2  cos11x   cos 9x  cos11x  cos    9x  11x    9x  2k   11x  9x    2k  x    k 20 10   ( k   )  x     k  Ví dụ GPT:  tan x  cos x  1 Giải  1     12    tan x   cos x   tan x  tan x   tan x  tan x    3  Lop12.net THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44  tan x     tan x    x  k   ( k   )   x   k Ví dụ GPT: 2sin x  sin x 1   1 cos x  Giải Điều kiện để  1 có nghĩa: 2cos x    cos x   x     2k ( k   )  x    2k   sin x    Ta có  1  2sin x  sin x       x    2k ( k   ) sin x     7  x   2k y π +2kπ Kết hợp điều kiện: Những giá trị vi phạm điều kiện biểu diễn điểm trắng, giá trị thỏa mãn  sin x   biểu diễn điểm đen  sin x    các họ nghiệm  1 là   2k , 7  2k ( k   ) π +2kπ -1 O x -π +2kπ 7π +2kπ -1 Chú ý: Khi biểu diễn họ x    2k ( k   , n  * , n là số) trên đường tròn lượng giác n ta được: +) Một điểm trường hợp n  +) Hai điểm đối xứng qua gốc tọa độ trường hợp n  Hai điểm này là các điểm biểu diễn giá trị   2k với k  , n Lop12.net THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 +) n điểm cách trường hợp n  n điểm này là các điểm biểu diễn giá trị   2k với k  , , …, n  n -1 y y y 1 O x -1 O -1 -1  Ví dụ Giải phương trình  5sin x  2cos x  -1 O x -1 n3 n2 x n4 cos x   1 Giải Điều kiện để  1 có nghĩa: cos x  1  sin x  2cos x       cos x  Ta thấy  2   2  3    5sin x   sin x   2sin x  5sin x    sin x  3  1  voâ nghieäm     sin x     x     2k    x    2k   3  cos x   x    k Lop12.net THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 y π +2kπ Kết hợp điều kiện: biểu diễn nghiệm   và   trên đường tròn lượng giác (điểm đen) và bỏ điểm vi phạm -1 O x điều kiện (điểm khoanh trắng), ta các họ nghiệm -π +2kπ 7π +2kπ  1 là:   k ,    2k ( k   ) π - +2kπ -1 Ví dụ 10 Giải phương trình cos2 x  sin x  1 Giải Điều kiện để  1 có nghĩa: cos x   x    k  2 sin x   Ta có  1    sin x  8cos x  3  4  4 8 sin x cos x    cos x     cos x   2sin 2x   cos 4x   4x    k  x    k Lop12.net THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 y Kết hợp điều kiện: biểu diễn nghiệm   trên đường 5π +2kπ tròn lượng giác (điểm đen) và bỏ điểm vi phạm 7π +2kπ hai điều kiện   ,   (điểm khoanh trắng), ta π +2kπ -1 các họ nghiệm  1 là:  O -5π +2kπ  x -π +2kπ -7π +2kπ  2k , 38  2k , 58  2k , 78  2k ( k   ) 3π +2kπ -1 -3π +2kπ  Chú ý: Họ nghiệm x    2k ( k   ) thực là tập hợp   2k k   Ta có n n   2k n  k      2k k         2k k       n  1 2 n 2   2k n   k  x    2k  2  x    n  2k nói cách khác x    2k   ( k   ) n   2  x      n  1 n   2k   10 Lop12.net THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 C Bài tập Bài Giải các phương trình sau 1) sin x  cos x  2) sin x cos x  3) sin 3x cos 2x  sin 2x cos x   4) cos x cos x   cos  x   5) 2sin x 4sin x  3sin x  sin 2x  6) sin x  sin 2x  cos x  cos 2x  7) sin x  sin 2x  cos x  cos 2x  Bài Giải các phương trình sau   1) cos x cos 7x  sin  x    cos 6x   2)  sin x cos x  sin 2x 3)  sin x cos x  sin 2x 4) sin 2x   tan 2x tan x   5) sin 2x  tan x   sin 2x tan 2x  6)  2  cos x  2sin2  x2  4  2cos x 1    1 7) tan 2  x  3tan x  cos 2x cos x 11 Lop12.net THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 D Đáp số Bài 1)   k ( k   ) 2)   k , 5  k ( k   ) 12 3) k ,   k ( k   ) 4) 4k , 4k ( k   ) 5) k ,   k ,   k ( k   ) 6) 2k ,   2k ( k   ) 7) 2k ,   2k ( k   ) 3 Bài 1) k , k ( k   ) 2)    2k ,   2k ( k   ) 12 12  k  ( k   ) 3)   2k ,    2k ( k   ) 12 12 4) 5) x  k ( k   ) 6) 4  2k ( k   ) 7)    k ( k   ) 12 Lop12.net THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 Loại Phương trình bậc sin và cos A Tóm tắt lý thuyết * Phương trình bậc sin x , cos x là phương trình có dạng:  1 A sin x  B cos x  C , đó, A và B là các số không đồng thời ( A  B  ) * Cách giải: chia hai vế  1 cho A A  B2  A Vì   2  A B   B     2   A B     A  B , ta phương trình tương đương: sin x  B A2  B cos x  C A2  B A  cos    A  B2  nên tồn    0;2  để:  B sin    A2  B  Do đó:  1  sin x cos   cos x sin   C A2  B2  sin  x     C A2  B2  2 Ta thấy   là phương trình có dạng sin f  x    m * Chú ý: +) Từ cách giải này suy điều kiện có nghiệm phương trình  1 :  1 +) có nghiệm  A  B  C2  B  cos    A  B2 Nếu chọn    0;2  để:  thì  1  cos  x     A sin    A2  B  C A2  B 13 Lop12.net THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 A  cos     A  B2 Nếu chọn    0;2  để:  thì  1  sin  x     B sin     A2  B  B  cos    A  B2 Nếu chọn    0;2  để:  thì  1  cos  x     A sin     A2  B  C A  B2 C A B Trong trường hợp, việc chọn  phù hợp giúp quá trình tính toán bớt phức tạp +) Một số công thức hay sử dụng:        sin x  cos x  sin x    cos x   ,  sin x  cos x  sin x    cos x  3 ,     sin x  cos x  sin x    cos x   ,     sin x  cos x  sin x    cos x  5 ,   6      3 sin x  cos x  sin x    cos x   ,  sin x  cos x  sin x    2cos x  2 14 Lop12.net THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 B Một số ví dụ  1 Ví dụ GPT: sin x  cos x   Giải Ta có  1  sin x  cos x  2  sin x cos   cos x sin   sin  3    sin x    sin   x      2k    x    5  2k  x    x     2k   2k ( k   )  1 Ví dụ GPT: 2 sin xcos x  sin x  cos x  Giải Ta có  1  sin 2x    sin x  cos x   sin 2x  sin x cos 3  cos x sin  4   sin 2x  sin x     2x  x  3  2k     2x   x  2k   x  3  2k   ( k   )  x    2k  12 Nhận xét: Phương trình ví dụ trên không phải phương trình bậc Việc giải phương trình này liên quan đến việc rút gọn biểu thức   sin x  cos x  15 Lop12.net THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 Ví dụ GPT: sin x  cos 2x  cos x  1 Giải Điều kiện để  1 có nghĩa: cos x   x    k  1 Ta có  2  sin x cos x  cos 2x    sin 2x  cos 2x  1 sin 2x  cos 2x   2  6  sin 2x cos   cos 2x sin   sin      6  sin 2x    sin    2x       2k 6    2x      2k  6  x  k   ( k   ) 2  x   k (thỏa mãn   )  2 Ví dụ [ĐHD07] GPT sin x  cos x 2  cos x   1 Giải  2 Ta có sin x  cos x 2  sin x  cos x  sin x cos x   sin x Do đó  1 2  sin x  cos x   sin x  cos x  2  sin x cos   cos x sin   3    sin x    16 Lop12.net