PHUONG TRINH LUONG GIAC

Chú ý: Bằng cách giải tương tự như trên, ta giải được phương trình bậc 3 của một hàm số lượng giác.. Giải các phương trình sau: [a]..[r]

CHUY£N §Ò 01 PH¦¥NG TR×NH Lîng gi¸c thêng gÆp - (Tài liệu dùng cho học sinh THPT luyện thi ĐH – CĐ) a d¹ng Ph¬ng tr×nh bËc hai cña mét hµm sè lîng gi¸c 1) Định nghĩa: với a  0; b, c  R *asin2x + bsinx + c = (1) *acos x + bcosx + c = (2) *atan2x + btanx + c = (3) *acot2x + bcotx + c = (4) 2) Cách giải: + Đặt ẩn phụ: với (1) thì đặt sinx = t, đk: t [-1; 1] với (2) thì đặt cosx = t, đk: t [-1; 1] với (3) thì đặt tanx = t, đk: t R với (4) thì đặt cotx = t, đk: t R + Ta có phương trình: at + bt + c = (*) + Giải phương trình (*) tìm nghiệm t, kiểm tra điều kiện t (nếu có), giải tìm họ nghiệm x 3) Bài tập: Bài Giải các phương trình sau: [a].2cos2x + 5sinx – = [b].2sin2x – cos2x - 4sinx + = [c].9cos2x – 5sin2x – 5cosx + = [d].5sinx(sinx – 1) – cos2x = [e].1 – 5sinx + 2cos2x = [f] sin x 3cotx  [g ].tan2x - cos x + = Bài Giải các phương trình sau: [a].cos2x + 3sinx – = [b].cos2x – 5cosx + = [c].cos2x + sin2x + 2cosx + = [d].4sin22x + 6sin2x – 3cos2x – = [e].5(1 + cosx) = + sin4x – cos4x [f].sin4x + cos4x = sin2x -    3x [g].cos2(3x + ) – cos23x – 3cos( )+2=0 3  x [h].1 – cos(  + x) - sin =0   [k].sin(x + ) – cos( + 2x) - = cos x(2sin x  2)  cos x  1  sin x [i*] cos x (cos x  2sin x)  3sin x(sin x  2) 1 sin x  [j*] 4sin 2 x  6sin x  3cos x  0 cos x [m*]  2sin x  s inx  sin x 1 2sin x cos x  [n*] Chú ý: Bằng cách giải tương tự trên, ta giải phương trình bậc hàm số lượng giác Bài Giải các phương trình sau: [a] 4sin3x – 8sin2x + sinx + = [b] 2sin3x – cos2x – sinx = [c] 3sin3x – 3cos2x + 7sinx – cos2x + = [d] 5cos3x – 3sin2x + 8cosx – = [e] 2cos2x – 8cosx + = cos x [f] cos2x + 3cosxsin2x – 8sinx = [g] 9sin2x – 5sinxsin2x + 17cosx – 11 = b d¹ng Ph¬ng tr×nh bËc nhÊt cña sinx vµ cosx 1) Định nghĩa: với a2 + b2 > và c  R asinx + bcosx = c ;(1) 2) Cách giải: a  b , ta được: a b c sinx  cos x  2 a  b2 a2  b2 (1)  a  b a b cos sin  2 2 a  b a  b + Đặt ; ta có: c c + Chia vế phương trình (1) cho 2 cos  sinx + sin  cosx = a  b  sin(x +  ) = + Giải phương trình (2) tìm họ nghiệm x Chú ý 1: (1) có nghiệm x  a2 + b2  c2 3) Bài tập: Bài Giải các phương trình sau: [a] cosx + sinx = [b] sin2x - x [c] sin - cos2x = x cos = [d] 3sinx + 4cosx = [e] 3sin2x – 2cos2x = Bài Giải các phương trình sau: [a] sin x  cos x   sin x  cos x  4sin x  3cos x  [b] 6 4sin x  3cos x  [c] 2sinx - cosx + sin x  cos x 1 = 8 [d] 5cosx + 12sinx + 5cos x  12s inx  14 =0 Bài Giải các phương trình sau: [a] cos5xcos3x - sin2x = – sin5xsin3x [b] cos5x + sin3xcos2x = [c] x x cosx + (sin - cos )2 = [d] cos2x - sin2x = + sin2x - cos3xsin2x a  b ; (2) [e] cos4x – sin4x - sin2x = [f*] 4(sin4x + cos4x) + sin4x = Chú ý 2: Một số dạng mở rộng (1) 2 * a.sinu(x) + b.cosu(x) =  a  b sinv(x) 2 a.sinu(x) + b.cosu(x) =  a  b cosv(x) * a.sinu(x) + b.cosu(x) = c.sinv(x) + d.cosv(x), mà a2 + b2 = c2 + d2 Bài 7* Giải các phương trình sau: [a] sinx [b] cosx = 2sin3x sin2x + cos2x – cos5x = [c] sin5x + cos5x + 2sin17x = [d] 2sin3x – sin2x = cos2x [e] 2cosx(sinx – 1) = cos2x [f] sinx + cosx = cos3x - [g] cos2x [h] sin3x sin2x - sinx – cosx = (cos2x + cos3x) + sin3x – sin2x = cos x  2sin x cos x  [k*] 2cos x  s inx  c dạng Phơng trình đẳng cấp bậc hai sinx và cosx 1) Định nghĩa: với a,b,c,d  R a.sin2x + b.cosxsinx + c.cos2x = d; (3) 2) Cách giải: * Với cosx  thì: + (3)  atan2x + btanx + c = d(1 + tan2x)  (a – d)tan2x + btanx + c – d = (3’) + Giải phương trình (3’) d * Với cosx = thì thay vào (3) tìm: sin x = a + Nếu sin2x 1 thì phương trình vô nghiệm   k + Nếu sin x = thì x = là nghiệm phương trình 3) Bài tập: Bài Giải các phương trình sau: [a] 2sin2x + 3sinxcosx + cos2x = [b] 2sin2x -3sinxcosx + 3cos2x = 2 [c] sin x  3cos x  s in2x 1 [d] 2sin2x – 3sinxcosx + cos2x = 2 [e] 2sin x  5sin x cos x  8cos x  [f] 4sin2x + 3 sin2x - 2cos2x = [g] 25sin2x + 15sin2x + 9cos2x = 25 Chú ý: Bằng cách giải tương tự áp dụng cho phương trình bậc sinx và cosx: a.sin3x + b.sin2xcosx + c.sinxcos2x + d.cos3x = e(sinx + cosx) Bài Giải các phương trình sau: [a] 4sin3x + 3cos3x – 3sinx – sin2xcosx = [b] cos3x – 4sin3x – 3cosxsin2x + sinx = 3 [c] sin x  sin x cos x  3cos x 0 [d] cos3x- sin3x= cosx+ sinx [e] sinx- 4sin3x+cosx=0 [f] cos3x + sin3x = sinx – cosx  [g*] sin3(x + ) = 2sinx  [h*] sin3(x - ) = sinx d d¹ng Ph¬ng tr×nh lîng gi¸c ®a vÒ d¹ng tÝch Chú ý : Kết thường dùng * sin2x = – cos2x = (1 + cosx)(1 – cosx) * cos2x = – sin2x = (1 – sinx)(1 + cosx) * sin3x = sinx.sin2x = sinx.(1 – cosx)(1 + cosx) * cos3x = cosx.cos2x = cosx.(1 – sinx)(1 + sinx) * + sin2x = (sinx + cosx)2 * – sin2x = (sinx – cosx)2 * + cos2x = 2cos2x * – cos2x = 2sin2x *cos2x = cos2x – sin2x = (cosx – sinx)(cosx + sinx) Bài 10 Giải các phương trình sau: [a] sin7x + sin5x + sin3x = [b] sin3x – sinx + sin2x = [c] sinx + sin2x + sin3x + sin4x=0 [d] cosx + cos2x + cos3x + cos4x = [e] + cosx + cos2x + cos3x = [f] cos10x – cos8x – cos6x + = [g*] cosx + cos3x + 2cos5x = Bài 11 Giải các phương trình sau: [a] sin2 x+sin23x=cos22x+cos24x [b] cos2x+cos22x+cos23x+cos24x=3/2 [c] sin2x= cos22x+ cos23x [d] sin22x+ sin24x= sin26x [e] sin2x+ sin22x+ sin23x=3/2 [f] cos2x+cos22x+cos23x = [g] sin23x – sin22x – sin2x = [h] sin23x – cos24x = sin25x – cos26x 17 [i] sin22x – cos28x = sin( + 10x) [j] sin24x – cos26x = sin(10,5  + 10x) Bài 12 Giải các phương trình sau: [a] 1+ sinx + cos3x = cosx + sin2x + cos2x [b] 1+ sinx + cosx + sin2x + cos2x=0 [c] (2 sin x  1)(2 cos x  sin x  1) 3  cos x [d] (2 sin x  1)(3 cos x  sin x  4)  cos x 3 [e] cos3x + cos2x + 2sinx - 2=0 [f] 2sin3x – sinx = 2cos3x – cosx + cos2x [g] 4cos3x + sin2x = 8cosx [h] cos2x - 2cos3x + sinx=0 [i] sin3 x + 2cosx + sin2 x - 2=0 1   [j*] cos x sin x sin x Bài 13* Giải các phương trình sau: [a] 9sinx + 6cosx – 3sin2x + cos2x = [b] sin2x + 2cos2x = + sinx - 4cosx [c] 2sin2x – cos2x = 7sinx + 2cosx – [d] sin2x – cos2x = 3sinx + cosx - e d¹ng Bµi tËp tæng hîp ( PTLG các đề thi ĐH từ 2002 – 2010) Bài 14: Giải các phương trình sau: [D10 ] sin2x – cos2x + 3sinx – cosx – = [ D09] 3cos5x-2sin3xcos2x-sinx=0 [D08 ] 2sinx(1+cos2x)+sin2x=1+2cosx x x   sin  cos   3cosx=2 2 [D07 ]  [D06 ] cos3x+cos2x-cosx-1=0     cos4 x  sin x  cos  x-  sin  3x    0 4  4  [ D05] [ D04] (2cosx-1)(2sinx+cosx)=sin2x-sinx x  x  sin    tan x  cos2 0  4 [ D03] 0;14 nghiệm đúng phương trình: [ D02] Tìm x thuộc đoạn  cos3x-4cos2x+3cosx-4=0 Bài 15: Giải các phương trình sau: [B10 ] (sin2x + cos2x)cosx + 2cos2x – sinx = [B09 ] sinx+cosxsin2x+ [B08 ] sin x  3cos3x=2  cos4x+sin x  3cos3 x s inxcos2 x  sin xcosx [B07 ] 2sin 2x  sin 7x  s inx tan x )=4 [B06 ] cotx+sinx(1+tanx [B05 ] 1+sinx+cosx+sin2x+cos2x=0 [B04 ] 5sinx-2=3(1-sinx) tan x sin2x [ B03] 2 2 [ B02] sin 3x  cos 4x sin 5x  cos 6x c otx-tanx+4sin2x= Bài 16: Giải các phương trình sau:  (1  s inx  cos2 x)sin( x  )  cos x  t anx [ A10] 1  [A09 ] 2s inx  cosx    2s inx    sin x   s inx [A08 ]  7  4sin   x 3     sin  x       sin x  cosx+  1+cos x  s inx=1+sin2x [ A07]  sin x  cos x   s inxcosx 0 6  2s inx [ A06] [A05 ] cos 3xcos2x-cos x 0 cos2x  sin x  sin 2x 1+tanx [A03 ] [ A02] Tìm nghiệm thuộc khoảng (0;2  ) phương trình: cos3x+sin3x    s inx+  cos2x+3  2sin 2x   c otx-1=